Schody. Grupa wejściowa. Przybory. Drzwi. Zamki Projekt

Aby ilościowo porównać zdarzenia ze sobą według stopnia ich możliwości, konieczne jest oczywiście powiązanie z każdym zdarzeniem pewna liczba, która jest tym większa, im bardziej prawdopodobne jest zdarzenie. Nazwiemy tę liczbę prawdopodobieństwem zdarzenia. Zatem, prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości wystąpienia tego zdarzenia.

Pierwszą definicję prawdopodobieństwa należy uznać za klasyczną, która wyrosła z analizy gier hazardowych i początkowo była stosowana intuicyjnie.

Klasyczna metoda wyznaczania prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji zdarzeń równie możliwych i niezgodnych, które są wynikiem danego doświadczenia i tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych.

Najprostszym przykładem równie możliwych i niezgodnych zdarzeń tworzących kompletną grupę jest pojawienie się tej lub drugiej kuli z urny zawierającej kilka kul o tej samej wielkości, wadze i innych namacalnych cechach, różniących się jedynie kolorem, dokładnie wymieszanych przed wyjęciem.

Dlatego mówi się, że test, którego wyniki tworzą kompletną grupę niezgodnych i równie możliwych zdarzeń, można sprowadzić do układu urn lub układu przypadków lub wpasowuje się w klasyczny wzór.

Równie możliwe i niezgodne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę, będą nazywane po prostu przypadkami lub szansami. Co więcej, w każdym eksperymencie wraz z przypadkami mogą wystąpić bardziej złożone zdarzenia.

Przykład: Podczas rzucania kostką wraz z przypadkami A i - i-punkty spadają górna krawędź możemy rozważyć takie zdarzenia jak B - utrata parzystej liczby punktów, C - utrata liczby punktów będących wielokrotnością trzech...

Ze względu na każde zdarzenie, które może wystąpić podczas eksperymentu, przypadki dzieli się na korzystny, w którym zdarzenie to zachodzi, i niekorzystne, w którym zdarzenie to nie zachodzi. W poprzednim przykładzie zdarzeniu B sprzyjają przypadki A 2, A 4, A 6; zdarzenie C - przypadki A 3, A 6.

Prawdopodobieństwo klasyczne wystąpienie określonego zdarzenia nazywa się stosunkiem liczby przypadków sprzyjających zaistnieniu tego zdarzenia do całkowitej liczby równie możliwych, niezgodnych przypadków, które tworzą kompletną grupę w danym eksperymencie:

Gdzie ROCZNIE)- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A; M- liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N- łączna liczba przypadków.

Przykłady:

1) (patrz przykład powyżej) P(B)= , P(C) =.

2) W urnie znajduje się 9 kul czerwonych i 6 niebieskich. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna lub dwie losowo wylosowane kule okażą się czerwone.

A- losowo wylosowana kula czerwona:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, ROCZNIE)=

B- dwie losowo wylosowane kule czerwone:

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności (pokaż się):

1) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0;

2) Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia wynosi 1;

3) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od 0 do 1;

4) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A,

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że ​​liczba wyników próby jest skończona. W praktyce bardzo często zdarzają się testy, których liczba możliwych przypadków jest nieskończona. Oprócz, słaba strona Klasyczna definicja mówi, że bardzo często nie da się przedstawić wyniku testu w postaci zbioru elementarnych zdarzeń. Jeszcze trudniej jest wskazać powody, dla których elementarne wyniki testu można uznać za jednakowo możliwe. Zwykle o równoważności wyników elementarnych testów wnioskuje się na podstawie rozważań o symetrii. Zadania takie są jednak w praktyce bardzo rzadkie. Z tych powodów obok klasycznej definicji prawdopodobieństwa stosuje się także inne definicje prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenie A to względna częstotliwość występowania tego zdarzenia w przeprowadzonych badaniach:

gdzie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A;

Względna częstotliwość występowania zdarzenia A;

Liczba prób, w których pojawiło się zdarzenie A;

Łączna liczba testów.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą eksperymentalną.

Przykład: Do kontroli jakości produktów z partii wybrano losowo 100 produktów, spośród których 3 okazały się wadliwe. Określ prawdopodobieństwo zawarcia małżeństwa.

.

Statystyczna metoda określania prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mają następujące właściwości:

Rozważane zdarzenia powinny być wynikami wyłącznie tych testów, które można odtworzyć nieograniczoną liczbę razy w tych samych warunkach.

Zdarzenia muszą mieć stabilność statystyczną (lub stabilność względnych częstotliwości). Oznacza to, że w różnych seriach testów względna częstotliwość zdarzenia niewiele się zmienia.

Liczba prób skutkujących zdarzeniem A musi być dość duża.

Łatwo sprawdzić, że własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji klasycznej są zachowane także w statystycznej definicji prawdopodobieństwa.

Początkowo będąc jedynie zbiorem informacji i obserwacji empirycznych na temat gry w kości, teoria prawdopodobieństwa stała się nauką ścisłą. Pierwszymi, którzy nadali mu ramy matematyczne, byli Fermat i Pascal.

