Σκάλες. Ομάδα εισόδου. Υλικά. Πόρτες. Κλειδαριές. Σχέδιο

Ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα ονομάζεται κόλπο οξείας γωνίας ορθογώνιο τρίγωνο.

\sin \άλφα = \frac(a)(c)

Συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα ονομάζεται συνημίτονο οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά ονομάζεται εφαπτομένη οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Συμεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι πλευρά ονομάζεται συνεφαπτομένη οξείας γωνίαςορθογώνιο τρίγωνο.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Ημίτονο αυθαίρετης γωνίας

Η τεταγμένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο στον οποίο αντιστοιχεί η γωνία \άλφα ονομάζεται ημίτονο αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

\sin \alpha=y

Συνημίτονο αυθαίρετης γωνίας

Η τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο στον οποίο αντιστοιχεί η γωνία \άλφα ονομάζεται συνημίτονο αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

\cos \alpha=x

Εφαπτομένη αυθαίρετης γωνίας

Ο λόγος του ημιτόνου μιας αυθαίρετης γωνίας περιστροφής \άλφα προς το συνημίτονό του ονομάζεται εφαπτομένη μιας αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Συνεφαπτομένη αυθαίρετης γωνίας

Ο λόγος του συνημιτόνου μιας αυθαίρετης γωνίας περιστροφής \άλφα προς το ημίτονο της ονομάζεται συνεφαπτομένη αυθαίρετης γωνίαςπεριστροφή \άλφα .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Ένα παράδειγμα εύρεσης αυθαίρετης γωνίας

Εάν το \άλφα είναι κάποια γωνία AOM, όπου το M είναι ένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο, τότε

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Για παράδειγμα, εάν \γωνία AOM = -\frac(\pi)(4), τότε: η τεταγμένη του σημείου Μ ισούται με -\frac(\sqrt(2))(2), τετμημένη είναι ίση \frac(\sqrt(2))(2)και για αυτο

\sin \αριστερά (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \αριστερά (-\frac(\pi)(4) \δεξιά)=-1.

Πίνακας τιμών ημιτόνων συνημιτόνων των εφαπτομένων συνεφαπτομένων

Οι τιμές των κύριων γωνιών που εμφανίζονται συχνά δίνονται στον πίνακα:

Κόλποςοξεία γωνία α ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος απεναντι αποπόδι σε υπόταση.
Συμβολίζεται ως εξής: αμαρτία α.

ΣυνημίτονοΗ οξεία γωνία α ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Ορίζεται ως εξής: cos α.

Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία α είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.
Χαρακτηρίζεται ως εξής: tg α.

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία α είναι ο λόγος διπλανό πόδιστον απέναντι.
Ορίζεται ως εξής: ctg α.

Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας εξαρτώνται μόνο από το μέγεθος της γωνίας.

Κανόνες:

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες σε ορθογώνιο τρίγωνο:

(α - οξεία γωνία απέναντι από το πόδι σι και δίπλα στο πόδι ένα . Πλευρά Με – υποτείνουσα. β – δεύτερη οξεία γωνία).

Καθώς αυξάνεται η οξεία γωνίααμαρτία α καιtg α αύξηση, καιcos α μειώνεται.

Για οποιαδήποτε οξεία γωνία α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = αμαρτία α

Παράδειγμα-εξήγηση:

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC
AB = 6,
π.Χ. = 3,
γωνία Α = 30º.

Ας μάθουμε το ημίτονο της γωνίας Α και το συνημίτονο της γωνίας Β.

Λύση .

