Trepid. Sisenemisgrupp. Materjalid. Uksed. Lukud. Disain

Liikumine

Lennuki kaardistamine iseendaga

• Iga tasapinna punkt on seotud sama tasandi mõne punktiga ja iga tasandi punkt on seotud mõne punktiga. Siis öeldakse, et on antud lennuki kaardistamine iseendaga.

• Telgsümmeetria on tasapinna kaardistamine iseendaga.

• Keskne sümmeetria on ka tasapinna kaardistamine iseendaga.

Liikumise kontseptsioon

• Aksiaalsel sümmeetrial on oluline omadus – see on tasapinna kaardistamine iseendaga, mis säilitab punktidevahelise kauguse.

• Tasapinna liikumine on tasapinna kaardistamine iseendale, kauguste säilitamine.

• Tasapinna keskne sümmeetria on ka tasapinna kaardistamine iseendaga

TEOREEM nr 1

• Liikumisel kaardistatakse segment segmendiks.

TEOREEM nr 1

• Antud: segment MN.

• Tõesta:1.MN kuvatakse antud liikumise korral M1N1;2.P kuvatakse P1-s;

Tõestus

• I.1)MP+PN=MN(tingimusest)

• 2) kuna liikudes säilib kaugus =>M1N1=MN, M1P1=MP ja N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 KUULUB M1N1-sse =>punkti MN kuvatakse segmendis M1N1

• II Olgu P1 suvaline punkt M1N1 ja antud liikumise punkt P kuvatakse P1-s

• Võrdsuse (1) ja M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P seosest kuulub MN.

Tagajärg

• Teoreemist nr 1 järeldub, et liikudes kaardistatakse kolmnurga kumbki külg võrdseks lõiguks => kolmnurk kaardistatakse võrdsete külgedega kolmnurgale, s.t liikumisel võrdsele kolmnurgale. Teoreemist nr 1 järeldub, et liikumisel:

• 1) sirge kaardistatakse sirgeks;

• 2) tala-tala;

• 3) nurk - sellega võrdse nurga võrra.

Ülekatted ja liigutused

• Joonis F on võrdne joonisega F1, kui joonist F saab kombineerida joonisega F1. Joonisel F1 on joonisel F1 silmas peetud mitte ainult joonise F punkte, vaid ka tasapinna mis tahes punkt kaardistatakse teatud punktiga tasapinnal s.t. katmine on tasapinna kaardistamine iseendaga.

• Kehtestused on sellised tasapinna vastendused iseendale, millel on aksioomides väljendatud omadused. Need võimaldavad meil tõestada kõiki neid ülekatete omadusi, mida visualiseerime ja probleemide lahendamisel kasutame.

Teoreem nr 2

• Kattumisel kaardistatakse erinevad punktid erinevateks punktideks.

Tõestus

Oletame, et see pole nii, st. teatud positsioonis kuvatakse mõned punktid A ja B kujul F2 = F1, st mõningase kattumisega kuvatakse F2 F1-s, kuna see on võimatu superpositsioon on kaardistamine ja mis tahes kaardistamise korral muutub ainult üks tasandi punkt vastavusse C =>-ga, kui superpositsioon kaardistatakse lõiguga, mis on võrdne sellega. Olgu, kui lõigu AB otsad A ja B on kattuvad, vastendatakse A1 ja B1. Seejärel vastendatakse AB väärtusega A1 B1 => AB=A1B1. Sest võrdsed segmendid on võrdsed pikkused, siis superpositsioon on tasapinna kaardistamine iseendale, säilitades kauguse, s.t. igasugune kattumine on tasapinna liikumine.

Teoreem nr 3

• Igasugune liikumine on pealesurumine.

Teoreem nr 3

• Antud: kolmnurga ABC suvaline liikumine, mis on kaardistatud kolmnurgaks A1 B1 C1

• f-overlay, milles punktid A,B,C kuvatakse A1 B1 C1.

• Tõesta: g ühtib f-ga.

Tõestus

Oletame, et g ei ühti f => tasapinnal on vähemalt esimene punkt M, mis g liikumisel kuvatakse M1-s ja f kattuvad - M2-s. Sest f ja g kaardistamisel säilib kaugus, siis AM=A1M1, AM=A1M2, st. punkt A1 on võrdsel kaugusel M1-st ja M2=>A1, B1 ja C1 asetsevad M1 M2-ga risti poolitajal, kuid see on võimatu, sest kolmnurga A1B1C1 tipud ei asu samal sirgel Seega g langeb kokku f-ga, st. g-liikumine on kattumine.

Tagajärg

• Liikumisel kaardistatakse mis tahes kujund võrdseks kujundiks.

Paralleelne ülekanne

• Olgu a antud vektor. Paralleelne ülekanne vektorile a on tasandi kaardistamine iseendaga, kus iga punkt M on kaardistatud punktiga M1 nii, et vektor MM1 on võrdne vektoriga a

Teoreem nr 4

• Paralleelülekanne on liikumine, st. tasapinna kaardistamine iseendaga, mis säilitab kaugused.

Teoreem nr 4

• Antud: paralleelselt a-ga ülekandmisel kuvatakse M ja N M1 ja N1.

• Tõesta: MN=M1N1.

Tõestus

• Sest MM1= a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 ja MM1=NN1 => MM1NN1-parallelogramm =>MN=M1N1, st. kaugus M ja N = kaugus M1 ja N1 vahel.

• Seega säilitab paralleeltõlge punktide vahelise kauguse ja kujutab seetõttu liikumist.

Pöörake

Lennukit pööratesümber punkti O nurga all A nimetatakse tasapinna kaardistamiseks iseendaga, kus iga punkt M kaardistatakse punktiga M1 nii, et OM = OM1 ja nurk MOM1 on võrdne A. Sellisel juhul jääb punkt O oma kohale, st. kuvatakse iseendasse ja kõik teised punktid pöörlevad ümber punkti O samas suunas – päri- või vastupäeva.

Teoreem nr 5

• Pööramine on liikumine, st. tasapinna kaardistamine iseendaga, mis säilitab kauguse.

Teoreem nr 5

• Antud on: O - pöörlemiskese d- pöördenurk vastupäeva

• Tõesta: MN=M1N1

Tõestus

• Oletame, et selle pöörlemise korral on M ja N kaardistatud väärtustega M1 ja N1.

• Kolmnurk OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, nurk MON=nurk M1ON1) Sellest võrdsusest järeldub, et MN=M1N1, st. kaugus M ja N = kaugus M1 ja N1 vahel.

• Pööramine säilitab punktidevahelise kauguse ja tähistab seega liikumist.

Antud: nurk AOB ja nurk A1O1B1.

• Antud: nurk AOB ja nurk A1O1B1.

• Tõesta, et liikumisel kaardistatakse nurk sellega võrdseks nurgaks.

LAHENDUS

Olgu antud liikumise korral nurk AOB kaardistatud nurgaga A1O1B1 ja punktid A.O.b vastavalt punktidele A1, O1, B1. kuna liikumisel hoitakse vahemaid, siis OA = O1A1, OB = O1B1. Kui nurk AOB ei ole välja töötatud, on kolmnurgad AOB ja A1O1B1 kolmest küljest võrdsed ja seetõttu on nurk AOB = nurk A1O1B1. Kui nurk AOB on lahti volditud, on ka nurk A1O1B1 lahti, seega on need võrdsed.

• Probleem nr 2

LAHENDUS

• Kolmnurgad ABC ja A1B1C1 on kolmest küljest võrdsed. Seetõttu on olemas ülekate, st liikumine, kus punktid A, B ja C on vastavalt punktidele A1, B1 ja C1. See liikumine on ainus liikumine, mille puhul punktid A, B ja C on kaardistatud A1B1 ja C1.

• Ülesanne nr 3. Joonistage kolmnurk ABC, vektor MM1, mis ei ole paralleelne ühegi kolmnurga küljega, ja vektor a, paralleelne küljega AC. Konstrueerige kolmnurk A1B1C1, mis saadakse kolmnurgast ABC paralleelülekandega: a) vektorisse MM1; b) vektorile a.

• Arvestades:

• Lahendus

b) Lahendus

• b) Lahendus

• Kinnistu 1 (sirgeduse säilimine). Liikumisel lähevad kolm sirgel asuvat punkti kolme sirgel asuvasse punkti ja kahe teise vahel asuv punkt kahe teise punkti kujutise vahel asuvasse punkti (säilitatakse nende suhteline asukoht).

• Omadus 2. Lõigu kujutis liikumise ajal on segment.

• Omadus 3. Sirge kujutis liikumise ajal on sirgjoon ja kiire kujutis on kiir.

• Omadus 4. Liikumisel on kolmnurga kujutis temaga võrdne kolmnurk, tasandi kujutis on tasapind ja paralleeltasandid kaardistatakse paralleeltasanditele ning pooltasandi kujutis on pooltasapind.

• Omadus 5. Liikumisel on tetraeedri kujutis tetraeeder, ruumi kujutis on kogu ruum, poolruumi kujutis on poolruum.

• Omadus 6. Liikumisel säilivad nurgad, st. Iga nurk on kaardistatud sama tüüpi ja sama suurusjärgu nurga alla. Sama kehtib ka kahetahuliste nurkade kohta.

• Definitsioon. Paralleeltõlge ehk lühidalt figuuri translatsioon on selle kuvamine, kus kõik selle punktid on nihutatud võrdsete vahemaade võrra samas suunas, s.t. joonise kahe punkti X ja Y ülekandmisel on sellised punktid X" ja Y" seotud nii, et XX" = YY".

• Ülekande peamine omadus:

• Paralleelne ülekanne säilitab vahemaad ja suunad, s.t. X"Y" = XY.

• Sellest järeldub, et paralleelülekanne on suunda säilitav liikumine ja vastupidi, suunda säilitav liikumine on paralleelne ülekanne.

• Nendest väidetest järeldub ka, et paralleelülekannete koosseis on paralleelülekanne.

• Joonise paralleeltõlke täpsustatakse ühe vastava punkti paari määramisega. Näiteks kui on määratud, millisesse punkti A" antud punkt A läheb, siis selle ülekande määrab vektor AA" ja see tähendab, et kõiki punkte nihutatakse sama vektoriga, s.t. XX" = AA" kõigi X punktide jaoks.

• Joonise keskne sümmeetria O suhtes on selle joonise kaardistamine, mis seostab selle kõik punktid O suhtes sümmeetrilise punktiga.

• Peamine omadus: Keskne sümmeetria säilitab kauguse, kuid muudab suuna. Teisisõnu, joonise F mis tahes kaks punkti X ja Y vastavad punktidele X" ja Y", nii et X"Y" = -XY.

• Sellest järeldub, et kesksümmeetria on liikumine, mis muudab suunda vastupidiseks ja vastupidi, liikumine, mis muudab suunda vastupidiseks, on keskne sümmeetria.

• Joonise keskne sümmeetria määratakse kindlaks ühe olemasolevate punktide paari määramisega: kui punkt A on kaardistatud punktiga A", siis on sümmeetria keskpunkt lõigu AA keskpunkt".

• Figuuri kaardistamist, kus iga selle punkt vastab punktile, mis on tema suhtes sümmeetriline antud tasandi suhtes, nimetatakse figuuri peegeldumiseks sellel tasapinnal (või peegelsümmeetriaks).

• Punkte A ja A" peetakse tasandi suhtes sümmeetriliseks, kui segment AA" on selle tasapinnaga risti ja poolitab selle. Tasapinna mis tahes punkti (seda peetakse selle tasapinna suhtes sümmeetriliseks.

• Teoreem 1. Tasapinnal peegeldumine säilitab kaugused ja on seega liikumine.

• Teoreem 2. Liikumine, milles teatud tasandi kõik punktid on liikumatud, on peegeldus sellel tasapinnal või identiteedi kaardistus.

• Peegelsümmeetriat täpsustatakse ühe paari vastava punktiga, mis ei asu sümmeetriatasandil: sümmeetriatasand läbib neid punkte ühendava lõigu keskosa, mis on sellega risti.

• Figuuri nimetatakse pöörlemisfiguuriks, kui on olemas selline joon, mille ümber mis tahes pöörlemine ühendab kujundi iseendaga ehk teisisõnu kaardistab selle iseendaga. Seda joont nimetatakse joonise pöörlemisteljeks. Lihtsamad pöörlemiskehad: kuul, parempoolne ringsilinder, parempoolne ringkoonus.

Ümber sirge pööramise erijuhtum on pööramine 180 võrra (. Pööramisel ümber sirge a 180 võrra (iga punkt A läheb punkti A" nii, et sirge a on risti lõiguga AA" ja lõikub sellega keskpunktidele A ja A" öeldakse, et nad on sümmeetrilised a-telje suhtes. Seetõttu nimetatakse 180-kraadist pöörlemist (ümber sirgjoone) telgsümmeetriaks ruumis.