Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка (O) называется центром окружности
.
Радиус окружности
- это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда
- отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром
. Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности
. Дуга называется полуокружностью
, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π
.
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º
.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом
.
Круговой сектор
- часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора
.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими
.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными
.
Центральный угол
- это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол
- угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,
Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.
Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.
Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).
Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .
d = 2r
D = 2R
Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.
Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:
C = ¶d
C = 2¶r
Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.
Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.
Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.
Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.
Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.
Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.
Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.
Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.
Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .
Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Основные понятия:
Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.
Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).
Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).
Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).
Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.
Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.
1 радиан
– это угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса (рис.4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚
Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (рис.3).
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .
Длина окружности и площадь круга:
Обозначения:
Длина окружности – C
Длина диаметра – d
Длина радиуса – r
Значение
π:
Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).
22
π = -
7
Формула длины окружности:
C = πd, или C = 2πr
Формулы площади круга:
C · r
S = --
2
π · D 2
S = ---
4
Площадь кругового сектора и кругового сегмента.
Круговой сектор
– это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. πR 2 где π – постоянная величина, равная 3,1416; R – радиус круга; α – градусная мера соответствующего центрального угла. Круговой сегмент
– это общая часть круга и полуплоскости. πR 2 где α – градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента; S Δ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «минус» надо брать, когда α < 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α > 180˚. |
Уравнение окружности в декартовых координатах x , y c центром в точке (a; b ):
(x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2
Окружность, описанная около треугольника (рис.4).
Окружность, вписанная в треугольник (рис.5).
Углы, вписанные в окружность (рис.3).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность .
Основные понятия:
Угол делит плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом .
Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными .
Плоский угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис.2)
Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
Частные случаи и формулы:
1) Из точки C, находящейся вне окружности, проведем касательную к окружности и обозначим точку их соприкосновения буквой D.
Затем из той же точки C проведем секущую и точки пересечения секущей и окружности обозначим буквами А и B (рис.8).
В этом случае:
CD 2 = AC · BC
2) Проведем в окружности диаметр AB. Затем из точки C, находящейся на окружности, проведем перпендикуляр к этому диаметру и обозначим получившийся отрезок CD (рис.9).
В этом случае:
CD 2 = AD · BD.
Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.
Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.
Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.
Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.
Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.
Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D
В случае если известен радиус: L=2 πR
Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.
Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.
Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.
Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:
Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.
Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:
Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.
Формула длины окружности L=2 πR
Формула площади круга S= πR²
Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.
S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.
Окру́жность - это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, иногда этот случай исключается из определения.
1 / 5
Окружность и ее свойства (bezbotvy)
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy
Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Планиметрия. Окружности и их свойства
Математика 26. Циркуль. Окружность и круг - Шишкина школа
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. ЗАДАНИЕ 18 (С5). АРТУР ШАРИФОВ
Если окружность проходит, например, через точки A, B, C, то её обозначают указанием этих точек в круглых скобках: (A, B, C). Тогда дугу окружности, проходящую через точки A, B, C, обозначают как дуга ABC (или дуга AC), а так же υ ABC (или υ AC).
Доказательство
Пусть G {\displaystyle G} - гомотетия, переводящая малую окружность в большую. Тогда ясно, что A 1 {\displaystyle A_{1}} является центром этой гомотетии. Тогда прямая B C {\displaystyle BC} перейдет в какую-то прямую a {\displaystyle a} , касающуюся большой окружности, а A 2 {\displaystyle A_{2}} перейдет в точку на этой прямой и принадлежащей большой окружности. Вспомнив, что гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые, понимаем, что a ∥ B C {\displaystyle a\parallel BC} . Пусть G (A 2) = A 3 {\displaystyle G(A_{2})=A_{3}} и D {\displaystyle D} - точка на прямой a {\displaystyle a} , такая, что - острый, а E {\displaystyle E} - такая точка на прямой a {\displaystyle a} , что ∠ B A 3 E {\displaystyle \angle BA_{3}E} - острый. Тогда, так как a {\displaystyle a} - касательная к большой окружности ∠ C A 3 D {\displaystyle \angle CA_{3}D} = {\displaystyle =} ∠ C B A 3 {\displaystyle \angle CBA_{3}} = ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 {\displaystyle =\angle BA_{3}E=\angle BCA_{3}} . Следовательно △ B C A 3 {\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3}} - равнобедренный, а значит ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 {\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3}} , то есть A 1 A 2 {\displaystyle A_{1}A_{2}} - биссектриса угла ∠ B A 1 C {\displaystyle \angle BA_{1}C} .
Теорема Декарта" утверждает, что радиусы любых четырёх взаимно касающихся окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению . Их иногда называют окружностями Содди .
Уравнение окружности, проходящей через точки (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),} не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):
| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.} { x = x 0 + R cos φ y = y 0 + R sin φ , 0 ⩽ φ < 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}В декартовой системе координат окружность не является графиком функции , но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:
y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 . {\displaystyle y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.}Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:
y = ± R 2 − x 2 . {\displaystyle y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.}Окружность радиуса R {\displaystyle R} с центром в точке (ρ 0 , ϕ 0) {\displaystyle \left(\rho _{0},\phi _{0}\right)} .