На тему «Трикутник», мабуть, можна було написати цілу книжку. Але книжку повністю читати надто довго, правда? Тому ми тут розглянемо лише факти, які стосуються взагалі будь-якого трикутника, а всякі спеціальні теми, такі як , і т.д. виділені на окремі теми - читай книжку по шматочках. Ну ось, що стосується будь-якого трикутника.
Запам'ятай твердо і не забувай. Доводити ми це не будемо (дивися такі рівні теорії).
Єдине, що тебе може бентежити у нашому формулюванні – це слово «внутрішніх».
Навіщо воно тут? А ось саме для того, щоб підкреслити, що йдеться про кути, які всередині трикутника. Хіба бувають ще якісь кути зовні? Ось уяви собі, бувають. У трикутника ще бувають зовнішні кути. І найголовніше наслідок того факту, що сума внутрішніх кутівтрикутника дорівнює, стосується якраз зовнішнього трикутника. Так що давай з'ясуємо, що таке цей зовнішній куттрикутник.
Дивись на картинку: беремо трикутник і одну сторону (скажімо) продовжуємо.
Звичайно, ми могли б залишити бік, а продовжити бік. Ось так:
А ось про кут такого сказати в жодному разі не можна!
Так що не кожен кут зовні трикутника має право називається зовнішнім кутом, а лише той, який утворений однією стороною та продовженням іншої сторони.
То що ж ми маємо знати про зовнішній кут?
Дивись на нашому малюнку це означає, що.
Як це пов'язано із сумою кутів трикутника?
Давай розберемося. Сума внутрішніх кутів дорівнює
але - тому, що і суміжні.
От і виходить: .
Бачиш як просто? Але дуже важливо. Так що запам'ятай:
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює, а зовнішній кут трикутника дорівнює сумідвох внутрішніх, не суміжних із ним.
Наступний факт стосується не кутів, а сторін трикутника.
Це означає, що
Ти вже здогадався, чому цей факт називається нерівністю трикутника?
Ну ось, а де ж ця нерівність трикутника може виявитися корисною?
А уяви, що в тебе є три друзі: Коля, Петя та Сергій. І ось, Коля каже: «Від мого дому до Петіного по прямій». А Петя: «Від мого дому до будинку Сергія метрів прямо». А Сергій: «Вам добре, а від мого дому до Коліного аж по прямій». Ну, тут уже ти маєш сказати: «Стоп, стоп! Хтось із вас говорить неправду!»
Чому? Та тому що якщо від Колі до Петі м, а від Петі до Сергія м, то від Колі до Сергія точно має бути менше () метрів - інакше і порушується та сама нерівність трикутника. Ну і здоровий глуздточно, природно, порушується: адже кожному з дитинства невідомо, що шлях до прямої () має бути коротшим, ніж шлях із заходом у крапку. (). Тож нерівність трикутника просто відображає цей загальновідомий факт. Ну ось, ти тепер знаєш, як відповідати на таке, скажімо, питання:
Чи буває трикутник із сторонами?
Ти повинен перевірити, чи правда, що будь-які два числа з цих трьох у сумі більше третього. Перевіряємо: значить трикутника зі сторонами і не буває! А ось зі сторонами – буває, бо
Ну от, а якщо не один, а два чи більше трикутників. Як перевіриш, чи вони рівні? Загалом за визначенням:
Але ... це жахливо незручне визначення! Як, скажіть на милість, накладати два трикутники хоча б навіть у зошити? Але на наше щастя є ознаки рівності трикутників, які дозволяють діяти розумом, не наражаючи на ризик зошита.
Та й до того ж, відкинувши легковажні жарти, відкрию тобі секрет: для математика слово «накласти трикутники» означає зовсім не вирізати їх і накласти, а сказати багато – багато – багато слів, які доводитимуть, що два трикутники збігатимуться при накладенні. Так що в жодному разі не можна в роботі писати «я перевірив – трикутники збігаються при накладенні» – тобі це не зарахують, і мають рацію, тому що ніхто не гарантує, що ти при накладенні не помилився, скажімо, на чверть міліметра.
Отже, якісь математики сказали купу слів, ми за ними ці слова повторювати не будемо (хіба що в останньому рівні теорії), а активно користуватимемося трьома ознаками рівності трикутників.
У побуті (математичному) прийнято такі укорочені формулювання - їх легше запам'ятати та застосовувати.
Трикутник - це геометрична фігура, Утворена трьома відрізками, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій.
Основні поняття.
Основні властивості:
Ознаки рівності трикутників.
1. Перша ознака- з обох боків та кутку між ними.
2. Друга ознака- по двох кутах та прилеглій стороні.
3. Третя ознака- по трьох сторонах.
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути напевно кращим за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
Про те, що таке трикутник, квадрат, куб, розповідає нам наука геометрія. У сучасному світіїї вивчають у школах усі без винятку. Також наукою, яка вивчає те, що таке трикутник і які в нього властивості, є тригонометрія. Вона досліджує докладно всі явища, пов'язані з даними Про те, що таке трикутник, ми й поговоримо сьогодні у нашій статті. Нижче буде описано їх види, а також деякі теореми, пов'язані з ними.
Це плаский багатокутник. Кутів він має три, що зрозуміло з його назви. Також він має три сторони та три вершини, перші з них – це відрізки, другі – точки. Знаючи, чому рівні два кути, можна знайти третій, відібравши суму перших двох від числа 180.
Їх можна класифікувати за різними критеріями.
Насамперед вони діляться на гострокутні, тупокутні та прямокутні. Перші мають гострі кути, тобто такі, які рівні менш ніж 90 градусів. У тупокутних один із кутів — тупий, тобто такий, що дорівнює понад 90 градусів, решта двох — гострі. До гострокутних трикутників належать також і рівносторонні. У таких трикутників усі сторони та кути рівні. Всі вони дорівнюють 60 градусам, це можна легко обчислити, розділивши суму всіх кутів (180) на три.
Неможливо не поговорити про те, що таке прямокутний трикутник.
У такої фігури один кут дорівнює 90 градусів (прямий), тобто дві його сторони розташовані перпендикулярно. Інші два кути є гострими. Вони можуть бути рівними, тоді він буде рівнобедреним. З прямокутним трикутником пов'язана теорема Піфагора. За її допомогою можна знайти третю сторону, знаючи дві перші. Згідно з цією теоремою, якщо додати квадрат одного катета до квадрата іншого, можна отримати квадрат гіпотенузи. Квадрат катета можна підрахувати, відібравши від квадрата гіпотенузи квадрат відомого катета. Говорячи про те, що таке трикутник, можна згадати і про рівнобедрене. Це такий, у якого дві зі сторін рівні, також рівні і два кути.
Катет - це одна зі сторін трикутника, які утворюють кут 90 градусів. Гіпотенуза - це сторона, що залишилася, яка розташована навпроти прямого кута. З нього на катет можна опустити перпендикуляр. Ставлення прилеглого катетадо гіпотенузи називається не інакше як косинус, а протилежного синус.
Він прямокутний. Його катети дорівнюють трьом і чотирьом, а гіпотенуза — п'яти. Якщо ви побачили, що катети даного трикутникарівні трьом і чотирьом, можете не сумніватися, що гіпотенуза дорівнюватиме п'яти. Також за таким принципом можна легко визначити, що катет дорівнюватиме трьом, якщо другий дорівнює чотирьом, а гіпотенуза - п'яти. Щоб довести це твердження, можна застосувати теорему Піфагора. Якщо два катети дорівнюють 3 і 4, то 9 + 16 = 25, корінь з 25 - це 5, тобто гіпотенуза дорівнює 5. Також єгипетським трикутником називається прямокутний, сторони якого дорівнюють 6, 8 і 10; 9, 12 і 15 та іншим числам із співвідношенням 3:4:5.
Також трикутники можуть бути вписаними та описаними. Фігура, навколо якої описана коло, називається вписаною, всі її вершини є точками, що лежать на колі. Описаний трикутник - той, в який вписано коло. Усі його сторони стикаються з нею у певних точках.
Площа будь-якої фігури вимірюється у квадратних одиницях (кв. метрах, кв. міліметрах, кв. сантиметрах, кв. дециметрах і т. д.). Дану величину можна розрахувати різноманітними способами, залежно від виду трикутника. Площа будь-якої фігури з кутами можна знайти, якщо помножити її сторону на перпендикуляр, опущений на неї з протилежного кута, і розділивши цю цифру на два. Також можна знайти цю величину, якщо помножити дві сторони. Потім помножити це число на синус кута, розташованого між цими сторонами, і розділити це на два. Знаючи всі сторони трикутника, але не знаючи його кутів, можна знайти площу ще й іншим способом. Для цього необхідно знайти половину периметра. Потім по черзі відібрати від цього числа різні сторониі перемножити отримані чотири значення. Далі знайти з числа, що вийшло. Площу вписаного трикутника можна знайти, перемноживши всі сторони і розділивши отримане число на яку описано навколо нього, помножений на чотири.
Площа описаного трикутника знаходиться таким чином: половину периметра множимо на радіус кола, яке в нього вписано. Якщо його площа можна знайти таким чином: сторону зводимо в квадрат, множимо отриману цифру на корінь з трьох, далі ділимо це число на чотири. Подібним чином можна обчислити висоту трикутника, у якого всі сторони рівні, для цього одну з них потрібно помножити на корінь із трьох, а потім розділити це число на два.
Основними теоремами, пов'язані з цією фігурою, є теорема Піфагора, описана вище, і косінусів. Друга (синусів) полягає в тому, що якщо розділити будь-яку сторону на синус протилежного їй кута, то можна отримати радіус кола, яке описано навколо нього, помножений на два. Третя (косінусів) полягає в тому, що, якщо від суми квадратів двох сторін відібрати їх же твір, помножений на два і на косинус кута, розташованого між ними, то вийде квадрат третьої сторони.
Багато хто, зіткнувшись із цим поняттям, спочатку думає, що це якесь визначення в геометрії, але це зовсім не так. Трикутник Далі - це загальна назва трьох місць, які тісно пов'язані із життям знаменитого художника. «Вершинами» його є будинок, де Сальвадор Далі жив, замок, який він подарував своїй дружині, а також музей сюрреалістичних картин. Під час екскурсії цими місцями можна дізнатися багато найцікавіших фактівпро цього своєрідного креативного художника, відомого у всьому світі.
Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те, що існують різні видитрикутників, які мають особливі властивості.
Утворена трьома точками та відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізки мають бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури "трикутник".
Оскільки вони можуть бути гострими, тупими та прямими, то й види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких постатей три.
Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:
загальний випадок - різнобічний, у якому всі сторони мають довільну довжину;
рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;
рівносторонній, довжини всіх сторін однакові.
Якщо завдання не вказано конкретний виглядтрикутника, потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.
Ці властивості справедливі завжди, які види трикутників не розглядалися в задачах. Всі інші випливають із конкретних особливостей.
Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, рівнобедрений трикутник не обов'язково буде рівностороннім.
№1. Даний рівнобедрений трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно впізнати його сторони. Як додаткова умова: бічна сторона менша за основу в 1,2 рази.
Значення периметра безпосередньо залежить від величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер слід згадати ознаку трикутника, за яким він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а – бічна сторона, в – основа.
Настала черга додаткової умови. Наслідуючи його, виходить друге рівняння: в = 1,2а. Можна виконати підстановку цього виразу перше. Вийде: 2а + 1,2а = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер неважко дізнатися про основу. Найкраще це зробити з другої умови: = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).
Для перевірки можна скласти три значення: 28,125*2+33,75=90 (см). Все вірно.
Відповідь: сторони трикутника дорівнюють 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.
№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.
Рішення. Для пошуку відповіді достатньо повернутись до того моменту, де були описані властивості трикутника. Так зазначено формулу для знаходження висоти, медіани та бісектриси рівностороннього трикутника.
н = а * √3/2, де н – висота, а – сторона.
Підстановка та обчислення дають такий результат: н = 6 √3 (см).
Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому це сторона вихідного, другий катет - половина відомої сторони. Тепер потрібно записати теорему Піфагора та вивести формулу для висоти.
Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.
№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів у якому становить кут К. Відомі сторони МР і КР, вони рівні відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.
Рішення. Якщо зробити креслення, стає ясно, що МР — гіпотенуза. Причому вона вдвічі більша за катет КР. Знову слід звернутися до властивостей. Одне з них пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30 º. Значить шуканий кут Р дорівнюватиме 60º. Це випливає з іншої властивості, яка стверджує, що сума двох гострих кутів має дорівнювати 90 º.
Відповідь: кут Р дорівнює 60 º.
№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута на підставі дорівнює 110º.
Рішення. Оскільки даний лише зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює із внутрішнім кутом розгорнутий.Значить у сумі вони дадуть 180 º. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке саме значення. Залишилося вирахувати третій кут. За якістю, загальною всім трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Отже, третій визначиться як 180 º - 70 º - 70 º = 40 º.
Відповідь: кути дорівнюють 70º, 70º, 40º.
№5. Відомо, що в рівнобедреному трикутнику кут, що лежить навпроти основи, дорівнює 90º. На підставі зазначено крапку. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його щодо 1 до 4. Потрібно дізнатися про всі кути меншого трикутника.
Рішення. Один із кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутнийі рівнобедрений, те, що лежать біля його основи, будуть по 45º, тобто по 90º/2.
Другий із них допоможе знайти відоме в умові ставлення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться, виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º/5 = 18º. Залишилось дізнатися третій. Для цього від 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º та 18º. Обчислення нескладні і вийде: 117º.
