Schody. Grupa wstępna. Materiały. Drzwi. Zamki. Projekt

10.1. Pojęcia ogólne i definicje

schylać się- jest to rodzaj obciążenia, w którym pręt jest obciążony momentami w płaszczyznach przechodzących przez oś podłużną pręta.

Pręt, który pracuje w zginaniu, nazywany jest belką (lub belką). W przyszłości rozważymy belki proste, których przekrój ma co najmniej jedną oś symetrii.

W przypadku odporności materiałów zginanie jest płaskie, ukośne i złożone.

płaski zakręt- zginanie, w którym wszystkie siły zginające belkę leżą w jednej z płaszczyzn symetrii belki (w jednej z głównych płaszczyzn).

Głównymi płaszczyznami bezwładności belki są płaszczyzny przechodzące przez główne osie przekroje oraz geometryczna oś belki (oś x).

ukośne zagięcie- zginanie, w którym obciążenia działają w jednej płaszczyźnie, która nie pokrywa się z głównymi płaszczyznami bezwładności.

Skomplikowany zakręt - zginanie, w którym obciążenia działają w różnych (dowolnych) płaszczyznach.

10.2. Wyznaczanie wewnętrznych sił zginających

Rozważmy dwa charakterystyczne przypadki zginania: w pierwszym przypadku belka wspornikowa jest zginana przez moment skupiony Mo; w drugim, przez skupioną siłę F.

Korzystając z metody przekrojów myślowych i zestawiając równania równowagi dla odciętych części belki, wyznaczamy siły wewnętrzne w obu przypadkach:

Pozostałe równania równowagi są oczywiście identycznie równe zeru.

Tak więc w ogólnym przypadku płaskiego zginania w przekroju belki z sześciu sił wewnętrznych powstają dwie - moment zginający Mz i siła ścinająca Qy (lub przy zginaniu wokół innej osi głównej - moment zginający My i siła poprzeczna Qz).

W tym przypadku, zgodnie z dwoma rozpatrywanymi przypadkami obciążenia, płaski zakręt można podzielić na czyste i poprzeczne.

Czysty zakręt- zginanie płaskie, w którym tylko jedna z sześciu sił wewnętrznych powstaje w odcinkach pręta - moment zginający (patrz przypadek pierwszy).

zgięcie poprzeczne- zginanie, w którym oprócz wewnętrznego momentu zginającego w odcinkach pręta powstaje również siła poprzeczna (patrz drugi przypadek).

Ściśle mówiąc, do proste gatunki dotyczy tylko oporu czysty zakręt; zginanie poprzeczne jest warunkowo określane jako proste rodzaje wytrzymałości, ponieważ w większości przypadków (dla wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych.

Przy określaniu sił wewnętrznych będziemy przestrzegać następna reguła oznaki:

1) siła poprzeczna Qy jest uważana za dodatnią, jeśli ma tendencję do obracania rozpatrywanego elementu belkowego zgodnie z ruchem wskazówek zegara;

2) moment zginający Mz uznaje się za dodatni, jeżeli przy zginaniu elementu belkowego górne włókna elementu są ściskane, a włókna dolne rozciągane (reguła parasolowa).

Zatem rozwiązanie zadania wyznaczania sił wewnętrznych podczas zginania zostanie zbudowane zgodnie z następującym planem: 1) w pierwszym etapie, biorąc pod uwagę warunki równowagi całej konstrukcji, wyznaczamy w razie potrzeby nieznane reakcje podpór (zwróć uwagę, że dla belki wspornikowej reakcje w osadzeniu można znaleźć i nie znaleźć, jeśli rozważymy belkę z wolnego końca); 2) w drugim etapie wybieramy charakterystyczne przekroje belki, przyjmując jako granice przekrojów punkty przyłożenia sił, punkty zmiany kształtu lub wymiarów belki, punkty mocowania belki; 3) w trzecim etapie wyznaczamy siły wewnętrzne w przekrojach belki, biorąc pod uwagę warunki równowagi elementów belki w każdym z przekrojów.

10.3. Zależności różniczkowe w zginaniu

Ustalmy pewne zależności między siłami wewnętrznymi a obciążeniami zewnętrznymi podczas zginania, a także cechy diagramy Q i M, których znajomość ułatwi konstruowanie diagramów i pozwoli kontrolować ich poprawność. Dla wygody zapisu będziemy oznaczać: M≡Mz, Q≡Qy.

Przydzielmy mały element dx w przekroju belki z dowolnym obciążeniem w miejscu, w którym nie występują siły i momenty skupione. Ponieważ cała belka jest w równowadze, element dx również będzie w równowadze pod działaniem przyłożonych do niego sił. siły poprzeczne, momenty zginające i obciążenie zewnętrzne. Ponieważ Q i M generalnie różnią się wzdłuż

osi belki, to w przekrojach elementu dx będą działać siły poprzeczne Q i Q + dQ, a także momenty zginające M i M + dM. Z warunku równowagi wybranego elementu otrzymujemy

Pierwsze z dwóch zapisanych równań daje warunek

Z drugiego równania, pomijając wyraz q dx (dx/2) jako nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu, znajdujemy

Rozważając wyrażenia (10.1) i (10.2) razem możemy otrzymać

Relacje (10.1), (10.2) i (10.3) nazywane są różniczkami zależności D. I. Żurawskiego w zginaniu.

Analiza powyższych zależności różniczkowych przy zginaniu pozwala ustalić pewne cechy (reguły) konstruowania wykresów momentów zginających i sił ścinających: a - w obszarach, gdzie nie występuje obciążenie rozłożone q, wykresy Q ograniczają się do prostych równoległych do podstawa, a diagramy M to nachylone linie proste; b - w przekrojach, w których do belki przykładane jest obciążenie rozłożone q, wykresy Q są ograniczone nachylonymi liniami prostymi, a wykresy M są ograniczone parabolami kwadratowymi.

W tym przypadku, jeśli zbudujemy diagram M „na rozciągniętym włóknie”, to wypukłość paraboli będzie skierowana w kierunku działania q, a ekstremum będzie znajdować się w odcinku, w którym diagram Q przecina podstawę linia; c - w odcinkach, gdzie na belkę działa siła skupiona, na wykresie Q będą skoki o wartość i w kierunku tej siły, a na wykresie M załamania, końcówka skierowana w kierunku tej siły siła; d - w odcinkach, w których na belkę działa moment skupiony, na wykresie Q nie będzie zmian, a na wykresie M będą skoki o wartość tego momentu; e - w przekrojach, gdzie Q>0 moment M wzrasta, aw przekrojach, gdzie Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Naprężenia normalne przy czystym zginaniu belki prostej

Rozważmy przypadek czystego płaskiego zginania belki i wyprowadźmy wzór na wyznaczenie naprężeń normalnych dla tego przypadku.

Należy zauważyć, że w teorii sprężystości możliwe jest uzyskanie dokładnej zależności dla naprężeń normalnych w czystym zginaniu, ale aby rozwiązać ten problem metodami wytrzymałości materiałów, konieczne jest wprowadzenie pewnych założeń.

Istnieją trzy takie hipotezy dotyczące zginania:

a - hipoteza płaskich przekrojów (hipoteza Bernoulliego) - przekroje są płaskie przed odkształceniem i pozostają płaskie po odkształceniu, ale obracają się tylko wokół pewnej linii, którą nazywamy neutralną osią przekroju belki. W tym przypadku włókna belki leżące po jednej stronie osi neutralnej zostaną rozciągnięte, a po drugiej ściśnięte; włókna leżące na osi neutralnej nie zmieniają swojej długości;

b - hipoteza stałości naprężeń normalnych - naprężenia działające w tej samej odległości y od osi neutralnej są stałe na całej szerokości belki;

c – hipoteza o braku nacisków bocznych – sąsiednie włókna podłużne nie naciskają na siebie.

Statyczna strona problemu

Aby określić naprężenia w przekrojach poprzecznych belki, rozważamy przede wszystkim statyczne strony problemu. Stosując metodę przekrojów myślowych i zestawiając równania równowagi dla odciętej części belki, znajdujemy siły wewnętrzne podczas zginania. Jak pokazano wcześniej, jedyną siłą wewnętrzną działającą w przekroju pręta przy czystym zginaniu jest wewnętrzny moment zginający, co oznacza, że ​​pojawią się tutaj naprężenia normalne z nim związane.

Zależność między siłami wewnętrznymi a naprężeniami normalnymi w przekroju belki znajdujemy, biorąc pod uwagę naprężenia na powierzchni elementarnej dA, wybranej w przekroju A belki w punkcie o współrzędnych y i z (oś y jest skierowana w dół dla ułatwienia analizy):

Jak widać, problem jest wewnętrznie statycznie niewyznaczalny, ponieważ nie jest znany charakter rozkładu naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym. Aby rozwiązać problem, rozważ geometryczny wzór deformacji.

Geometryczna strona problemu

Rozważ odkształcenie elementu belkowego o długości dx wybranego z pręta zginającego w dowolnym punkcie o współrzędnej x. Biorąc pod uwagę wcześniej przyjętą hipotezę płaskich przekrojów, po zgięciu przekroju belki obróci się względem osi neutralnej (n.r.) o kąt dϕ, podczas gdy włókno ab znajdujące się w odległości y od osi neutralnej zamieni się w łukiem kołowym a1b1, a jego długość zmieni się o pewien rozmiar. Przypomnijmy tutaj, że długość włókien leżących na osi neutralnej nie zmienia się, dlatego łuk a0b0 (którego promień krzywizny oznaczamy przez ρ) ma taką samą długość jak odcinek a0b0 przed odkształceniem a0b0=dx.

Znajdźmy względne odkształcenie liniowe εx włókna ab belki zakrzywionej.

