Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich wykorzystaniem w geometrii. W tym czasie rozpoczął się rozwój trygonometrii starożytna Grecja. W średniowieczu naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii wnieśli istotny wkład w rozwój tej nauki.
Artykuł poświęcony jest podstawowym pojęciom i definicjom trygonometrii. Omówiono definicje głównych funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Wyjaśniono i zilustrowano ich znaczenie w kontekście geometrii.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, były wyrażane przez stosunek boków trójkąta prostokątnego.
Definicje funkcji trygonometrycznych
Sinus kąta (sin α) jest stosunkiem nogi przeciwnej do tego kąta do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta (cos α) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta (t g α) jest stosunkiem przeciwległego ramienia do sąsiedniego.
Cotangens kąta (ct g α) to stosunek sąsiedniego ramienia do przeciwległego.
Te definicje podano dla kąta ostrego trójkąta prostokątnego!
Podajmy ilustrację.
W trójkącie ABC o kącie prostym C sinus kąta A jest równy stosunkowi odnogi BC do przeciwprostokątnej AB.
Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa umożliwiają obliczenie wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.
Ważne do zapamiętania!
Zakres wartości sinusa i cosinusa: od -1 do 1. Innymi słowy sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangens i cotangens to cała oś liczbowa, czyli te funkcje mogą przyjmować dowolną wartość.
Podane powyżej definicje odnoszą się do kątów ostrych. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczona ramkami od 0 do 90 st. Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞.
W tym kontekście można zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wielkości. Wyobraź sobie okrąg jednostkowy wyśrodkowany na początku kartezjańskiego układu współrzędnych.
Punkt początkowy A o współrzędnych (1 , 0) obraca się wokół środka okręgu jednostkowego o pewien kąt α i przechodzi do punktu A 1 . Definicja jest podana poprzez współrzędne punktu A 1 (x, y).
Sinus (sin) kąta obrotu
Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). sinα = y
Cosinus (cos) kąta obrotu
Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). cos α = x
Tangens (tg) kąta obrotu
Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t g α = y x
Cotangens (ctg) kąta obrotu
Cotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. c t g α = x y
Sinus i cosinus są definiowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po obrocie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest z tangensem i cotangensem. Styczna nie jest zdefiniowana, gdy punkt po obrocie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0 , 1) i (0 , - 1). W takich przypadkach wyrażenie na styczną t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z cotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany w przypadkach, gdy znika rzędna punktu.
Ważne do zapamiętania!
Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów α.
Tangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Decydując praktyczne przykłady nie mów "sinus kąta obrotu α". Słowa „kąt obrotu” zostały po prostu pominięte, co sugeruje, że z kontekstu już wiadomo, o co toczy się gra.
A co z definicją sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby, a nie kąta obrotu?
Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby
Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t wywoływana jest liczba, która jest odpowiednio równa sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi in t radian.
Na przykład sinus 10 π równy sinusowi kąt obrotu 10 π rad.
Istnieje inne podejście do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby. Rozważmy to bardziej szczegółowo.
Dowolna liczba rzeczywista t punkt na okręgu jednostkowym jest umieszczany zgodnie ze środkiem na początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są definiowane w kategoriach współrzędnych tego punktu.
Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1 , 0).
Liczba dodatnia t
Liczba ujemna t odpowiada punktowi, do którego przesunie się punkt początkowy, jeśli przesunie się on wokół okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i minie ścieżkę t .
Teraz, gdy ustalono związek między liczbą a punktem na okręgu, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.
Sinus (sin) liczby t
Sinus liczby t- rzędna punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. grzech t = y
Cosinus (cos) t
Cosinus liczby t- odcięta punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. cos t = x
Tangens (tg) z t
Tangens liczby t- stosunek rzędnej do odciętej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. t g t = y x = sin t cos t
Te ostatnie definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tej sekcji. Punkt na okręgu odpowiadającym liczbie t, pokrywa się z punktem, do którego przechodzi punkt początkowy po skręcie o kąt t radian.
Każda wartość kąta α odpowiada pewnej wartości sinusa i cosinusa tego kąta. Tak jak wszystkie kąty α inne niż α = 90 ° + 180 ° · k , k Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odpowiada pewnej wartości tangensa. Cotangens, jak wspomniano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α, z wyjątkiem α = 180 ° k , k Z (α = π k , k ∈ Z).
Możemy powiedzieć, że sin α , cos α , t g α , c t g α są funkcjami kąta alfa lub funkcjami argumentu kątowego.
Podobnie można mówić o sinus, cosinus, tangens i cotangens jako funkcjach argumentu liczbowego. Każda liczba rzeczywista t odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby t. Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k , k ∈ Z odpowiadają wartości tangensa. Cotangens jest podobnie zdefiniowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π · k , k ∈ Z.
Podstawowe funkcje trygonometrii
Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.
Z kontekstu zwykle wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej (argument kątowy czy argument liczbowy) mamy do czynienia.
Wróćmy do danych na samym początku definicji i kąta alfa, który mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni. Definicje trygonometryczne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są w pełni zgodne z definicjami geometrycznymi podanymi przy użyciu stosunków boków trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.
Weźmy okrąg jednostkowy wyśrodkowany na prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy od wynikowego punktu A 1 (x, y) prostopadle do osi x. W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość nogi OH jest równa odciętej punktu A 1 (x, y) . Długość odnogi przeciwległej do narożnika jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jeden, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.
Zgodnie z definicją z geometrii, sinus kąta α jest równy stosunkowi przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.
grzech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Oznacza to, że definicja sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym przez współczynnik kształtu jest równoważna definicji sinusa kąta obrotu α, gdzie alfa mieści się w zakresie od 0 do 90 stopni.
Podobnie, zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, tangensa i cotangensa.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze zrozumieć te na pierwszy rzut oka skomplikowane koncepcje (które wywołują u wielu uczniów stan przerażenia) i upewnić się, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od samego początku i zrozumieć pojęcie kąta.
Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Zatem miarą tego obrotu względem pozycji początkowej będzie narożnik.
Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Oczywiście jednostki kąta!
Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.
Kąt (jeden stopień) to kąt środkowy okręgu, oparty na łuku kołowym równym części okręgu. Tak więc cały okrąg składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.
Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje równy kąt, to znaczy ten kąt jest oparty na łuku kołowym o rozmiarze obwodu.
Kąt w radianach nazywany jest kątem środkowym okręgu, opartym na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, zrozumiałeś? Jeśli nie, spójrzmy na zdjęcie.
Rysunek pokazuje więc kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promieniowi równa długościłuki). Zatem długość łuku oblicza się według wzoru:
Gdzie jest kąt środkowy w radianach.
Wiedząc o tym, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera kąt opisany przez okrąg? Tak, w tym celu musisz zapamiętać wzór na obwód koła. Tutaj jest:
Cóż, teraz skorelujmy te dwie formuły i uzyskajmy, że kąt opisany przez okrąg jest równy. To znaczy, skorelując wartość w stopniach i radianach, otrzymujemy to. Odpowiednio . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radiany” jest pomijane, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.
Ile jest radianów? Zgadza się!
Rozumiem? Następnie przewiń do przodu:
Jakieś trudności? Potem spójrz odpowiedzi:
Tak więc, z koncepcją kąta. Ale jaki jest sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta? Rozwiążmy to. W tym pomoże nam trójkąt prostokątny.
Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona przeciwna prosty kąt(w naszym przykładzie jest to strona); nogi są dwoma pozostałymi bokami i (te, które sąsiadują z kątem prostym), ponadto, jeśli weźmiemy pod uwagę nogi pod kątem, to noga jest nogą sąsiednią, a noga przeciwną. A teraz odpowiedzmy na pytanie: jaki jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.
w naszym trójkącie.
Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
w naszym trójkącie.
Styczna kąta- jest to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).
w naszym trójkącie.
Cotangens kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).
w naszym trójkącie.
Te definicje są konieczne Zapamiętaj! Aby łatwiej było zapamiętać, którą nogę podzielić przez co, musisz to jasno zrozumieć w tangens oraz cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka oraz cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:
cosinus→dotyk→dotyk→sąsiadujący;
Cotangens→dotyk→dotyk→sąsiadujący.
Przede wszystkim należy pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens jako stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod jednym kątem). Nie ufaj? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:
Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale możemy obliczyć cosinus kąta z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zależą wyłącznie od wielkości kąta.
Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je napraw!
Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.
Cóż, dostałeś to? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla rogu.
Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważyliśmy okrąg o promieniu równym. Taki krąg nazywa się pojedynczy. Jest bardzo przydatny w badaniu trygonometrii. Dlatego zajmiemy się tym bardziej szczegółowo.
Jak widać, okrąg ten zbudowany jest w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).
Każdy punkt okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej wzdłuż osi i współrzędnej wzdłuż osi. Jakie są te numery współrzędnych? A ogólnie, co mają wspólnego z omawianym tematem? Aby to zrobić, pamiętaj o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe prawe trójkąty. Rozważ trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do osi.
Co jest równe z trójkąta? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, a więc . Podstaw tę wartość do naszego wzoru cosinusa. Oto, co się dzieje:
A co jest równe z trójkąta? Ależ oczywiście, ! Podstaw wartość promienia do tego wzoru i uzyskaj:
Czy możesz mi powiedzieć, jakie są współrzędne punktu, który należy do okręgu? Cóż, nie ma mowy? A jeśli zdajesz sobie z tego sprawę i to tylko liczby? Jakiej współrzędnej to odpowiada? Oczywiście współrzędne! Jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, koordynuj! Tak więc punkt.
A co wtedy są równe i? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensa i cotangensa i zdobądźmy to.
Co jeśli kąt jest większy? Tutaj np. jak na tym obrazku:
Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (jako sąsiadujący z kątem). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:
Jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; a wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem te relacje mają zastosowanie do dowolnych obrotów wektora promienia.
Wspomniano już, że początkowe położenie wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obróciliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, dostaniesz też kąt o określonej wielkości, ale tylko to będzie ujemne. Tak więc, obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy dodatnie kąty, a przy obrocie w prawo - negatywny.
Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu to lub. Czy można obrócić wektor promienia o lub o? Oczywiście, że możesz! Dlatego w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.
W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.
Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.
Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi i tak dalej. Ta lista może być kontynuowana w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)
Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i używając okręgu jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:
Oto krąg jednostek, który może ci pomóc:
Jakieś trudności? Więc zastanówmy się. Wiemy więc, że:
Stąd określamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: róg w odpowiada punktowi o współrzędnych, dlatego:
Nie istnieje;
Ponadto, przestrzegając tej samej logiki, dowiadujemy się, że narożniki odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym łatwo wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.
Odpowiedzi:
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
W ten sposób możemy wykonać następującą tabelę:
Nie trzeba pamiętać wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:
Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i podane w poniższej tabeli: trzeba pamiętać:
Nie bój się, teraz pokażemy jeden z przykładów dość proste zapamiętywanie odpowiednich wartości:
Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać wartości sinusa dla wszystkich trzech miar kąta (), a także wartość tangensa kąta w. Znając te wartości dość łatwo odtworzyć całą tabelę - wartości cosinusów są przekazywane zgodnie ze strzałkami, czyli:
Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „ ” i mianownik „ ” będą się zgadzać. Wartości cotangensa są przenoszone zgodnie ze strzałkami pokazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać całą wartość z tabeli.
Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?
Oczywiście, że możesz! Wydobądźmy ogólna formuła znaleźć współrzędne punktu.
Tutaj np. mamy taki krąg:
Dano nam, że punkt jest środkiem koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrót punktu o stopnie.
Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość segmentu odpowiada współrzędnej środka koła, czyli jest równa. Długość segmentu można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:
Wtedy mamy to dla punktu współrzędnej.
Zgodnie z tą samą logiką znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. W ten sposób,
Tak w ogólna perspektywa współrzędne punktów wyznaczają wzory:
Współrzędne środka okręgu,
promień okręgu,
Kąt obrotu wektora promienia.
Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka wynoszą zero, a promień jest równy jeden:
1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.
2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrót punktu.
3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.
4. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.
5. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.
Rozwiąż te pięć przykładów (lub dobrze zrozum rozwiązanie), a dowiesz się, jak je znaleźć!
1.
Można zauważyć, że. I wiemy, co odpowiada pełnemu obrocie punktu wyjścia. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:
2. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że możemy używać uproszczonych wzorów:
Można zauważyć, że. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu startowego. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:
Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Zapamiętujemy ich wartości i otrzymujemy:
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
3. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że możemy używać uproszczonych wzorów:
Można zauważyć, że. Przedstawmy rozważany przykład na rysunku:
Promień tworzy kąty z osią równą i. Wiedząc, że tabelaryczne wartości cosinusa i sinusa są równe i po ustaleniu, że cosinus ma tutaj wartość ujemną, a sinus jest dodatni, mamy:
Podobne przykłady są analizowane bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów redukcji funkcji trygonometrycznych w temacie.
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
4.
Kąt obrotu wektora promienia (według warunku)
Aby wyznaczyć odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:
Jak widać, wartość, to znaczy jest dodatnia, a wartość, to znaczy jest ujemna. Znając tabelaryczne wartości odpowiednich funkcji trygonometrycznych otrzymujemy, że:
Otrzymane wartości podstawmy do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie
Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie
Promień okręgu (według warunku)
Kąt obrotu wektora promienia (według warunku).
Zastąp wszystkie wartości formułą i uzyskaj:
oraz - wartości tabeli. Zapamiętujemy je i podstawiamy do formuły:
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).
Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).
Instrukcja
Powiązane wideo
Notatka
Przy obliczaniu boków trójkąta prostokątnego znajomość jego cech może odgrywać:
1) Jeśli noga o kącie prostym leży naprzeciw kąta 30 stopni, to połowa przeciwprostokątna;
2) Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż którakolwiek z nóg;
3) Jeśli okrąg jest opisany wokół trójkąta prostokątnego, jego środek musi leżeć pośrodku przeciwprostokątnej.
Przeciwprostokątna to bok w trójkącie prostokątnym, który jest przeciwny do kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg i wartość jednego z kątów ostrych trójkąta.
Instrukcja
Daj nam znać jedną z nóg i kąt do niej przylegający. Dla jednoznaczności niech będzie to noga |AB| i kąt α. Następnie możemy użyć wzoru na trygonometryczny stosunek cosinusa do cosinusa sąsiedniej nogi do. Tych. w naszym zapisie cos α = |AB| / |AC|. Stąd otrzymujemy długość przeciwprostokątnej |AC| = |AB| / cosα.
Jeśli znamy odnogę |BC| i kąta α, to posługujemy się wzorem na obliczenie sinusa kąta - sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej: sin α = |BC| / |AC|. Otrzymujemy, że długość przeciwprostokątnej jest równa |AC| = |BC| / cosα.
Dla jasności rozważ przykład. Niech długość nogi |AB| = 15. A kąt α = 60°. Otrzymujemy |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Zastanów się, jak możesz sprawdzić swój wynik za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Aby to zrobić, musimy obliczyć długość drugiego odcinka |BC|. Korzystając ze wzoru na tangens kąta tg α = |BC| / |AC|, otrzymujemy |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa, otrzymujemy 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Weryfikacja jest zakończona.
Po obliczeniu przeciwprostokątnej sprawdź, czy otrzymana wartość spełnia twierdzenie Pitagorasa.
Źródła:
Nogi nazwij dwa krótkie boki trójkąta prostokątnego, które tworzą jego wierzchołek, którego wartość wynosi 90 °. Trzecia strona w takim trójkącie nazywa się przeciwprostokątną. Wszystkie te boki i kąty trójkąta są połączone pewnymi zależnościami, które pozwalają obliczyć długość nogi, jeśli znanych jest kilka innych parametrów.
Instrukcja
Użyj twierdzenia Pitagorasa dla nogi (A), jeśli znasz długość pozostałych dwóch boków (B i C) prawego trójkąta. Twierdzenie to mówi, że suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że długość każdej z nóg jest równa pierwiastek kwadratowy z długości przeciwprostokątnej i drugiej nogi: A=√(C²-B²).
Użyj definicji bezpośredniej funkcji trygonometrycznej „sinus” dla kąta ostrego, jeśli znasz wartość kąta (α) przeciwległego do obliczonej nogi i długość przeciwprostokątnej (C). Oznacza to, że sinusem tej znanej jest stosunek długości pożądanej nogi do długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że długość pożądanej odnogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i sinusa znanego kąta: A=C∗sin(α). Dla tych samych znanych wartości można użyć cosecans i obliczyć żądaną długość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez cosecans znanego kąta A=C/cosec(α).
Użyj definicji bezpośredniej funkcji trygonometrycznej cosinusa, jeśli oprócz długości przeciwprostokątnej (C) znana jest również wartość kąta ostrego (β) sąsiadującego z wymaganym. Cosinus tego kąta jest stosunkiem długości pożądanej odnogi i przeciwprostokątnej, z czego możemy wywnioskować, że długość odnogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: A=C∗cos(β). Możesz użyć definicji funkcji siecznej i obliczyć żądaną wartość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez sieczną znanego kąta A=C/s(β).
Wyprowadź wymagany wzór z podobnej definicji dla pochodnej funkcji trygonometrycznej stycznej, jeśli oprócz wartości kąta ostrego (α) leżącego naprzeciw pożądanego ramienia (A), długość drugiego ramienia (B) wynosi znany. Styczna kąta przeciwległego do pożądanego ramienia jest stosunkiem długości tego ramienia do długości drugiego ramienia. Stąd pożądana wartość będzie równa iloczynowi długości słynna noga do stycznej znanego kąta: A=B∗tg(α). Z tych samych znanych wielkości można wyprowadzić inny wzór, wykorzystując definicję funkcji cotangensa. W tym przypadku, aby obliczyć długość ramienia, konieczne będzie wyznaczenie stosunku długości znanego ramienia do cotangensa znanego kąta: A=B/ctg(α).
Powiązane wideo
Słowo „katet” weszło w języku rosyjskim z greckiego. W dokładne tłumaczenie oznacza pion, czyli prostopadły do powierzchni ziemi. W matematyce nogi nazywane są bokami, które tworzą kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „noga” jest również używany w architekturze i technice spawalniczej.
Obie nogi są ze sobą połączone i kostyczne. W ta sprawa styczna będzie stosunkiem boku a do boku b, czyli przeciwnej nogi do sąsiedniej. Stosunek ten można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. W związku z tym stosunek odwrotny będzie kotangensem: ctgCAB=b/a.
Stosunek wielkości przeciwprostokątnej do obu nóg został określony przez starożytny grecki Pitagoras. Twierdzenie, jego imię, ludzie wciąż używają. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadraty nóg, tj. c2=a2+b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).
Długość nogi można również wyrazić poprzez znane relacje. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach, noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Możesz to wyrazić i lub cotangens. Nogę a można znaleźć na przykład według wzoru a \u003d b * tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od podanej stycznej lub , wyznaczany jest drugi odcinek.
W architekturze używa się również terminu „noga”. Jest nakładany na stolicę jońską i przechodzi przez środek jej pleców. To jest w tym przypadku przez ten termin prostopadła do danej linii.
W technologii spawania występuje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótszy dystans. Tutaj rozmawiamy o szczelinie między jedną z części, która ma być spawana do granicy szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.
Powiązane wideo
Źródła:
Jedną z gałęzi matematyki, z którą uczniowie radzą sobie z największymi trudnościami, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować tę dziedzinę wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów za pomocą formuł, upraszczanie wyrażeń, umiejętność posługiwania się liczbą pi w obliczeniach. Ponadto musisz być w stanie zastosować trygonometrię podczas dowodzenia twierdzeń, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wyprowadzania złożonych łańcuchów logicznych.
Znajomość tej nauki powinna rozpocząć się od zdefiniowania sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw musisz dowiedzieć się, co ogólnie robi trygonometria.
Historycznie, trójkąty prostokątne były głównym przedmiotem badań w tej części nauk matematycznych. Obecność kąta 90 stopni umożliwia wykonywanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów rozważanej figury za pomocą dwóch stron i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie zauważyli ten wzór i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w budowie budynków, nawigacji, astronomii, a nawet sztuce.
Początkowo mówiono o relacji kątów i boków wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic stosowania w Życie codzienne ta gałąź matematyki.
Nauka trygonometrii w szkole zaczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po których zdobyta wiedza jest wykorzystywana przez uczniów w fizyce i rozwiązywaniu abstrakcyjnych problemów. równania trygonometryczne, z którą praca zaczyna się w liceum.
Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, tangensem, cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Ta sekcja nie jest studiowana w szkole, ale trzeba wiedzieć o jej istnieniu, chociażby dlatego, że powierzchnia Ziemi, jak również powierzchnia każdej innej planety, jest wypukła, co oznacza, że wszelkie oznakowanie powierzchni będzie miało kształt łuku. trójwymiarowa przestrzeń.
Weź kulę ziemską i wątek. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej, aby była napięta. Zwróć uwagę - nabrał kształtu łuku. Właśnie z takimi formami radzi sobie geometria sferyczna, która jest wykorzystywana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.
Po zapoznaniu się trochę ze sposobami korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich formuł użyć.
Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć związanych z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90 stopni. Ona jest najdłuższa. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi sumy kwadratów dwóch pozostałych boków.
Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.
Dwie pozostałe strony, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Dodatkowo musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.
Wreszcie, mając solidne zrozumienie podstawy geometrycznej, możemy przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwległej nogi (tj. strony przeciwnej do pożądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe niż jeden! Czemu? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa, bez względu na długość nogi, będzie ona krótsza od przeciwprostokątnej, co oznacza, że ich stosunek będzie zawsze mniejszy niż jeden. Tak więc, jeśli otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1 w odpowiedzi na problem, poszukaj błędu w obliczeniach lub w rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.
Wreszcie tangens kąta jest stosunkiem strony przeciwnej do sąsiedniej. Ten sam wynik da dzielenie sinusa przez cosinus. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, po czym dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. W ten sposób otrzymujemy taki sam stosunek jak w definicji tangensa.
Cotangens, odpowiednio, jest stosunkiem boku przylegającego do narożnika do strony przeciwnej. Ten sam wynik otrzymujemy dzieląc jednostkę przez tangens.
Rozważyliśmy więc definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i możemy zajmować się wzorami.
W trygonometrii nie można obejść się bez formuł - jak bez nich znaleźć sinus, cosinus, tangens, cotangens? I właśnie tego wymaga się przy rozwiązywaniu problemów.
Pierwsza formuła, którą musisz znać, zaczynając studiować trygonometrię, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ta formuła jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale oszczędza czas, jeśli chcesz poznać wartość kąta, a nie boku.
Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która również jest bardzo popularna w rozwiązywaniu zadania szkolne: suma jedynki i kwadratu tangensa kąta jest równa jedności podzielonej przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyjmy się bliżej: w końcu jest to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone kwadratem cosinusa. Okazuje się, że prosta operacja matematyczna sprawia, że wzór trygonometryczny jest zupełnie nierozpoznawalny. Pamiętaj: wiedząc, co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady przeliczania i kilka podstawowych wzorów, możesz w każdej chwili samodzielnie wyprowadzić wymagane więcej złożone formuły na kawałku papieru.
Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, są związane z wartościami sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Pokazano je na poniższym rysunku. Zwróć uwagę, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone oba razy, aw drugim dodawany jest iloczyn par sinusa i cosinusa.
Istnieją również formuły związane z argumentami podwójnego kąta. Są one całkowicie wyprowadzone z poprzednich - w ramach praktyki postaraj się je zdobyć samemu, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.
Na koniec zwróć uwagę, że formuły podwójnego kąta można przekonwertować, aby obniżyć stopień sinusa, cosinusa i tangensa alfa.
Dwa główne twierdzenia w podstawowej trygonometrii to twierdzenie sinus i twierdzenie cosinus. Za pomocą tych twierdzeń możesz łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i rozmiar każdej strony itp.
Twierdzenie sinus mówi, że w wyniku podzielenia długości każdego z boków trójkąta przez wartość przeciwnego kąta otrzymujemy ten sam numer. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom koła opisanego, czyli koła zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.
Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus kąta sąsiedniego - otrzymana wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Tak więc twierdzenie Pitagorasa okazuje się szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.
Nawet wiedząc, co to jest sinus, cosinus i tangens, łatwo popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, zapoznajmy się z najpopularniejszymi z nich.
Po pierwsze, nie należy konwertować zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne do czasu uzyskania końcowego wyniku - odpowiedź można zostawić w formularzu wspólny ułamek chyba że warunek stanowi inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawić się nowe korzenie, które zgodnie z zamysłem autora powinny zostać zredukowane. W takim przypadku zmarnujesz czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to zwłaszcza wartości takich jak pierwiastek z trzech lub dwóch, ponieważ występują one w zadaniach na każdym kroku. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.
Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinus dotyczy dowolnego trójkąta, ale nie twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotnie iloczyn boków pomnożony przez cosinus kąta między nimi, nie tylko uzyskasz całkowicie błędny wynik, ale także zademonstrujesz kompletne niezrozumienie tematu. To gorsze niż nieostrożny błąd.
Po trzecie, nie myl wartości dla kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 i na odwrót. Łatwo je pomieszać, w wyniku czego nieuchronnie uzyskasz błędny wynik.
Wielu uczniów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej stosowanego znaczenia. Czym jest sinus, cosinus, tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni lub trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest używana wszędzie, od muzyki po medycynę.
Więc jesteś sinus, cosinus, tangens. Możesz ich używać w obliczeniach i skutecznie rozwiązywać problemy szkolne.
Cała istota trygonometrii sprowadza się do tego, że nieznane parametry należy obliczyć ze znanych parametrów trójkąta. W sumie jest sześć parametrów: długości trzy strony i wymiary trzech kątów. Cała różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.
Jak znaleźć sinus, cosinus, tangens na podstawie znanych długości nóg lub przeciwprostokątnej, już wiesz. Ponieważ te terminy oznaczają tylko stosunek, a stosunek jest ułamkiem, głównym celem zadania trygonometrycznego jest znalezienie pierwiastków równania zwyczajnego lub układu równań. A tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.
Średni poziom
W problemach kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prawy w tej formie,
i w takich
i w takich 
Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż… przede wszystkim są wyjątkowe piękne imiona za jego strony.
Uwaga na rysunek!
Pamiętaj i nie myl: nogi - dwie, a przeciwprostokątna - tylko jedna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!
Omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów dotyczących trójkąta prostokątnego. Pitagoras udowodnił to doskonale odwieczny czas i od tego czasu przyniosła wiele korzyści tym, którzy ją znają. A najlepsze w niej jest to, że jest prosta.
Więc, Twierdzenie Pitagorasa:
Czy pamiętasz dowcip: „Pitagorejskie spodnie są równe ze wszystkich stron!”?
Narysujmy te bardzo pitagorejskie spodnie i spójrzmy na nie. 
Czy to naprawdę wygląda jak szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a dokładniej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. I tak to sformułował:
"Suma powierzchnia placów, zbudowany na nogach, jest równy kwadratowy obszar zbudowany na przeciwprostokątnej.
Czy to nie brzmi trochę inaczej, prawda? I tak, kiedy Pitagoras narysował stwierdzenie swojego twierdzenia, właśnie taki obraz się wyszedł.
Na tym rysunku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej zapamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o pitagorejskich spodniach.
Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?
Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?
Widzisz, w czasach starożytnych nie było… algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak straszne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami??! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, aby lepiej zapamiętać:
Teraz powinno być łatwo:
| Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg. |
Cóż, omówiono najważniejsze twierdzenie o trójkącie prostokątnym. Jeśli interesuje Cię, jak to jest udowodnione, przeczytaj kolejne poziomy teorii, a teraz przejdźmy dalej... w mroczny las... trygonometrii! Do strasznych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.
W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwej” definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcesz, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:
Dlaczego chodzi o róg? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak wypowiedzi 1-4 są napisane słowami. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!
1.
Właściwie brzmi to tak:
A co z kątem? Czy jest noga przeciwległa do narożnika, czyli przeciwna noga (do narożnika)? Oczywiście, że masz! To jest cewnik!
Ale co z kątem? Przypatrz się. Która noga przylega do narożnika? Oczywiście kot. Tak więc dla kąta noga przylega do siebie i
A teraz uwaga! Zobacz, co mamy:
Zobacz jakie to wspaniałe:
Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensa.
Jak to teraz ująć w słowa? Jaka jest noga w stosunku do narożnika? Naprzeciwko oczywiście - "leży" naprzeciw rogu. A cewnik? Przylega do rogu. Więc co dostaliśmy?
Widzisz, jak zamieniono licznik i mianownik?
A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:
Zapiszmy krótko, czego się nauczyliśmy.
 |
Twierdzenie Pitagorasa: |
Głównym twierdzeniem o trójkącie prostokątnym jest twierdzenie Pitagorasa.
Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę
Możliwe, że wielokrotnie używałeś już twierdzenia Pitagorasa, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe. Jak byś to udowodnił? Zróbmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.
Widzisz, jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na odcinki długości i!
Teraz połączmy zaznaczone punkty
Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na zdjęcie i zastanawiasz się, dlaczego.
Jaka jest powierzchnia większego placu? Prawidłowo . A co z mniejszą powierzchnią? Oczywiście, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy dwie z nich i oparliśmy się o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Tak więc obszar „sadzonek” jest równy.
Połączmy to teraz.
Przekształćmy:
Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - udowodniliśmy jego twierdzenie w starożytny sposób.
Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące relacje:
Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej
Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi odnogi przeciwległej do odnogi sąsiedniej.
Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.
I jeszcze raz wszystko to w formie talerza:
To jest bardzo wygodne!
I. Na dwóch nogach
II. Według nogi i przeciwprostokątnej
III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego
IV. Wzdłuż nogi i kąt ostry
a) 
b) 
Uwaga! Tutaj bardzo ważne jest, aby nogi „odpowiadały”. Na przykład, jeśli wygląda to tak:
WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.
Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała lub w obu - przeciwnie.
Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Spójrz na temat „i zwróć uwagę na fakt, że do równości „zwykłych” trójkątów potrzebujesz równości ich trzech elementów: dwóch boków i kąta między nimi, dwóch kątów i boku między nimi lub trzech boków. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiadające sobie elementy. To świetnie, prawda?
W przybliżeniu taka sama sytuacja z oznakami podobieństwa trójkątów prostokątnych.
I. Ostry róg
II. Na dwóch nogach
III. Według nogi i przeciwprostokątnej
Dlaczego tak jest?
Rozważ cały prostokąt zamiast trójkąta prostokątnego.
Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?
A co z tego wynika?
Tak się złożyło, że
Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!
Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że odwrotność również jest prawdziwa.
Co można zyskać z faktu, że mediana przyciągana do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie
Przypatrz się. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, odległości, od których prawie wszystkie trzy wierzchołki trójkąta są równe, i to jest opisany CENTRUM OKRĘGU. Więc co się stało?
Zacznijmy więc od tego „poza…”.
Spójrzmy na ja.
Ale w podobnych trójkątach wszystkie kąty są równe!
To samo można powiedzieć o i
Teraz narysujmy to razem:
Jaki pożytek można czerpać z tego „potrójnego” podobieństwa.
Cóż, na przykład - dwie formuły na wysokość trójkąta prostokątnego.
Piszemy relacje odpowiednich stron:
Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:
Zastosujmy więc podobieństwo: .
Co się teraz stanie?
Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:
Obie te formuły trzeba bardzo dobrze zapamiętać i tę, która jest wygodniejsza w aplikacji. Zapiszmy je ponownie.
Twierdzenie Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg :.
Znaki równości trójkątów prostokątnych:
Oznaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:
Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym
Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.
W trójkącie prostokątnym mediana wyciągnięta z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .
Obszar trójkąta prostokątnego:
