Kompleksarvude geomeetriline esitus. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju.
2015-06-04
Tegelik ja kujuteldav telg
Kompleksarvu argument
Kompleksarvu peamine argument
Kompleksarvu trigonomeetriline kuju
Kompleksarvu $z = a+bi$ määramine võrdub kahe reaalarvu $a,b$ - selle kompleksarvu reaal- ja imaginaarse osa - määramisega. Kuid järjestatud arvupaari $(a,b)$ esindab Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis punkt koordinaatidega $(a, b)$. Seega võib seda punkti kasutada ka kompleksarvu $z$ kujutisena: kompleksarvude ja koordinaattasandi punktide vahel luuakse üks-ühele vastavus.
Kui kompleksarvude esitamiseks kasutatakse koordinaattasapinda, nimetatakse $Ox$ telge tavaliselt reaalteljeks (kuna arvu reaalosa peetakse punkti abstsissiks) ja $Oy$ telge kujuteldavaks teljeks. (kuna arvu mõttelist osa võetakse punkti ordinaatiks).
Joonis 1
Joonisel fig. 1, arvude $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, kujutised, z_(6) = -3 - 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 - 3i$.
Kaks kompleksarvu on kujutatud punktidega, mis on sümmeetrilised $Ox$ telje suhtes (punktid $z_(1)$ ja $z_(8)$ joonisel 1).
Riis. 2
Sageli seostatakse kompleksarvuga $z$ mitte ainult seda arvu esindav punkt $M$, vaid ka vektor $\vec(OM)$, mis viib punktist $O$ kuni $M$; Arvu $z$ esitamine vektorina on mugav kompleksarvude liitmise ja lahutamise tegevuse geomeetrilise tõlgendamise seisukohalt. Joonisel fig. 2 ja on näidatud, et vektor, mis kujutab kompleksarvude summat $z_(1), z_(2)$, saadakse rööpküliku diagonaalina, mis on konstrueeritud vektoritele $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ tähistab termineid. Seda vektorite liitmise reeglit tuntakse rööpkülikureeglina (näiteks füüsikakursuse jõudude või kiiruste liitmiseks). Lahutamist saab taandada liitmiseni vastupidise vektoriga (joonis 2, b).
Riis. 3
Teatavasti saab punkti asukohta tasapinnal määrata ka polaarkoordinaatide $r, \phi$ abil. Seega määratakse ka kompleksarv – punkti afiks – määrates $r$ ja $\phi$. Jooniselt fig. 3 on selge, et $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ on samal ajal kompleksarvu $z$ moodul: arvu esindava punkti polaarraadius $z$ on võrdne nende arvude mooduliga.
Punkti $M$ polaarnurka nimetatakse selle punktiga esindatud arvu $z$ argumendiks.
Kõik argumendi väärtused on ühiselt tähistatud sümboliga $Arg \: z$.
Seega saab iga kompleksarvu seostada reaalarvude paariga: antud arvu mooduli ja argumendiga ning argument määratakse mitmetähenduslikult. Vastupidi, arvestades moodulit $|z| = r$ ja argument $\phi$ vastab ainsus$z$, millel on antud moodul ja argument. Eriomadused on null: selle moodul on null ja argumendile ei omistata konkreetset väärtust.
Kompleksarvu argumendi määratluse ühemõttelisuse saavutamiseks võib nõustuda nimetama ühte argumendi väärtustest peamiseks. Seda tähistatakse sümboliga $arg \: z$. Tavaliselt valitakse argumendi põhiväärtuseks väärtus, mis rahuldab ebavõrdsust
$0 \leq arg \: z (muul juhtudel ebavõrdsused $- \pi
Kompleksarvu tegelikud ja imaginaarsed osad (punkti Descartes'i koordinaatidena) väljendatakse selle mooduli ja argumendi (punkti polaarkoordinaadid) kaudu, kasutades valemeid:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
ja kompleksarvu saab kirjutada järgmisel trigonomeetrilisel kujul:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(nimetame arvu kirjutamist kujul $z = a + bi$ algebralisel kujul kirjeks).
Üleminek arvu algebralisel kujul kirjutamiselt trigonomeetrilisele kujule ja vastupidi toimub valemite (4) järgi:
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
ja valemid (1). Argumendi (selle peamise väärtuse) määratlemisel võite kasutada ühe väärtust trigonomeetrilised funktsioonid$\cos \phi$ või $\sin \phi$ ja võta arvesse teise märki.
Näide. Kirjutage trigonomeetrilisel kujul järgmised numbrid:
a)$6 + 6i$; b) $3i$; c) $-10 $.
Lahendus, a) Meil on
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
kust $\phi = \frac(7 \pi)(4)$ ja seetõttu
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
-10 $ = 10 (\cos \pi + i \sin \pi) $
Kompleksarvud
Põhimõisted
Esialgsed andmed arvu kohta pärinevad kiviajast – paleomeliidist. Need on "üks", "vähesed" ja "paljud". Need registreeriti sälkude, sõlmede jms kujul. Areng tööprotsessid ja vara tekkimine sundis inimest numbreid ja nende nimesid välja mõtlema. Esimesena ilmusid naturaalarvud N, mis on saadud üksuste loendamise teel. Seejärel tekkis inimestel koos loendamisvajadusega ka vajadus mõõta pikkusi, pindalasid, mahtusid, aega ja muid suurusi, kus tuli arvestada kasutatud mõõdiku osadega. Nii tekkisid murded. Murd- ja negatiivsete arvude mõistete formaalne põhjendamine viidi läbi 19. sajandil. Täisarvude hulk Z– need on naturaalarvud, miinusmärgi ja nulliga naturaalarvud. Täis- ja murdarvud moodustasid ratsionaalarvude komplekti K, kuid see osutus ebapiisavaks ka pidevalt muutuvate muutujate uurimiseks. Genesis näitas taas matemaatika ebatäiuslikkust: vormivõrrandi lahendamise võimatust X 2 = 3, mistõttu tekkisid irratsionaalsed arvud I. Ratsionaalarvude hulga liit K ja irratsionaalsed arvud I– reaal- (või reaal-) arvude komplekt R. Selle tulemusena täitus numbririda: iga reaalarv vastas sellel olevale punktile. Aga paljudel R vormi võrrandit ei saa kuidagi lahendada X 2 = – A 2. Sellest tulenevalt tekkis taas vajadus arvu mõistet laiendada. Nii tekkisid 1545. aastal kompleksarvud. Nende looja J. Cardano nimetas neid "puhtalt negatiivseteks". Nime “kujuteldav” võttis 1637. aastal kasutusele prantslane R. Descartes, 1777. aastal tegi Euler ettepaneku kasutada prantsuse numbri esitähte i kujuteldava ühiku tähistamiseks. See sümbol tuli üldisesse kasutusse tänu K. Gaussile.
17. ja 18. sajandil jätkus arutelu imaginaariumide aritmeetilise olemuse ja nende geomeetrilise tõlgendamise üle. Taanlane G. Wessel, prantslane J. Argan ja sakslane K. Gauss tegid iseseisvalt ettepaneku esitada kompleksarvu punktina koordinaattasandil. Hiljem selgus, et veelgi mugavam on arvu kujutada mitte punkti enda, vaid lähtepunktist sellesse punkti suunduva vektori järgi.
Alles 18. sajandi lõpul ja 19. sajandi alguses võtsid kompleksarvud oma õige koha matemaatiline analüüs. Nende esimene kasutusala on teoreetiline diferentsiaalvõrrandid ja hüdrodünaamika teoorias.
Definitsioon 1.Kompleksnumber nimetatakse väljendiks kujul , kus x Ja y on reaalarvud ja i– mõtteline ühik, .
Kaks kompleksarvu ja võrdne kui ja ainult kui , .
Kui , siis helistatakse numbrile puhtalt väljamõeldud; kui , siis on arv reaalarv, see tähendab, et komplekt R KOOS, Kus KOOS– kompleksarvude komplekt.
Konjugaat kompleksarvuks nimetatakse kompleksarvuks.
Kompleksarvude geomeetriline esitus.
Iga kompleksarvu saab esitada punktiga M(x, y) lennuk Oxy. Reaalarvude paar tähistab ka raadiusvektori koordinaate 
, st. tasapinna vektorite hulga ja kompleksarvude hulga vahel saab luua üks-ühele vastavuse: .
2. definitsioon.Päris osa X.
Määramine: x=Re z(ladina keelest Realis).
3. määratlus.Väljamõeldud osa kompleksarv on reaalarv y.
Määramine: y= ma z(ladina keelest Imaginarius).
Re z on ladestunud teljele ( Oh) ma olen z on ladestunud teljele ( Oh), siis on kompleksarvule vastav vektor punkti raadiusvektor M(x, y), (või M(Re z ma olen z)) (joonis 1).
4. määratlus. Nimetatakse tasapind, mille punktid on seotud kompleksarvude hulgaga keeruline lennuk. Abstsisstelge nimetatakse tegelik telg, kuna see sisaldab reaalnumbreid. Y-telge nimetatakse kujuteldav telg, sisaldab see puhtalt imaginaarseid kompleksarve. Kompleksarvude hulk on tähistatud KOOS.
Definitsioon 5.Moodul kompleksarv z = (x, y) nimetatakse vektori pikkuseks: , s.t. 
.
Definitsioon 6.Argument kompleksarv on nurk telje positiivse suuna vahel ( Oh) ja vektor: 
.
Märkus 3. Kui punkt z asub reaalsel või kujuteldaval teljel, siis leiate selle otse üles.
Mine) numbrid.
2. Kompleksarvude esituse algebraline vorm
Kompleksnumber või kompleksne, on arv, mis koosneb kaks numbrit (osad) – tegelik ja kujuteldav.
Päris Iga positiivset või negatiivset arvu nimetatakse näiteks + 5, - 28 jne. Tähistame reaalarvu tähega “L”.
Kujutletav on arv, mis võrdub reaalarvu ja korrutisega Ruutjuur negatiivsest ühikust, näiteks 8, - 20 jne.
Negatiivset ühikut nimetatakse kujuteldav ja seda tähistatakse tähega "yot":
Tähistame reaalarvu kujuteldavas numbris tähega “M”.
Siis saab imaginaararvu kirjutada järgmiselt: j M. Sel juhul saab kompleksarvu A kirjutada järgmiselt:
A = L + jM (2).
Sellist kompleksarvu (kompleksi) kirjutamise vormi, mis on reaal- ja imaginaarse osa algebraline summa, nimetatakse algebraline.
Näide 1. Esitage algebralises vormis kompleksi, mille reaalosa on 6 ja mille kujutlusosa on 15.
Lahendus. A = 6 + j 15.
Lisaks algebralisele vormile saab kompleksarvu esitada veel kolmega:
1. graafiline;
2. trigonomeetriline;
3. suunav.
Selline vormide mitmekesisus on dramaatiliselt lihtsustab arvutusi sinusoidsed suurused ja nende graafiline pilt.
Vaatame kordamööda graafilist, trigonomeetrilist ja eksponendit.
uued kompleksarvude esitamise vormid.
Kompleksarvude esitamise graafiline vorm
Kompleksarvude graafiliseks esitamiseks otse
süsiniku koordinaatide süsteem. Tavalises (kooli) koordinaatsüsteemis joonistatakse positiivsed või negatiivsed väärtused piki "x" (abstsiss) ja "y" (ordinaat) telge. päris numbrid.
Sümboolsel meetodil vastu võetud koordinaatsüsteemis piki “x” telge
reaalarvud joonistatakse segmentide kujul ja imaginaarsed arvud piki y-telge
Riis. 1. Koordinaatide süsteem kompleksarvude graafiliseks esitamiseks
Seetõttu nimetatakse x-telge reaalsuuruste teljeks või lühidalt päris telg.
Ordinaattelge nimetatakse mõtteliste suuruste teljeks või kujuteldav telg.
Tasapinda ennast (st joonise tasapinda), millel on kujutatud kompleksarvud või suurused, nimetatakse kõikehõlmav tasane.
Sellel tasapinnal on kompleksarvu A = L + j M kujutatud vektoriga A
(joon. 2), mille projektsioon reaalteljele on võrdne selle reaalosaga Re A = A" = L ja projektsioon mõttelisele teljele on võrdne mõttelise osaga Im A = A" = M.
(Re - inglise keelest real - tõeline, tõeline, tõeline, Im - inglise keelest imaginary - irreal, imaginary).
Riis. 2. Kompleksarvu graafiline esitus
Sel juhul saab arvu A kirjutada järgmiselt
A = A" + A" = Re A + j Im A (3).
Kasutades arvu A graafilist esitust komplekstasandil, tutvustame uusi definitsioone ja saame mõned olulised seosed:
1. nimetatakse vektori A pikkust moodul vektor ja seda tähistatakse |A|.
Pythagorase teoreemi järgi
|A| = 
(4) .
2. vektori A ja reaalpositiivse pool- moodustatud nurk α
telge nimetatakse argument vektor A ja määratakse selle puutuja kaudu:
tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).
Seega kompleksarvu graafiliseks esituseks
A = A" + A" vektori kujul, mida vajate:
1. leidke vektori |A| moodul vastavalt valemile (4);
2. leida valemi (5) abil vektori tan α argument;
3. leida nurk α seosest α = arc tan α;
4. koordinaatsüsteemis j (x) joonestada abi
sirge ja sellele kindlal skaalal joonistada segment, mis on võrdne vektori |A| absoluutväärtusega.
Näide 2. Esitage kompleksarv A = 3 + j 4 graafilisel kujul.
Kompleksarvud, nende esitamine tasapinnal. Algebralised tehted kompleksarvudega. Kompleksne sidumine. Kompleksarvu moodul ja argument. Kompleksarvude algebralised ja trigonomeetrilised vormid. Kompleksarvude juured. Eksponentfunktsioon keeruline argument. Euleri valem. Kompleksarvu eksponentsiaalne kuju.
Uurides üht integreerimise põhimeetodit: ratsionaalsete murdude integreerimist, tuleb rangete tõestuste tegemiseks arvestada kompleksvaldkonna polünoomidega. Seetõttu uurime esmalt mõningaid kompleksarvude omadusi ja nendega tehteid.
Definitsioon 7.1. Kompleksarv z on reaalarvude (a,b) järjestatud paar: z = (a,b) (termin "järjestatud" tähendab, et kompleksarvu kirjutamisel on oluline arvude a ja b järjekord: (a ,b)≠(b,a )). Sel juhul nimetatakse esimest arvu a kompleksarvu z reaalosaks ja tähistatakse a = Re z ning teist arvu b nimetatakse z imaginaarseks osaks: b = Im z.
Definitsioon 7.2. Kaks kompleksarvu z 1 = (a 1 , b 1) ja z 2 = (a 2 , b 2) on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende tegelik ja mõtteline osa on võrdsed, st a 1 = a 2, b 1 = b 2 .
Tehted kompleksarvudega.
1. Summa kompleksarvud z 1 =(a 1, b 1) Ja z 2 =(a 2, b 2 z =(a,b) selline, et a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Lisamise omadused: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) on olemas kompleksarv 0 = (0,0): z + 0 =z mis tahes kompleksarvu jaoks z.
2. Töö kompleksarvud z 1 =(a 1, b 1) Ja z 2 =(a 2, b 2) nimetatakse kompleksarvuks z =(a,b) selline, et a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Korrutamise omadused: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .
kommenteerida. Kompleksarvude hulga alamhulk on reaalarvude hulk, mis on määratletud kui kompleksarvud kujul ( A, 0). On näha, et kompleksarvudega tehte defineerimine säilitab reaalarvude vastavate tehtete teadaolevad reeglid. Lisaks säilitab reaalarv 1 = (1,0) oma omaduse, kui korrutada mis tahes kompleksarvuga: 1∙ z = z.
Definitsioon 7.3. Kompleksarv (0, b) kutsutakse puhtalt väljamõeldud. Eelkõige kutsutakse numbrit (0,1). kujuteldav ühik ja on tähistatud sümboliga i.
Kujutise üksuse omadused:
1) i∙i=i² = -1; 2) puhtalt imaginaarne arv (0, b) saab esitada reaalarvu korrutisena ( b, 0) ja i: (b, 0) = b∙i.
Seetõttu võib mis tahes kompleksarvu z = (a,b) esitada järgmiselt: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.
Definitsioon 7.4. Nimetatakse tähistus kujul z = a + ib algebraline vorm kompleksarvu kirjutamine.
kommenteerida. Kompleksarvude algebraline märkimine võimaldab teha nendega tehteid vastavalt normaalsed reeglid algebra.
Definitsioon 7.5. Kompleksarvu nimetatakse z = a + ib komplekskonjugaadiks.
3. Lahutamine Kompleksarvud on defineeritud liitmise pöördtehetena: z =(a,b) nimetatakse kompleksarvude erinevuseks z 1 =(a 1, b 1) Ja z 2 =(a 2, b 2), Kui a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.
4. Jaoskond kompleksarvud on defineeritud kui korrutamise pöördtehte: arv z = a + ib nimetatakse jagamise jagatiseks z 1 = a 1 + ib 1 Ja z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), kui z 1 = z∙z 2 . Järelikult võib võrrandisüsteemi lahendamisest leida jagatise reaal- ja kujuteldavad osad: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.
Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine.
Kompleksnumber z =(a,b) saab esitada punktina tasapinnal koordinaatidega ( a,b) või vektor, mille alguspunkt on alguspunktis ja lõpp punktis ( a,b).
Sel juhul nimetatakse saadud vektori moodulit moodul kompleksarv ja vektori poolt moodustatud nurk abstsisstelje positiivse suunaga on argument numbrid. Võttes arvesse, et a = ρ cos φ, b = ρ patt φ, Kus ρ = |z| - moodul z, ja φ = arg z on selle argument, saate kompleksarvu kirjutamiseks teistsuguse vormi:
Definitsioon 7.6. Salvestuse tüüp
z = ρ(cos φ + i patt φ ) (7.1)
helistas trigonomeetriline vorm kompleksarvu kirjutamine.
Kompleksarvu moodulit ja argumenti saab omakorda väljendada läbi A Ja b: 
. Järelikult ei ole kompleksarvu argument üheselt määratud, vaid kuni liikmeni, mis on 2π kordne.
Lihtne on kontrollida, kas kompleksarvude liitmise toiming vastab vektorite liitmise operatsioonile. Vaatleme korrutamise geomeetrilist tõlgendust. Lase siis
Seetõttu on kahe kompleksarvu korrutise moodul võrdne tootega nende moodulid ja argument on nende argumentide summa. Vastavalt sellele võrdub jagatise moodul jagamisel dividendi ja jagaja moodulite suhtega ning argumendiks on nende argumentide erinevus.
Korrutamise erijuhtum on astendamine:
- Moivre'i valem.
Saadud seoseid kasutades loetleme komplekssete konjugaatarvude peamised omadused:
