Kontynuujemy studiowanie tematu ” rozwiązywanie równań" Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.
Najpierw przyjrzymy się, czym jest równanie kwadratowe i jak się je zapisuje widok ogólny i podać powiązane definicje. Następnie na przykładach szczegółowo zbadamy, w jaki sposób rozwiązuje się niekompletne problemy. równania kwadratowe. Następnie przejdziemy do rozwiązywania pełnych równań, uzyskamy wzór na pierwiastek, zapoznamy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważymy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami.
Nawigacja strony.
Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także powiązanych definicji. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: równania zredukowane i nieredukowane, a także równania pełne i niekompletne.
Definicja.
Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.
Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Wynika to z faktu, że równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.
Podana definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Zatem 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. Są to równania kwadratowe.
Definicja.
Takty muzyczne a, b i c nazywane są współczynniki równania kwadratowego a·x 2 +b·x+c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, lub współczynnikiem x 2, b jest drugim współczynnikiem, czyli współczynnikiem x, a c jest wyrazem wolnym .
Weźmy na przykład równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x −3=0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik jest równy −2, a wyraz wolny jest równy −3. Należy zauważyć, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wówczas krótka forma zapisując równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.
Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i/lub b są równe 1 lub -1, zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki zapisywania takich . Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0 współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik y jest równy −1.
W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane. Podajmy odpowiednie definicje.
Definicja.
Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik wiodący wynosi 1 dane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe ma postać nietknięty.
Według tę definicję, równania kwadratowe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – biorąc pod uwagę, że w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich współczynniki wiodące są różne od 1.
Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie strony przez współczynnik wiodący, można przejść do równania zredukowanego. Działanie to jest transformacją równoważną, to znaczy otrzymane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne nieredukowane równanie kwadratowe, lub podobnie jak ono nie ma pierwiastków.
Spójrzmy na przykład, jak dokonuje się przejścia z nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.
Przykład.
Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.
Rozwiązanie.
Musimy tylko podzielić obie strony pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on różny od zera, abyśmy mogli wykonać to działanie. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, czyli to samo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a następnie (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, skąd . W ten sposób otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.
Odpowiedź:
Definicja równania kwadratowego zawiera warunek a≠0. Warunek ten jest niezbędny, aby równanie a x 2 + b x + c = 0 było kwadratowe, ponieważ gdy a = 0, faktycznie staje się równaniem liniowym w postaci b x + c = 0.
Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno indywidualnie, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.
Definicja.
Nazywa się równaniem kwadratowym a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.
Z kolei
Definicja.
Pełne równanie kwadratowe jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.
Takie nazwy nie zostały nadane przypadkowo. Stanie się to jasne po następujących dyskusjach.
Jeżeli współczynnik b wynosi zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a·x 2 +0·x+c=0 i jest równoważne równaniu a·x 2 +c=0. Jeżeli c=0, czyli równanie kwadratowe ma postać a·x 2 +b·x+0=0, to można je przepisać jako a·x 2 +b·x=0. A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Powstałe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.
Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi.
Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że tak trzy typy niepełnych równań kwadratowych:
Przyjrzyjmy się po kolei, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.
Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań w postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału poprzez podzielenie obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 = 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 = 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co tłumaczy się faktem, że dla dowolnej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 > 0, co oznacza, że dla p ≠0 równość p 2 = 0 nigdy nie jest osiągnięta.
Zatem niekompletne równanie kwadratowe a·x 2 =0 ma pojedynczy pierwiastek x=0.
Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4 x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 = 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x = 0, dlatego pierwotne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.
Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można zapisać w następujący sposób:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .
Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero, a c≠0, czyli równania w postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:
Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego pierwiastków. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2, to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6, wtedy ), nie jest równa zeru , ponieważ zgodnie z warunkiem c≠0. Przyjrzyjmy się przypadkom osobno.
Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.
Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętamy o , pierwiastek równania od razu staje się oczywisty; Łatwo zgadnąć, że liczba ta jest w istocie także pierwiastkiem równania. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez sprzeczność. Zróbmy to.
Oznaczmy pierwiastki równania właśnie ogłoszonego jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2, inny niż wskazane pierwiastki x 1 i −x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków do równania zamiast x powoduje, że równanie staje się poprawną równością liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Właściwości równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie poprawnych równości liczbowych, zatem odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 −x 2 2 =0. Właściwości operacji na liczbach pozwalają nam zapisać otrzymaną równość jako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0, czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 =−x 1. Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .
Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu to
Rozważmy przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0.
Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0. Po przesunięciu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, otrzymujemy . Ponieważ prawa strona ma liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 +7 = 0 nie ma pierwiastków.
Rozwiążmy kolejne niekompletne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę: −x 2 = −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 = 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub . Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.
Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0. Niekompletne równania kwadratowe postaci a x 2 + b x = 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny współczynnik x z nawiasów. Pozwala nam to przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania w postaci x·(a·x+b)=0. Równanie to jest równoważne zbiorowi dwóch równań x=0 i a·x+b=0, z których drugie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a.
Zatem niepełne równanie kwadratowe a·x 2 +b·x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.
Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie na konkretnym przykładzie.
Przykład.
Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie.
Usunięcie x z nawiasów daje równanie . Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , i wykonujemy dzielenie liczba mieszana do zwykłego ułamka, znajdujemy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .
Po nabyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można w skrócie zapisać:
Odpowiedź:
x=0 , .
Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy to wzór na pierwiastki równania kwadratowego: , Gdzie D=b 2 −4 za do- tzw dyskryminator równania kwadratowego. Wpis zasadniczo to oznacza.
Warto wiedzieć, w jaki sposób wyprowadzono wzór na pierwiastek i jak można go wykorzystać do znalezienia pierwiastków równań kwadratowych. Rozwiążmy to.
Musimy rozwiązać równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0. Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:
W rezultacie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0.
Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy to sprawdzaliśmy. Pozwala nam to wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:
Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a zatem pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia wyznacza znak licznika, gdyż mianownik 4·a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4·a·c. To wyrażenie b 2 −4 a c zostało nazwane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczony literą D. Stąd jasna jest istota dyskryminatora - na podstawie jego wartości i znaku wnioskują, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.
Wróćmy do równania i przepiszmy je stosując notację dyskryminacyjną: . I wyciągamy wnioski:
Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, które wyglądają jak , gdzie dyskryminator D oblicza się ze wzoru D=b 2 −4·a·c.
Za ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, oba wzory dają tę samą wartość pierwiastka, odpowiadającą jedyne rozwiązanie równanie kwadratowe. A w przypadku ujemnego dyskryminatora, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyodrębnieniem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadza nas poza zakres i program szkolny. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć, korzystając z tych samych wzorów na pierwiastki, które otrzymaliśmy.
W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek w celu obliczenia ich wartości. Ale jest to bardziej związane ze znalezieniem złożonych korzeni.
Jednak na szkolnym kursie algebry zazwyczaj tak jest o czym mówimy nie o kompleksie, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw znaleźć dyskryminator, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), i dopiero wtedy obliczyć wartości pierwiastków.
Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0, należy:
Tutaj po prostu zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, możesz również użyć wzoru, który da tę samą wartość co .
Można przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.
Rozważmy rozwiązania trzech równań kwadratowych z wyróżnikiem dodatnim, ujemnym i zerowym. Po zapoznaniu się z ich rozwiązaniem analogicznie możliwe będzie rozwiązanie dowolnego innego równania kwadratowego. Zacznijmy.
Przykład.
Znajdź pierwiastki równania x 2 +2·x−6=0.
Rozwiązanie.
W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1, b=2 i c=−6. Zgodnie z algorytmem należy najpierw obliczyć dyskryminator; w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminacyjnego, który mamy D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je za pomocą wzoru głównego, otrzymamy , tutaj możesz uprościć wynikowe wyrażenia, wykonując przesunięcie mnożnika poza znak pierwiastka a następnie redukcja ułamka:
Odpowiedź:
Przejdźmy do następnego typowego przykładu.
Przykład.
Rozwiąż równanie kwadratowe −4 x 2 +28 x−49=0 .
Rozwiązanie.
Zaczynamy od znalezienia dyskryminatora: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , to znaczy
Odpowiedź:
x=3,5.
Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.
Przykład.
Rozwiąż równanie 5·y 2 +6·y+2=0.
Rozwiązanie.
Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5, b=6 i c=2. Podstawiamy te wartości do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.
Jeśli chcesz określić złożone korzenie, użyj dobrze znana formuła pierwiastki równania kwadratowego i wykonaj działania z liczby zespolone
:
Odpowiedź:
nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .
Zauważmy jeszcze raz, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to w szkole zwykle od razu zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie znaleziono pierwiastków zespolonych.
Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D=b 2 −4·a·c pozwala otrzymać wzór w postaci bardziej zwartej, pozwalającej na rozwiązywanie równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem dla x (lub po prostu z współczynnik w postaci na przykład 2·n lub 14·ln5=2,7·ln5 ). Wyciągnijmy ją.
Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe w postaci a x 2 +2 n x+c=0. Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanego nam wzoru. W tym celu obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 za c=4 n 2 −4 za c=4 (n 2 −a do), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:
Oznaczmy wyrażenie n 2 −ac jako D 1 (czasami jest to oznaczone jako D „). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać 
, gdzie D 1 = n 2 −a·c.
Łatwo zauważyć, że D=4·D 1, czyli D 1 =D/4. Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest oczywiste, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.
Zatem, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2·n, potrzebujesz
Rozważmy rozwiązanie przykładu, korzystając ze wzoru na pierwiastek uzyskanego w tym akapicie.
Przykład.
Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 −6 x −32=0 .
Rozwiązanie.
Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . Oznacza to, że możesz przepisać pierwotne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tutaj a=5, n=−3 i c=−32 i obliczyć czwartą część dyskryminujący: re 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdźmy je, korzystając z odpowiedniego wzoru na pierwiastek:
Należy zauważyć, że możliwe było użycie zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku konieczne byłoby wykonanie większej pracy obliczeniowej.
Odpowiedź:
Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania?” Zgadzam się, że pod względem obliczeniowym łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x−6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0.
Zazwyczaj uproszczenie postaci równania kwadratowego osiąga się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu stron przez określoną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie można było uprościć równanie 1100 x 2 −400 x −600=0 dzieląc obie strony przez 100.
Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie strony równania są zwykle dzielone przez wartości bezwzględne jego współczynników. Weźmy na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: NWD(12, 42, 48)= NWD(NWD(12, 42), 48)= NWD(6, 48)=6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x+8=0.
Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane w celu pozbycia się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się przez mianowniki jego współczynników. Na przykład, jeśli obie strony równania kwadratowego pomnożymy przez LCM(6, 3, 1)=6, wówczas przyjmiemy prostszą postać x 2 +4·x−18=0.
Podsumowując ten punkt, zauważamy, że prawie zawsze pozbywają się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada mnożeniu (lub dzieleniu) obu stron przez -1. Na przykład zwykle przechodzi się od równania kwadratowego −2 x 2 −3 x+7=0 do rozwiązania 2 x 2 +3 x−7=0 .
Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki. Na podstawie wzoru na pierwiastek można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.
Najbardziej znane i mające zastosowanie wzory z twierdzenia Viety mają postać i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 −7 x + 22 = 0, możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 /3.
Korzystając z już napisanych wzorów, można uzyskać szereg innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić poprzez jego współczynniki: .
Referencje.
Dyskryminator to termin wielowartościowy. W tym artykule porozmawiamy o dyskryminatorze wielomianu, który pozwala określić, czy dany wielomian ma prawidłowe rozwiązania. Wzór na wielomian kwadratowy można znaleźć na szkolnym kursie algebry i analizy. Jak znaleźć dyskryminator? Co jest potrzebne do rozwiązania równania?
Nazywa się wielomianem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia i * w ^ 2 + j * w + k równa się 0, gdzie „i” i „j” to odpowiednio pierwszy i drugi współczynnik, „k” to stała, czasami nazywana „terminem odrzucającym”, a „w” jest zmienną. Jego pierwiastkami będą wszystkie wartości zmiennej, przy której zamienia się w tożsamość. Taką równość można przepisać jako iloczyn i, (w - w1) i (w - w2) równy 0. W tym przypadku jest oczywiste, że jeśli współczynnik „i” nie osiągnie zera, to funkcja na lewa strona stanie się zerem tylko wtedy, gdy x przyjmie wartość w1 lub w2. Wartości te są wynikiem ustawienia wielomianu na zero.
Aby znaleźć wartość zmiennej, przy której zanika wielomian kwadratowy, stosuje się konstrukcję pomocniczą zbudowaną na jej współczynnikach i zwaną dyskryminatorem. Ten projekt jest obliczany według wzoru D równa się j * j - 4 * i * k. Dlaczego jest używany?
Jak ta wartość pokazuje obecność rzeczywistych pierwiastków:
Dla sumy (7 * w^2; 3 * w; 1) równej 0 Obliczamy D za pomocą wzoru 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, otrzymujemy -19. Wartość wyróżnika poniżej zera wskazuje, że w rzeczywistej linii nie ma żadnych wyników.
Jeśli weźmiemy pod uwagę, że 2 * w^2 - 3 * w + 1 jest równoważne 0, wówczas D oblicza się jako (-3) kwadrat minus iloczyn liczb (4; 2; 1) i równa się 9 - 8, czyli 1. Wartość dodatnia oznacza dwa wyniki na prostej rzeczywistej.
Jeśli weźmiemy sumę (w ^ 2; 2 * w; 1) i przyrównamy ją do 0, D oblicza się jako dwa kwadraty minus iloczyn liczb (4; 1; 1). To wyrażenie zostanie uproszczone do 4 - 4 i osiągnie zero. Okazuje się, że wyniki są takie same. Jeśli przyjrzysz się bliżej tej formule, stanie się jasne, że jest to „pełny kwadrat”. Oznacza to, że równość można zapisać w postaci (w + 1) ^ 2 = 0. Stało się oczywiste, że wynikiem tego problemu jest „-1”. W sytuacji, gdy D jest równe 0, lewą stronę równości można zawsze zwinąć, korzystając ze wzoru „kwadrat sumy”.
Ta pomocnicza konstrukcja nie tylko pokazuje liczbę rzeczywistych rozwiązań, ale także pomaga je znaleźć. Ogólna formuła Obliczenie równania drugiego stopnia wygląda następująco:
w = (-j +/- d) / (2 * i), gdzie d jest dyskryminatorem potęgi 1/2.
Powiedzmy, że dyskryminator jest poniżej zera, wówczas d jest urojone, a wyniki są urojone.
D wynosi zero, wówczas d równe D do potęgi 1/2 również wynosi zero. Rozwiązanie: -j / (2 * i). Ponownie rozważając 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, otrzymujemy wyniki równoważne -2 / (2 * 1) = -1.
Załóżmy, że D > 0, wówczas d jest liczbą rzeczywistą, a odpowiedź tutaj dzieli się na dwie części: w1 = (-j + d) / (2 * i) i w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Obydwa wyniki będą ważne. Spójrzmy na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Tutaj wyróżnik i d są jedynekami. Okazuje się, że w1 jest równe (3 + 1) podzielone przez (2 * 2) lub 1, a w2 jest równe (3 - 1) podzielone przez 2 * 2 lub 1/2.
Wynik przyrównania wyrażenia kwadratowego do zera oblicza się według algorytmu:
W zależności od współczynników rozwiązanie może być nieco uproszczone. Oczywiście, jeśli współczynnik zmiennej do drugiej potęgi wynosi zero, wówczas uzyskuje się równość liniową. Gdy współczynnik zmiennej do pierwszej potęgi wynosi zero, wówczas możliwe są dwie opcje:
Jeśli wolny termin wynosi zero, wówczas pierwiastki będą (0; -j)
Istnieją jednak inne szczególne przypadki, które ułatwiają znalezienie rozwiązania.
To, co dane, nazywa się taki trójmian kwadratowy, w którym współczynnik składnika wiodącego wynosi jeden. W tej sytuacji ma zastosowanie twierdzenie Viety, które stwierdza, że suma pierwiastków jest równa współczynnikowi zmiennej do pierwszej potęgi pomnożonemu przez -1, a iloczyn odpowiada stałej „k”.
Dlatego w1 + w2 równa się -j i w1 * w2 równa się k, jeśli pierwszy współczynnik wynosi jeden. Aby sprawdzić poprawność tej reprezentacji, możesz wyrazić w2 = -j - w1 z pierwszej formuły i podstawić ją do drugiej równości w1 * (-j - w1) = k. Rezultatem jest pierwotna równość w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Ważne, aby pamiętać, że i * w ^ 2 + j * w + k = 0 można uzyskać dzieląc przez „i”. Wynik będzie następujący: w^2 + j1 * w + k1 = 0, gdzie j1 jest równe j/i, a k1 jest równe k/i.
Spójrzmy na już rozwiązane 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 z wynikami w1 = 1 i w2 = 1/2. Musimy podzielić to na pół, w rezultacie w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Sprawdźmy, czy warunki twierdzenia są prawdziwe dla znalezionych wyników: 1 + 1/2 = 3/ 2 i 1*1/2 = 1/2.
Jeżeli współczynnik zmiennej do pierwszej potęgi (j) jest podzielny przez 2, wówczas będzie można uprościć wzór i szukać rozwiązania poprzez jedną czwartą dyskryminatora D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. okazuje się, że w = (-j +/- d/2) / i, gdzie d/2 = D/4 do potęgi 1/2.
Jeżeli i = 1, a współczynnik j jest parzysty, to rozwiązaniem będzie iloczyn -1 i połowy współczynnika zmiennej w plus/minus pierwiastek kwadratowy tej połowy minus stała „k”. Wzór: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.
Dyskryminator trójmianu drugiego stopnia omówiony powyżej jest najczęściej używanym przypadkiem specjalnym. W ogólnym przypadku dyskryminatorem wielomianu jest pomnożone kwadraty różnic pierwiastków tego wielomianu. Dlatego dyskryminator równy zero wskazuje na obecność co najmniej dwóch wielokrotnych rozwiązań.
Rozważmy i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.
re = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.
Załóżmy, że dyskryminator jest większy od zera. Oznacza to, że w obszarze liczb rzeczywistych istnieją trzy pierwiastki. Przy zera istnieje wiele rozwiązań. Jeśli D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
W naszym filmie szczegółowo opowiemy o obliczaniu dyskryminatora.
Nie otrzymałeś odpowiedzi na swoje pytanie? Zaproponuj temat autorom.
Równania kwadratowe uczymy się w ósmej klasie, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest absolutnie konieczna.
Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.
Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania należy pamiętać, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:
Jest to istotna różnica między równaniami kwadratowymi a równaniami liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak ustalić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś cudownego - dyskryminujący.
Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 - 4ac.
Tę formułę musisz znać na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz istotne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: po znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:
Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu wielu ludzi uważa. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:
Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0.
Wypiszmy współczynniki pierwszego równania i znajdźmy dyskryminator:
a = 1, b = -8, c = 12;
re = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
Zatem dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w podobny sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
re = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.
Dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ostatnie równanie jakie pozostało to:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.
Dyskryminator wynosi zero - pierwiastek będzie wynosić jeden.
Należy pamiętać, że dla każdego równania zapisano współczynniki. Tak, jest długi, tak, jest nudny, ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.
Nawiasem mówiąc, jeśli opanujesz tę czynność, po pewnym czasie nie będziesz musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje będziesz wykonywać w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - ogólnie rzecz biorąc, nie tak dużo.
Przejdźmy teraz do samego rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć korzystając ze wzorów:
Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego
Gdy D = 0, możesz użyć dowolnego z tych wzorów - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
Pierwsze równanie:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ za = 1; b = -2; c = -3;
re = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.
D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:
Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = -2; c = 15;
re = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ równanie ponownie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można zastosować dowolną formułę. Na przykład pierwszy:
Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i potrafisz liczyć, nie będzie żadnych problemów. Najczęściej błędy pojawiają się przy podstawieniu do wzoru współczynników ujemnych. Tutaj znowu pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, zapisz każdy krok - a już wkrótce pozbędziesz się błędów.
Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:
Łatwo zauważyć, że w równaniach tych brakuje jednego z członów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie wymagają nawet obliczania dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:
Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu wolnego jest równy zero.
Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b = c = 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 = 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x = 0.
Rozważmy pozostałe przypadki. Niech b = 0, wówczas otrzymamy niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 + c = 0. Przekształćmy to trochę:
Od arytmetyki pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a) ≥ 0. Wniosek:
Jak widać, dyskryminator nie był wymagany — w niekompletnych równaniach kwadratowych nie ma żadnych skomplikowanych obliczeń. Właściwie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c /a) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli będzie ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.
Przyjrzyjmy się teraz równaniom postaci ax 2 + bx = 0, w których element wolny jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:
Wyjmując wspólny czynnik z nawiasówIloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. To stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, spójrzmy na kilka z tych równań:
Zadanie. Rozwiązuj równania kwadratowe:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.
4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki pierwiastków rzeczywistych, wielokrotnych i zespolonych. Faktoryzacja trójmian kwadratowy. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoringu.
Rozważ równanie kwadratowe:
(1)
.
Pierwiastki równania kwadratowego(1) wyznaczane są według wzorów:
;
.
Formuły te można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (rozłożony na czynniki):
.
Następnie zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważmy dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
;
.
Wówczas rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator jest równy zero, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminator jest ujemny, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa zespolone pierwiastki sprzężone:
;
.
Oto jednostka urojona;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
;
.
Następnie
.
Jeśli budujesz wykres funkcji
,
co jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
W punkcie wykres przecina oś x (oś) w dwóch punktach.
Kiedy , wykres dotyka osi x w jednym punkcie.
Kiedy , wykres nie przecina osi x.
Poniżej znajdują się przykłady takich wykresów.
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Wykonujemy przekształcenia i stosujemy wzory (f.1) i (f.3):
,
Gdzie
;
.
Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
To pokazuje, że równanie
wystąpił o godz
I .
Oznacza to, że i są pierwiastkami równania kwadratowego
.
(1.1)
.
.
Porównując z naszym równaniem (1.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.
Stąd otrzymujemy rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:
.
Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Przecina oś odciętej (oś) w dwóch punktach:
I .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).
;
;
.
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1)
.
Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
Porównując z pierwotnym równaniem (2.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.
Wtedy rozkład na czynniki trójmianu ma postać:
.
Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.
Narysujmy funkcję
.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Punkt ten jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest uwzględniony dwukrotnie:
,
wtedy taki pierwiastek nazywa się zwykle wielokrotnością. Oznacza to, że wierzą, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.
;
.
Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1)
.
Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1)
.
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
Porównując z (1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Dyskryminator jest ujemny, .
Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.
;
;
.
Możesz znaleźć złożone korzenie:
.
Następnie
Narysujmy funkcję
.
Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.
Wykres tej funkcji jest parabolą. Nie przecina osi x (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.
;
;
.
Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie: Równanie kwadratowe to równanie, które wygląda topór 2 + dx + c = 0 . To ma znaczenie a, c I Z dowolne liczby i A
nie równe zeru.
Wszystkie równania kwadratowe są podzielone na kilka typów, a mianowicie:
-Równania z dwoma różnymi pierwiastkami.
-Równania, w których w ogóle nie ma pierwiastków.
To jest to, co odróżnia równania liniowe w którym pierwiastek jest zawsze taki sam, od kwadratu. Aby zrozumieć, ile pierwiastków jest w wyrażeniu, potrzebujesz Dyskryminator równania kwadratowego.
Załóżmy, że nasze równanie to ax 2 + dx + c =0. Oznacza dyskryminator równania kwadratowego -
re = b 2 - 4 ac
I o tym należy pamiętać na zawsze. Za pomocą tego równania wyznaczamy liczbę pierwiastków w równaniu kwadratowym. A robimy to w ten sposób:
Gdy D jest mniejsze od zera, równanie nie ma pierwiastków.
- Gdy D wynosi zero, istnieje tylko jeden pierwiastek.
- Gdy D jest większe od zera, równanie ma dwa pierwiastki.
Pamiętaj, że dyskryminator pokazuje, ile pierwiastków jest w równaniu, bez zmiany znaków.
Rozważmy dla jasności:
Musimy dowiedzieć się, ile pierwiastków jest w tym równaniu kwadratowym.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x2 + 3x +7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Wprowadzamy wartości do pierwszego równania i znajdujemy dyskryminator.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Dyskryminator ma znak plus, co oznacza, że w tej równości są dwa pierwiastki.
To samo robimy z drugim równaniem
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Wartość jest ujemna, co oznacza, że w tej równości nie ma pierwiastków.
Rozwińmy poniższe równanie przez analogię.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
w konsekwencji mamy jeden pierwiastek w równaniu.
Ważne jest, abyśmy w każdym równaniu wypisali współczynniki. Oczywiście nie jest to proces bardzo długi, ale pomógł nam nie pomylić się i zapobiegł występowaniu błędów. Jeśli bardzo często rozwiązujesz podobne równania, możesz wykonać obliczenia w myślach i z góry wiedzieć, ile pierwiastków ma równanie.
Spójrzmy na inny przykład:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Rozłóżmy pierwszy
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, czyli więcej niż zero, czyli dwa pierwiastki, wyprowadźmy je
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Układamy drugi
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, co jest większe od zera i ma również dwa pierwiastki. Wypiszmy je:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Układamy trzeci
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, które jest równe zeru i ma jeden pierwiastek
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Rozwiązanie tych równań nie jest trudne.
Jeśli otrzymamy niekompletne równanie kwadratowe. Jak na przykład
1x2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Równania te różnią się od powyższych, ponieważ nie są kompletne, nie mają trzeciej wartości. Ale mimo to jest to prostsze niż pełne równanie kwadratowe i nie ma potrzeby szukać w nim wyróżnika.
Co zrobić, gdy jest to pilnie potrzebne praca lub esej, ale nie masz czasu na jego pisanie? Wszystko to i wiele więcej można zamówić na stronie Deeplom.by (http://deeplom.by/) i uzyskać najwyższy wynik.