1) Αρχικά, βρίσκουμε την τιμή της γωνίας Β. Όλα είναι απλά εδώ: αφού σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των οξειών γωνιών είναι 90º, τότε γωνία Β = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Ας υπολογίσουμε την αμαρτία Α. Γνωρίζουμε ότι το ημίτονο είναι ίσο με το λόγο της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Για τη γωνία Α, η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά BC. Ετσι:

π.Χ. 3 1
αμαρτία Α = -- = - = -
AB 6 2

3) Τώρα ας υπολογίσουμε το συν B. Γνωρίζουμε ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Για τη γωνία Β, το διπλανό σκέλος είναι η ίδια πλευρά BC. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει και πάλι να διαιρέσουμε το BC με το AB - δηλαδή, να εκτελέσουμε τις ίδιες ενέργειες όπως κατά τον υπολογισμό του ημιτόνου της γωνίας Α:

π.Χ. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Το αποτέλεσμα είναι:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Από αυτό προκύπτει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με το συνημίτονο της άλλης οξείας γωνίας - και αντίστροφα. Αυτό ακριβώς σημαίνουν οι δύο τύποι μας:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = αμαρτία α

Ας βεβαιωθούμε ξανά για αυτό:

1) Έστω α = 60º. Αντικαθιστώντας την τιμή του α στον ημιτονοειδές τύπο, παίρνουμε:
αμαρτία (90º – 60º) = συν 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Έστω α = 30º. Αντικαθιστώντας την τιμή του α στον συνημιτονικό τύπο, παίρνουμε:
cos (90° – 30º) = αμαρτία 30º.
cos 60° = αμαρτία 30º.

(Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την τριγωνομετρία, ανατρέξτε στην ενότητα Άλγεβρα)

Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με το ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.

Να σας το υπενθυμίσουμε ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.

Κοφτερή γωνία- λιγότερο από 90 μοίρες.

Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)

Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η απέναντι πλευρά γωνία Α ορίζεται .

Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.

Υποτείνουσαενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.

Πόδια- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες.

Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απεναντι απο(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.

ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:

Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος του παρακείμενου σκέλους προς την υποτείνουσα:

Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική:

Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):

Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.

Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.

Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;

Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.

Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .

Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές έχουν τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;

Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης συναρτήσεις τριγωνομετρικής γωνίας- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΚαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.

Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.

Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.

Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.

1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .

Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.

Επειδή η , .

2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα .

Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το πρόβλημα λύθηκε.

Συχνά στα προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και. Θυμηθείτε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!

Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.

Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.

Εξετάσαμε προβλήματα που λύνουν ορθογώνια τρίγωνα - δηλαδή βρίσκοντας άγνωστες πλευρές ή γωνίες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! ΣΕ Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά υπάρχουν πολλά προβλήματα όπου εμφανίζεται το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.

Το ημίτονο είναι μια από τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η χρήση της οποίας δεν περιορίζεται μόνο στη γεωμετρία. Οι πίνακες για τον υπολογισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων, όπως οι υπολογιστές μηχανικής, δεν είναι πάντα διαθέσιμοι και ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι μερικές φορές απαραίτητος για επίλυση διάφορα καθήκοντα. Γενικά, ο υπολογισμός του ημιτονοειδούς θα βοηθήσει στην εδραίωση των δεξιοτήτων σχεδίασης και της γνώσης των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.

Παιχνίδια με χάρακα και μολύβι

Μια απλή εργασία: πώς να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας που σχεδιάστηκε σε χαρτί; Για να το λύσετε, θα χρειαστείτε έναν κανονικό χάρακα, ένα τρίγωνο (ή πυξίδα) και ένα μολύβι. Ο απλούστερος τρόπος για να υπολογίσετε το ημίτονο μιας γωνίας είναι διαιρώντας το μακρινό σκέλος ενός τριγώνου με ορθή γωνία με τη μεγάλη πλευρά - την υποτείνουσα. Έτσι, πρέπει πρώτα να ολοκληρώσετε την οξεία γωνία ως προς το σχήμα ενός ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζοντας μια γραμμή κάθετη σε μία από τις ακτίνες σε αυθαίρετη απόσταση από την κορυφή της γωνίας. Θα χρειαστεί να διατηρήσουμε μια γωνία ακριβώς 90°, για την οποία χρειαζόμαστε ένα γραφικό τρίγωνο.

Η χρήση μιας πυξίδας είναι λίγο πιο ακριβής, αλλά θα πάρει περισσότερο χρόνο. Σε μία από τις ακτίνες πρέπει να σημειώσετε 2 σημεία σε μια ορισμένη απόσταση, να ορίσετε μια ακτίνα στην πυξίδα περίπου ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων και να σχεδιάσετε ημικύκλια με κέντρα σε αυτά τα σημεία μέχρι να ληφθούν οι τομές αυτών των γραμμών. Συνδέοντας τα σημεία τομής των κύκλων μας μεταξύ τους, παίρνουμε μια αυστηρή κάθετη στην ακτίνα της γωνίας μας το μόνο που μένει είναι να επεκτείνουμε τη γραμμή μέχρι να τέμνεται με μια άλλη ακτίνα.

Στο τρίγωνο που προκύπτει, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν χάρακα για να μετρήσετε την πλευρά απέναντι από τη γωνία και τη μακριά πλευρά σε μία από τις ακτίνες. Ο λόγος της πρώτης διάστασης προς τη δεύτερη θα είναι η επιθυμητή τιμή του ημιτόνου της οξείας γωνίας.

Βρείτε το ημίτονο για γωνία μεγαλύτερη από 90°

Για αμβλεία γωνίατο εγχείρημα δεν είναι πολύ πιο δύσκολο. Πρέπει να σχεδιάσουμε μια ακτίνα από την κορυφή προς την αντίθετη κατεύθυνση χρησιμοποιώντας έναν χάρακα για να σχηματίσουμε μια ευθεία γραμμή με μια από τις ακτίνες της γωνίας που μας ενδιαφέρει. Η προκύπτουσα οξεία γωνία θα πρέπει να αντιμετωπίζεται όπως περιγράφεται παραπάνω, ημίτονο παρακείμενες γωνίες, σχηματίζοντας μαζί μια αντίστροφη γωνία 180°, είναι ίσα.

Υπολογισμός ημιτόνου με χρήση άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Επίσης, ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι δυνατός εάν είναι γνωστές οι τιμές άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας ή τουλάχιστον τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες θα μας βοηθήσουν σε αυτό. Ας δούμε κοινά παραδείγματα.

Πώς να βρείτε το ημίτονο με ένα γνωστό συνημίτονο μιας γωνίας; Η πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα, βασισμένη στο Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα.

Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή εφαπτομένη μιας γωνίας; Η εφαπτομένη προκύπτει διαιρώντας την μακρινή πλευρά με την κοντινή πλευρά ή διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο. Έτσι, το ημίτονο θα είναι το γινόμενο του συνημιτόνου και της εφαπτομένης, και το τετράγωνο του ημιτόνου θα είναι το τετράγωνο αυτού του γινόμενου. Αντικαθιστούμε το τετράγωνο συνημίτονο με τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του τετραγώνου σύμφωνα με την πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα και, με απλούς χειρισμούς, ανάγουμε την εξίσωση στον υπολογισμό του τετραγώνου ημιτόνου μέσω της εφαπτομένης, ανάλογα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του ληφθέντος αποτελέσματος.

Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή συνεφαπτομένη γωνίας; Η τιμή της συνεφαπτομένης μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας το μήκος του ποδιού που βρίσκεται πιο κοντά στη γωνία με το μήκος της μακρινής, καθώς και διαιρώντας το συνημίτονο με το ημίτονο, δηλαδή, η συνεφαπτομένη είναι συνάρτηση αντίστροφη προς την εφαπτομένη σχετική στον αριθμό 1. Για να υπολογίσετε το ημίτονο, μπορείτε να υπολογίσετε την εφαπτομένη χρησιμοποιώντας τον τύπο tg α = 1 / ctg α και να χρησιμοποιήσετε τον τύπο στη δεύτερη επιλογή. Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε έναν άμεσο τύπο κατ' αναλογία με την εφαπτομένη, που θα μοιάζει με αυτό.