Od myślenia o wieczności do teorii prawdopodobieństwa

Dwie osoby, którym teoria prawdopodobieństwa zawdzięcza wiele swoich podstawowych formuł, Blaise Pascal i Thomas Bayes, są znani jako ludzie głęboko religijni, przy czym ten ostatni jest pastorem prezbiteriańskim. Najwyraźniej chęć udowodnienia przez tych dwóch naukowców błędności opinii o pewnej Fortunie, która obdarza szczęściem swoich ulubieńców, dała impuls do badań w tym obszarze. W końcu każda gra hazardowa z jej wygranymi i przegranymi jest po prostu symfonią zasad matematycznych.

Dzięki pasji pana de Mere, który równie będąc hazardzistą i osobą nieobojętną na naukę, Pascal był zmuszony znaleźć sposób na obliczenie prawdopodobieństwa. De Mere’a zainteresowało następujące pytanie: „Ile razy trzeba rzucić dwiema kostkami parami, aby prawdopodobieństwo zdobycia 12 punktów przekroczyło 50%?” Drugie pytanie, które bardzo zainteresowało pana: „Jak podzielić zakład pomiędzy uczestników niedokończonej gry?” Oczywiście Pascal z powodzeniem odpowiedział na oba pytania de Mere, który stał się mimowolnym inicjatorem rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Co ciekawe, postać de Mere’a pozostała znana w tym obszarze, a nie w literaturze.

Wcześniej żaden matematyk nie próbował obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń, ponieważ uważano, że jest to jedynie rozwiązanie oparte na domysłach. Blaise Pascal podał pierwszą definicję prawdopodobieństwa zdarzenia i pokazał, że jest to konkretna wielkość, którą można uzasadnić matematycznie. Teoria prawdopodobieństwa stała się podstawą statystyki i jest szeroko stosowana we współczesnej nauce.

Co to jest losowość

Jeśli weźmiemy pod uwagę test, który można powtórzyć nieskończoną liczbę razy, wówczas możemy zdefiniować zdarzenie losowe. To jeden z prawdopodobnych wyników eksperymentu.

Doświadczenie to realizacja konkretnych działań w stałych warunkach.

Aby móc pracować z wynikami eksperymentu, zdarzenia są zwykle oznaczone literami A, B, C, D, E...

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

Aby rozpocząć matematyczną część prawdopodobieństwa, należy zdefiniować wszystkie jego składowe.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia (A lub B) w wyniku doświadczenia. Prawdopodobieństwo oznacza się jako P(A) lub P(B).

W teorii prawdopodobieństwa rozróżnia się:

• niezawodny zdarzenie ma miejsce w wyniku doświadczenia P(Ω) = 1;
• niemożliwe zdarzenie nie może nigdy nastąpić P(Ř) = 0;
• losowy zdarzenie leży pomiędzy pewnym a niemożliwym, to znaczy prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest możliwe, ale nie gwarantowane (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego zawsze mieści się w przedziale 0≤Р(А)≤ 1).

Relacje między zdarzeniami

Pod uwagę bierze się zarówno jedno, jak i sumę zdarzeń A+B, gdy zdarzenie jest liczone, gdy spełniony jest co najmniej jeden ze składników A lub B, lub oba, A i B.

W stosunku do siebie zdarzeniami mogą być:

• Równie możliwe.
• Zgodny.
• Niezgodny.
• Przeciwieństwo (wzajemnie się wykluczające).
• Zależny.

Jeśli dwa zdarzenia mogą się wydarzyć z równym prawdopodobieństwem, to tak równie możliwe.

Jeśli wystąpienie zdarzenia A nie zmniejsza do zera prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia B, to tak zgodny.

Jeśli zdarzenia A i B nigdy nie występują jednocześnie w tym samym doświadczeniu, wówczas nazywa się je niezgodny. Rzut monetą - dobry przykład: pojawienie się głów jest automatycznie brakiem pojawienia się głów.

Prawdopodobieństwo sumy takich niezgodnych zdarzeń składa się z sumy prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jeśli wystąpienie jednego zdarzenia uniemożliwia wystąpienie innego, wówczas nazywa się je przeciwstawnymi. Wtedy jeden z nich jest oznaczony jako A, a drugi - Ā (czytaj: „nie A”). Wystąpienie zdarzenia A oznacza, że ​​Ā nie zaszło. Te dwa zdarzenia tworzą kompletną grupę o sumie prawdopodobieństw równej 1.

Zdarzenia zależne wywierają na siebie wzajemny wpływ, zmniejszając lub zwiększając wzajemne prawdopodobieństwo.

Relacje między zdarzeniami. Przykłady

Na przykładach znacznie łatwiej jest zrozumieć zasady teorii prawdopodobieństwa i kombinacji zdarzeń.

Eksperyment, który zostanie przeprowadzony, polega na wyjęciu kulek z pudełka, a wynik każdego doświadczenia jest wynikiem elementarnym.

Zdarzenie to jeden z możliwych wyników eksperymentu - czerwona kula, niebieska kula, kula z numerem sześć itp.

Próba nr 1. W grze bierze udział 6 kul, z których trzy są niebieskie z liczbami nieparzystymi, a pozostałe trzy są czerwone z liczbami parzystymi.

Próba nr 2. W grę wchodzi 6 piłek niebieski z liczbami od jednego do sześciu.

Na podstawie tego przykładu możemy nazwać kombinacje:

• Niezawodne wydarzenie. W języku hiszpańskim Nr 2 zdarzenie „zdobądź niebieską kulę” jest niezawodne, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest równe 1, ponieważ wszystkie kule są niebieskie i nie można przegapić. Natomiast zdarzenie „zdobądź piłkę z numerem 1” jest losowe.
• Niemożliwe wydarzenie. W języku hiszpańskim Nr 1 w przypadku kul niebieskich i czerwonych zdarzenie „zdobycia fioletowej kuli” jest niemożliwe, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi 0.
• Równie możliwe zdarzenia. W języku hiszpańskim nr 1, zdarzenia „zdobądź piłkę z numerem 2” i „zdobądź piłkę z numerem 3” są równie możliwe, a zdarzenia „zdobądź piłkę z numerem parzystym” i „zdobądź piłkę z numerem 2” ” mają różne prawdopodobieństwa.
• Zgodne wydarzenia. Zdobycie szóstki dwa razy z rzędu podczas rzucania kostką jest wydarzeniem zgodnym.
• Niezgodne zdarzenia. W tym samym hiszpańskim Nr 1, wydarzeń „zdobądź czerwoną kulę” i „zdobądź piłkę o nieparzystej liczbie” nie można łączyć w tym samym doświadczeniu.
• Zdarzenia przeciwne. Najbardziej uderzającym tego przykładem jest rzut monetą, w którym wylosowanie orła jest równoznaczne z niewyciągnięciem reszki, a suma ich prawdopodobieństw wynosi zawsze 1 (pełna grupa).
• Zdarzenia zależne. A więc po hiszpańsku Nr 1, możesz ustawić cel polegający na losowaniu czerwonej kuli dwa razy z rzędu. To, czy zostanie on odzyskany za pierwszym razem, czy nie, wpływa na prawdopodobieństwo odzyskania go za drugim razem.

Można zauważyć, że pierwsze zdarzenie znacząco wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (40% i 60%).

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia

Przejście od wróżenia do precyzyjnych danych następuje poprzez przełożenie tematu na płaszczyznę matematyczną. Oznacza to, że oceny dotyczące zdarzenia losowego, takie jak „wysokie prawdopodobieństwo” lub „minimalne prawdopodobieństwo”, można przełożyć na określone dane liczbowe. Dopuszczalna jest już ocena, porównywanie i wprowadzanie takiego materiału do bardziej złożonych obliczeń.

Z kalkulacyjnego punktu widzenia określenie prawdopodobieństwa zdarzenia jest stosunkiem liczby elementarnych pozytywnych wyników do liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia dotyczących konkretnego zdarzenia. Prawdopodobieństwo jest oznaczane przez P(A), gdzie P oznacza słowo „probabilite”, które z francuskiego jest tłumaczone jako „prawdopodobieństwo”.

Zatem wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia wygląda następująco:

Gdzie m jest liczbą korzystnych wyników zdarzenia A, n jest sumą wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład

Weźmy hiszpański. Nr 1 z kulkami, co zostało opisane wcześniej: 3 kule niebieskie z numerami 1/3/5 i 3 kule czerwone z numerami 2/4/6.

Na podstawie tego testu można rozważyć kilka różnych problemów:

• A - wypadająca czerwona kula. Są 3 czerwone kule i w sumie jest 6 opcji najprostszy przykład, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe P(A)=3/6=0,5.
• B - wyrzucenie liczby parzystej. Istnieją 3 liczby parzyste (2,4,6), a łączna liczba możliwych opcji numerycznych wynosi 6. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi P(B)=3/6=0,5.
• C - wystąpienie liczby większej niż 2. Są 4 takie opcje (3,4,5,6) z ogólnej liczby możliwych wyników 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia C jest równe P(C)=4 /6=0,67.

Jak widać z obliczeń, zdarzenie C ma większe prawdopodobieństwo, ponieważ liczba prawdopodobnych pozytywnych wyników jest większa niż w przypadku A i B.

Niezgodne zdarzenia

Takie zdarzenia nie mogą pojawiać się jednocześnie w tym samym doświadczeniu. Jak w języku hiszpańskim Nr 1. Nie da się jednocześnie zdobyć niebieskiej i czerwonej piłki. Oznacza to, że możesz zdobyć niebieską lub czerwoną piłkę. Podobnie liczba parzysta i nieparzysta nie mogą pojawić się jednocześnie na kostce.

Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń uważa się za prawdopodobieństwo ich sumy lub iloczynu. Sumę takich zdarzeń A+B uważa się za zdarzenie, na które składa się zajście zdarzenia A lub B, a iloczynem tych zdarzeń AB jest zajście obu. Na przykład pojawienie się dwóch szóstek naraz na ściankach dwóch kości w jednym rzucie.

Suma kilku zdarzeń to zdarzenie, które zakłada zajście przynajmniej jednego z nich. Produkcja kilku wydarzeń jest ich wspólnym występowaniem.

W teorii prawdopodobieństwa z reguły użycie spójnika „i” oznacza sumę, a spójnika „lub” - mnożenie. Wzory z przykładami pomogą Ci zrozumieć logikę dodawania i mnożenia w teorii prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezgodnych

Jeśli weźmiemy pod uwagę prawdopodobieństwo zdarzeń niezgodnych, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe dodaniu ich prawdopodobieństw:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na przykład: obliczmy prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim. Nr 1 z kulkami niebieskimi i czerwonymi pojawi się liczba od 1 do 4. Obliczymy nie w jednym działaniu, ale na podstawie sumy prawdopodobieństw elementów elementarnych. Zatem w takim eksperymencie jest tylko 6 kul, czyli 6 wszystkich możliwych wyników. Liczby spełniające ten warunek to 2 i 3. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby 2 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo wylosowania liczby 3 również wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby od 1 do 4 wynosi:

Prawdopodobieństwo sumy niezgodnych zdarzeń w całej grupie wynosi 1.

Jeśli więc w eksperymencie z sześcianem dodamy prawdopodobieństwa pojawienia się wszystkich liczb, wynik będzie jeden.

Dotyczy to również zdarzeń przeciwnych, na przykład w eksperymencie z monetą, gdzie jedna strona to zdarzenie A, a druga zdarzenie przeciwne Ā, jak wiadomo,

P(A) + P(Ā) = 1

Prawdopodobieństwo wystąpienia niezgodnych zdarzeń

Mnożenie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy rozważa się wystąpienie dwóch lub więcej niezgodnych zdarzeń w jednej obserwacji. Prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B wystąpią w nim jednocześnie, jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, czyli:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na przykład prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim Nr 1, w wyniku dwóch prób, niebieska kula pojawi się dwukrotnie, jednakowo

Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym w wyniku dwóch prób wydobycia kulek zostaną wydobyte tylko kule niebieskie, wynosi 25%. Bardzo łatwo jest przeprowadzić praktyczne eksperymenty dotyczące tego problemu i sprawdzić, czy rzeczywiście tak jest.

Wspólne wydarzenia

Zdarzenia uważa się za wspólne, jeżeli wystąpienie jednego z nich może zbiegać się z wystąpieniem drugiego. Pomimo tego, że są one wspólne, uwzględnia się prawdopodobieństwo wystąpienia niezależnych zdarzeń. Przykładowo rzut dwiema kostkami może dać wynik, gdy na obu pojawi się cyfra 6. Choć zdarzenia zbiegły się i wystąpiły w tym samym czasie, są one od siebie niezależne – mogła wypaść tylko jedna szóstka, na drugiej kostce nie ma. na to wpływ.

Prawdopodobieństwo wspólnych zdarzeń uważa się za prawdopodobieństwo ich sumy.

Prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń. Przykład

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B, które są ze sobą powiązane, jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzenia minus prawdopodobieństwo ich wystąpienia (czyli ich wspólnego wystąpienia):

Złącze R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Załóżmy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,4. Wtedy zdarzenie A trafia w cel w pierwszej próbie, B – w drugiej. Zdarzenia te są wspólne, ponieważ możliwe jest trafienie w cel zarówno pierwszym, jak i drugim strzałem. Ale zdarzenia nie są od siebie zależne. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami (przynajmniej jednym)? Zgodnie ze wzorem:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpowiedź na pytanie brzmi: „Prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami wynosi 64%.

Ten wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia można zastosować także do zdarzeń niezgodnych, gdzie prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzenia P(AB) = 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezgodnych można uznać za przypadek szczególny proponowanej formuły.

Geometria prawdopodobieństwa dla jasności

Co ciekawe, prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń można przedstawić jako dwa obszary A i B, które się ze sobą przecinają. Jak widać na zdjęciu, obszar ich związku jest równy całkowita powierzchnia minus obszar ich przecięcia. Dzięki temu geometrycznemu wyjaśnieniu pozornie nielogiczna formuła staje się bardziej zrozumiała. Należy zauważyć, że rozwiązania geometryczne nie są rzadkością w teorii prawdopodobieństwa.

Określenie prawdopodobieństwa sumy wielu (więcej niż dwóch) wspólnych zdarzeń jest dość kłopotliwe. Aby to obliczyć, należy skorzystać ze wzorów podanych dla tych przypadków.

Zdarzenia zależne

Zdarzenia nazywamy zależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich (A) wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego (B). Uwzględnia się ponadto wpływ zarówno wystąpienia zdarzenia A, jak i jego niezaistnienia. Chociaż zdarzenia z definicji nazywane są zależnymi, tylko jedno z nich jest zależne (B). Prawdopodobieństwo zwyczajne oznaczono jako P(B) lub prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych. W przypadku zdarzeń zależnych wprowadza się nowe pojęcie – prawdopodobieństwo warunkowe P A (B), które jest prawdopodobieństwem zdarzenia zależnego B pod warunkiem wystąpienia zdarzenia A (hipotezy), od którego to zależy.

Ale zdarzenie A jest również losowe, więc również ma prawdopodobieństwo, które wymaga i może być brane pod uwagę w przeprowadzanych obliczeniach. Poniższy przykład pokaże, jak pracować ze zdarzeniami zależnymi i hipotezą.

Przykład obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych

Dobrym przykładem obliczania zdarzeń zależnych może być standardowa talia kart.

Na przykładzie talii 36 kart przyjrzyjmy się zdarzeniom zależnym. Musimy określić prawdopodobieństwo, że druga karta wylosowana z talii będzie karo, jeśli pierwszą wylosowaną kartą będzie:

1. Bubnowaja.
2. Inny kolor.

Oczywiście prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia B zależy od pierwszego A. Jeśli więc prawdą jest pierwsza opcja, że ​​w talii jest o 1 kartę (35) i 1 karo (8) mniej, prawdopodobieństwo zdarzenia B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Jeśli druga opcja jest prawdziwa, wówczas talia liczy 35 kart, a pełna liczba karo (9) jest nadal zachowana, wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia następującego zdarzenia B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Można zauważyć, że jeśli zdarzenie A jest uwarunkowane tym, że pierwszą kartą jest karo, to prawdopodobieństwo zdarzenia B maleje i odwrotnie.

Mnożenie zdarzeń zależnych

Kierując się poprzednim rozdziałem, pierwsze zdarzenie (A) przyjmujemy za fakt, jednak w istocie ma ono charakter losowy. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, czyli wylosowania diamentu z talii kart, jest równe:

P(A) = 9/36=1/4

Ponieważ teoria nie istnieje sama w sobie, lecz ma służyć celom praktycznym, należy zauważyć, że najczęściej potrzebne jest prawdopodobieństwo wytworzenia zależnych zdarzeń.

Zgodnie z twierdzeniem o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń zależnych, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń wspólnie zależnych A i B jest równe prawdopodobieństwu jednego zdarzenia A pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B (zależne od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Następnie, w przykładzie talii, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze karo wynosi:

9/36*8/35=0,0571, czyli 5,7%

A prawdopodobieństwo wydobycia najpierw nie diamentów, a potem diamentów, jest równe:

27/36*9/35=0,19, czyli 19%

Można zauważyć, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B jest większe pod warunkiem, że zostanie wylosowana pierwsza karta w kolorze innym niż karo. Wynik ten jest dość logiczny i zrozumiały.

Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia

Kiedy problem prawdopodobieństw warunkowych staje się wieloaspektowy, nie można go obliczyć za pomocą konwencjonalnych metod. Gdy istnieją więcej niż dwie hipotezy, a mianowicie A1, A2,…, An, ..tworzy się kompletna grupa zdarzeń pod warunkiem:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ja ∩ A jot =Ř,i≠j.
• Σ k ZA k = Ω.

Zatem wzór na prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia B przy pełnej grupie zdarzeń losowych A1, A2,..., An jest równy:

Patrząc w przyszłość

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest niezwykle potrzebne w wielu dziedzinach nauki: ekonometrii, statystyce, fizyce itp. Ponieważ niektórych procesów nie można opisać deterministycznie, ponieważ same mają charakter probabilistyczny, wymagane są specjalne metody pracy. Teorię prawdopodobieństwa zdarzenia można zastosować w dowolnej dziedzinie technologicznej jako sposób na określenie możliwości wystąpienia błędu lub nieprawidłowego działania.

Można powiedzieć, że rozpoznając prawdopodobieństwo, w pewnym sensie robimy teoretyczny krok w przyszłość, patrząc na nią przez pryzmat formuł.

Główną koncepcją teorii prawdopodobieństwa jest koncepcja zdarzenia losowego. Losowe wydarzenie to zdarzenie, które może wystąpić lub nie, jeśli zostaną spełnione określone warunki. Przykładowo trafienie w konkretny obiekt lub chybienie przy strzelaniu do tego obiektu z danej broni jest zdarzeniem losowym.

Wydarzenie nazywa się niezawodny, jeżeli w wyniku badania koniecznie do tego dojdzie. Niemożliwe Nazywa się zdarzenie, które nie może wystąpić w wyniku testu.

Zdarzenia losowe nazywane są niezgodny w danej rozprawie, jeśli żadne z nich nie może stawić się razem.

Formularz zdarzeń losowych pełna grupa, jeżeli podczas każdej rozprawy może wystąpić którekolwiek z nich i nie może nastąpić żadne inne zdarzenie z nimi niezgodne.

Rozważmy całą grupę równie możliwych niezgodnych zdarzeń losowych. Takie zdarzenia nazwiemy wyniki lub zdarzenia elementarne. Wynik nazywa się korzystny wystąpienie zdarzenia $A$, jeżeli wystąpienie tego wyniku pociąga za sobą wystąpienie zdarzenia $A$.

Przykład. W urnie znajduje się 8 ponumerowanych kul (każda kula ma jedną liczbę od 1 do 8). Kule z numerami 1, 2, 3 są czerwone, pozostałe są czarne. Pojawienie się bili z numerem 1 (lub numerem 2 lub 3) jest zdarzeniem sprzyjającym pojawieniu się bili czerwonej. Pojawienie się bili z liczbą 4 (lub liczbą 5, 6, 7, 8) jest zdarzeniem sprzyjającym pojawieniu się bili czarnej.

Prawdopodobieństwo zdarzenia$A$ to stosunek liczby $m$ wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowitej liczby $n$ wszystkich równie możliwych niezgodnych wyników elementarnych tworzących pełną grupę $$P(A)=\frac(m)( N). \quad(1)$$

Właściwość 1. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden
Własność 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.
Własność 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest liczbą dodatnią z zakresu od zera do jeden.

Zatem prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia podwójną nierówność $0 \le P(A) \le 1$ .

Przydatne materiały

Kalkulatory internetowe

Duża liczba problemów rozwiązywanych za pomocą wzoru (1) dotyczy zagadnienia prawdopodobieństwa hipergeometrycznego. Poniżej znajdziesz opisy popularnych problemów oraz kalkulatory online do ich rozwiązań, korzystając z linków:

• Problem z kulami (w urnie znajduje się $k$ białych i $n$ czarnych kul, wyjęto kule $m$...)
• Problem z częściami (pudełko zawiera $k$ standardowych i $n$ wadliwych części, $m$ części są wyjęte...)
• Problem z losami na loterię (w loterii jest losów o wartości $k$ i $n$, które nie wygrywają, kupowane są losy o wartości $m$...)

Artykuły edukacyjne z przykładami

• Jak znaleźć prawdopodobieństwo w problemach z rzutem monetą?

Przykłady rozwiązań prawdopodobieństwa klasycznego

Przykład. W urnie znajduje się 10 ponumerowanych kul o liczbach od 1 do 10. Wyjmujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wylosowanych kul nie będzie większa niż 10?

Rozwiązanie. Niech wydarzenie A= (Liczba wylosowanej kuli nie przekracza 10). Liczba przypadków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia A równa liczbie wszystkich możliwych przypadków M=N=10. Stąd, R(A)=1. Wydarzenie I niezawodny.

Przykład. W urnie znajduje się 10 kul: 6 białych i 4 czarne. Wyjęto dwie piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe?

Rozwiązanie. Możesz usunąć dwie kule z dziesięciu na kilka sposobów: .
Ile razy pomiędzy tymi dwiema kulami znajdą się dwie białe kule, wynosi .
Wymagane prawdopodobieństwo
.

Przykład. W urnie znajduje się 15 kul: 5 białych i 10 czarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z urny wylosujemy kulę niebieską?

Rozwiązanie. A zatem w urnie nie ma niebieskich kul M=0, N=15. Dlatego wymagane prawdopodobieństwo R=0. Wydarzenie polegające na wylosowaniu niebieskiej kuli niemożliwe.

Przykład. Z talii 36 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojawi się karta w kolorze kier?

Rozwiązanie. Liczba wyników elementarnych (liczba kart) N=36. Wydarzenie A= (Wygląd karty w kolorze serca). Liczba przypadków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia A, M=9. Stąd,
.

prawdopodobieństwo- liczba z zakresu od 0 do 1, która odzwierciedla prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego, gdzie 0 oznacza całkowity brak prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia, a 1 oznacza, że ​​dane zdarzenie na pewno nastąpi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia E jest liczbą od do 1.
Suma prawdopodobieństw zdarzeń wzajemnie się wykluczających jest równa 1.

prawdopodobieństwo empiryczne- prawdopodobieństwo, które oblicza się jako względną częstotliwość zdarzenia w przeszłości, uzyskaną z analizy danych historycznych.

Prawdopodobieństwa bardzo rzadkich zdarzeń nie można obliczyć empirycznie.

subiektywne prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo oparte na osobistej, subiektywnej ocenie zdarzenia bez uwzględnienia danych historycznych. Inwestorzy podejmujący decyzje dotyczące kupna i sprzedaży akcji często działają w oparciu o subiektywne prawdopodobieństwo.

prawdopodobieństwo wcześniejsze -

Szansa wynosi 1 do… (szansa), że zdarzenie nastąpi zgodnie z pojęciem prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wyraża się prawdopodobieństwem w następujący sposób: P/(1-P).

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0,5, wówczas szansa na zdarzenie wynosi 1 do 2, ponieważ 0,5/(1-0,5).

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, oblicza się ze wzoru (1-P)/P

Niespójne prawdopodobieństwo- przykładowo cena akcji spółki A uwzględnia możliwe zdarzenie E w 85%, a cena akcji spółki B tylko w 50%. Nazywa się to niespójnym prawdopodobieństwem. Zgodnie z holenderskim twierdzeniem o zakładach, niespójne prawdopodobieństwo stwarza możliwości zysku.

Bezwarunkowe prawdopodobieństwo jest odpowiedzią na pytanie „Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi?”

Prawdopodobieństwo warunkowe- to jest odpowiedź na pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli zajdzie zdarzenie B.” Prawdopodobieństwo warunkowe oznacza się jako P(A|B).

Wspólne prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B wystąpią jednocześnie. Oznaczone jako P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Zasada sumowania prawdopodobieństw:

Prawdopodobieństwo, że nastąpi zdarzenie A lub zdarzenie B wynosi

P (A lub B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, to

P (A lub B) = P(A) + P(B)

Niezależne wydarzenia - zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Oznacza to, że jest to sekwencja wyników, w której wartość prawdopodobieństwa jest stała od jednego zdarzenia do następnego.
Przykładem takiego zdarzenia jest rzut monetą – wynik każdego kolejnego rzutu nie zależy od wyniku poprzedniego.

Zdarzenia zależne- są to zdarzenia, w przypadku których prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zależy od prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń:
Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Reguła całkowitego prawdopodobieństwa:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S i S” są zdarzeniami wzajemnie się wykluczającymi

wartość oczekiwana zmienna losowa to średnia możliwych wyników zmienna losowa. Dla zdarzenia X oczekiwanie jest oznaczane jako E(X).

Załóżmy, że mamy 5 wartości wzajemnie wykluczających się zdarzeń z pewnym prawdopodobieństwem (np. dochód firmy z takim prawdopodobieństwem wyniósł taką a taką kwotę). Wartość oczekiwana to suma wszystkich wyników pomnożona przez ich prawdopodobieństwo:

Rozproszenie zmiennej losowej to oczekiwane kwadratowe odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań:

s 2 = mi ( 2 ) (6)

Warunkowa wartość oczekiwana to oczekiwana wartość zmiennej losowej X, pod warunkiem, że zdarzenie S już nastąpiło.

Wszystko na świecie dzieje się deterministycznie lub przez przypadek...
Arystoteles

Prawdopodobieństwo: podstawowe zasady

Teoria prawdopodobieństwa oblicza prawdopodobieństwa różnych zdarzeń. Podstawą teorii prawdopodobieństwa jest koncepcja zdarzenia losowego.

Na przykład rzucasz monetą, która losowo ląduje na reszce lub reszce. Nie wiesz z góry, po której stronie wyląduje moneta. Zawierasz umowę ubezpieczenia, nie wiesz z góry, czy płatności zostaną zrealizowane, czy nie.

W obliczeniach aktuarialnych trzeba umieć oszacować prawdopodobieństwo różnych zdarzeń, dlatego kluczową rolę odgrywa teoria prawdopodobieństwa. Żadna inna dziedzina matematyki nie zajmuje się prawdopodobieństwem zdarzeń.

Przyjrzyjmy się bliżej rzutowi monetą. Istnieją 2 wzajemnie wykluczające się wyniki: wypada herb lub wypadają ogony. Wynik rzutu jest losowy, ponieważ obserwator nie jest w stanie przeanalizować i wziąć pod uwagę wszystkich czynników wpływających na wynik. Jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia herbu? Większość odpowie ½, ale dlaczego?

Niech będzie formalnie A wskazuje na utratę herbu. Niech rzuci monetą N raz. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A można zdefiniować jako proporcję rzutów, w wyniku których powstaje herb:

Gdzie N całkowita liczba rzutów, n(A) liczba zrzutów herbowych.

Nazywa się relację (1). częstotliwość wydarzenia A w długiej serii testów.

Okazuje się, że w różnych seriach testów odpowiednia częstotliwość jest ogólnie dostępna N skupiają się wokół jakiejś stałej wartości ROCZNIE). Ta ilość nazywa się prawdopodobieństwo zdarzenia A i jest oznaczony literą R- skrót od Angielskie słowo prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo.

Formalnie mamy:

(2)

To prawo nazywa się prawo wielkich liczb.

Jeżeli moneta jest uczciwa (symetryczna), to prawdopodobieństwo otrzymania herbu jest równe prawdopodobieństwu wyrzucenia orła i wynosi ½.

Pozwalać A I W niektóre zdarzenia, na przykład to, czy zdarzenie objęte ubezpieczeniem miało miejsce, czy nie. Połączenie dwóch zdarzeń jest zdarzeniem polegającym na wykonaniu zdarzenia A, wydarzenia W lub oba zdarzenia razem. Skrzyżowanie dwóch wydarzeń A I W zwane zdarzeniem polegającym na realizacji jako zdarzenie A i wydarzenia W.

Podstawowe zasady Rachunek prawdopodobieństwa zdarzeń wygląda następująco:

1. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od zera do jednego:

2. Niech A i B będą dwoma zdarzeniami, a następnie:

Brzmi to tak: prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo przecięcia się zdarzeń. Jeżeli zdarzenia są niezgodne lub nie nakładają się na siebie, wówczas prawdopodobieństwo kombinacji (sumy) dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw. To prawo nazywa się prawem dodatek prawdopodobieństwa.

Mówimy, że zdarzenie jest wiarygodne, jeśli jego prawdopodobieństwo jest równe 1. Analizując pewne zjawiska, pojawia się pytanie, jak wystąpienie zdarzenia wpływa na W po zaistnieniu zdarzenia A. Aby to zrobić, wejdź prawdopodobieństwo warunkowe :

(4)

Brzmi to tak: prawdopodobieństwo wystąpienia A jeśli się uwzględni W równa się prawdopodobieństwu przecięcia A I W podzielone przez prawdopodobieństwo zdarzenia W.
Wzór (4) zakłada prawdopodobieństwo zdarzenia W więcej niż zero.

Wzór (4) można również zapisać jako:

(5)

To jest formuła mnożenie prawdopodobieństw.

Nazywa się także prawdopodobieństwem warunkowym a posteriori prawdopodobieństwo zdarzenia A- prawdopodobieństwo wystąpienia A po ataku W.

W tym przypadku nazywa się samo prawdopodobieństwo apriorycznie prawdopodobieństwo. Istnieje kilka innych ważnych wzorów, które są intensywnie stosowane w obliczeniach aktuarialnych.

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Załóżmy, że przeprowadzany jest eksperyment, którego warunki można z góry ustalić wzajemnie wzajemnie wykluczające się założenia (hipotezy):

Zakładamy, że istnieje albo hipoteza, albo... albo. Prawdopodobieństwa tych hipotez są znane i równe:

Wtedy formuła obowiązuje pełny prawdopodobieństwa :

(6)

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A równa sumie iloczynów prawdopodobieństwa wystąpienia A dla każdej hipotezy na prawdopodobieństwo tej hipotezy.

Formuła Bayesa

Formuła Bayesa pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa hipotez w świetle nowych informacji dostarczonych przez wynik A.

Wzór Bayesa jest w pewnym sensie odwrotnością wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Rozważmy następujący problem praktyczny.

Problem 1

Załóżmy, że doszło do katastrofy lotniczej i eksperci są zajęci badaniem jej przyczyn. 4 powody, dla których doszło do katastrofy, są znane z góry: albo przyczyna, albo, albo, albo. Według dostępnych statystyk przyczyny te mają następujące prawdopodobieństwo:

Podczas badania miejsca katastrofy znaleziono ślady zapłonu paliwa, według statystyk prawdopodobieństwo tego zdarzenia z tego czy innego powodu jest następujące:

Pytanie: jaka jest najbardziej prawdopodobna przyczyna katastrofy?

Obliczmy prawdopodobieństwa przyczyn w warunkach wystąpienia zdarzenia A.

Z tego widać, że pierwszy powód jest najbardziej prawdopodobny, ponieważ jego prawdopodobieństwo jest maksymalne.

Problem 2

Weźmy pod uwagę lądowanie samolotu na lotnisku.

Po wylądowaniu warunki atmosferyczne może wyglądać następująco: brak niskich chmur (), niskie chmury tak (). W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo bezpiecznego lądowania wynosi P1. W drugim przypadku - P2. To jasne P1>P2.

Urządzenia zapewniające ślepe lądowanie mają prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy R. Jeśli zachmurzenie jest niskie i zawiodły przyrządy do lądowania na ślepo, prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi P3, I P3<Р2 . Wiadomo, że dla danego lotniska odsetek dni w roku z niskim zachmurzeniem wynosi .

Znajdź prawdopodobieństwo bezpiecznego wylądowania samolotu.

Musimy znaleźć prawdopodobieństwo.

Istnieją dwie wzajemnie wykluczające się opcje: urządzenia do lądowania na ślepo działają, urządzenia do lądowania na ślepo uległy awarii, więc mamy:

Zatem zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

Problem 3

Firma ubezpieczeniowa zapewnia ubezpieczenie na życie. 10% ubezpieczonych w tej firmie to palacze. Jeżeli ubezpieczony nie pali, prawdopodobieństwo jego śmierci w ciągu roku wynosi 0,01. Jeżeli jest palaczem, to prawdopodobieństwo wynosi 0,05.

Jaki jest odsetek palaczy wśród ubezpieczonych, którzy zmarli w ciągu roku?

Możliwe odpowiedzi: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

Rozwiązanie

Wejdźmy w wydarzenia:

Stan problemu o tym świadczy

Ponadto, ponieważ zdarzenia tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych parami, wówczas .
Prawdopodobieństwo, które nas interesuje, wynosi .

Korzystając ze wzoru Bayesa mamy:

dlatego poprawną opcją jest ( W).

Problem 4

Towarzystwo ubezpieczeniowe sprzedaje umowy ubezpieczenia na życie w trzech kategoriach: standardowe, preferowane i ultrauprzywilejowane.

50% wszystkich ubezpieczonych to osoby ubezpieczone standardowo, 40% to osoby preferowane, a 10% to osoby ultrauprzywilejowane.

Prawdopodobieństwo śmierci w ciągu roku dla ubezpieczonego standardowego wynosi 0,010, dla uprzywilejowanego – 0,005, a dla ultrauprzywilejowanego – 0,001.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmarły ubezpieczony jest osobą ultrauprzywilejowaną?

Rozwiązanie

Wprowadźmy pod uwagę następujące zdarzenia:

Jeśli chodzi o te zdarzenia, prawdopodobieństwo, które nas interesuje, wynosi . Zgodnie z warunkiem:

Ponieważ zdarzenia , tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych parami, korzystając ze wzoru Bayesa mamy:

Zmienne losowe i ich charakterystyka

Niech będzie to jakaś zmienna losowa, na przykład szkody powstałe w wyniku pożaru lub wysokość składek ubezpieczeniowych.
Zmienna losowa jest całkowicie scharakteryzowana przez swoją funkcję rozkładu.

Definicja. Funkcjonować zwany funkcja dystrybucji zmienna losowa ξ .

Definicja. Jeśli istnieje taka funkcja, że ​​dla arbitralnie A zakończony