Funktsiyaning hosilasi - bu eng qiyin mavzulardan biridir maktab o'quv dasturi. Har bir bitiruvchi lotin nima degan savolga javob bermaydi.
Ushbu maqola lotin nima ekanligini va nima uchun kerakligini sodda va aniq tushuntiradi.. Endi biz taqdimotning matematik qat'iyligiga intilmaymiz. Eng muhimi, ma'noni tushunishdir.
Keling, ta'rifni eslaylik:
Hosila - bu funktsiyaning o'zgarish tezligi.
Rasmda uchta funktsiyaning grafiklari ko'rsatilgan. Sizningcha, qaysi biri tez o'sadi?
Javob aniq - uchinchisi. U eng yuqori o'zgarish tezligiga ega, ya'ni eng katta hosilaga ega.
Mana yana bir misol.
Kostya, Grisha va Matvey bir vaqtning o'zida ishga joylashdilar. Keling, ularning daromadlari yil davomida qanday o'zgarganini ko'rib chiqaylik:
Grafikdagi hamma narsani darhol ko'rishingiz mumkin, shunday emasmi? Kostyaning daromadi olti oy ichida ikki baravar oshdi. Grishaning daromadi ham oshdi, lekin biroz. Va Metyuning daromadi nolga kamaydi. Boshlanish shartlari bir xil, ammo funktsiyaning o'zgarish tezligi, ya'ni. hosila, - har xil. Matveyga kelsak, uning daromadining hosilasi odatda salbiy.
Intuitiv ravishda biz funktsiyaning o'zgarish tezligini osongina taxmin qilishimiz mumkin. Lekin buni qanday qilamiz?
Biz haqiqatan ham ko'rib chiqayotgan narsa bu funktsiya grafigining qanchalik keskin ko'tarilishi (yoki pastga). Boshqacha qilib aytganda, y x bilan qanchalik tez o'zgaradi. Shubhasiz, turli nuqtalarda bir xil funktsiya lotinning boshqa qiymatiga ega bo'lishi mumkin - ya'ni u tezroq yoki sekinroq o'zgarishi mumkin.
Funktsiyaning hosilasi bilan belgilanadi.
Keling, grafik yordamida qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz.
Ayrim funksiyaning grafigi chiziladi. Unga abscissa bilan nuqta qo'ying. Shu nuqtada funksiya grafigiga teginish chizing. Biz funktsiya grafigi qanchalik keskin ko'tarilishini baholamoqchimiz. Buning uchun qulay qiymat tangens qiyaligining tangensi.
Funksiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangens qiyaligi tangensiga teng.
E'tibor bering - tangensning moyillik burchagi sifatida biz tangens va o'qning ijobiy yo'nalishi o'rtasidagi burchakni olamiz.
Ba'zan o'quvchilar funktsiya grafigiga teginish nima ekanligini so'rashadi. Bu bizning rasmimizda ko'rsatilganidek, ushbu bo'limdagi grafik bilan yagona umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir. Bu aylanaga teguvchiga o'xshaydi.
Keling, topamiz. Biz o'tkir burchakning tangensini eslaymiz to'g'ri uchburchak qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbatiga teng. Uchburchakdan:
Biz funktsiya formulasini bilmagan holda grafik yordamida hosila topdik. Bunday vazifalar ko'pincha matematikadan imtihonda raqam ostida topiladi.
Yana bir muhim bog'liqlik mavjud. Eslatib o'tamiz, to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan
Ushbu tenglamadagi miqdor deyiladi to'g'ri chiziqning qiyaligi. U to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi tangensiga teng.
.
Biz buni tushunamiz
Keling, ushbu formulani eslaylik. Bu hosilaning geometrik ma'nosini ifodalaydi.
Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.
Boshqacha qilib aytganda, hosila tangens qiyaligining tangensiga teng.
Turli nuqtalarda bir xil funktsiya boshqa hosilaga ega bo'lishi mumkinligini allaqachon aytgan edik. Keling, hosilaning funktsiya harakati bilan qanday bog'liqligini ko'rib chiqaylik.
Keling, qandaydir funksiyaning grafigini chizamiz. Bu funksiya ba'zi sohalarda ko'paysin, boshqalarida kamaysin va bilan turli tezlik. Va bu funksiya maksimal va minimal nuqtalarga ega bo'lsin.
Bir nuqtada funktsiya ortib bormoqda. Nuqtada chizilgan grafikning tangensi hosil bo'ladi o'tkir burchak; ijobiy o'q yo'nalishi bilan. Shunday qilib, hosila nuqtada ijobiydir.
Ayni paytda bizning funktsiyamiz pasayib bormoqda. Bu nuqtadagi tangens o'tmas burchak hosil qiladi; musbat o'q yo'nalishi bilan. Tangensdan beri to'g'ri burchak manfiy, hosila nuqtada manfiy.
Mana nima sodir bo'ladi:
Agar funktsiya ortib borayotgan bo'lsa, uning hosilasi ijobiy bo'ladi.
Agar u pasaysa, uning hosilasi salbiy hisoblanadi.
Va maksimal va minimal nuqtalarda nima bo'ladi? Biz (maksimal nuqta) va (minimal nuqta) da tangens gorizontal ekanligini ko'ramiz. Demak, bu nuqtalarda tangens qiyaligining tangensi nolga teng, hosilasi ham nolga teng.
Nuqta maksimal nuqtadir. Bu vaqtda funksiyaning ortishi kamayish bilan almashtiriladi. Binobarin, hosila belgisi nuqtada "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgaradi.
Nuqtada - minimal nuqta - hosila ham nolga teng, lekin uning belgisi "minus" dan "ortiqcha" ga o'zgaradi.
Xulosa: lotin yordamida siz funktsiyaning harakati haqida bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishingiz mumkin.
Agar hosila ijobiy bo'lsa, u holda funktsiya ortib bormoqda.
Agar hosila manfiy bo'lsa, u holda funktsiya kamayadi.
Maksimal nuqtada hosila nolga teng va belgini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.
Minimal nuqtada hosila ham nolga teng va belgini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi.
Ushbu topilmalarni jadval shaklida yozamiz:
| ortadi | maksimal nuqta | kamayadi | minimal nuqta | ortadi | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Keling, ikkita kichik aniqlik kiritaylik. Muammoni hal qilishda sizga ulardan biri kerak bo'ladi. Boshqasi - birinchi yilda, funktsiyalar va lotinlarni jiddiyroq o'rganish bilan.
Funksiyaning qaysidir nuqtada hosilasi nolga teng bo‘lganda, funksiyaning bu nuqtada na maksimal, na minimal bo‘lishi mumkin. Bu shunday deyiladi :
Bir nuqtada grafikning tangensi gorizontal, hosilasi esa nolga teng. Biroq, nuqtadan oldin funktsiya ortdi va nuqtadan keyin u o'sishda davom etadi. Hosilning belgisi o'zgarmaydi - u avvalgidek ijobiy bo'lib qoldi.
Bundan tashqari, maksimal yoki minimal nuqtada hosila mavjud emas. Grafikda bu ma'lum bir nuqtada tangensni chizish mumkin bo'lmaganda keskin tanaffusga to'g'ri keladi.
Ammo funktsiya grafik emas, balki formula bilan berilgan bo'lsa, hosila qanday topiladi? Bunday holda, u amal qiladi
Hosila oliy matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. Ushbu darsda biz ushbu tushuncha bilan tanishamiz. Qattiq matematik formulalar va isbotlarsiz tanishamiz.
Ushbu kirish sizga quyidagilarga imkon beradi:
Tuzama bilan oddiy topshiriqlarning mohiyatini tushunish;
Bularning aksariyatini muvaffaqiyatli hal qiling qiyin vazifalar;
Yana jiddiy derivativ darslarga tayyorlaning.
Birinchidan, yoqimli ajablanib.
Hosilning qat'iy ta'rifi chegaralar nazariyasiga asoslanadi va bu narsa ancha murakkab. Xafa qiladi. Ammo lotinning amaliy qo'llanilishi, qoida tariqasida, bunday keng va chuqur bilimni talab qilmaydi!
Maktabda va universitetda ko'pgina vazifalarni muvaffaqiyatli bajarish uchun bilish kifoya faqat bir nechta shartlar- vazifani tushunish, va faqat bir nechta qoidalar- uni hal qilish uchun. Va tamom. Bu quvontiradi.
Tanishamizmi?)
Boshlang'ich matematikada juda ko'p matematik operatsiyalar mavjud. Qo'shish, ayirish, ko'paytirish, darajaga ko'tarish, logarifm va boshqalar. Agar bu amallarga yana bitta amal qo'shilsa, elementar matematika yuqori bo'ladi. Ushbu yangi operatsiya deyiladi farqlash. Ushbu operatsiyaning ta'rifi va ma'nosi alohida darslarda muhokama qilinadi.
Bu erda farqlash faqat funktsiya ustidagi matematik operatsiya ekanligini tushunish muhimdir. Biz har qanday funktsiyani olamiz va ma'lum qoidalarga muvofiq uni o'zgartiramiz. Natijada yangi funktsiya paydo bo'ladi. Ushbu yangi funksiya deyiladi: hosila.
Differentsiatsiya- funksiya ustidagi harakat.
Hosil bu harakat natijasidir.
Xuddi, masalan, so'm qo'shish natijasidir. Yoki xususiy bo'linish natijasidir.
Shartlarni bilgan holda, siz hech bo'lmaganda vazifalarni tushunishingiz mumkin.) Matn quyidagicha: funktsiyaning hosilasini toping; hosilani oling; funktsiyani farqlash; hosilani hisoblang va h.k. Hammasi shu bir xil. Albatta, murakkabroq vazifalar mavjud, bu erda hosilani topish (farqlash) vazifani hal qilishdagi qadamlardan biri bo'ladi.
Hosila funktsiyaning yuqori o'ng tomonidagi chiziqcha bilan belgilanadi. Mana bunday: y" yoki f"(x) yoki S"(t) va boshqalar.
o'qing y zarbasi, x dan ef zarbasi, te dan es zarbasi, yaxshi tushunasiz...)
Tutqich ma'lum bir funktsiyaning hosilasini ham ko'rsatishi mumkin, masalan: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" va hokazo. Ko'pincha hosila differentsiallar yordamida belgilanadi, ammo biz bu darsda bunday belgini ko'rib chiqmaymiz.
Aytaylik, biz vazifalarni tushunishni o'rgandik. Hech narsa qolmadi - ularni qanday hal qilishni o'rganish.) Yana bir bor eslatib o'taman: hosila topish funktsiyani ma'lum qoidalarga muvofiq o'zgartirish. Bu qoidalar hayratlanarli darajada kam.
Funktsiyaning hosilasini topish uchun faqat uchta narsani bilish kerak. Barcha farqlanishlar tayanadigan uchta ustun. Mana uchta kit:
1. Hosilalar jadvali (differensiatsiya formulalari).
3. Kompleks funktsiyaning hosilasi.
Keling, tartibda boshlaylik. Ushbu darsda biz hosilalar jadvalini ko'rib chiqamiz.
Dunyo cheksiz ko'p funktsiyalarga ega. Ushbu to'plam orasida eng muhim bo'lgan funktsiyalar mavjud amaliy qo'llash. Bu funktsiyalar tabiatning barcha qonunlarida joylashgan. Ushbu funktsiyalardan, xuddi g'ishtdan, siz qolgan barcha narsalarni qurishingiz mumkin. Bu funksiyalar sinfi deyiladi elementar funktsiyalar. Aynan shu funktsiyalar maktabda o'rganiladi - chiziqli, kvadratik, giperbola va boshqalar.
Funktsiyalarni "noldan" farqlash, ya'ni. lotin ta'rifi va chegaralar nazariyasiga asoslangan - juda ko'p vaqt talab qiladigan narsa. Va matematiklar ham odamlardir, ha, ha!) Shunday qilib, ular hayotlarini (va bizni) soddalashtirdilar. Ular bizdan oldin elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblab chiqdilar. Natijada hosilalar jadvali paydo bo'ladi, unda hamma narsa tayyor.)
Mana, bu eng mashhur funktsiyalar uchun plastinka. Chap - elementar funktsiya, o'ng tomonda uning hosilasi joylashgan.
| Funktsiya y |
y funksiyaning hosilasi y" |
|
| 1 | C (doimiy) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n har qanday raqam) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | gunoh x | (sinx)" = cosx |
| chunki x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | jurnal a x |  |
| ln x ( a = e) |
Men ushbu lotinlar jadvalidagi uchinchi guruh funktsiyalariga e'tibor berishni tavsiya qilaman. Quvvat funktsiyasining hosilasi eng keng tarqalgan formulalardan biridir, agar eng keng tarqalgan bo'lmasa! Maslahat aniqmi?) Ha, hosilalar jadvalini yoddan bilish maqsadga muvofiqdir. Aytgancha, bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Qaror berishga harakat qiling ko'proq misollar, stolning o'zi eslab qoladi!)
Siz tushunganingizdek, lotinning jadval qiymatini topish eng qiyin ish emas. Shuning uchun, ko'pincha bunday vazifalarda qo'shimcha chiplar mavjud. Yoki vazifani shakllantirishda yoki jadvalda ko'rinmaydigan asl funktsiyada ...
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
1. y = x funksiyaning hosilasini toping 3
Jadvalda bunday funktsiya yo'q. Ammo quvvat funktsiyasining hosilasi mavjud umumiy ko'rinish(uchinchi guruh). Bizning holatimizda n=3. Shunday qilib, biz n o'rniga uchlikni almashtiramiz va natijani diqqat bilan yozamiz:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Hammasi shu.
Javob: y" = 3x 2
2. y = sinx funksiyaning x = 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.
Bu vazifa, avvalo, sinusning hosilasini topib, keyin qiymatni almashtirish kerakligini anglatadi x = 0 xuddi shu hosilaga. Bu shunday tartibda! Aks holda, ular darhol nolni asl funktsiyaga almashtiradilar ... Bizdan asl funktsiyaning qiymatini emas, balki qiymatini topish so'raladi. uning hosilasi. Sana eslatib o'taman, lotin allaqachon yangi funktsiyadir.
Plastinada biz sinus va tegishli hosilani topamiz:
y" = (sinx)" = cosx
Hosilda nolni almashtiring:
y"(0) = cos 0 = 1
Bu javob bo'ladi.
3. Funksiyani farqlang:
Nima ilhomlantiradi?) hosilalar jadvalida hatto yaqin bunday funktsiya yo'q.
Eslatib o‘taman, funktsiyani farqlash bu funksiyaning hosilasini topishdir. Agar siz elementar trigonometriyani unutsangiz, funktsiyamizning hosilasini topish juda qiyin. Jadval yordam bermaydi ...
Ammo bizning vazifamiz ekanligini ko'rsak ikki burchakli kosinus, keyin hamma narsa darhol yaxshilanadi!
Ha ha! Esda tutingki, asl funktsiyaning o'zgarishi farqlashdan oldin juda maqbul! Va bu hayotni ancha osonlashtiradi. Ikki burchakli kosinus formulasiga ko'ra:
Bular. bizning qiyin vazifamiz boshqa narsa emas y = koks. Va bu jadval funktsiyasi. Biz darhol olamiz:
Javob: y" = - sin x.
Ilg'or bitiruvchilar va talabalar uchun misol:
4. Funktsiyaning hosilasini toping:
Albatta, hosilalar jadvalida bunday funktsiya yo'q. Ammo agar siz elementar matematikani eslasangiz, kuchlar bilan harakatlar ... Keyin bu funktsiyani soddalashtirish juda mumkin. Mana bunday:
Va o'ndan birining kuchiga x allaqachon jadvalli funktsiyadir! Uchinchi guruh, n=1/10. To'g'ridan-to'g'ri formula bo'yicha va yozing:
Hammasi shu. Bu javob bo'ladi.
Umid qilamanki, birinchi farqlash kiti bilan - lotinlar jadvali - hamma narsa aniq. Qolgan ikkita kit bilan shug'ullanish qoladi. Keyingi darsda biz farqlash qoidalarini bilib olamiz.
Birinchi daraja
To'g'ri yo'lni tepalikdan o'tayotganini tasavvur qiling. Ya'ni, u yuqoriga va pastga tushadi, lekin o'ngga yoki chapga burilmaydi. Agar o'q yo'l bo'ylab gorizontal va vertikal yo'naltirilgan bo'lsa, u holda yo'l chizig'i qandaydir uzluksiz funktsiya grafigiga juda o'xshash bo'ladi:
Eksa - bu nol balandlikning ma'lum bir darajasi, hayotda biz dengiz sathidan foydalanamiz.
Bunday yo'l bo'ylab oldinga siljish, biz ham yuqoriga yoki pastga harakat qilamiz. Bundan tashqari, aytishimiz mumkin: argument o'zgarganda (abtsissa o'qi bo'ylab harakatlanayotganda), funktsiyaning qiymati o'zgaradi (ordinata o'qi bo'ylab harakatlanadi). Endi o‘ylab ko‘raylik, yo‘limizning “tik”ligini qanday aniqlash mumkin? Bu qiymat qanday bo'lishi mumkin? Juda oddiy: ma'lum masofani oldinga siljitishda balandlik qanchalik o'zgaradi. Darhaqiqat, yo'lning turli uchastkalarida bir kilometr oldinga (abtsissa o'qi bo'ylab) harakatlanamiz, biz ko'tariladi yoki pastga tushamiz. turli miqdor metr dengiz sathiga nisbatan (y o'qi bo'ylab).
Biz oldinga siljishni bildiramiz ("delta x" ni o'qing).
Matematikada yunoncha harf (delta) odatda "o'zgarish" ma'nosini bildiruvchi prefiks sifatida ishlatiladi. Ya'ni - bu kattalikning o'zgarishi, - o'zgarish; keyin bu nima? To'g'ri, o'lchamdagi o'zgarish.
Muhim: ifoda bitta ob'ekt, bitta o'zgaruvchidir. Hech qachon "x" yoki boshqa harfdan "delta" ni yirtib tashlamasligingiz kerak! Ya'ni, masalan, .
Shunday qilib, biz oldinga, gorizontal, oldinga harakat qildik. Agar funktsiya grafigi bilan yo'l chizig'ini solishtirsak, unda ko'tarilishni qanday belgilaymiz? Albatta, . Ya'ni, oldinga siljishda biz yuqoriga ko'tarilamiz.
Qiymatni hisoblash oson: agar boshida biz balandlikda bo'lgan bo'lsak va harakatdan keyin balandlikda bo'lgan bo'lsak. Agar yakuniy nuqta boshlang'ich nuqtadan pastroq bo'lsa, u salbiy bo'ladi - bu biz ko'tarilmayapmiz, lekin tushayotganimizni anglatadi.
"Tiklik" ga qaytish: bu birlik masofaga oldinga siljishda balandlik qancha (tik) ortishini ko'rsatadigan qiymat:
Aytaylik, yo'lning qaysidir qismida, km ga ilgarilaganda, yo'l km ga ko'tariladi. Keyin bu joydagi tiklik teng bo'ladi. Va agar yo'l, m oldinga siljishda, km ga cho'kib ketgan bo'lsa? Keyin qiyalik teng bo'ladi.
Endi tepalikning tepasini ko'rib chiqing. Agar siz uchastkaning boshini yarim kilometr tepaga olib chiqsangiz va oxiri - undan yarim kilometr o'tgach, balandlik deyarli bir xil ekanligini ko'rishingiz mumkin.
Ya'ni, bizning mantiqqa ko'ra, bu erda nishab deyarli nolga teng ekanligi aniqlandi, bu aniq emas. Bir necha mil uzoqlikda ko'p narsa o'zgarishi mumkin. Tiklikni yanada adekvat va aniqroq baholash uchun kichikroq maydonlarni hisobga olish kerak. Misol uchun, agar siz bir metr harakatlanayotganda balandlikning o'zgarishini o'lchasangiz, natija ancha aniq bo'ladi. Ammo bu aniqlik ham bizga yetarli bo‘lmasligi mumkin – axir, agar yo‘l o‘rtasida ustun bo‘lsa, biz shunchaki sirg‘alib o‘tishimiz mumkin. Keyin qaysi masofani tanlashimiz kerak? Santimetr? Millimetr? Kamroq - yaxshiroq!
DA haqiqiy hayot eng yaqin millimetrgacha bo'lgan masofani o'lchash juda etarli. Ammo matematiklar doimo mukammallikka intiladilar. Shuning uchun kontseptsiya shunday edi cheksiz kichik, ya'ni modul qiymati biz nomlashimiz mumkin bo'lgan har qanday raqamdan kichikdir. Masalan, siz aytasiz: trilliondan biri! Qancha kamroq? Va siz bu raqamni - ga bo'lasiz va bundan ham kamroq bo'ladi. Va boshqalar. Agar qiymat cheksiz kichik ekanligini yozmoqchi bo'lsak, biz shunday yozamiz: (biz "x nolga intiladi" o'qiymiz). Buni tushunish juda muhimdir bu raqam nolga teng emasligini! Ammo unga juda yaqin. Bu shuni anglatadiki, uni ajratish mumkin.
Cheksiz kichikga qarama-qarshi tushuncha cheksiz katta (). Ehtimol, siz tengsizliklar ustida ishlayotganingizda bunga duch kelgansiz: bu raqam modul bo'yicha siz o'ylagan har qanday raqamdan kattaroqdir. Agar siz mumkin bo'lgan eng katta raqamni topsangiz, uni ikkiga ko'paytirsangiz, undan ham ko'proq narsani olasiz. Va cheksizlik sodir bo'layotgan narsadan ham ko'proq. Aslida, cheksiz katta va cheksiz kichik bir-biriga teskari, ya'ni at va aksincha: at.
Endi bizning yo'limizga qayting. Ideal hisoblangan nishab - bu yo'lning cheksiz kichik segmenti uchun hisoblangan qiyalik, ya'ni:
Shuni ta'kidlaymanki, cheksiz kichik siljish bilan balandlikning o'zgarishi ham cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shuni eslatib o'tamanki, cheksiz kichiklik nolga teng degani emas. Agar siz cheksiz kichik sonlarni bir-biriga bo'lsangiz, siz juda ko'p narsalarni olishingiz mumkin umumiy raqam, Misol uchun, . Ya'ni, bitta kichik qiymat boshqasidan ikki baravar katta bo'lishi mumkin.
Nega bularning hammasi? Yo'l, tik ... Biz mitingga chiqmayapmiz, lekin biz matematikani o'rganyapmiz. Va matematikada hamma narsa bir xil, faqat boshqacha nomlanadi.
Funktsiyaning hosilasi - bu funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishida argumentning o'sishiga nisbati.
O'sish matematikada o'zgarish deyiladi. O'q bo'ylab harakatlanayotganda argument () qancha o'zgarganligi deyiladi argument ortishi va bilan belgilanadigan masofaga o'q bo'ylab oldinga siljishda funktsiya (balandlik) qancha o'zgarganligi deyiladi funktsiyaning o'sishi va belgilangan.
Demak, funktsiyaning hosilasi qachonga munosabatdir. Biz hosilani funksiya bilan bir xil harf bilan belgilaymiz, faqat yuqori o'ngdan chiziq bilan: yoki oddiygina. Shunday qilib, keling, hosila formulasini quyidagi belgilar yordamida yozamiz:
Yo'l o'xshashligida bo'lgani kabi, bu erda ham funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi.
Lekin hosila nolga tengmi? Albatta. Misol uchun, agar biz tekis gorizontal yo'lda harakatlanayotgan bo'lsak, tiklik nolga teng. Darhaqiqat, balandlik umuman o'zgarmaydi. Shunday qilib, hosila bilan: doimiy funktsiyaning hosilasi (doimiy) nolga teng:
chunki bunday funktsiyaning o'sishi har qanday uchun nolga teng.
Keling, tepalikdagi misolni olaylik. Ma'lum bo'lishicha, segmentning uchlarini shunday tartibga solish mumkin edi turli tomonlar yuqoridan, uchlaridagi balandlik bir xil, ya'ni segment o'qga parallel:
Ammo katta segmentlar noto'g'ri o'lchov belgisidir. Biz segmentimizni o'ziga parallel ravishda ko'taramiz, keyin uning uzunligi kamayadi.
Oxir-oqibat, biz tepaga cheksiz yaqin bo'lganimizda, segmentning uzunligi cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shu bilan birga, u o'qga parallel bo'lib qoldi, ya'ni uning uchlaridagi balandlik farqi nolga teng (moyil emas, lekin teng). Shunday qilib, hosila
Buni quyidagicha tushunish mumkin: biz eng tepada turganimizda, chapga yoki o'ngga ozgina siljish bo'yimizni sezilarli darajada o'zgartiradi.
Bundan tashqari, sof algebraik tushuntirish ham bor: tepaning chap tomonida funktsiya ortadi, o'ngda esa kamayadi. Yuqorida aytib o'tganimizdek, funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi. Lekin u silliq, sakrashlarsiz o'zgaradi (chunki yo'l hech qayerda o'z qiyaligini keskin o'zgartirmaydi). Shuning uchun salbiy va ijobiy qiymatlar o'rtasida bo'lishi kerak. Bu funktsiya o'smaydigan yoki kamaymaydigan joyda - tepa nuqtasida bo'ladi.
Xuddi shu narsa vodiy uchun ham amal qiladi (funktsiya chap tomonda kamayadi va o'ngda ortadi):
O'sishlar haqida bir oz ko'proq.
Shunday qilib, biz argumentni qiymatga o'zgartiramiz. Biz qaysi qiymatdan o'zgartiramiz? Endi u (dalil) nimaga aylandi? Biz istalgan nuqtani tanlashimiz mumkin va endi biz undan raqsga tushamiz.
Koordinatali nuqtani ko'rib chiqing. Undagi funksiyaning qiymati teng. Keyin biz bir xil o'sishni qilamiz: koordinatani tomonidan oshiring. Endi qanday dalil bor? Juda oson: . Endi funktsiyaning qiymati qanday? Argument qayerga ketsa, funktsiya u yerga boradi: . Funktsiyani oshirish haqida nima deyish mumkin? Hech qanday yangilik yo'q: bu hali ham funktsiya o'zgargan miqdor:
O'sishlarni topishni mashq qiling:
Yechimlar:
Turli nuqtalarda, argumentning bir xil o'sishi bilan, funktsiyaning o'sishi boshqacha bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, har bir nuqtada hosilaning o'ziga xos xususiyati bor (biz boshida bu haqda gaplashdik - turli nuqtalarda yo'lning tikligi har xil). Shuning uchun, hosila yozganimizda, qaysi nuqtada ko'rsatishimiz kerak:
Quvvat funksiyasi argument ma'lum darajada bo'lgan funktsiya deb ataladi (mantiqiy, to'g'rimi?).
Va - har qanday darajada: .
Eksponent bo'lganda eng oddiy holat:
Bir nuqtada uning hosilasini topamiz. Tsiklning ta'rifini eslang:
Shunday qilib, argument dan ga o'zgaradi. Funktsiyaning o'sishi nima?
O'sish hisoblanadi. Lekin funksiya har qanday nuqtada uning argumentiga teng. Shunday qilib:
hosilasi:
ning hosilasi:
b) Endi o'ylab ko'ring kvadratik funktsiya (): .
Endi buni eslaylik. Bu shuni anglatadiki, o'sish qiymatini e'tiborsiz qoldirish mumkin, chunki u cheksiz kichik va shuning uchun boshqa atama fonida ahamiyatsiz:
Shunday qilib, bizda yana bir qoida bor:
v) mantiqiy qatorni davom ettiramiz: .
Ushbu ifodani turli yo'llar bilan soddalashtirish mumkin: yig'indining kubini qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib birinchi qavsni oching yoki kublar farqi formulasidan foydalanib, butun ifodani omillarga ajrating. Tavsiya etilgan usullardan birini o'zingiz qilishga harakat qiling.
Shunday qilib, men quyidagilarni oldim:
Va buni yana bir bor eslaylik. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin:
Biz olamiz: .
d) Xuddi shunday qoidalarni katta kuchlar uchun olish mumkin:
e) Aniqlanishicha, bu qoidani butun son emas, ixtiyoriy ko‘rsatkichli daraja funksiyasi uchun umumlashtirish mumkin:
| (2) |
Siz qoidani quyidagi so'zlar bilan shakllantirishingiz mumkin: "daraja koeffitsient sifatida oldinga suriladi, keyin esa kamayadi".
Biz bu qoidani keyinroq isbotlaymiz (deyarli oxirida). Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Funksiyalarning hosilasini toping:
Agar shu nuqtada yana noaniq bo'lsa, "" mavzusini takrorlang !!! (salbiy ko'rsatkichli daraja haqida)
Va endi ta'rif orqali (hali unutdingizmi?):
;
.
Endi, odatdagidek, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan atamani e'tiborsiz qoldiramiz:
.
Bu erda biz oliy matematikadan bitta faktdan foydalanamiz:
Qachon ifoda.
Siz dalilni institutning birinchi yilida o'rganasiz (va u erga borish uchun siz imtihonni yaxshi topshirishingiz kerak). Endi men buni faqat grafik tarzda ko'rsataman:
Funktsiya mavjud bo'lmaganda - grafikdagi nuqta teshilganligini ko'ramiz. Ammo qiymatga qanchalik yaqin bo'lsa, funktsiya shunchalik yaqinroq bo'ladi.Bu juda "intilishadi".
Bundan tashqari, siz ushbu qoidani kalkulyator yordamida tekshirishingiz mumkin. Ha, ha, uyalmang, kalkulyatorni oling, biz hali imtihonda emasmiz.
Shunday qilib, harakat qilaylik: ;
Kalkulyatorni Radians rejimiga o'tkazishni unutmang!
va hokazo. Ko'ramiz, qanchalik kichik bo'lsa, nisbat qiymati shunchalik yaqinroq bo'ladi.
a) funktsiyani ko'rib chiqing. Odatdagidek, biz uning o'sishini topamiz:
Keling, sinuslar farqini mahsulotga aylantiraylik. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz ("" mavzusini eslang):.
Endi hosila:
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz: . U holda cheksiz kichik uchun u ham cheksiz kichik: . uchun ifoda quyidagi shaklni oladi:
Va endi biz buni ifoda bilan eslaymiz. Va shuningdek, agar summada cheksiz kichik qiymatni e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa (ya'ni, at).
Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz: sinusning hosilasi kosinusga teng:
Bular asosiy (“jadval”) hosilalardir. Mana ular bitta ro'yxatda:
Keyinchalik biz ularga yana bir nechtasini qo'shamiz, lekin bular eng muhimi, chunki ular tez-tez ishlatiladi.
Amaliyot:
Yechimlar:
Yaxshi, siz haqsiz, biz hali ham bunday hosilalarni qanday topishni bilmaymiz. Bu erda biz bir nechta turdagi funktsiyalarning kombinatsiyasiga egamiz. Ular bilan ishlash uchun siz yana bir nechta qoidalarni o'rganishingiz kerak:
Matematikada shunday funktsiya mavjud bo'lib, uning hosilasi har qanday funktsiyaning qiymatiga teng. U "eksponent" deb ataladi va eksponensial funktsiyadir
Ushbu funktsiyaning asosi doimiydir - u cheksizdir kasr, ya'ni irratsional son (masalan,). U "Eyler raqami" deb ataladi, shuning uchun u harf bilan belgilanadi.
Shunday qilib, qoida:
Buni eslab qolish juda oson.
Xo'sh, biz uzoqqa bormaymiz, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqamiz. Qaysi funktsiyaga teskari funksiya eksponensial funktsiya? Logarifm:
Bizning holatda, asos raqam:
Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga biz yozamiz.
Nimaga teng? Albatta, .
Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:
Misollar:
Javoblar: Ko'rgazma ishtirokchisi va tabiiy logarifm- funksiyalar hosila jihatidan o‘ziga xos sodda. Har qanday boshqa asos bilan ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalar boshqa hosilaga ega bo'ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o'tganimizdan keyin tahlil qilamiz.
Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...
Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.
Faqat va hamma narsa. Bu jarayon uchun boshqa so'z nima? Proizvodnovanie emas... Matematikaning differensialligi funksiyaning o'ta o'sishi deb ataladi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerda.
Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Bizga ularning o'sishi uchun formulalar ham kerak bo'ladi:
Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.
Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.
Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .
Keling, buni isbotlaylik. Qo'ying yoki osonroq.
Misollar.
Funksiyalarning hosilalarini toping:
Yechimlar:
Bu erda hamma narsa bir xil: biz tanishtiramiz yangi xususiyat va uning o'sishini toping:
Hosil:
Misollar:
Yechimlar:
Endi sizning bilimingiz nafaqat ko'rsatkichni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (u nima ekanligini hali unutdingizmi?).
Xo'sh, raqam qayerda.
Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:
Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:
Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.
Bo'ldimi?
Mana, o'zingizni tekshiring:
Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.
Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:
Javoblar:
Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni ko'proq yozishning iloji yo'q. oddiy shakl. Shuning uchun javobda bu shaklda qoldiriladi.
Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:
Shuning uchun, logarifmadan boshqa asosga ega bo'lgan ixtiyoriyni topish uchun, masalan:
Biz bu logarifmni asosga keltirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:
Faqat hozir o'rniga biz yozamiz:
Maxraj shunchaki doimiy bo'lib chiqdi (o'zgarmas son, o'zgaruvchisiz). Tsikl juda oddiy:
Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari imtihonda deyarli topilmaydi, lekin ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.
"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, yoy tangensi ham emas. Bu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi logarifm sizga qiyin bo'lib tuyulsa ham, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsa amalga oshadi), lekin matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.
Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Bunday kompozitsion ob'ekt chiqadi: shokoladli bar o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz buning aksini qilishingiz kerak teskari tartib.
Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yaratamiz: birinchi navbatda sonning kosinusini topamiz, so'ngra hosil bo'lgan sonni kvadratga olamiz. Shunday qilib, ular bizga raqam (shokolad) berishadi, men uning kosinusini (o'rashni) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (uni lenta bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funksiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni bevosita o‘zgaruvchi bilan, so‘ngra birinchi amal natijasida sodir bo‘lgan boshqa ikkinchi amalni bajarganimizda.
Xuddi shu harakatlarni teskari tartibda bajarishimiz mumkin: birinchi navbatda siz kvadratga o'tasiz, keyin men natijada olingan sonning kosinusini qidiraman:. Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Muhim xususiyat murakkab funktsiyalar: harakatlar tartibini o'zgartirganda, funktsiya o'zgaradi.
Boshqa so'z bilan, Argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir: .
Birinchi misol uchun, .
Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .
Biz qiladigan oxirgi harakat chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).
Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:
Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada
biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.
Xo'sh, endi biz shokoladimizni chiqaramiz - hosilani qidiring. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misol uchun u quyidagicha ko'rinadi:
Yana bir misol:
Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:
Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:
Hamma narsa oddiy ko'rinadi, shunday emasmi?
Keling, misollar bilan tekshiramiz:
Yechimlar:
1) ichki: ;
Tashqi: ;
2) ichki: ;
(Faqat hozirgacha kamaytirishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqarilmaydi, esingizdami?)
3) ichki: ;
Tashqi: ;
Bu erda uch darajali murakkab funktsiya mavjudligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiya va biz hali ham undan ildizni chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'ramga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: baribir, biz bu funktsiyani odatdagidek bir xil tartibda "ochamiz": oxiridan.
Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.
Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni qanday tartibda bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi - avvalgidek:
Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.
1. Radikal ifoda. .
2. Ildiz. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Hammasini birlashtirib:
Funktsiya hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz o'sishi bilan argumentning o'sishiga nisbati:
Asosiy hosilalar:
Farqlash qoidalari:
Konstanta hosila belgisidan olinadi:
summaning hosilasi:
Hosil mahsulot:
Ko'rsatkichning hosilasi:
Kompleks funktsiyaning hosilasi:
Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:
Ta'rif.\(y = f(x) \) funksiyasi ichidagi \(x_0 \) nuqtani o'z ichiga olgan oraliqda aniqlansin. Ushbu intervalni qoldirmaslik uchun argumentga \(\Delta x \) ortishini beraylik. \(\Delta y \) (\(x_0 \) nuqtadan \(x_0 + \Delta x \) nuqtaga o'tishda) funksiyaning mos o'sishini toping va \(\frac(\Delta y) munosabatini tuzing. )(\Delta x) \). Agar bu munosabatning chegarasi \(\Delta x \o'ngga 0 \) da bo'lsa, u holda ko'rsatilgan chegara deyiladi. hosila funksiyasi\(y=f(x) \) nuqtada \(x_0 \) va \(f"(x_0) \) ni belgilang.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
y belgisi ko'pincha hosilani belgilash uchun ishlatiladi. E'tibor bering, y" = f(x) yangi funktsiyadir, lekin tabiiy ravishda y = f(x) funktsiyasi bilan bog'liq bo'lib, yuqoridagi chegara mavjud bo'lgan barcha x nuqtalarda aniqlangan. Bu funktsiya shunday deb ataladi: y \u003d f (x) funktsiyasining hosilasi.
Hosilning geometrik ma'nosi quyidagilardan iborat. Agar y o'qiga parallel bo'lmagan tangensni y \u003d f (x) funktsiyasining grafigiga abscissa x \u003d a nuqtada chizish mumkin bo'lsa, u holda f (a) tangensning qiyaligini ifodalaydi:
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) bo'lgani uchun \(f"(a) = tg(a) \) tengligi to'g'ri.
Endi esa hosila ta’rifini taxminiy tenglik nuqtai nazaridan izohlaymiz. \(y = f(x) \) funktsiyasi ma'lum bir nuqtada hosilaga ega bo'lsin \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu shuni anglatadiki, x nuqtasi yaqinida taxminan tenglik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \taxminan f"(x) \), ya'ni \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot. \Deltaks\). Olingan taxminiy tenglikning mazmunli ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning o'sishi argumentning o'sishiga "deyarli proportsional" va proportsionallik koeffitsienti ma'lum bir nuqtadagi hosilaning qiymati hisoblanadi. Masalan, \(y = x^2 \) funksiyasi uchun \(\Delta y \taxminan 2x \cdot \Delta x \) taxminiy tenglik amal qiladi. Agar hosila ta'rifini sinchkovlik bilan tahlil qilsak, unda uni topish algoritmi borligini topamiz.
Keling, uni shakllantiramiz.
1. \(x \) qiymatini aniqlang, \(f(x) \) toping.
2. \(x \) argumentini oshiring \(\Delta x \), ga o'ting yangi nuqta\(x+ \Delta x \), toping \(f(x+ \Delta x) \)
3. Funksiya o‘sishini toping: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) munosabatini tuzing.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ ni hisoblang.
Bu chegara funksiyaning x dagi hosilasidir.
Agar y = f(x) funksiyaning x nuqtada hosilasi bo'lsa, u x nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. Y \u003d f (x) funktsiyasining hosilasini topish tartibi deyiladi farqlash y = f(x) funktsiyalari.
Keling, quyidagi savolni muhokama qilaylik: nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi qanday bog'liq?
y = f(x) funksiya x nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. U holda funksiya grafigiga M (x; f (x)) nuqtada tangens chizish mumkin va esda tutingki, tangensning qiyaligi f "(x) ga teng. Bunday grafik "buzilmaydi". nuqta M, ya'ni funksiya x da uzluksiz bo'lishi kerak.
Bu "barmoqlar ustida" mulohaza yuritardi. Keling, yanada jiddiyroq dalil keltiraylik. Agar y = f(x) funksiya x nuqtada differensiallansa, u holda taqribiy tenglik \(\Delta y \taxminan f"(x) \cdot \Delta x \) bajariladi. nolga teng, u holda \(\Delta y \ ) ham nolga intiladi va bu nuqtada funksiyaning uzluksizligi sharti.
Shunday qilib, agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u holda u shu nuqtada ham uzluksizdir.
Qarama-qarshilik to'g'ri emas. Masalan: y = |x| funksiyasi hamma joyda, xususan, x = 0 nuqtada uzluksizdir, lekin funksiya grafigiga “boʻgʻin nuqtasi”da (0; 0) teginish mavjud emas. Agar biror nuqtada funktsiya grafigiga tangens chizish mumkin bo'lmasa, bu nuqtada hosila yo'q.
Yana bir misol. \(y=\sqrt(x) \) funksiya butun son chizigʻida, shu jumladan x = 0 nuqtada uzluksizdir. Funktsiya grafigiga tegish har qanday nuqtada, shu jumladan x = 0 nuqtada ham mavjud. Ammo bu nuqtada tangens y o'qiga to'g'ri keladi, ya'ni u abscissa o'qiga perpendikulyar, uning tenglamasi x \u003d 0 ko'rinishga ega. Nishab bunday qator yo'q, demak \(f"(0) \) ham mavjud emas
Shunday qilib, biz funktsiyaning yangi xossasi - differentsiallik bilan tanishdik. Funksiya grafigidan funktsiya farqlanishini qanday aniqlash mumkin?
Javob aslida yuqorida berilgan. Agar biror nuqtada x o'qiga perpendikulyar bo'lmagan funksiya grafigiga teginish mumkin bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiya differentsiallanadi. Agar biror nuqtada funksiya grafigining tangensi mavjud bo‘lmasa yoki u x o‘qiga perpendikulyar bo‘lsa, bu nuqtada funksiya differentsiallanmaydi.
Hosilini topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Ushbu amalni bajarishda siz ko'pincha bo'linmalar, yig'indilar, funktsiyalarning mahsuloti, shuningdek, "funktsiyalar funktsiyalari", ya'ni murakkab funktsiyalar bilan ishlashingiz kerak bo'ladi. Hosila ta'rifiga asoslanib, biz ushbu ishni osonlashtiradigan farqlash qoidalarini olishimiz mumkin. Agar C doimiy son va f=f(x), g=g(x) ba’zi differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, unda quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi. farqlash qoidalari:
Agar ta'rifga amal qilsak, funktsiyaning nuqtadagi hosilasi D funktsiyaning o'sish nisbatining chegarasi bo'ladi. y argumentning ortishiga D x:
Hamma narsa aniq ko'rinadi. Ammo ushbu formula bo'yicha hisoblashga harakat qiling, masalan, funktsiyaning hosilasi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x gunoh x. Agar siz hamma narsani ta'rifi bo'yicha qilsangiz, bir necha sahifali hisob-kitoblardan so'ng siz shunchaki uxlab qolasiz. Shuning uchun oddiyroq va samaraliroq usullar mavjud.
Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, elementar funktsiyalar deb ataladigan narsalarni turli xil funktsiyalardan ajratish mumkin. Bu nisbatan oddiy ifodalar bo'lib, ularning hosilalari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va jadvalga kiritilgan. Bunday funktsiyalarni hosilalari bilan birga eslab qolish juda oson.
Elementar funktsiyalar quyida sanab o'tilgan barcha narsalardir. Bu funktsiyalarning hosilalari yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ularni yodlash qiyin emas - shuning uchun ular boshlang'ichdir.
Demak, elementar funksiyalarning hosilalari:
| Ism | Funktsiya | Hosil |
| Doimiy | f(x) = C, C ∈ R | 0 (ha, ha, nol!) |
| Ratsional darajali daraja | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = gunoh x | cos x |
| Kosinus | f(x) = cos x | - gunoh x(minus sinus) |
| Tangent | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangent | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| tabiiy logarifm | f(x) = jurnal x | 1/x |
| Ixtiyoriy logarifm | f(x) = jurnal a x | 1/(x ln a) |
| Eksponensial funktsiya | f(x) = e x | e x(hech narsa o'zgarmadi) |
Agar elementar funktsiya ixtiyoriy doimiyga ko'paytirilsa, yangi funktsiyaning hosilasi ham osonlik bilan hisoblanadi:
(C · f)’ = C · f ’.
Umuman, konstantalarni hosila belgisidan chiqarish mumkin. Misol uchun:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Shubhasiz, elementar funktsiyalarni bir-biriga qo'shish, ko'paytirish, bo'lish va boshqalar. Shunday qilib, yangi funktsiyalar paydo bo'ladi, ular endi juda oddiy emas, balki ma'lum qoidalarga muvofiq farqlanadi. Ushbu qoidalar quyida muhokama qilinadi.
Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) va g(x), hosilalari bizga ma'lum. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va ayirmasining hosilasini topishingiz mumkin:
Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Misol uchun, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun, farq f − g summa sifatida qayta yozilishi mumkin f+ (−1) g, va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning yig'indisidir, shuning uchun:
f ’(x) = (x 2+ gunoh x)’ = (x 2)' + (gunoh x)’ = 2x+ cosx;
Biz funksiya uchun xuddi shunday bahslashamiz g(x). Faqat uchta atama mavjud (algebra nuqtai nazaridan):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Javob:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Matematika mantiqiy fandir, shuning uchun ko'p odamlar yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng bo'lsa, mahsulotning hosilasi deb hisoblashadi. zarba berish"\u003e lotinlar mahsulotiga teng. Lekin sizga anjir! Mahsulotning hosilasi butunlay boshqa formula yordamida hisoblanadi. Ya'ni:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula oddiy, lekin ko'pincha unutiladi. Va nafaqat maktab o'quvchilari, balki talabalar ham. Natijada noto'g'ri hal qilingan muammolar.
Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning mahsulotidir, shuning uchun hamma narsa oddiy:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x gunoh x)
Funktsiya g(x) birinchi multiplikator biroz murakkabroq, lekin umumiy sxema bu o'zgarmaydi. Shubhasiz, funktsiyaning birinchi multiplikatori g(x) koʻphad boʻlib, uning hosilasi yigʻindining hosilasidir. Bizda ... bor:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Javob:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x gunoh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
E'tibor bering, oxirgi bosqichda hosila faktorlarga ajratiladi. Rasmiy ravishda, bu kerak emas, lekin ko'pchilik lotinlar o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin funktsiyani o'rganish uchun. Bu shuni anglatadiki, keyinchalik hosila nolga tenglashtiriladi, uning belgilari aniqlanadi va hokazo. Bunday holda, omillarga ajratilgan ifodaga ega bo'lish yaxshiroqdir.
Agar ikkita funktsiya mavjud bo'lsa f(x) va g(x), va g(x) ≠ 0 bizni qiziqtirgan to'plamda yangi funktsiyani belgilashimiz mumkin h(x) = f(x)/g(x). Bunday funktsiya uchun hosilani ham topishingiz mumkin:
Zaif emas, to'g'rimi? Minus qaerdan paydo bo'ldi? Nima uchun g 2? Lekin shunday! Bu eng ko'plaridan biri murakkab formulalar Buni shishasiz aniqlay olmaysiz. Shuning uchun uni o'rganish yaxshiroqdir aniq misollar.
Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping:
Har bir kasrning soni va maxrajida elementar funktsiyalar mavjud, shuning uchun bizga faqat qismning hosilasi formulasi kerak bo'ladi:
An'anaga ko'ra, biz numeratorni omillarga ajratamiz - bu javobni sezilarli darajada soddalashtiradi:
Murakkab funktsiya yarim kilometr uzunlikdagi formula bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiyani olish kifoya f(x) = gunoh x va o'zgaruvchini almashtiring x, aytaylik, yoqilgan x 2+ln x. Ma'lum bo'lishicha f(x) = gunoh ( x 2+ln x) murakkab funksiyadir. Uning hosilasi ham bor, lekin uni yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq topish ishlamaydi.
Qanday bo'lish kerak? Bunday hollarda o'zgaruvchini almashtirish va murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordam beradi:
f ’(x) = f ’(t) · t', agar x bilan almashtiriladi t(x).
Qoidaga ko'ra, ushbu formulani tushunish bilan bog'liq vaziyat ko'rsatkichning hosilasiga qaraganda ancha achinarli. Shuning uchun, buni aniq misollar bilan tushuntirish yaxshiroqdir batafsil tavsif har bir qadam.
Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = gunoh ( x 2+ln x)
E'tibor bering, agar funktsiyada bo'lsa f(x) ifoda oʻrniga 2 x+ 3 oson bo'ladi x, keyin elementar funktsiyani olamiz f(x) = e x. Shuning uchun biz almashtirishni qilamiz: 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Biz murakkab funktsiyaning hosilasini quyidagi formula bo'yicha qidiramiz:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Va endi - diqqat! Teskari almashtirishni amalga oshirish: t = 2x+ 3. Biz quyidagilarni olamiz:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Endi funksiyani ko'rib chiqamiz g(x). O'zgartirish kerakligi aniq. x 2+ln x = t. Bizda ... bor:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (gunoh t)’ · t' = cos t · t ’
Orqaga almashtirish: t = x 2+ln x. Keyin:
g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Hammasi shu! dan ko'rinib turganidek oxirgi ifoda, butun muammo yig'indining hosilasini hisoblashga qisqartirildi.
Javob:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) chunki ( x 2+ln x).
Ko'pincha darslarimda "hosil" atamasi o'rniga "zarba" so'zini ishlataman. Misol uchun, yig'indidan olingan zarba summasiga teng zarbalar. Bu aniqroqmi? Xo'sh, bu yaxshi.
Shunday qilib, lotinni hisoblash yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq bu juda zarbalardan xalos bo'lishga tushadi. Yakuniy misol sifatida, keling, ratsional ko'rsatkich bilan hosila darajaga qaytaylik:
(x n)’ = n · x n − 1
Buni rolda kam odam biladi n kasr son bo'lishi mumkin. Masalan, ildiz x 0,5. Ammo ildiz ostida biron bir qiyin narsa bo'lsa-chi? Shunga qaramay, murakkab funktsiya paydo bo'ladi - ular bunday konstruktsiyalarni berishni yaxshi ko'radilar nazorat ishlari va imtihonlar.
Vazifa. Funktsiyaning hosilasini toping:
Birinchidan, ildizni ratsional darajali daraja sifatida qayta yozamiz:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Endi biz almashtirishni amalga oshiramiz: ruxsat bering x 2 + 8x − 7 = t. Biz hosilani quyidagi formula bo'yicha topamiz:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz: t = x 2 + 8x− 7. Bizda:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Nihoyat, ildizlarga qayting:
