Trepid. Sisenemisgrupp. Materjalid. Uksed. Lukud. Disain

4. ülesanne.

Rööpküliku pikkusega 4√6 üks diagonaalidest moodustab alusega 60° nurga ja teine ​​diagonaal moodustab sama alusega 45° nurga. Leidke teine ​​diagonaal.

Otsus.

1. AO = 2√6.

2. Rakenda siinuse teoreem kolmnurgale AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Vastus: 12.

5. ülesanne.

Rööpküliku külgedega 5√2 ja 7√2 on väiksem nurk diagonaalide vahel võrdne rööpküliku väiksema nurgaga. Leidke diagonaalide pikkuste summa.

Otsus.

Olgu d 1, d 2 rööpküliku diagonaalid ning diagonaalide ja rööpküliku väiksema nurga vaheline nurk on φ.

1. Loendame kaks erinevat
selle piirkonna viise.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Saame võrrandi 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f või

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Kasutades rööpküliku külgede ja diagonaalide vahelist suhet, kirjutame võrdsuse

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Koostame süsteemi:

(p 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Korrutage süsteemi teine ​​võrrand 2-ga ja lisage see esimesele.

Saame (d 1 + d 2) 2 = 576. Seega Id 1 + d 2 I = 24.

Kuna d 1, d 2 on rööpküliku diagonaalide pikkused, siis d 1 + d 2 = 24.

Vastus: 24.

6. ülesanne.

Rööpküliku küljed on 4 ja 6. Diagonaalide vaheline teravnurk on 45 o. Leidke rööpküliku pindala.

Otsus.

1. Kolmnurgast AOB kirjutame koosinusteoreemi kasutades üles seose rööpküliku külje ja diagonaalide vahel.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (p 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Samamoodi kirjutame seose kolmnurga AOD jaoks.

Me arvestame sellega<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Saame võrrandi d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Meil ​​on süsteem
(p 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(p 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Lahutades teisest võrrandist esimese, saame 2d 1 d 2 √2 = 80 või

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Märge: Selles ja eelmises ülesandes ei ole vaja süsteemi täielikult lahendada, kuna selles ülesandes on pindala arvutamiseks vaja diagonaalide korrutist.

Vastus: 10.

Ülesanne 7.

Rööpküliku pindala on 96 ja selle küljed on 8 ja 15. Leidke väiksema diagonaali ruut.

Otsus.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Teeme valemis asendus.

Saame 96 = 8 15 sin VAD. Seega patt VAD = 4/5.

2. Leia cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 HALB = 1. cos 2 HALB = 9/25.

Vastavalt ülesande seisukorrale leiame väiksema diagonaali pikkuse. Diagonaal BD on väiksem, kui nurk BAD on terav. Siis HALB = 3/5.

3. Kolmnurgast ABD koosinusteoreemi kasutades leiame diagonaali BD ruudu.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos HALB.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Vastus: 145.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas geomeetriaprobleemi lahendada?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Märge. See on osa geomeetriaprobleemidega tunnist (parallelogrammi osa). Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Ruutjuure eraldamise toimingu tähistamiseks ülesannete lahendamisel kasutatakse sümbolit √ või sqrt () ja radikaalavaldist näidatakse sulgudes.

Teoreetiline materjal

Rööpküliku pindala leidmise valemite seletused:

1. Rööpküliku pindala on võrdne selle ühe külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisega.
2. Rööpküliku pindala on võrdne selle kahe külgneva külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega
3. Rööpküliku pindala on võrdne poolega selle diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest

Rööpküliku pindala leidmise ülesanded

Otsus.
Tähistame punktist B suuremale alusele AD langetatud rööpküliku ABCD väiksemat kõrgust BK-ks.
Leia väiksema kõrguse, väiksema külje ja suurema aluse osaga moodustatud täisnurkse kolmnurga ABK jala väärtus. Pythagorase teoreemi järgi:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82–81
AK=1

Laiendame rööpküliku BC ülemist alust ja langetame selle alumiselt aluselt kõrgust AN. AN = BK ristküliku ANBK külgedena. Saadud täisnurksest kolmnurgast ANC leiame jala NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225–81
NC2 = √144
NC = 12

Nüüd leiame rööpküliku ABCD suurema aluse BC.
BC=NC-NB
Arvestame, et NB = AK ristküliku külgedeks, siis
BC = 12 - 1 = 11

Rööpküliku pindala on võrdne aluse ja selle aluse kõrguse korrutisega.
S=ah
S=BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Vastus: 99 cm2.

Ülesanne

Otsus.
Kukkugem diagonaalile AC veel üks risti DK.
Vastavalt sellele on kolmnurgad AOB ja DKC, COB ja AKD paarikaupa kongruentsed. Üks külgedest on rööpküliku vastaskülg, üks nurkadest on täisnurkne, kuna see on risti diagonaaliga, ja üks ülejäänud nurkadest on rööpküliku paralleelsete külgede ja sekanti sisemine rist. diagonaalist.

Seega on rööpküliku pindala võrdne näidatud kolmnurkade pindalaga. St
Sparal = 2S AOB + 2S BOC

Täisnurkse kolmnurga pindala on pool jalgade korrutisest. Kus
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Vastus: 56 cm2.

Rööpküliku pindala valem

Rööpküliku pindala on võrdne selle külje ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.

Tõestus

Kui rööpkülik on ristkülik, siis võrdsust rahuldab ristküliku pindala teoreem. Lisaks eeldame, et rööpküliku nurgad ei ole õiged.

Olgu $\angle BAD$ rööpküliku $ABCD$ ja $AD > AB$ teravnurk. Vastasel juhul nimetame tipud ümber. Siis langeb kõrgus $BH$ tipust $B$ joonele $AD$ küljele $AD$, kuna jalg $AH$ on lühem kui hüpotenuus $AB$ ja $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Võrdleme rööpküliku $ABCD$ pindala ja ristküliku $HBCK$ pindala. Rööpküliku pindala on suurem pindala $\kolmnurga ABH$ võrra, kuid väiksem pindala $\kolmnurga DCK$ võrra. Kuna need kolmnurgad on kongruentsed, on ka nende alad kongruentsed. See tähendab, et rööpküliku pindala on võrdne ristküliku pindalaga, mille küljed on külje poole pikad ja rööpküliku kõrgus.

Rööpküliku pindala valem külgede ja siinuse järgi

Rööpküliku pindala võrdub külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega.

Tõestus

Küljele $AB$ langetatud rööpküliku $ABCD$ kõrgus võrdub lõigu $BC$ ja nurga $\nurk ABC$ siinuse korrutisega. Jääb üle rakendada eelmist väidet.

Rööpküliku pindala valem diagonaalides

Rööpküliku pindala on võrdne poolega diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest.

Tõestus

Lõikugu rööpküliku $ABCD$ diagonaalid punktis $O$ nurga $\alpha$ all. Siis rööpküliku omaduse järgi $AO=OC$ ja $BO=OD$. Nurkade siinused, mis annavad kokku $180^\circ$, on $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Seega on diagonaalide ristumiskoha nurkade siinused võrdsed $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\kolmnurk AOB) + S_(\kolmnurk BOC) + S_(\kolmnurk COD) + S_(\kolmnurk AOD)$

pindala mõõtmise aksioomi järgi. Rakenda nende kolmnurkade ja nurkade puhul diagonaalide lõikumisel kolmnurga pindalavalem $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$. Mõlema küljed on võrdsed poolte diagonaalidega, siinused on samuti võrdsed. Seetõttu on kõigi nelja kolmnurga pindalad $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Kõike eelnevat kokku võttes saame

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

1. teoreem. Trapetsi pindala on võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega:

2. teoreem. Trapetsi diagonaalid jagavad selle neljaks kolmnurgaks, millest kaks on sarnased ja ülejäänud kahel on sama pindala:

3. teoreem. Rööpküliku pindala on võrdne aluse ja antud alusele langetatud kõrguse korrutisega või kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega:

4. teoreem. Rööpkülikukujul on diagonaalide ruutude summa võrdne selle külgede ruutude summaga:

5. teoreem. Suvalise kumera nelinurga pindala on võrdne poolega selle diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest:

