Ko'rsatmalar
Berilganlarni yozing logarifmik ifoda. Agar ifoda 10 ning logarifmasidan foydalansa, uning yozuvi qisqartiriladi va quyidagicha ko'rinadi: lg b - o'nlik logarifm. Agar logarifmning asosi e soniga ega bo'lsa, u holda ifodani yozing: ln b - tabiiy logarifm. Har qanday ning natijasi b sonini olish uchun asosiy sonni ko'tarish kerak bo'lgan kuch ekanligi tushuniladi.
Ikki funktsiyaning yig'indisini topishda ularni birma-bir farqlash va natijalarni qo'shish kifoya: (u+v)" = u"+v";
Ikki funktsiya ko'paytmasining hosilasini topishda birinchi funktsiyaning hosilasini ikkinchisiga ko'paytirish va ikkinchi funktsiyaning hosilasini birinchi funktsiyaga ko'paytirishni qo'shish kerak: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini topish uchun dividendning hosilasini bo'luvchi funktsiyaga ko'paytiruvchi hosilasidan bo'linuvchining hosilasining dividend funktsiyasiga ko'paytmasini ayirish va bo'lish kerak. bularning barchasi bo'linuvchi funktsiyaning kvadratiga ko'ra. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Agar kompleks funktsiya berilgan bo'lsa, unda hosilasini ko'paytirish kerak ichki funktsiya va tashqi hosilasi. y=u(v(x)), keyin y"(x)=y"(u)*v"(x) bo'lsin.
Yuqorida olingan natijalardan foydalanib, siz deyarli har qanday funktsiyani farqlashingiz mumkin. Shunday qilib, keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Bir nuqtada hosilani hisoblash bilan bog'liq muammolar ham mavjud. y=e^(x^2+6x+5) funksiya berilsin, funksiyaning x=1 nuqtadagi qiymatini topish kerak.
1) Funktsiyaning hosilasini toping: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Berilgan y"(1)=8*e^0=8 nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblang.
Mavzu bo'yicha video
Elementar hosilalar jadvali bilan tanishing. Bu vaqtni sezilarli darajada tejaydi.
Manbalar:
Xo'sh, irratsional tenglama va ratsional tenglama o'rtasidagi farq nima? Agar noma'lum o'zgaruvchi kvadrat ildiz belgisi ostida bo'lsa, u holda tenglama irratsional deb hisoblanadi.
Ko'rsatmalar
Bunday tenglamalarni yechishning asosiy usuli har ikki tomonni qurish usuli hisoblanadi tenglamalar kvadratga. Biroq. bu tabiiydir, birinchi navbatda siz bu belgidan xalos bo'lishingiz kerak. Bu usul texnik jihatdan qiyin emas, lekin ba'zida muammoga olib kelishi mumkin. Masalan, tenglama v(2x-5)=v(4x-7). Ikkala tomonni kvadratga aylantirib, siz 2x-5 = 4x-7 olasiz. Bunday tenglamani yechish qiyin emas; x=1. Ammo 1 raqami berilmaydi tenglamalar. Nega? Tenglamada x qiymati o'rniga bittasini qo'ying Va o'ng va chap tomonlarda mantiqiy bo'lmagan ifodalar bo'ladi, ya'ni. Bu qiymat kvadrat ildiz uchun mos emas. Demak, 1 - begona ildiz va shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Demak, irratsional tenglama uning ikkala tomonini kvadratlash usuli yordamida yechiladi. Va tenglamani hal qilgandan so'ng, begona ildizlarni kesib tashlash kerak. Buning uchun topilgan ildizlarni asl tenglamaga almashtiring.
Boshqasini ko'rib chiqing.
2x+vx-3=0
Albatta, bu tenglamani oldingi tenglama yordamida yechish mumkin. Murakkablarni ko'chirish tenglamalar, kvadrat ildizga ega bo'lmagan, o'ng tomonga va keyin kvadrat usulidan foydalaning. olingan ratsional tenglama va ildizlarni yeching. Ammo yana bir, yanada oqlangan. Yangi o'zgaruvchini kiriting; vx=y. Shunga ko'ra, siz 2y2+y-3=0 ko'rinishdagi tenglamani olasiz. Ya'ni, odatiy kvadrat tenglama. Uning ildizlarini toping; y1=1 va y2=-3/2. Keyin ikkitasini hal qiling tenglamalar vx=1; vx=-3/2. Ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q, birinchidan biz x=1 ekanligini topamiz. Ildizlarni tekshirishni unutmang.
