Nazywa się stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej zatoka kąta ostrego prawy trójkąt.
\sin \alfa = \frac(a)(c)
Nazywa się stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej cosinus kąta ostrego prawy trójkąt.
\cos \alfa = \frac(b)(c)
Nazywa się stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej tangens kąta ostrego prawy trójkąt.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Nazywa się stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego cotangens kąta ostrego prawy trójkąt.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Nazywa się rzędną punktu na okręgu jednostkowym, któremu odpowiada kąt \alfa sinus dowolnego kąta obrót \alfa .
\sin \alfa=y
Nazywa się odciętą punktu na okręgu jednostkowym, któremu odpowiada kąt \alfa cosinus dowolnego kąta obrót \alfa .
\cos \alfa=x
Stosunek sinusa dowolnego kąta obrotu \alfa do jego cosinusa nazywa się tangens dowolnego kąta obrót \alfa .
tan \alfa = y_(A)
tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)
Stosunek cosinusa dowolnego kąta obrotu \alfa do jego sinusa nazywa się cotangens dowolnego kąta obrót \alfa .
ctg\alfa =x_(A)
ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)
Jeśli \alpha jest kątem AOM, gdzie M jest punktem na okręgu jednostkowym, to
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Na przykład, jeśli \angle AOM = -\frac(\pi)(4), wówczas: rzędna punktu M jest równa -\frac(\sqrt(2))(2), odcięta jest równa \frac(\sqrt(2))(2) i dlatego
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Wartości głównych, często występujących kątów podano w tabeli:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\lewo(\pi\prawo) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\lewo(2\pi\prawo) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alfa | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Zatoka kąt ostry α trójkąta prostokątnego jest stosunkiem naprzeciwko noga do przeciwprostokątnej.
Oznacza się to następująco: sin α.
Cosinus Kąt ostry α w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznacza się go następująco: cos α.
Tangens kąt ostry α jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Oznacza się go następująco: tg α.
Cotangens kąt ostry α jest stosunkiem sąsiadującą nogę do przeciwnego.
Oznacza się go następująco: ctg α.
Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.
Zasady:
Podstawowe tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:
(α – kąt ostry przeciwny do nogi B i przylegający do nogi A . Strona Z – przeciwprostokątna. β – drugi kąt ostry).
B | grzech 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
B | 1 | |
A | 1 1 | |
grzech α |
Wraz ze wzrostem kąta ostregogrzech α iwzrost opalenizny α icos α maleje.
Dla dowolnego kąta ostrego α:
grzech (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Przykład-wyjaśnienie:
Wprowadźmy trójkąt prostokątny ABC
AB = 6,
p.n.e. = 3,
kąt A = 30°.
Znajdźmy sinus kąta A i cosinus kąta B.
Rozwiązanie .
1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: skoro w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90°, to kąt B = 60°:
B = 90° – 30° = 60°.
2) Obliczmy grzech A. Wiemy, że sinus jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Dla kąta A przeciwną stroną jest bok BC. Więc:
BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2
3) Teraz obliczmy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Dla kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC przez AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:
BC 3 1
ponieważ B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultatem jest:
grzech A = cos B = 1/2.
grzech 30° = cos 60° = 1/2.
Wynika z tego, że w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego jest równy cosinusowi innego kąta ostrego - i odwrotnie. To właśnie oznaczają nasze dwie formuły:
grzech (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Przekonajmy się o tym jeszcze raz:
1) Niech α = 60°. Podstawiając wartość α do wzoru sinus, otrzymujemy:
grzech (90° – 60°) = cos 60°.
grzech 30° = cos 60°.
2) Niech α = 30°. Podstawiając wartość α do wzoru na cosinus, otrzymujemy:
cos (90° – 30°) = grzech 30°.
cos 60° = grzech 30°.
(Aby uzyskać więcej informacji na temat trygonometrii, zobacz sekcję Algebra)
Rozpoczniemy naukę trygonometrii od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym są sinus i cosinus oraz tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.
Przypomnijmy Ci to prosty kąt jest kątem równym 90 stopni. Innymi słowy, pół obrotu.
Kąt ostry- mniej niż 90 stopni.
Kąt rozwarty- większy niż 90 stopni. W odniesieniu do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, ale terminem matematycznym :-)
Narysujmy trójkąt prostokątny. Kąt prosty jest zwykle oznaczany przez . Należy pamiętać, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Zatem strona przeciwna do kąta A jest oznaczona .
Kąt jest oznaczony odpowiednią literą grecką.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to bok leżący naprzeciw kąta prostego.
Nogi- boki leżące naprzeciw kątów ostrych.
Nazywa się nogę leżącą naprzeciwko kąta naprzeciwko(w odniesieniu do kąta). Nazywa się drugą nogę, która leży na jednym z boków kąta przylegający.
Zatoka Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej:
Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:
Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego (lub, co jest takie samo, stosunek cosinusa do sinusa):
Zwróć uwagę na podstawowe zależności dla sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensu poniżej. Przydadzą się nam przy rozwiązywaniu problemów.
Udowodnijmy niektóre z nich.
OK, podaliśmy definicje i spisaliśmy wzory. Ale po co nam jeszcze sinus, cosinus, tangens i cotangens?
Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta jest równa.
Znamy zależności pomiędzy imprezy prawy trójkąt. Jest to twierdzenie Pitagorasa: .
Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Oznacza to, że kąty mają swój własny stosunek, a boki mają swój własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znasz jeden kąt (z wyjątkiem kąta prostego) i jeden bok, ale musisz znaleźć pozostałe boki?
Z tym właśnie spotykali się ludzie w przeszłości, tworząc mapy okolicy i gwiaździstego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.
Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje kąta trygonometrycznego- podać relacje pomiędzy imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i styczne kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.
Narysujemy także tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.
Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Przy odpowiednich wartościach kąta tangens i cotangens nie istnieją.
Przyjrzyjmy się kilku problemom trygonometrycznym z banku zadań FIPI.
1. W trójkącie kąt wynosi , . Znajdować .
Problem zostanie rozwiązany w cztery sekundy.
Od , .
2. W trójkącie kąt wynosi , , . Znajdować .
Znajdźmy to za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Problem został rozwiązany.
Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i. Zapamiętaj na pamięć podstawowe proporcje dla nich!
Dla trójkąta z kątami i nogą przeciwną kąt przy jest równy połowa przeciwprostokątnej.
Trójkąt mający kąty i jest równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.
Przyjrzeliśmy się problemom rozwiązywania trójkątów prostokątnych, czyli znajdowania nieznanych boków i kątów. Ale to nie wszystko! W Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego w matematyce istnieje wiele problemów, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens kąta zewnętrznego trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.
Sinus jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, której zastosowanie nie ogranicza się wyłącznie do geometrii. Tabele do obliczania funkcji trygonometrycznych, np kalkulatory inżynierskie, nie zawsze jest pod ręką i czasami do rozwiązania konieczne jest obliczenie sinusa różne zadania. Ogólnie rzecz biorąc, obliczenie sinusa pomoże utrwalić umiejętności rysowania i wiedzę o tożsamościach trygonometrycznych.
Proste zadanie: jak znaleźć sinus kąta narysowanego na papierze? Do rozwiązania potrzebujesz zwykłej linijki, trójkąta (lub kompasu) i ołówka. Najprostszym sposobem obliczenia sinusa kąta jest podzielenie dalszej ramienia trójkąta z kątem prostym przez dłuższy bok - przeciwprostokątną. Zatem najpierw należy uzupełnić kąt ostry do kształtu trójkąta prostokątnego, rysując linię prostopadłą do jednego z promieni w dowolnej odległości od wierzchołka kąta. Będziemy musieli zachować kąt dokładnie 90°, dla którego potrzebujemy trójkąta urzędniczego.
Korzystanie z kompasu jest nieco dokładniejsze, ale zajmuje więcej czasu. Na jednym z promieni należy zaznaczyć 2 punkty w określonej odległości, ustawić promień na kompasie w przybliżeniu równy odległości między punktami i rysować półkola ze środkami w tych punktach, aż do uzyskania przecięcia tych linii. Łącząc ze sobą punkty przecięcia naszych okręgów, otrzymujemy ścisłą prostopadłość do promienia naszego kąta; pozostaje tylko przedłużyć linię, aż przetnie się ona z innym promieniem.
W powstałym trójkącie musisz za pomocą linijki zmierzyć bok przeciwny do narożnika i długi bok jednego z promieni. Stosunek pierwszego wymiaru do drugiego będzie pożądaną wartością sinusa kąta ostrego.
Dla kąt rozwarty zadanie nie jest dużo trudniejsze. Musimy za pomocą linijki narysować promień z wierzchołka w przeciwnym kierunku tak, aby utworzyć linię prostą z jednym z promieni interesującego nas kąta. Powstały kąt ostry należy traktować jak opisano powyżej, sinusy sąsiadujące rogi, tworzące razem kąt odwrotny 180°, są równe.
Możliwe jest również obliczenie sinusa, jeśli znane są wartości innych funkcji trygonometrycznych kąta lub przynajmniej długości boków trójkąta. Pomogą nam w tym tożsamości trygonometryczne. Spójrzmy na typowe przykłady.
Jak znaleźć sinus ze znanym cosinusem kąta? Pierwsza tożsamość trygonometryczna, oparta na twierdzeniu Pitagorasa, stwierdza, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden.
Jak znaleźć sinus ze znaną tangensem kąta? Styczną uzyskuje się dzieląc stronę dalszą przez stronę bliższą lub dzieląc sinus przez cosinus. Zatem sinus będzie iloczynem cosinusa i tangensa, a kwadrat sinusa będzie kwadratem tego iloczynu. Zastępujemy kwadratowy cosinus różnicą między jednością a sinusem kwadratowym zgodnie z pierwszą tożsamością trygonometryczną i poprzez proste manipulacje sprowadzamy równanie do obliczenia sinusa kwadratowego poprzez styczną, aby obliczyć sinus, tak będzie należy wyodrębnić pierwiastek uzyskanego wyniku.
Jak znaleźć sinus ze znanym cotangensem kąta? Wartość cotangens można obliczyć, dzieląc długość nogi najbliższej kątowi przez długość dalekiej, a także dzieląc cosinus przez sinus, czyli cotangens jest funkcją odwrotną do stycznej względem do liczby 1. Aby obliczyć sinus, możesz obliczyć tangens korzystając ze wzoru tg α = 1 / ctg α i skorzystać ze wzoru z drugiej opcji. Można również wyprowadzić wzór bezpośredni przez analogię do stycznej, co będzie wyglądać następująco.
Istnieje wzór na znalezienie długości nieznanego boku dowolnego trójkąta, nie tylko prostokątnego, z dwóch znane partie korzystając z funkcji trygonometrycznej cosinusa przeciwnego kąta. Ona wygląda tak.
Jak znaleźć sinus?
Studiowanie geometrii pomaga rozwijać myślenie. Przedmiot ten koniecznie należy uwzględnić w przygotowaniu szkolnym. W życiu codziennym wiedza na ten temat może się przydać – na przykład przy planowaniu mieszkania.
Kurs geometrii obejmuje także trygonometrię, która bada funkcje trygonometryczne. W trygonometrii badamy sinusy, cosinusy, styczne i cotangensy kątów.
Ale na razie zacznijmy od najprostszej rzeczy – sinusa. Przyjrzyjmy się bliżej pierwszej koncepcji - sinusowi kąta w geometrii. Co to jest sinus i jak go znaleźć?
Sinus kąta to stosunek wartości przeciwnej strony i przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Jest to bezpośrednia funkcja trygonometryczna, którą zapisuje się jako „sin (x)”, gdzie (x) jest kątem trójkąta.
Na wykresie sinus kąta jest oznaczony falą sinusoidalną o własnej charakterystyce. Fala sinusoidalna wygląda jak ciągła falista linia mieszcząca się w pewnych granicach na płaszczyźnie współrzędnych. Funkcja jest nieparzysta, zatem jest symetryczna względem 0 na płaszczyźnie współrzędnych (wychodzi z początku współrzędnych).
Dziedzina definicji tej funkcji mieści się w przedziale od -1 do +1 w kartezjańskim układzie współrzędnych. Okres funkcji kąta sinusoidalnego wynosi 2 Pi. Oznacza to, że co 2 Pi wzór się powtarza, a fala sinusoidalna przechodzi pełny cykl.
Wartości sinusów kąta określa się za pomocą specjalnych tabel. Takie tabele zostały stworzone, aby ułatwić proces liczenia złożone formuły i równania. Jest łatwy w użyciu i zawiera nie tylko znaczenia funkcjonuje grzech(x), ale także wartości innych funkcji.
Co więcej, w obowiązkowym badaniu pamięci zawarta jest tabela standardowych wartości tych funkcji, podobnie jak tabliczka mnożenia. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku zajęć o nastawieniu fizycznym i matematycznym. W tabeli możesz zobaczyć wartości głównych kątów stosowanych w trygonometrii: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stopni.
Istnieje również tabela określająca wartości funkcji trygonometrycznych kątów niestandardowych. Korzystając z różnych tabel, możesz łatwo obliczyć sinus, cosinus, tangens i cotangens niektórych kątów.
Równania wykonuje się za pomocą funkcji trygonometrycznych. Rozwiązanie tych równań jest łatwe, jeśli znasz proste tożsamości trygonometryczne i redukcje funkcji, np. sin (P/2 + x) = cos (x) i inne. Dla takich obniżek sporządzono również osobną tabelę.
Kiedy zadaniem jest znalezienie sinusa kąta, a zgodnie z warunkiem mamy tylko cosinus, tangens lub cotangens kąta, możemy łatwo obliczyć to, czego potrzebujemy, korzystając z tożsamości trygonometrycznych.
Z tego równania możemy znaleźć zarówno sinus, jak i cosinus, w zależności od tego, która wartość jest nieznana. Możemy to zrobić równanie trygonometryczne z jedną niewiadomą:
Z tego równania można znaleźć wartość sinusa, znając wartość cotangensu kąta. Dla uproszczenia zastąp sin 2 x = y i otrzymasz proste równanie. Na przykład wartość cotangens wynosi 1, a następnie:
Teraz wykonujemy odwrotną wymianę odtwarzacza:
Ponieważ przyjęliśmy wartość cotangensu dla kąta standardowego (45 0), uzyskane wartości można sprawdzić w tabeli.
Jeśli podano wartość styczną i trzeba znaleźć sinus, pomocna będzie inna tożsamość trygonometryczna:
Wynika z tego, że:
Aby znaleźć sinus niestandardowego kąta, na przykład 240 0, należy skorzystać ze wzorów na redukcję kąta. Wiemy, że π odpowiada 180 0. Zatem wyrażamy naszą równość za pomocą standardowych kątów poprzez rozwinięcie.
Musimy znaleźć: grzech (180 0 + 60 0). W trygonometrii istnieją wzory redukcyjne, które w tym przypadku się przyda. Oto formuła:
Zatem sinus kąta 240 stopni jest równy:
W naszym przypadku odpowiednio x = 60, a P 180 stopni. Wartość (-√3/2) znaleźliśmy z tabeli wartości funkcji kątów standardowych.
W ten sposób można rozszerzyć niestandardowe kąty, np.: 210 = 180 + 30.