6. teoreem. Ringjoonest ümbritsetud nelinurga pindala on võrdne selle nelinurga poolperimeetri ja antud ringi raadiuse korrutisega:

7. teoreem. Nelinurk, mille tipud on suvalise kumera nelinurga külgede keskpunktid, on rööpkülik, mille pindala on võrdne poolega algse nelinurga pindalast:

8. teoreem. Kui kumera nelinurga diagonaalid on üksteisega risti, siis selle nelinurga vastaskülgede ruutude summad on järgmised:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Artikkel ilmus ettevõtte "DKROST" toel. Liumäed lastele, majad, liivakastid ja palju muud - mänguväljakute valmistamine ja müük hulgi- ja jaemüük. Madalaimad hinnad, allahindlused, lühikesed tootmisajad, väljumine ja spetsialisti konsultatsioon, kvaliteedi tagamine. Ettevõtte kohta saate lisateavet, vaadata tootekataloogi, hindu ja kontakte veebisaidil, mis asub aadressil: http://dkrost.ru/.

Mõnede teoreemide tõendid

2. teoreemi tõestus. Olgu ABCD etteantud trapets, AD ja BC selle alused, O selle trapetsi diagonaalide AC ja BD lõikepunkt. Tõestame, et kolmnurkade AOB ja COD pindala on sama. Selleks langetame punktidest B ja C sirgele AD ristid BP ja CQ. Siis on kolmnurga ABD pindala

Ja kolmnurga ACD pindala on

Kuna BP = CQ, siis S∆ABD = S∆ACD . Kuid kolmnurga AOB pindala on erinevus kolmnurkade ABD ja AOD pindalade vahel ning kolmnurga COD pindala on erinevus kolmnurkade ACD ja AOD pindalade vahel. Seetõttu on kolmnurkade AOB ja COD pindalad võrdsed, mida tuli tõestada.

4. teoreemi tõestus. Olgu ABCD rööpkülik, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Rakendame koosinusteoreemi kolmnurga ABD suhtes:

Rakendades nüüd koosinusteoreemi kolmnurgale ACD, saame:

Lisades termini kaupa võrdusi, saame selle Q.E.D.

Lause 5 tõestus. Olgu ABCD suvaline kumer nelinurk, E selle diagonaalide lõikepunkt, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Meil on:

Q.E.D.

6. teoreemi tõestus. Olgu ABCD suvaline nelinurk, mis on ümbritsetud ringi ümber, O selle ringi keskpunkt, OK, OL, OM ja ON on ristid, mis on langetatud punktist O sirgele AB, BC, CD ja AD vastavalt. Meil on:

kus r on ringjoone raadius ja p on nelinurga ABCD poolperimeeter.

7. teoreemi tõestus. Olgu ABCD suvaline kumer nelinurk, K, L, M ja N vastavalt külgede AB, BC, CD ja AD keskpunktid. Kuna KL on kolmnurga ABC keskjoon, on sirge KL paralleelne sirgega AC ja samamoodi on sirge MN paralleelne sirgega AC ja seetõttu on KLMN rööpkülik. Vaatleme kolmnurka KBL. Selle pindala on võrdne veerandiga kolmnurga ABC pindalast. Kolmnurga MDN pindala on samuti võrdne veerandiga kolmnurga ACD pindalast. Seega

Samuti

See tähendab et

kust see järeldub

8. teoreemi tõestus. Olgu ABCD suvaline kumer nelinurk, mille diagonaalid on üksteisega risti, olgu E selle diagonaalide lõikepunkt,
AE= a, BE = b, CE = c, DE = d. Rakenda Pythagorase teoreem kolmnurkadele ABE ja CDE:
AB2=AE2+BE2= a 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
seega,
AB2+CD2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Rakendades nüüd Pythagorase teoreemi kolmnurkadele ADE ja BCE, saame:
AD2=AE2+DE2= a 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
kust see järeldub
AD2+BC2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Seega AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , mida tuli tõestada.

Probleemi lahendamine

1. ülesanne. Trapetsi on kirjeldatud ringi lähedal, mille põhinurgad on α ja β. Leidke trapetsi pindala ja ringi pindala suhe.

Otsus. Olgu ABCD etteantud trapets, AB ja CD selle alused, DK ja CM punktidest C ja D sirgele AB langenud perpendikulaarid. Soovitud suhe ei sõltu ringi raadiusest. Seetõttu eeldame, et raadius on 1. Siis on ringi pindala π, leiame trapetsi pindala. Kuna kolmnurk ADK on täisnurkne kolmnurk,

Sarnaselt leiame täisnurksest kolmnurgast BCM, et kuna antud trapetsi saab kirjutada ringi, siis on vastaskülgede summad võrdsed:
AB + CD = AD + BC,
kust me leiame

Seega on trapetsi pindala

ja soovitud suhe on
Vastus:

2. ülesanne. Kumeras nelinurgas ABCD on nurk A 90° ja nurk C ei ületa 90°. Perpendikulaarid BE ja DF langevad tippudest B ja D diagonaalile AC. On teada, et AE = CF. Tõesta, et nurk C on täisnurk.

Tõestus. Kuna nurk A on 90°,
ja nurk C ei ületa 90°, siis asuvad punktid E ja F diagonaalil AC. Üldisust kaotamata võime eeldada, et AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Piisab, kui tõestame, et α + β + γ + δ = π. Nagu

kust me saame selle, mida tuli tõestada.

3. ülesanne. Ümberringi ümbritsetud võrdhaarse trapetsi ümbermõõt on p. Leidke selle ringi raadius, kui on teada, et trapetsi aluse teravnurk on α.
Otsus. Olgu ABCD antud võrdhaarne trapets alustega AD ja BC, BH selle trapetsi kõrgus tipust B.
Kuna antud trapetsi saab sisse kirjutada ringjoone, siis

Seega

Täisnurksest kolmnurgast ABH leiame,

Vastus:

4. ülesanne. Antud trapets ABCD alustega AD ja BC. Diagonaalid AC ja BD lõikuvad punktis O ning sirged AB ja CD lõikuvad punktis K. Sirg KO lõikab külgi BC ja AD vastavalt punktides M ja N ning nurk BAD on 30°. On teada, et trapetsidesse ABMN ja NMCD saab kirjutada ringi. Leidke kolmnurga BKC ja trapetsi ABCD pindalade suhe.

Otsus. Nagu teate, jagab suvalise trapetsi korral diagonaalide lõikepunkti ja külgmiste külgede pikenduste lõikepunkti ühendav joon iga aluse pooleks. Seega BM = MC ja AN = ND. Lisaks, kuna trapetsidesse ABMN ja NMCD saab kirjutada ringi, siis
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Sellest järeldub, et AB = CD, st trapets ABCD on võrdhaarne. Soovitav pindalade suhe ei sõltu skaalast, seega võime eeldada, et KN = x, KM = 1. Täisnurksetest kolmnurkadest AKN ja BKM saame, et ülal juba kasutatud seose ümberkirjutamine
BM + AN = AB + MN ⇔

Peame arvutama suhte:

Siin on kasutatud tõsiasja, et kolmnurkade AKD ja BKC pindalad on seotud külgede KN ja KM ruutudena, st kui x2.

Vastus:

5. ülesanne. Kumera nelinurga ABCD punktid E, F, H, G on vastavalt külgede AB, BC, CD, DA keskpunktid ning O on lõikude EH ja FG lõikepunkt. On teada, et EH = a, FG = b, Leia nelinurga diagonaalide pikkused.

Otsus. On teada, et kui ühendada suvalise nelinurga külgede keskpunktid järjestikku, saadakse rööpkülik. Meie puhul on EFHG rööpkülik ja O on selle diagonaalide lõikepunkt. Siis

Rakenda koosinusteoreem kolmnurgale FOH:

Kuna FH on kolmnurga BCD keskjoon, siis

Samamoodi, rakendades koosinusteoreemi kolmnurgale EFO, saame selle

Vastus:

6. ülesanne. Trapetsi küljed on 3 ja 5. On teada, et trapetsi saab sisse kirjutada ringjoone. Trapetsi keskjoon jagab selle kaheks osaks, mille pindalade suhe on võrdne Leia trapetsi alused.

Otsus. Olgu ABCD etteantud trapets, AB = 3 ja CD = 5 - selle küljed, punktid K ja M - vastavalt külgede AB ja CD keskpunktid. Olgu täpsuse huvides AD > BC, siis on trapetsi AKMD pindala suurem kui trapetsi KBCM pindala. Kuna KM on trapetsi ABCD keskjoon, on trapetsidel AKMD ja KBCM võrdsed kõrgused. Kuna trapetsi pindala on võrdne poole aluste summa ja kõrguse korrutisega, siis kehtib järgmine võrdsus:

Lisaks, kuna trapetsi ABCD saab sisse kirjutada ringjoone, siis AD + BC = AB + CD = 8. Siis on trapetsi ABCD keskjooneks KM = 4. Olgu BC = x, siis AD = 8 - x. Meil on:
Seega BC = 1 ja AD = 7.

Vastus: 1 ja 7.

Ülesanne 7. Trapetsi ABCD alus AB on kaks korda pikem kui alus CD ja kaks korda pikem kui külgkülg AD. Diagonaali AC pikkus on a, ja külgmise külje BC pikkus on võrdne b-ga. Leidke trapetsi pindala.

Otsus. Olgu E trapetsi külgede pikenduste lõikepunkt ja CD = x, siis AD = x, AB = 2x. Segment CD on paralleelne segmendiga AB ja kaks korda lühem, seega on CD kolmnurga ABE keskjoon. Seetõttu CE = BC = b ja DE = AD = x, millest AE = 2x. Seega on kolmnurk ABE võrdhaarne (AB = AE) ja AC on selle mediaan. Seetõttu on AC ka selle kolmnurga kõrgus ja seega

Kuna kolmnurk DEC on sarnasuse koefitsiendiga sarnane kolmnurgaga AEB, siis

Vastus:

Ülesanne 8. Trapetsi ABCD diagonaalid lõikuvad punktis E. Leidke kolmnurga BCE pindala, kui trapetsi aluste pikkused on AB = 30, DC = 24, külje pikkused AD = 3 ja nurk DAB on 60 °.

Otsus. Olgu DH trapetsi kõrgus. Kolmnurgast ADH leiame selle

Kuna kolmnurga ABC kõrgus tipust C on võrdne trapetsi kõrgusega DH, saame:

Vastus:

Ülesanne 9. Trapetsis on keskjoon 4 ja ühe aluse nurgad on 40° ja 50°. Leidke trapetsi alused, kui aluste keskpunkte ühendav segment on 1.

Otsus. Olgu ABCD etteantud trapets, AB ja CD selle alused (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Laiendame küljed DA ja CB kuni lõikepunktini E. Vaatleme kolmnurka ABE, kus ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
seega ∠AEB = 90°. Selle kolmnurga mediaan EM, mis on tõmmatud täisnurga tipust, võrdub poolega hüpotenuusist: EM = AM. Olgu EM = x, siis AM = x, DN = 4 – x. Vastavalt ülesande tingimusele MN = 1, seega
EN = x + 1. Kolmnurkade AEM ja DEN sarnasusest saame:

See tähendab, et AB = 3 ja CD = 5.

Vastus: 3 ja 5.

10. ülesanne. Kumer nelinurk ABCD on ümbritsetud ringiga, mille keskpunkt on punkt O, kusjuures AO = OC = 1, BO = OD = 2. Leidke nelinurga ABCD ümbermõõt.

Otsus. Olgu K, L, M, N selle ringi puutepunktid, mille küljed on vastavalt AB, BC, CD, DA, r - ringi raadius. Kuna ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega, on kolmnurgad AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO täisnurksed. Rakendades nendele kolmnurkadele Pythagorase teoreemi, saame selle

Seetõttu AB = BC = CD = DA, see tähendab, et ABCD on romb. Rombi diagonaalid on üksteisega risti ja nende lõikepunktiks on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Siit leiame kergesti, et rombi külg on võrdne ja seetõttu on rombi ümbermõõt võrdne

Vastus:

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

C-1. Võrdhaarne trapets ABCD on ümbritsetud ringiga, mille raadius on r. Olgu E ja K selle ringi puutepunktid trapetsi külgedega. Trapetsi aluse AB ja külje AD vaheline nurk on 60°. Tõesta, et EK on paralleelne AB-ga ja leia trapetsi ABEK pindala.
C-2. Trapetsi diagonaalid on 3 ja 5 ning aluste keskpunkte ühendav segment on 2. Leidke trapetsi pindala.
C-3. Kas nelinurga ABCD ümber on võimalik ringjoont piirata, kui ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. Trapetsis ABCD (AB on alus) moodustavad nurkade DAB, BCD, ADC, ABD ja ADB väärtused aritmeetilise progressiooni (nende kirjutamise järjekorras). Leia kaugus tipust C diagonaalini BD, kui trapetsi kõrgus on h.
C-5. Antud on võrdhaarne trapets, millesse on sisse kirjutatud ring ja mille ümber ringjoon. Trapetsi kõrguse ja piiritletud ringi raadiuse suhe on Leia trapetsi nurgad.
C-6. Ristküliku ABCD pindala on 48 ja diagonaali pikkus on 10. Tasapinnal, kus ristkülik asub, valitakse punkt O nii, et OB = OD = 13. Leidke kaugus punktist O. sellest kõige kaugemal asuva ristküliku tipuni.
C-7. Rööpküliku ABCD ümbermõõt on 26. Nurk ABC on 120°. Kolmnurka BCD kantud ringi raadius on Leia rööpküliku külgede pikkused, kui on teada, et AD > AB.
C-8. Nelinurk ABCD on kantud ringi, mille keskpunkt on punkt O. Raadius OA on risti raadiusega OB ja raadius OC on risti raadiusega OD. Punktist C sirgele AD langetatud risti pikkus on 9. Lõigu BC pikkus on pool lõigu AD pikkusest. Leidke kolmnurga AOB pindala.
C-9. Kumeras nelinurgas ABCD on tipud A ja C vastassuunalised ning külje AB pikkus on 3. Nurk ABC on nurk BCD Leia külje AD pikkus, kui tead, et nelinurga pindala on

C-10. Kumeral nelinurgal ABCD on diagonaalid AC ja BD. On teada, et
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90° ning kolmnurga ABD poolitajate lõikepunkti ja kolmnurga ACD poolitajate lõikepunkti vaheline kaugus on Leia külje BC pikkus.
C-11. Olgu M kumera nelinurga ABCD diagonaalide lõikepunkt, mille küljed AB, AD ja BC on võrdsed. Leidke nurk CMD, kui on teada, et DM = MC,
ja ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12. Nelinurga ABCD puhul teame, et ∠A = 74°, ∠D = 120°. Leidke nurk nurkade B ja C poolitajate vahel.
C-13. Ringi saab kirjutada nelinurka ABCD. Olgu K selle diagonaalide lõikepunkt. On teada, et AB > BC > KC ning kolmnurga BKC ümbermõõt ja pindala on vastavalt 14 ja 7. Leidke DC.
C-14. Ringjoone ümber piiratud trapetsi puhul on teada, et BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Leidke AB, kui trapetsi ABCD pindala on 10.
C-15. Trapetsis ABCD alustega AB ja CD on teada, et ∠CAB = 2∠DBA. Leidke trapetsi pindala.
C-16. Rööpküliku ABCD puhul teame, et AC = a, ∠CAB = 60°. Leidke rööpküliku pindala.
S-17. Nelinurga ABCD diagonaalid AC ja BD lõikuvad punktis K. Punktid L ja M on vastavalt külgede BC ja AD keskpunktid. Lõik LM sisaldab punkti K. Nelinurk ABCD on selline, et sellesse saab kirjutada ringjoone. Leidke selle ringi raadius, kui AB=3 ja LK:KM=1:3.
C-18. Kumeral nelinurgal ABCD on diagonaalid AC ja BD. Sel juhul ∠BAC =
= ∠BDC ja kolmnurga BDC ümber piiritletud ringi pindala on võrdne
a) Leidke kolmnurga ABC ümber piiratud ringjoone raadius.
b) Teades, et BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, leidke nelinurga ABCD pindala.