Identifikatsiyani hal qilish juda oddiy. Buni amalga oshirish uchun siz qilishingiz kerak identifikatsiya o'zgarishlari maqsadga erishilgunga qadar. Shunday qilib, oddiy arifmetik amallar yordamida berilgan vazifa hal qilinadi.
Sizga kerak bo'ladi
Ko'rsatmalar
Bunday o'zgartirishlarning eng oddiylari algebraik qisqartirilgan ko'paytirishdir (masalan, yig'indining kvadrati (farq), kvadratlar ayirmasi, yig'indisi (farq), yig'indining kubi (farq)). Bundan tashqari, ko'plab trigonometrik formulalar mavjud bo'lib, ular asosan bir xil identifikatsiyadir.
Darhaqiqat, ikki had yig'indisining kvadrati birinchisining kvadratiga plyus birinchisining ikkinchisiga ko'paytmasining ikki barobariga va ikkinchisining kvadratiga plyus, ya'ni (a+b)^2= (a+)ga teng. b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Ikkalasini ham soddalashtiring
Ibtidoiy darajadagi algebraning elementlaridan biri logarifmdir. Ism dan keladi yunon tili"raqam" yoki "kuch" so'zidan kelib chiqadi va yakuniy raqamni topish uchun bazadagi raqamni ko'tarish darajasini bildiradi.
b ning a asosining logarifmi ko'rsatkich bo'lib, b ni a asosga ko'tarishni talab qiladi. Olingan natija shunday talaffuz qilinadi: “b ning a asosiga logarifmi”. Logarifmik masalalarning yechimi shundan iboratki, berilgan quvvatni ko'rsatilgan raqamlardan raqamlarda aniqlash kerak. Logarifmni aniqlash yoki echish, shuningdek, yozuvning o'zini o'zgartirish uchun ba'zi asosiy qoidalar mavjud. Ulardan foydalanib, yechim tayyorlanadi logarifmik tenglamalar, hosilalar topiladi, integrallar yechiladi va boshqa ko‘plab amallar bajariladi. Asosan, logarifmning o'zi yechimi uning soddalashtirilgan yozuvidir. Quyida asosiy formulalar va xususiyatlar keltirilgan:
Har qanday a uchun; a > 0; a ≠ 1 va har qanday x uchun; y > 0.
Iltimos, diqqat qiling: agar asosiy logarifm 10 bo'lsa, u holda yozuv qisqartiriladi, natijada o'nlik logarifm hosil bo'ladi. Agar e natural soni bo'lsa, biz uni natural logarifmaga tushirib yozamiz. Bu shuni anglatadiki, barcha logarifmlarning natijasi b sonini olish uchun asosiy raqam ko'tarilgan kuchdir.
To'g'ridan-to'g'ri, yechim bu darajani hisoblashda yotadi. Ifodani logarifm bilan yechishdan oldin uni qoida bo‘yicha, ya’ni formulalar yordamida soddalashtirish kerak. Maqolada bir oz orqaga qaytib, asosiy identifikatorlarni topishingiz mumkin.
Ikki xil sonli, lekin asoslari bir xil boʻlgan logarifmlarni qoʻshish va ayirishda, mos ravishda b va c sonlarining koʻpaytmasi yoki boʻlinishi bilan bitta logarifm bilan almashtiring. Bunday holda, siz boshqa bazaga o'tish uchun formulani qo'llashingiz mumkin (yuqoriga qarang).
Agar logarifmni soddalashtirish uchun iboralardan foydalansangiz, ba'zi cheklovlarni hisobga olish kerak. Va bu: a logarifmasining asosi faqat ijobiy son, lekin bittaga teng emas. b soni, a kabi, noldan katta bo'lishi kerak.
Shunday holatlar mavjudki, ifodani soddalashtirib, logarifmni sonli hisoblab bo'lmaydi. Bunday iboraning ma'nosi yo'q, chunki ko'p kuchlar irratsional sonlardir. Ushbu shartda raqamning kuchini logarifm sifatida qoldiring.
\(a^(b)=c\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\log_(a)(c)=b\)
Keling, buni soddaroq tushuntirib beraylik. Masalan, \(\log_(2)(8)\) quvvatga teng, \(8\) olish uchun \(2\) ko'tarilishi kerak. Bundan ma'lum bo'ladiki, \(\log_(2)(8)=3\).
|
Misollar: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
chunki \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
chunki \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
chunki \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Har qanday logarifm quyidagi "anatomiyaga" ega:
Logarifmning argumenti odatda uning darajasida yoziladi, asos esa logarifm belgisiga yaqinroq bo'lgan pastki chiziqda yoziladi. Va bu yozuv quyidagicha o'qiydi: "beshtadan yigirma beshdan logarifm".
Masalan, logarifmni hisoblang: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(16\) ni olish uchun \(4\) ni qanday quvvatga oshirish kerak? Shubhasiz, ikkinchisi. Shunung uchun:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(1\) ni olish uchun \(\sqrt(5)\) qanday quvvatga ko'tarilishi kerak? Qaysi kuch har qanday raqamni birinchi qiladi? Albatta, nol!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) ni olish uchun \(\sqrt(7)\)ni qanday quvvatga oshirish kerak? Birinchidan, birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(\sqrt(3)\) ni olish uchun \(3\) ni qanday quvvatga oshirish kerak? Biz bilamizki, bu kasr kuchi, ya'ni Kvadrat ildiz kuchi \(\frac(1)(2)\) hisoblanadi.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Misol : Logarifmni hisoblang \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Yechim :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Logarifmning qiymatini topishimiz kerak, uni x deb belgilaymiz. Endi logarifm ta’rifidan foydalanamiz: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) va \(8\) ni nima bog'laydi? Ikki, chunki ikkala raqam ham ikkita bilan ifodalanishi mumkin: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Chapda biz darajaning xususiyatlaridan foydalanamiz: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) va \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Bazalar teng, biz ko'rsatkichlar tengligiga o'tamiz |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Tenglamaning ikkala tomonini \(\frac(2)(5)\) ga ko'paytiring. |
|
|
Olingan ildiz logarifmning qiymati |
Javob : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Buni tushunish uchun tenglamani yechamiz: \(3^(x)=9\). Tenglama ishlash uchun \(x\) ni moslang. Albatta, \(x=2\).
Endi tenglamani yeching: \(3^(x)=8\).X nimaga teng? Gap shundaki.
Eng aqllilar: "X - ikkitadan ozroq", - deyishadi. Bu raqamni qanday yozish kerak? Bu savolga javob berish uchun logarifm ixtiro qilindi. Unga rahmat, bu erda javob \(x=\log_(3)(8)\) shaklida yozilishi mumkin.
Shuni ta'kidlashni istardimki, \(\log_(3)(8)\), kabi har qanday logarifm shunchaki raqamdir. Ha, bu g'ayrioddiy ko'rinadi, lekin u qisqa. Chunki biz uni shaklda yozmoqchi bo'lsak kasr, u quyidagicha ko'rinadi: \(1.892789260714.....\)
Misol : \(4^(5x-4)=10\) tenglamani yeching.
Yechim :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) va \(10\) bir xil bazaga keltirilmaydi. Bu shuni anglatadiki, siz logarifmsiz qilolmaysiz. Keling, logarifmning ta'rifidan foydalanamiz: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Keling, tenglamani X chap tomonda bo'lishi uchun aylantiramiz |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Bizdan oldin. Keling, \(4\) ni o'ngga o'tkazamiz. Va logarifmdan qo'rqmang, unga oddiy raqam kabi munosabatda bo'ling. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Tenglamani 5 ga bo'ling |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Bu bizning ildizimiz. Ha, bu g'ayrioddiy ko'rinadi, lekin ular javobni tanlamaydilar. |
Javob : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logarifm ta'rifida aytilganidek, uning asosi bittadan tashqari har qanday musbat son bo'lishi mumkin \((a>0, a\neq1)\). Va barcha mumkin bo'lgan asoslar orasida ikkitasi shunchalik tez-tez uchraydiki, ular bilan logarifmlar uchun maxsus qisqa yozuv ixtiro qilingan:
Ya'ni, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) bilan bir xil
Ya'ni, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) bilan bir xil, bu yerda \(a\) qandaydir son.
Logarifmlar juda ko'p xususiyatlarga ega. Ulardan biri "Asosiy logarifmik identifikatsiya" deb ataladi va quyidagicha ko'rinadi:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Bu xususiyat to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi. Keling, ushbu formula qanday paydo bo'lganini ko'rib chiqaylik.
Logarifm ta'rifining qisqacha eslatmasini eslaylik:
agar \(a^(b)=c\), u holda \(\log_(a)(c)=b\)
Ya'ni, \(b\) \(\log_(a)(c)\) bilan bir xil. Keyin \(a^(b)=c\) formulasida \(b\) o'rniga \(\log_(a)(c)\) ni yozishimiz mumkin. Bu chiqdi \(a^(\log_(a)(c))=c\) - asosiy logarifmik identifikatsiya.
Logarifmlarning boshqa xossalarini topishingiz mumkin. Ularning yordami bilan siz to'g'ridan-to'g'ri hisoblash qiyin bo'lgan logarifmlar bilan ifodalarning qiymatlarini soddalashtirishingiz va hisoblashingiz mumkin.
Misol : \(36^(\log_(6)(5))\) ifoda qiymatini toping.
Yechim :
Javob : \(25\)
Yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday logarifm shunchaki raqamdir. Buning aksi ham to'g'ri: har qanday sonni logarifm sifatida yozish mumkin. Masalan, \(\log_(2)(4)\) ikkiga teng ekanligini bilamiz. Keyin ikkita o'rniga \(\log_(2)(4)\) yozishingiz mumkin.
Lekin \(\log_(3)(9)\) ham \(2\) ga teng, ya'ni \(2=\log_(3)(9)\) ni ham yozishimiz mumkin. Xuddi shunday, \(\log_(5)(25)\) va \(\log_(9)(81)\) va boshqalar bilan. Ya'ni, shunday bo'ladi
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Shunday qilib, agar kerak bo'lsa, biz ikkitani logarifm sifatida istalgan joyda (u tenglamada, ifodada yoki tengsizlikda) yozishimiz mumkin - biz shunchaki argument sifatida asos kvadratini yozamiz.
Bu uchlik bilan bir xil - u \(\log_(2)(8)\) yoki \(\log_(3)(27)\) yoki \(\log_(4)() shaklida yozilishi mumkin. 64) \)... Bu erda kubdagi asosni argument sifatida yozamiz:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Va to'rttasi bilan:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Va minus bilan:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Va uchdan bir qismi bilan:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Misol : Ifodaning ma'nosini toping \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Yechim :
Javob : \(1\)
Musbat b sonining a asosi uchun logarifmi (a>0, a 1 ga teng emas) c soni shundayki a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
E'tibor bering, musbat bo'lmagan sonning logarifmi aniqlanmagan. Bundan tashqari, logarifmning asosi 1 ga teng bo'lmagan musbat son bo'lishi kerak. Masalan, -2 kvadrat bo'lsa, biz 4 raqamini olamiz, lekin bu 4 ning asosi -2 logarifmi teng degani emas. 2 ga.
Ushbu formulaning o'ng va chap tomonlarini belgilash doirasi boshqacha bo'lishi muhimdir. Chap tomon faqat b>0, a>0 va a ≠ 1 uchun aniqlanadi. O'ng tomon har qanday b uchun aniqlanadi va a ga umuman bog'liq emas. Shunday qilib, tenglamalar va tengsizliklarni echishda asosiy logarifmik "identifikatsiya" ni qo'llash ODning o'zgarishiga olib kelishi mumkin.
Darhaqiqat, a raqamini birinchi darajaga ko'targanda, biz bir xil raqamni olamiz va uni nol darajaga ko'targanda, biz bitta raqamni olamiz.
Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Men maktab o'quvchilarini logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda ushbu formulalarni o'ylamasdan ishlatishdan ogohlantirmoqchiman. Ularni "chapdan o'ngga" ishlatganda, ODZ torayadi va logarifmlarning yig'indisi yoki farqidan mahsulot yoki qismning logarifmiga o'tganda, ODZ kengayadi.
Haqiqatan ham, log a (f (x) g (x)) ifodasi ikki holatda aniqlanadi: ikkala funktsiya qat'iy musbat bo'lganda yoki f(x) va g (x) ikkalasi ham noldan kichik bo'lganda.
Bu ifodani log a f (x) + log a g (x) yig‘indisiga aylantirib, biz faqat f(x)>0 va g(x)>0 hollari bilan cheklanishga majbur bo‘lamiz. Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ining torayishi mavjud va bu mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas, chunki bu yechimlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin. Xuddi shunday muammo formula (6) uchun ham mavjud.
Va yana aniqlik uchun chaqirmoqchiman. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Tenglikning chap tomoni f(x) ning noldan tashqari barcha qiymatlari uchun aniq belgilangan. O'ng tomon faqat f(x)>0 uchun! Logarifmadan darajani olib, biz yana ODZni toraytiramiz. Teskari protsedura qabul qilinadigan qiymatlar doirasini kengaytirishga olib keladi. Bu mulohazalar nafaqat 2-chi kuchga, balki har qanday teng kuchga ham tegishli.
Transformatsiya paytida ODZ o'zgarmaydigan kamdan-kam holatlar. Agar siz c bazasini oqilona tanlagan bo'lsangiz (ijobiy va 1 ga teng emas), yangi bazaga o'tish formulasi butunlay xavfsizdir.
Agar biz b raqamini yangi c asosi sifatida tanlasak, (8) formulaning muhim maxsus holatini olamiz:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Misol 1. Hisoblang: log2 + log50.
Yechim. log2 + log50 = log100 = 2. Biz logarifmlar yig'indisi formulasidan (5) va o'nlik logarifmning ta'rifidan foydalandik.
2-misol. Hisoblang: lg125/lg5.
Yechim. log125/log5 = log 5 125 = 3. Biz yangi bazaga o'tish uchun formuladan foydalandik (8).
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Natural logarifmning asosiy xossalari, grafigi, aniqlanish sohasi, qiymatlar to‘plami, asosiy formulalari, hosilaviy, integral, darajali qatorlarni kengaytirish va ln x funksiyani kompleks sonlar yordamida tasvirlash berilgan.
Tabiiy logarifm y = funksiyasi ln x, ko‘rsatkichning teskarisi, x = e y va e soni asosining logarifmi: ln x = log e x.
Tabiiy logarifm matematikada keng qo'llaniladi, chunki uning hosilasi eng oddiy shaklga ega: (ln x)' = 1/ x.
Asoslangan ta'riflar, natural logarifmning asosi sondir e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = funksiyaning grafigi ln x.
Natural logarifm grafigi (funksiyalar y = ln x) ko'rsatkichli grafikdan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan oynada aks etish orqali olinadi.
Tabiiy logarifm x o'zgaruvchisining ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi. U o'z ta'rifi sohasida monoton ravishda ortadi.
x → da 0 natural logarifmning chegarasi minus cheksizlik (-∞).
X → + ∞ sifatida natural logarifmning chegarasi plyus cheksizlikdir (+ ∞). Katta x uchun logarifm juda sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi a musbat ko'rsatkichli x a logarifmadan tezroq o'sadi.
Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun uning ekstremasi yo'q. Tabiiy logarifmning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.
ln 1 = 0
Teskari funktsiya ta'rifidan kelib chiqadigan formulalar:
Har qanday logarifm tabiiy logarifmlar bilan asosiy almashtirish formulasi yordamida ifodalanishi mumkin:
Ushbu formulalarning isbotlari "Logarifm" bo'limida keltirilgan.
Natural logarifmning teskari ko‘rsatkichi ko‘rsatkichdir.
Agar , keyin
Agar, keyin.
Natural logarifmning hosilasi:
.
X modulining natural logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >
Integral qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi:
.
Shunday qilib,
z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqing:
.
Kompleks o‘zgaruvchini ifodalaylik z modul orqali r va argument φ
:
.
Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki
.
ph argumenti yagona aniqlanmagan. Agar qo'ysangiz
, bu yerda n butun son,
u har xil n uchun bir xil raqam bo'ladi.
Shuning uchun, tabiiy logarifm, murakkab o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida, bir qiymatli funktsiya emas.
Kengaytirish qachon sodir bo'ladi:
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.