Πώς να βρείτε το ημίτονο τριών πλευρών ενός τριγώνου

Υπάρχει ένας τύπος για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, όχι μόνο ενός ορθογωνίου, από δύο γνωστά κόμματαχρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική συνημίτονο της αντίθετης γωνίας. Μοιάζει έτσι.

Πώς να βρείτε το ημίτονο;

Η μελέτη της γεωμετρίας βοηθά στην ανάπτυξη της σκέψης. Αυτό το μάθημα περιλαμβάνεται απαραίτητα στη σχολική εκπαίδευση. Στην καθημερινή ζωή, η γνώση αυτού του θέματος μπορεί να είναι χρήσιμη - για παράδειγμα, όταν σχεδιάζετε ένα διαμέρισμα.

Από την ιστορία

Το μάθημα της γεωμετρίας περιλαμβάνει και την τριγωνομετρία, η οποία μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Στην τριγωνομετρία μελετάμε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες γωνιών.

Αλλά προς το παρόν, ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα - το sine. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην πρώτη ιδέα - το ημίτονο μιας γωνίας στη γεωμετρία. Τι είναι το ημιτονοειδές και πώς να το βρείτε;

Η έννοια της «ημιτονοειδούς γωνίας» και των ημιτονοειδών

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος των τιμών της απέναντι πλευράς και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αυτή είναι μια άμεση τριγωνομετρική συνάρτηση, η οποία γράφεται ως "sin (x)", όπου (x) είναι η γωνία του τριγώνου.

Στο γράφημα, το ημίτονο μιας γωνίας υποδεικνύεται από ένα ημιτονοειδές κύμα με τα δικά του χαρακτηριστικά. Ένα ημιτονοειδές κύμα μοιάζει με μια συνεχή κυματιστή γραμμή που βρίσκεται εντός ορισμένων ορίων στο επίπεδο συντεταγμένων. Η συνάρτηση είναι περιττή, επομένως είναι συμμετρική περίπου 0 στο επίπεδο συντεταγμένων (βγαίνει από την αρχή των συντεταγμένων).

Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης βρίσκεται στην περιοχή από -1 έως +1 στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η περίοδος της συνάρτησης ημιτονικής γωνίας είναι 2 Pi. Αυτό σημαίνει ότι κάθε 2 Pi το μοτίβο επαναλαμβάνεται και το ημιτονοειδές κύμα περνάει από έναν πλήρη κύκλο.

Εξίσωση ημιτονικού κύματος

• αμαρτία x = α/γ
• όπου α είναι το σκέλος απέναντι από τη γωνία του τριγώνου
• γ - υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου

Ιδιότητες του ημιτόνου μιας γωνίας

1. sin(x) = - sin(x). Αυτό το χαρακτηριστικό δείχνει ότι η συνάρτηση είναι συμμετρική και εάν οι τιμές x και (-x) απεικονίζονται στο σύστημα συντεταγμένων και στις δύο κατευθύνσεις, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι αντίθετες. Θα βρίσκονται σε ίση απόσταση μεταξύ τους.
2. Ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτής της συνάρτησης είναι ότι το γράφημα της συνάρτησης αυξάνεται στο τμήμα [- P/2 + 2 Pn]. [P/2 + 2Pn], όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Μια μείωση στο γράφημα του ημιτόνου της γωνίας θα παρατηρηθεί στο τμήμα: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. sin(x) > 0 όταν το x βρίσκεται στην περιοχή (2Пn, П + 2Пn)
4. (Χ)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Οι τιμές των ημιτόνων της γωνίας καθορίζονται χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Τέτοιοι πίνακες έχουν δημιουργηθεί για να διευκολύνουν τη διαδικασία μέτρησης σύνθετους τύπουςκαι εξισώσεις. Είναι εύκολο στη χρήση και περιέχει έννοιες όχι μόνο λειτουργίες αμαρτία(x), αλλά και τις τιμές άλλων συναρτήσεων.

Επιπλέον, ένας πίνακας τυπικών τιμών αυτών των συναρτήσεων περιλαμβάνεται στην υποχρεωτική μελέτη μνήμης, όπως ένας πίνακας πολλαπλασιασμού. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τάξεις με φυσική και μαθηματική προκατάληψη. Στον πίνακα μπορείτε να δείτε τις τιμές των κύριων γωνιών που χρησιμοποιούνται στην τριγωνομετρία: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 και 360 μοίρες.

Υπάρχει επίσης ένας πίνακας που ορίζει τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μη τυπικών γωνιών. Χρησιμοποιώντας διαφορετικούς πίνακες, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη ορισμένων γωνιών.

Οι εξισώσεις γίνονται με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η επίλυση αυτών των εξισώσεων είναι εύκολη αν γνωρίζετε απλές τριγωνομετρικές ταυτότητες και αναγωγές συναρτήσεων, για παράδειγμα, όπως sin (P/2 + x) = cos (x) και άλλες. Για τέτοιες μειώσεις έχει καταρτιστεί και ξεχωριστός πίνακας.

Πώς να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας

Όταν η εργασία είναι να βρούμε το ημίτονο μιας γωνίας, και σύμφωνα με τη συνθήκη έχουμε μόνο το συνημίτονο, την εφαπτομένη ή την συνεφαπτομένη της γωνίας, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τι χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες.

• αμαρτία 2 x + cos 2 x = 1

Από αυτή την εξίσωση, μπορούμε να βρούμε και ημιτόνιο και συνημίτονο, ανάλογα με το ποια τιμή είναι άγνωστη. Μπορούμε να το κάνουμε τριγωνομετρική εξίσωσημε ένα άγνωστο:

• αμαρτία 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• κούνια 2 x + 1 = 1 / αμαρτία 2 x

Από αυτή την εξίσωση μπορείτε να βρείτε την τιμή του ημιτόνου, γνωρίζοντας την τιμή της συνεφαπτομένης της γωνίας. Για απλοποίηση, αντικαταστήστε το sin 2 x = y και έχετε μια απλή εξίσωση. Για παράδειγμα, η τιμή συνεφαπτομένης είναι 1, τότε:

• 1 + 1 = 1/έτος
• 2 = 1/έτος
• 2υ = 1
• y = 1/2

Τώρα εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση της συσκευής αναπαραγωγής:

• αμαρτία 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Δεδομένου ότι λάβαμε την τιμή συνεφαπτομένης για την τυπική γωνία (45 0), οι λαμβανόμενες τιμές μπορούν να ελεγχθούν στον πίνακα.

Εάν έχετε μια εφαπτομενική τιμή και πρέπει να βρείτε το ημίτονο, μια άλλη τριγωνομετρική ταυτότητα θα σας βοηθήσει:

• tg x * ctg x = 1

Από αυτό προκύπτει ότι:

• κούνια x = 1 / μαύρισμα x

Για να βρείτε το ημίτονο μιας μη τυπικής γωνίας, για παράδειγμα, 240 0, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τύπους μείωσης γωνίας. Γνωρίζουμε ότι το π αντιστοιχεί σε 180 0. Έτσι, εκφράζουμε την ισότητά μας χρησιμοποιώντας τυπικές γωνίες με επέκταση.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Πρέπει να βρούμε τα εξής: αμαρτία (180 0 + 60 0). Στην τριγωνομετρία υπάρχουν τύποι αναγωγής που σε αυτήν την περίπτωσηθα σου φανεί χρήσιμο. Αυτός είναι ο τύπος:

• αμαρτία (π + x) = - αμαρτία (x)

Έτσι, το ημίτονο γωνίας 240 μοιρών είναι ίσο με:

• αμαρτία (180 0 + 60 0) = - αμαρτία (60 0) = - √3/2

Στην περίπτωσή μας, x = 60, και P, αντίστοιχα, 180 μοίρες. Βρήκαμε την τιμή (-√3/2) από τον πίνακα τιμών των συναρτήσεων τυπικών γωνιών.

Με αυτόν τον τρόπο, οι μη τυπικές γωνίες μπορούν να επεκταθούν, για παράδειγμα: 210 = 180 + 30.