Hipoteza płaskich przekrojów przy zginaniu można wyjaśnić na przykładzie: załóżmy siatkę na bocznej powierzchni belki nieodkształconej, składającą się z prostych podłużnych i poprzecznych (prostopadłych do osi). W wyniku wygięcia belki linie podłużne przybiorą kształt krzywoliniowy, natomiast linie poprzeczne praktycznie pozostaną proste i prostopadłe do osi wygiętej belki.

Sformułowanie hipotezy przekroju płaskiego: przekroje poprzeczne, które są płaskie i prostopadłe do osi belki przed , pozostają płaskie i prostopadłe do osi zakrzywionej po jej odkształceniu.

Ta okoliczność wskazuje, że kiedy hipoteza przekroju płaskiego, jak z i

Oprócz hipotezy płaskich przekrojów przyjmuje się założenie, że podłużne włókna belki nie naciskają na siebie podczas jej zginania.

Hipoteza przekrojów płaskich i założenie to tzw przypuszczenie Bernoulliego.

Rozważmy belkę o przekroju prostokątnym, która doświadcza czystego zginania (). Wybierzmy element belki o długości (rys. 7.8. a). W wyniku zginania przekroje poprzeczne belki obrócą się, tworząc kąt. Górne włókna są ściskane, a dolne włókna są naprężane. Promień krzywizny neutralnego włókna jest oznaczony przez .

Warunkowo uważamy, że włókna zmieniają swoją długość, pozostając prostymi (ryc. 7.8. b). Wtedy bezwzględne i względne wydłużenie włókna w odległości y od włókna obojętnego:

Pokażmy, że włókna podłużne, które nie ulegają rozciąganiu ani ściskaniu podczas zginania belki, przechodzą przez główną oś środkową x.

Ponieważ długość belki nie zmienia się podczas zginania, siła wzdłużna (N) powstająca w przekroju musi wynosić zero. Elementarna siła wzdłużna.

Biorąc pod uwagę wyrażenie :

Mnożnik można wyjąć ze znaku całki (nie zależy od zmiennej całkowej).

Wyrażenie przedstawia przekrój poprzeczny belki względem neutralnej osi x. Jest zero, gdy oś neutralna przechodzi przez środek ciężkości przekroju. W konsekwencji oś neutralna (linia zerowa) przy zginaniu belki przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego.

Oczywiście: moment zginający jest związany z naprężeniami normalnymi występującymi w punktach przekroju poprzecznego pręta. Elementarny moment zginający wywołany siłą elementarną:

,

gdzie jest osiowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego względem osi obojętnej x, a stosunek to krzywizna osi belki.

Sztywność belki w zginaniu(im większy, tym mniejszy promień krzywizny).

Wynikowa formuła reprezentuje Prawo Hooke'a w zginaniu dla pręta: moment zginający występujący w przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do krzywizny osi belki.

Wyrażanie ze wzoru prawa Hooke'a dla pręta przy zginaniu promienia krzywizny () i podstawienie jego wartości we wzorze , otrzymujemy wzór na naprężenia normalne () w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego belki, oddalonym o y od osi neutralnej x: .

We wzorze na naprężenia normalne () w dowolnym punkcie przekroju belki należy podstawić bezwzględne wartości momentu zginającego () oraz odległość od punktu do osi neutralnej (współrzędne y) . To, czy naprężenie w danym punkcie będzie rozciągające, czy ściskające, można łatwo ustalić na podstawie charakteru odkształcenia belki lub wykresu momentów zginających, których rzędne są wykreślane od strony ściśniętych włókien belki.

Można to zobaczyć ze wzoru: naprężenia normalne () zmieniają się wzdłuż wysokości przekroju belki zgodnie z prawem liniowym. na ryc. 7.8, pokazana jest fabuła. Największe naprężenia podczas zginania belki występują w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej. Jeśli w przekroju poprzecznym belki zostanie narysowana linia równoległa do osi neutralnej x, wówczas we wszystkich jej punktach pojawią się te same naprężenia normalne.

Prosta analiza diagramy naprężeń normalnych pokazuje, że gdy belka jest wygięta, materiał znajdujący się w pobliżu osi neutralnej praktycznie nie działa. Dlatego w celu zmniejszenia ciężaru belki zaleca się wybór kształtów przekrojów, w których większość materiału jest usunięta z osi obojętnej, jak na przykład dwuteownik.

schylać się zwane odkształceniem, w którym oś pręta i wszystkie jego włókna, tj. linie podłużne równoległe do osi pręta, uginają się pod działaniem sił zewnętrznych. Najprostszy przypadek zginania uzyskuje się, gdy siły zewnętrzne leżą w płaszczyźnie przechodzącej przez środkową oś pręta i nie rzutują na tę oś. Taki przypadek zginania nazywa się zginaniem poprzecznym. Rozróżnij zgięcie płaskie i ukośne.

płaski zakręt- taki przypadek, gdy wygięta oś pręta znajduje się w tej samej płaszczyźnie, w której działają siły zewnętrzne.

Ukośne (złożone) zgięcie- taki przypadek zginania, gdy wygięta oś pręta nie leży w płaszczyźnie działania sił zewnętrznych.

Pręt do gięcia jest powszechnie określany jako Belka.

Przy płaskim zginaniu poprzecznym belek w przekroju o układzie współrzędnych y0x mogą wystąpić dwie siły wewnętrzne - siła poprzeczna Q y i moment zginający M x; w dalszej części wprowadzamy notację Q I M. Jeśli w przekroju lub przekroju belki nie działa siła poprzeczna (Q = 0), a moment zginający nie jest równy zeru lub M jest stałe, to takie zgięcie jest powszechnie nazywane czysty.

Siła ścinająca w dowolnym przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów na oś wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) znajdujących się po jednej (dowolnej) stronie przekroju.

Moment zginający w przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej momentów wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) znajdujących się po jednej stronie (dowolnej) przekroju narysowanej względem środka ciężkości tego przekroju, a dokładniej względem osi przechodzącej prostopadle do płaszczyzny rysunku przez środek ciężkości narysowanego przekroju.

Siła Q Jest wynikowy rozłożone na przekroju poprzecznym wewnętrznej naprężenia ścinające, A za chwilę M– suma chwil wokół środkowej osi przekroju X wewnętrznego normalne naprężenia.

Istnieje zróżnicowana zależność między siłami wewnętrznymi

który służy do konstrukcji i weryfikacji diagramów Q i M.

Ponieważ niektóre włókna wiązki są rozciągane, a niektóre ściskane, a przejście od rozciągania do ściskania odbywa się płynnie, bez skoków, w środkowej części wiązki znajduje się warstwa, której włókna tylko się wyginają, ale nie doświadczają ani napięcie lub kompresja. Taka warstwa to tzw warstwa neutralna. Nazywa się linię, wzdłuż której warstwa neutralna przecina się z przekrojem belki linia neutralna th lub Oś neutralna Sekcje. Linie neutralne są nawleczone na oś belki.

Linie narysowane na bocznej powierzchni belki prostopadle do osi pozostają płaskie po zgięciu. Te dane eksperymentalne pozwalają oprzeć wnioski ze wzorów na hipotezie płaskich przekrojów. Zgodnie z tą hipotezą przekroje belki są płaskie i prostopadłe do jej osi przed zgięciem, pozostają płaskie i stają się prostopadłe do osi wygiętej belki, gdy jest ona zgięta. Przekrój poprzeczny belki ulega zniekształceniu podczas zginania. W wyniku odkształcenia poprzecznego zwiększają się wymiary przekroju poprzecznego w strefie ściskanej belki, aw strefie rozciąganej są one ściskane.

Założenia do wyprowadzania wzorów. Normalne naprężenia

1) Hipoteza płaskich przekrojów jest spełniona.

2) Włókna podłużne nie naciskają na siebie i dlatego pod działaniem naprężeń normalnych działają naprężenia liniowe lub ściskanie.

3) Odkształcenia włókien nie zależą od ich położenia na szerokości przekroju. W konsekwencji naprężenia normalne, zmieniające się wzdłuż wysokości przekroju, pozostają takie same na całej szerokości.

4) Belka ma co najmniej jedną płaszczyznę symetrii i wszystkie siły zewnętrzne leżą w tej płaszczyźnie.

5) Materiał belki jest zgodny z prawem Hooke'a, a moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu jest taki sam.

6) Stosunki między wymiarami belki są takie, że pracuje ona w warunkach zginania płaskiego bez wypaczania czy skręcania.

Tylko przy czystym zginaniu belki na peronach w jej przekroju normalne naprężenia, określone wzorem:

gdzie y jest współrzędną dowolnego punktu przekroju, mierzoną od linii neutralnej - głównej osi środkowej x.

Normalne naprężenia zginające wzdłuż wysokości przekroju są rozłożone prawo liniowe. Na skrajnych włóknach naprężenia normalne osiągają maksymalne wartości, aw środku ciężkości przekroje są równe zeru.

Natura wykresów naprężeń normalnych dla przekrojów symetrycznych względem linii neutralnej

Natura wykresów naprężeń normalnych dla przekrojów, które nie mają symetrii względem linii neutralnej

Niebezpieczne punkty to te, które znajdują się najdalej od linii neutralnej.

Wybierzmy jakiś dział

Dla dowolnego punktu przekroju nazwijmy go punktem DO, warunek wytrzymałości belki dla naprężeń normalnych ma postać:

, gdzie id - Ten Oś neutralna

Ten moduł przekroju osiowego wokół osi neutralnej. Jego wymiar to cm 3, m 3. Moment oporu charakteryzuje wpływ kształtu i wymiarów przekroju poprzecznego na wielkość naprężeń.

Warunek wytrzymałości dla naprężeń normalnych:

Naprężenie normalne jest równe stosunkowi maksymalnego momentu zginającego do osiowego modułu przekroju względem osi neutralnej.

Jeśli materiał jest nierówno odporny na rozciąganie i ściskanie, należy zastosować dwa warunki wytrzymałości: dla strefy rozciągania z dopuszczalnym naprężeniem rozciągającym; dla strefy ściskania z dopuszczalnym naprężeniem ściskającym.

Przy zginaniu poprzecznym belki na platformach w swoim przekroju działają jak normalna, I styczne Napięcie.

odkształcenie zginające polega na zakrzywieniu osi pręta prostego lub na zmianie krzywizny początkowej pręta prostego (rys. 6.1). Zapoznajmy się z podstawowymi pojęciami, które są używane przy rozważaniu deformacji zginania.

Nazywa się pręty do gięcia belki.

czysty zwane zgięciem, w którym moment zginający jest jedynym czynnikiem siły wewnętrznej występującym w przekroju poprzecznym belki.

Częściej w przekroju poprzecznym pręta wraz z momentem zginającym występuje również siła poprzeczna. Takie zagięcie nazywa się poprzecznym.

płaski (prosty) nazywa się zagięciem, gdy płaszczyzna działania momentu zginającego w przekroju poprzecznym przechodzi przez jedną z głównych osi środkowych przekroju poprzecznego.

Na ukośne zagięcie płaszczyzna działania momentu zginającego przecina przekrój belki wzdłuż linii, która nie pokrywa się z żadną z głównych osi środkowych przekroju.

Rozpoczynamy badanie deformacji zginania od przypadku zginania w czystej płaszczyźnie.

Naprężenia normalne i odkształcenia w czystym zginaniu.

Jak już wspomniano, przy czystym płaskim zgięciu w przekroju, spośród sześciu wewnętrznych współczynników siły, tylko moment zginający jest niezerowy (ryc. 6.1, c):

Eksperymenty przeprowadzone na modelach sprężystych pokazują, że jeśli na powierzchnię modelu zostanie nałożona siatka linii (ryc. 6.1, a), to przy czystym zginaniu odkształca się ona w następujący sposób (ryc. 6.1, b):

a) linie podłużne są zakrzywione na obwodzie;

b) kontury przekrojów pozostają płaskie;

c) linie konturów przekrojów przecinają się wszędzie z podłużnymi włóknami pod kątem prostym.

Na tej podstawie można założyć, że przy czystym zginaniu przekroje poprzeczne belki pozostają płaskie i obracają się tak, że pozostają prostopadłe do osi zginanej belki (hipoteza płaskiego przekroju przy zginaniu).

Ryż. 6.1

Mierząc długość linii podłużnych (ryc. 6.1, b), można stwierdzić, że górne włókna wydłużają się podczas zginania belki, a dolne skracają się. Oczywiście można znaleźć takie włókna, których długość pozostaje niezmieniona. Nazywa się zestaw włókien, które nie zmieniają swojej długości podczas zginania wiązki warstwa neutralna (n.p.). Warstwa neutralna przecina przekrój poprzeczny belki w linii prostej tzw sekcja linii neutralnej (n. l.)..

Aby wyprowadzić wzór określający wielkość naprężeń normalnych powstających w przekroju poprzecznym, należy wziąć pod uwagę przekrój belki w stanie zdeformowanym i nieodkształconym (ryc. 6.2).

Ryż. 6.2

Z dwóch nieskończenie małych przekrojów wybieramy element o długości
. Przed odkształceniem przekrój ograniczający element
, były do ​​siebie równoległe (ryc. 6.2, a), a po odkształceniu przechyliły się nieco, tworząc kąt
. Długość włókien leżących w warstwie neutralnej nie zmienia się podczas zginania
. Oznaczmy literą promień krzywizny śladu warstwy neutralnej na płaszczyźnie rysunku . Wyznaczmy odkształcenie liniowe dowolnego włókna
, z dystansu z warstwy neutralnej.

Długość tego włókna po odkształceniu (długość łuku
) jest równe
. Biorąc pod uwagę, że przed odkształceniem wszystkie włókna miały taką samą długość
, otrzymujemy, że wydłużenie bezwzględne rozpatrywanego włókna

Jego względne odkształcenie

To oczywiste
, ponieważ długość włókna leżącego w warstwie neutralnej nie uległa zmianie. Potem po wymianie
dostajemy

(6.2)

Dlatego względne odkształcenie podłużne jest proporcjonalne do odległości włókna od osi neutralnej.

Wprowadzamy założenie, że włókna podłużne nie dociskają się do siebie podczas zginania. Przy tym założeniu każde włókno jest odkształcane w izolacji, doświadczając prostego rozciągania lub ściskania, w którym
. Biorąc pod uwagę (6.2)

, (6.3)

tj. naprężenia normalne są wprost proporcjonalne do odległości rozpatrywanych punktów przekroju od osi neutralnej.

Wstawiamy zależność (6.3) do wyrażenia na moment zginający
w przekroju (6.1)

.

Przypomnijmy, że całka
reprezentuje moment bezwładności przekroju wokół osi

.

(6.4)

Zależność (6.4) jest prawem Hooke'a dotyczącym zginania, ponieważ dotyczy odkształcenia (krzywizny warstwy neutralnej
) z momentem działającym w przekroju. Praca
nazywa się sztywnością przekroju przy zginaniu, Nm 2.

Podstaw (6.4) do (6.3)

(6.5)

Jest to pożądany wzór do wyznaczania naprężeń normalnych przy czystym zginaniu belki w dowolnym punkcie jej przekroju.

Aby ustalić, gdzie w przekroju znajduje się linia neutralna, podstawiamy wartość naprężeń normalnych w wyrażeniu na siłę wzdłużną
i moment zginający

Ponieważ
,

;

(6.6)

(6.7)

Równość (6.6) wskazuje, że oś - oś obojętna przekroju - przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Pokazuje to równość (6.7). I - główne osie centralne sekcji.

Zgodnie z (6.5) największe naprężenia osiągane są we włóknach najbardziej oddalonych od linii neutralnej

Postawa reprezentuje moduł przekroju osiowego wokół jego centralnej osi , Oznacza

Oznaczający dla najprostszych przekrojów:

Dla przekroju prostokątnego

, (6.8)

Gdzie - bok przekroju prostopadły do ​​osi ;

- bok przekroju równoległy do ​​osi ;

Dla okrągłego przekroju

, (6.9)

Gdzie jest średnicą przekroju kołowego.

Warunek wytrzymałości dla normalnych naprężeń przy zginaniu można zapisać jako

(6.10)

Wszystkie otrzymane wzory otrzymano dla przypadku czystego zginania pręta prostego. Działanie siły poprzecznej prowadzi do tego, że hipotezy leżące u podstaw wniosków tracą swoją moc. Jednak praktyka obliczeniowa pokazuje, że w przypadku zginania poprzecznego belek i ram, będąc w przekroju, oprócz momentu zginającego
istnieje również siła wzdłużna
i siła ścinająca , możesz użyć wzorów podanych dla czystego zginania. W tym przypadku błąd okazuje się nieistotny.

Zaczynamy od najprostszego przypadku, tzw. czystego zginania.

Czyste zginanie to szczególny przypadek zginania, w którym siła poprzeczna w przekrojach belki wynosi zero. Czyste zginanie może mieć miejsce tylko wtedy, gdy ciężar własny belki jest tak mały, że jego wpływ można pominąć. Dla belek na dwóch podporach przykłady obciążeń, które powodują netto

zagięcie, pokazane na rys. 88. Na odcinkach tych belek, gdzie Q \u003d 0, a zatem M \u003d const; jest czysty zakręt.

Siły w dowolnym odcinku belki z czystym zginaniem są redukowane do pary sił, których płaszczyzna działania przechodzi przez oś belki, a moment jest stały.

Naprężenia można określić na podstawie następujących rozważań.

1. Składowych stycznych sił działających na elementarne pola przekroju poprzecznego belki nie można sprowadzić do pary sił, których płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju. Wynika z tego, że siła zginająca w przekroju jest wynikiem działania na powierzchnie elementarne

tylko siły normalne, a zatem przy czystym zginaniu naprężenia są redukowane tylko do normalnych.

2. Aby wysiłki na elementarnych platformach zostały zredukowane do zaledwie kilku sił, muszą być wśród nich zarówno pozytywne, jak i negatywne. Dlatego muszą istnieć zarówno naprężone, jak i ściśnięte włókna belki.

3. Ponieważ siły w różnych przekrojach są takie same, naprężenia w odpowiednich punktach przekrojów są takie same.

Rozważ dowolny element w pobliżu powierzchni (ryc. 89, a). Ponieważ na jej dolną powierzchnię, która pokrywa się z powierzchnią belki, nie działają żadne siły, nie występują na niej również naprężenia. Dlatego nie ma naprężeń na górnej powierzchni elementu, ponieważ w przeciwnym razie element nie byłby w równowadze.Biorąc pod uwagę wysokość elementu sąsiadującego z nim (ryc. 89, b), dochodzimy do

Ten sam wniosek itp. Wynika z tego, że wzdłuż poziomych powierzchni żadnego elementu nie występują naprężenia. Rozważając elementy tworzące warstwę poziomą, zaczynając od elementu przy powierzchni belki (rys. 90), dochodzimy do wniosku, że wzdłuż bocznych ścian pionowych żadnego elementu nie występują naprężenia. Zatem stan naprężenia dowolnego elementu (ryc. 91, a) oraz na granicy włókna musi być przedstawiony tak, jak pokazano na ryc. 91b, tj. może to być rozciąganie osiowe lub ściskanie osiowe.

4. Ze względu na symetrię przyłożenia sił zewnętrznych odcinek wzdłuż środka długości belki po odkształceniu powinien pozostać płaski i prostopadły do ​​osi belki (ryc. 92, a). Z tego samego powodu odcinki w ćwiartkach długości belki również pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki (ryc. 92, b), jeśli tylko skrajne sekcje belki pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki podczas deformacji. Podobny wniosek dotyczy również odcinków w ósmych długości belki (ryc. 92, c) itp. Dlatego jeśli skrajne sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania, to dla dowolnego odcinka pozostaje

można śmiało powiedzieć, że po odkształceniu pozostaje płaska i normalna do osi zakrzywionej belki. Ale w tym przypadku oczywiste jest, że zmiana wydłużenia włókien belki wzdłuż jej wysokości powinna zachodzić nie tylko w sposób ciągły, ale także monotonny. Jeżeli warstwą nazywamy zbiór włókien o jednakowych wydłużeniach, to z tego, co zostało powiedziane, wynika, że ​​rozciągnięte i ściśnięte włókna belki powinny znajdować się po przeciwnych stronach warstwy, w której wydłużenia włókien są równe zeru. Włókna, których wydłużenia są równe zeru, będziemy nazywać neutralnymi; warstwa złożona z włókien neutralnych - warstwa neutralna; linia przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju poprzecznego belki - linia neutralna tego przekroju. Następnie, opierając się na wcześniejszych rozważaniach, można stwierdzić, że przy czystym zginaniu belki w każdym jej przekroju istnieje linia neutralna, która dzieli ten przekrój na dwie części (strefy): strefę rozciągniętych włókien (strefę naprężoną) oraz strefa sprasowanych włókien (strefa sprasowana). Odpowiednio, normalne naprężenia rozciągające powinny działać w punktach strefy rozciągania przekroju poprzecznego, naprężenia ściskające w punktach strefy ściskanej, aw punktach linii neutralnej naprężenia są równe zeru.

Zatem przy czystym zginaniu belki o stałym przekroju:

1) w przekrojach działają tylko naprężenia normalne;

2) cały odcinek można podzielić na dwie części (strefy) - rozciągniętą i ściśniętą; granicą stref jest neutralna linia przekroju, w punktach której naprężenia normalne są równe zeru;

3) dowolny podłużny element belki (w granicy dowolne włókno) jest poddawany osiowemu rozciąganiu lub ściskaniu, tak aby sąsiednie włókna nie oddziaływały ze sobą;

4) jeżeli skrajne odcinki belki podczas odkształcenia pozostają płaskie i prostopadłe do osi, to wszystkie jej przekroje pozostają płaskie i prostopadłe do osi zakrzywionej belki.

Stan naprężenia belki przy czystym zginaniu

Rozważ element belki podlegający czystemu zginaniu, podsumowując mierzone między odcinkami m-m i n-n, które są oddalone od siebie w nieskończenie małej odległości dx (ryc. 93). W związku z przepisem (4) poprzedniego akapitu odcinki m-m i n-n, które przed odkształceniem były równoległe, po zgięciu pozostając płaskimi utworzą kąt dQ i przetną się wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt C, będący środkiem włókna neutralnego pod względem krzywizny NN. Następnie część włókna AB zamknięta między nimi, znajdująca się w odległości z od włókna neutralnego (dodatni kierunek osi z jest przyjmowany w kierunku wypukłości wiązki podczas zginania), zamieni się w łuk A „B” po odkształcenie Odcinek włókna neutralnego O1O2, zamieniając się w łuk O1O2, nie zmieni swojej długości, podczas gdy włókno AB otrzyma wydłużenie:

przed deformacją

po odkształceniu

gdzie p jest promieniem krzywizny włókna neutralnego.

Zatem bezwzględne wydłużenie odcinka AB wynosi

i wydłużenie

Ponieważ zgodnie z pozycją (3) włókno AB podlega rozciąganiu osiowemu, a następnie odkształceniu sprężystemu

Z tego widać, że normalne naprężenia wzdłuż wysokości belki rozkładają się zgodnie z prawem liniowym (ryc. 94). Ponieważ jednakowa siła wszystkich wysiłków na wszystkich elementarnych odcinkach przekroju musi być równa zero, to znaczy

skąd, podstawiając wartość z (5.8), znajdujemy

Ale ostatnia całka to moment statyczny wokół osi Oy, która jest prostopadła do płaszczyzny działania sił zginających.

Ze względu na swoją równość do zera oś ta musi przechodzić przez środek ciężkości O przekroju. Zatem linią neutralną przekroju belki jest linia prosta yy, prostopadła do płaszczyzny działania sił zginających. Nazywa się to neutralną osią przekroju belki. Następnie z (5.8) wynika, że ​​naprężenia w punktach leżących w tej samej odległości od osi neutralnej są takie same.

Przypadek czystego zginania, w którym siły zginające działają tylko w jednej płaszczyźnie, powodując zginanie tylko w tej płaszczyźnie, jest płaskim zginaniem czystym. Jeżeli wymieniona płaszczyzna przechodzi przez oś Oz, to moment elementarnych wysiłków względem tej osi musi być równy zeru, tj.

Podstawiając tutaj wartość σ z (5.8), znajdujemy

Całka po lewej stronie tej równości, jak wiadomo, jest odśrodkowym momentem bezwładności przekroju względem osi y i z, tak że

Osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności przekroju jest równy zero, nazywane są głównymi osiami bezwładności tego przekroju. Jeśli dodatkowo przechodzą przez środek ciężkości przekroju, wówczas można je nazwać głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju. Tak więc, przy płaskim czystym zginaniu, kierunek płaszczyzny działania sił zginających i neutralna oś przekroju są głównymi centralnymi osiami bezwładności tego ostatniego. Innymi słowy, aby uzyskać płaskie, czyste zgięcie belki, nie można przyłożyć do niej obciążenia w sposób dowolny: należy je sprowadzić do sił działających w płaszczyźnie przechodzącej przez jedną z głównych centralnych osi bezwładności sekcji belki; w tym przypadku druga główna środkowa oś bezwładności będzie neutralną osią przekroju.

Jak wiadomo, w przypadku przekroju symetrycznego względem dowolnej osi, oś symetrii jest jedną z jego głównych centralnych osi bezwładności. W związku z tym w tym konkretnym przypadku z pewnością uzyskamy czyste ugięcie, przykładając odpowiednie obciążenia w płaszczyźnie przechodzącej przez oś podłużną belki i oś symetrii jej przekroju. Linia prosta prostopadła do osi symetrii i przechodząca przez środek ciężkości przekroju jest osią neutralną tego przekroju.

Po ustaleniu położenia osi neutralnej nietrudno jest znaleźć wielkość naprężenia w dowolnym punkcie przekroju. Rzeczywiście, ponieważ suma momentów sił elementarnych względem osi neutralnej yy musi być równa momentowi zginającemu, to

skąd, podstawiając wartość σ z (5.8), znajdujemy

Od całki Jest. wtedy moment bezwładności przekroju wokół osi y

iz wyrażenia (5.8) otrzymujemy

Iloczyn EI Y nazywany jest sztywnością belki na zginanie.

Największe wartości bezwzględne naprężenia rozciągające i ściskające działają w punktach przekroju, dla których wartość bezwzględna z jest największa, tj. w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej. Z oznaczeniami, rys. 95 mieć

Wartość Jy/h1 nazywana jest momentem oporu przekroju na rozciąganie i oznaczana jest przez Wyr; podobnie Jy/h2 nazywany jest momentem oporu przekroju na ściskanie

i oznacz Wyc, tak

i dlatego

Jeżeli oś obojętna jest osią symetrii przekroju, to h1 = h2 = h/2 i w konsekwencji Wyp = Wyc, więc nie ma potrzeby ich rozróżniania i używają tego samego oznaczenia:

nazywając W y po prostu modułem przekroju, dlatego w przypadku przekroju symetrycznego względem osi neutralnej,

Wszystkie powyższe wnioski wynikają z założenia, że ​​przekroje poprzeczne belki po zgięciu pozostają płaskie i prostopadłe do jej osi (hipoteza płaskich przekrojów). Jak pokazano, założenie to jest ważne tylko wtedy, gdy skrajne (końcowe) sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania. Z drugiej strony z hipotezy przekrojów płaskich wynika, że ​​siły elementarne w takich przekrojach powinny rozkładać się zgodnie z prawem liniowości. Dlatego dla ważności uzyskanej teorii płaskiego czystego zginania konieczne jest przyłożenie momentów zginających na końcach belki w postaci sił elementarnych rozłożonych wzdłuż wysokości przekroju zgodnie z prawem liniowym (rys. 96), co pokrywa się z prawem rozkładu naprężeń wzdłuż wysokości belek przekroju. Jednak opierając się na zasadzie Saint-Venanta można stwierdzić, że zmiana sposobu przyłożenia momentów zginających na końcach belki spowoduje jedynie lokalne odkształcenia, których efekt będzie dotyczył tylko w pewnej odległości od tych kończy (w przybliżeniu równa wysokości sekcji). Sekcje znajdujące się na pozostałej długości belki pozostaną płaskie. W związku z tym podawana teoria płaskiego czystego zginania, przy dowolnej metodzie przyłożenia momentów zginających, obowiązuje tylko w środkowej części długości belki, znajdującej się w odległościach od jej końców w przybliżeniu równych wysokości przekroju. Z tego jasno wynika, że ​​teoria ta nie ma oczywiście zastosowania, jeśli wysokość przekroju przekracza połowę długości lub rozpiętości belki.