Logarifm belgisi ostida manfiy yoki bitta son borligini tekshiring. Bu usul shakl ifodalariga nisbatan qo'llaniladi log b (x) log b (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Biroq, u ba'zi maxsus holatlar uchun mos emas:
Ifodani bitta logarifmga aylantiring. Agar ifoda yuqoridagilardan biri bo'lmasa maxsus holatlar, u bitta logarifm sifatida ifodalanishi mumkin. Buning uchun quyidagi formuladan foydalaning: log b (x) log b (a) = log a (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a))))=\ log_(a)(x)).
Iloji bo'lsa, ifoda qiymatini qo'lda baholang. Topmoq log a (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), ifodasini tasavvur qiling" a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", ya'ni quyidagi savolni bering: "Qaysi kuchni ko'tarish kerak a, olish uchun x?. Bu savolga javob berish uchun kalkulyator kerak bo'lishi mumkin, lekin agar omadingiz bo'lsa, uni qo'lda topishingiz mumkin.
Javobingizni soddalashtira olmasangiz, logarifmik shaklda qoldiring. Ko'pgina logarifmlarni qo'lda hisoblash juda qiyin. Bunday holda, aniq javob olish uchun sizga kalkulyator kerak bo'ladi. Ammo, agar siz sinfda muammoni hal qilsangiz, o'qituvchi logarifmik shakldagi javobdan mamnun bo'ladi. Quyida muhokama qilingan usul murakkabroq misolni hal qilish uchun ishlatiladi:
Jamiyat rivojlanib, ishlab chiqarish murakkablashgan sari matematika ham rivojlandi. Oddiydan murakkabga o'tish. An'anaviy hisobdan qo'shish va ayirish usuli bilan, ular bilan ko'p marta takrorlangan, ko'paytirish va bo'lish tushunchasiga keldi. Ko'paytirishning takroriy amalini qisqartirish ko'rsatkich tushunchasiga aylandi. Raqamlarning asosga va ko'rsatkichlar soniga bog'liqligining birinchi jadvallari 8-asrda hind matematigi Varasena tomonidan tuzilgan. Ulardan logarifmlarning paydo bo'lish vaqtini hisoblashingiz mumkin.
16-asrda Yevropaning qayta tiklanishi ham mexanikaning rivojlanishiga turtki boʻldi. T katta hajmdagi hisoblashni talab qildi ko'p xonali sonlarni ko'paytirish va bo'lish bilan bog'liq. Qadimgi stollar katta xizmat qilgan. Ular murakkab amallarni oddiyroq - qo'shish va ayirish bilan almashtirishga imkon berdi. Oldinga katta qadam 1544 yilda nashr etilgan matematik Maykl Stifelning ishi bo'lib, unda u ko'plab matematiklarning g'oyasini amalga oshirdi. Bu nafaqat shakldagi darajalar uchun jadvallardan foydalanishga imkon berdi tub sonlar, balki o'zboshimchalik bilan oqilona bo'lganlar uchun ham.
1614 yilda bu g'oyalarni ishlab chiqqan shotlandiyalik Jon Nepier birinchi marta taqdim etdi yangi atama"sonning logarifmi". Sinuslar va kosinuslarning logarifmlarini, shuningdek, tangenslarni hisoblash uchun yangi murakkab jadvallar tuzildi. Bu astronomlarning ishini ancha qisqartirdi.
Uch asr davomida olimlar tomonidan muvaffaqiyatli qo'llanilgan yangi jadvallar paydo bo'la boshladi. Algebra bo'yicha yangi operatsiya tugallangan shaklga ega bo'lgunga qadar ko'p vaqt o'tdi. Logarifmning ta’rifi berildi va uning xossalari o‘rganildi.
Faqat 20-asrda, kalkulyator va kompyuterning paydo bo'lishi bilan insoniyat 13-asr davomida muvaffaqiyatli ishlagan qadimiy jadvallardan voz kechdi.
Bugun biz b ning logarifmini a asosi bo'lgan x soni deb ataymiz, ya'ni a ning b ni tashkil qiladi. Bu formula sifatida yoziladi: x = log a(b).
Masalan, log 3(9) 2 ga teng bo'ladi. Agar ta'rifga amal qilsangiz, bu aniq. Agar 3 ni 2 ning darajasiga oshirsak, biz 9 ni olamiz.
Shunday qilib, tuzilgan ta'rif faqat bitta cheklovni o'rnatadi: a va b raqamlari haqiqiy bo'lishi kerak.
Klassik ta'rif haqiqiy logarifm deb ataladi va aslida a x = b tenglamaning yechimidir. Variant a = 1 chegara chizig'idir va qiziqish uyg'otmaydi. Diqqat: har qanday kuchga 1 1 ga teng.
Logarifmning haqiqiy qiymati faqat asos va argument 0 dan katta bo'lganda aniqlanadi va asos 1 ga teng bo'lmasligi kerak.
Matematika sohasida alohida o'rin tutadi logarifmlarni o'ynang, ular bazasining o'lchamiga qarab nomlanadi:
Logarifmlarning asosiy xususiyati qoidadir: mahsulotning logarifmi logarifmik yig'indiga teng. log abp = log a(b) + log a(p).
Ushbu bayonotning varianti sifatida quyidagilar bo'ladi: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bo'linish funktsiyasi funktsiyalarning farqiga teng.
Oldingi ikkita qoidadan shuni ko'rish oson: log a(b p) = p * log a(b).
Boshqa xususiyatlarga quyidagilar kiradi:
Izoh. Umumiy xatoga yo'l qo'ymang - yig'indining logarifmi emas summasiga teng logarifmlar.
Ko'p asrlar davomida logarifmni topish juda ko'p vaqt talab qiladigan ish edi. Matematiklar foydalangan taniqli formula Polinom kengayishining logarifmik nazariyasi:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), bu erda n - 1 dan katta natural son, bu hisoblashning to'g'riligini belgilaydi.
Boshqa asosli logarifmlar bir asosdan ikkinchisiga o'tish teoremasi va ko'paytma logarifmining xossasi yordamida hisoblangan.
Chunki bu usul juda ko'p mehnat talab qiladi va amaliy muammolarni hal qilishda amalga oshirish qiyin, biz logarifmlarning oldindan tuzilgan jadvallaridan foydalandik, bu esa barcha ishlarni sezilarli darajada tezlashtirdi.
Ba'zi hollarda logarifmlarning maxsus mo'ljallangan grafiklari qo'llanildi, bu kamroq aniqlik berdi, ammo kerakli qiymatni qidirishni sezilarli darajada tezlashtirdi. Bir necha nuqtalar ustida tuzilgan y = log a(x) funktsiyaning egri chizig'i istalgan boshqa nuqtadagi funktsiya qiymatini topish uchun oddiy o'lchagichdan foydalanish imkonini beradi. Uzoq vaqt davomida muhandislar ushbu maqsadlar uchun grafik qog'oz deb ataladigan qog'ozdan foydalanganlar.
17-asrda birinchi yordamchi analog hisoblash sharoitlari paydo bo'ldi, bu 19-asr tugallangan ko'rinishga ega bo'ldi. Eng muvaffaqiyatli qurilma slayd qoidasi deb nomlandi. Qurilmaning soddaligiga qaramay, uning ko'rinishi barcha muhandislik hisob-kitoblari jarayonini sezilarli darajada tezlashtirdi va buni ortiqcha baholash qiyin. Hozirda bu qurilma bilan kam odam tanish.
Kalkulyatorlar va kompyuterlarning paydo bo'lishi boshqa har qanday qurilmalardan foydalanishni ma'nosiz qildi.
Logarifmlar yordamida turli xil tenglamalar va tengsizliklarni yechish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:
Tengsizliklarni yechish uchun quyidagilarni bilish foydalidir:
Keling, logarifmlar va ularning xossalarini ishlatishning bir nechta variantlarini ko'rib chiqaylik. Tenglamalarni yechishga misollar:
Logarifmni bir darajaga joylashtirish variantini ko'rib chiqing:
Sof matematik vosita bo'lib, u uzoqroq ko'rinadi haqiqiy hayot logarifm to'satdan paydo bo'ldi katta ahamiyatga ega real dunyo ob'ektlarini tasvirlash. Undan foydalanilmagan fanni topish qiyin. Bu nafaqat tabiiy, balki gumanitar bilim sohalariga ham to'liq taalluqlidir.
Raqamli bog'liqliklarga ba'zi misollar:
Tarixan mexanika va fizika har doim matematik tadqiqot usullaridan foydalangan holda rivojlangan va shu bilan birga matematikaning, jumladan, logarifmlarning rivojlanishi uchun rag'bat bo'lib xizmat qilgan. Fizikaning aksariyat qonunlari nazariyasi matematika tilida yozilgan. Logarifm yordamida fizik qonunlarni tavsiflashga ikkita misol keltiramiz.
Raketa tezligi kabi murakkab miqdorni hisoblash muammosini Tsiolkovskiy formulasi yordamida hal qilish mumkin, bu koinotni o'rganish nazariyasiga asos solgan:
V = I * ln (M1/M2), bu erda
Boshqa muhim misol - bu boshqa buyuk olim Maks Plankning termodinamikadagi muvozanat holatini baholashga xizmat qiluvchi formulasida qo'llaniladi.
S = k * ln (Ō), bu erda
Kimyoda logarifmlar nisbatini o'z ichiga olgan formulalardan foydalanish unchalik aniq emas. Keling, ikkita misol keltiraylik:
Va psixologiyaning bunga qanday aloqasi borligi umuman aniq emas. Ma'lum bo'lishicha, sezish kuchi bu funktsiya tomonidan ogohlantiruvchi intensivlik qiymatining quyi intensivlik qiymatiga teskari nisbati sifatida yaxshi tasvirlangan.
Yuqoridagi misollardan so'ng, logarifmlar mavzusi biologiyada keng qo'llanilishi ajablanarli emas. Logarifmik spirallarga mos keladigan biologik shakllar haqida butun jildlarni yozish mumkin edi.
Ko'rinadiki, dunyoning mavjudligi bu funktsiya bilan bog'liqsiz mumkin emas va u barcha qonunlarni boshqaradi. Ayniqsa, tabiat qonunlari geometrik progressiya bilan bog'liq bo'lsa. MatProfi veb-saytiga murojaat qilish arziydi va quyidagi faoliyat sohalarida bunday misollar ko'p:
Ro'yxat cheksiz bo'lishi mumkin. Ushbu funktsiyaning asosiy tamoyillarini o'zlashtirib, siz cheksiz donolik dunyosiga sho'ng'ishingiz mumkin.
Logarifmik ifodalar, misollar yechish. Ushbu maqolada biz logarifmlarni yechish bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqamiz. Vazifalarda ifoda ma'nosini topish masalasi qo'yiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, logarifm tushunchasi ko'plab vazifalarda qo'llaniladi va uning ma'nosini tushunish juda muhimdir. Yagona davlat imtihoniga kelsak, logarifm tenglamalarni echishda, amaliy masalalarda, shuningdek funktsiyalarni o'rganish bilan bog'liq vazifalarda qo'llaniladi.
Logarifmning ma'nosini tushunish uchun misollar keltiramiz:
Asosiy logarifmik identifikatsiya:
Logarifmlarning har doim esda qolishi kerak bo'lgan xususiyatlari:
*Ko‘paytmaning logarifmi omillarning logarifmlari yig‘indisiga teng.
* * *
*Qismning (kasr) logarifmi omillarning logarifmlari orasidagi farqga teng.
* * *
*Daraja logarifmi mahsulotga teng uning asosining logarifmi bo'yicha daraja.
* * *
*Yangi poydevorga o'tish
* * *
Ko'proq xususiyatlar:
* * *
Logarifmlarni hisoblash ko'rsatkichlarning xossalarini qo'llash bilan chambarchas bog'liq.
Keling, ulardan ba'zilarini sanab o'tamiz:
Bu xossaning mohiyati shundan iboratki, hisoblagich maxrajga va aksincha o‘tkazilganda ko‘rsatkich belgisi teskari tomonga o‘zgaradi. Masalan:
Bu xususiyatdan xulosa:
* * *
Quvvatni kuchga ko'tarishda asos bir xil bo'lib qoladi, lekin ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.
* * *
Ko'rib turganingizdek, logarifm tushunchasining o'zi oddiy. Asosiysi, sizga ma'lum mahorat beradigan yaxshi amaliyot kerak. Albatta, formulalarni bilish talab qilinadi. Agar elementar logarifmlarni o'zgartirish mahorati rivojlanmagan bo'lsa, unda oddiy vazifalarni hal qilishda siz osongina xato qilishingiz mumkin.
Amaliyot qiling, avval matematika kursidan eng oddiy misollarni yeching, so'ngra murakkabroq misollarga o'ting. Kelajakda men "qo'rqinchli" logarifmlar qanday hal qilinishini aniq ko'rsataman, ular Yagona davlat imtihonida ko'rinmaydi, lekin ular qiziqish uyg'otadi, ularni o'tkazib yubormang!
Ana xolos! Sizga omad!
Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix
P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.
Biz logarifmlarni o'rganishda davom etamiz. Ushbu maqolada biz bu haqda gaplashamiz logarifmlarni hisoblash, bu jarayon deyiladi logarifm. Avval logarifmlarni ta'rifi bo'yicha hisoblashni tushunamiz. Keyinchalik, ularning xususiyatlaridan foydalanib, logarifmlarning qiymatlari qanday topilganligini ko'rib chiqaylik. Shundan so'ng, biz boshqa logarifmlarning dastlab belgilangan qiymatlari orqali logarifmlarni hisoblashga e'tibor qaratamiz. Va nihoyat, keling, logarifm jadvallarini qanday ishlatishni o'rganamiz. Butun nazariya batafsil echimlar bilan misollar bilan ta'minlangan.
Sahifani navigatsiya qilish.
Eng oddiy hollarda juda tez va oson bajarish mumkin ta'rifi bo'yicha logarifmni topish. Keling, bu jarayon qanday sodir bo'lishini batafsil ko'rib chiqaylik.
Uning mohiyati b raqamini a c ko'rinishida ifodalashdan iborat bo'lib, undan logarifm ta'rifi bo'yicha c soni logarifmning qiymati hisoblanadi. Ya'ni, ta'rifiga ko'ra, quyidagi tenglik zanjiri logarifmni topishga mos keladi: log a b=log a a c =c.
Demak, logarifmni ta'rif bo'yicha hisoblash a c = b bo'lgan c raqamini topishga to'g'ri keladi va c sonining o'zi logarifmning kerakli qiymatidir.
Oldingi paragraflardagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda, logarifm belgisi ostidagi raqam logarifm asosining ma'lum bir kuchi bilan berilganda, siz darhol logarifm nimaga teng ekanligini ko'rsatishingiz mumkin - bu ko'rsatkichga teng. Keling, misollarga yechimlarni ko'rsatamiz.
Misol.
log 2 2 −3 ni toping, shuningdek e 5,3 sonining natural logarifmini hisoblang.
Yechim.
Logarifmning ta'rifi darhol log 2 2 −3 =−3 ekanligini aytishga imkon beradi. Haqiqatan ham, logarifm belgisi ostidagi raqam 2-bazaning -3 darajasiga teng.
Xuddi shunday, biz ikkinchi logarifmni topamiz: lne 5,3 =5,3.
Javob:
log 2 2 −3 =−3 va lne 5,3 =5,3.
Agar logarifm belgisi ostidagi b soni logarifm asosining kuchi sifatida ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda siz b sonining a c ko'rinishida tasvirini topish mumkinmi yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak. Ko'pincha bu ko'rinish juda aniq, ayniqsa logarifm belgisi ostidagi raqam 1, yoki 2 yoki 3, ... kuchiga asosga teng bo'lsa.
Misol.
log 5 25, va logarifmlarini hisoblang.
Yechim.
25=5 2 ekanligini tushunish oson, bu birinchi logarifmni hisoblash imkonini beradi: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Keling, ikkinchi logarifmni hisoblashga o'tamiz. Raqam 7 ning kuchi sifatida ifodalanishi mumkin: 
(agar kerak bo'lsa, qarang). Demak, 
.
Uchinchi logarifmni qayta yozamiz quyidagi shakl. Endi buni ko'rishingiz mumkin 
, shundan biz shunday xulosaga kelamiz 
. Shuning uchun, logarifmning ta'rifi bilan 
.
Qisqacha aytganda, yechim quyidagicha yozilishi mumkin: .
Javob:
log 5 25=2 , 
Va .
Logarifm belgisi ostida etarlicha katta natural son mavjud bo'lganda, uni tub omillarga ko'paytirish zarar qilmaydi. Ko'pincha bunday raqamni logarifm asosining ba'zi bir kuchi sifatida ko'rsatishga yordam beradi va shuning uchun bu logarifmni ta'rifi bo'yicha hisoblang.
Misol.
Logarifmning qiymatini toping.
Yechim.
Logarifmlarning ayrim xossalari darhol logarifmlar qiymatini belgilash imkonini beradi. Bu xossalarga birlik logarifmi xossasi va son logarifmi xossasi kiradi, asosga teng: log 1 1=log a a 0 =0 va log a a=log a a 1 =1 . Ya'ni, agar logarifm belgisi ostida 1 raqami yoki logarifm asosiga teng a soni mavjud bo'lsa, bu hollarda logarifmlar mos ravishda 0 va 1 ga teng bo'ladi.
Misol.
Logarifm va log10 nimaga teng?
Yechim.
dan boshlab, keyin logarifmning ta'rifidan kelib chiqadi 
.
Ikkinchi misolda logarifm belgisi ostidagi 10 soni uning asosiga to'g'ri keladi, shuning uchun o'nlik o'nlik logarifmi birga teng, ya'ni lg10=lg10 1 =1.
Javob:
VA lg10=1.
E'tibor bering, logarifmlarni ta'rifi bo'yicha hisoblash (bu haqda oldingi bandda muhokama qilganmiz) loggarifmlarning xususiyatlaridan biri bo'lgan log a a p =p tengligidan foydalanishni nazarda tutadi.
Amalda logarifm ishorasi ostidagi son va logarifm asosi ma’lum sonning kuchi sifatida oson ifodalanganda formuladan foydalanish juda qulay. 
, bu logarifmlarning xususiyatlaridan biriga mos keladi. Keling, ushbu formuladan foydalanishni ko'rsatadigan logarifmni topish misolini ko'rib chiqaylik.
Misol.
Logarifmni hisoblang.
Yechim.
Javob:
.
Logarifmlarning yuqorida qayd etilmagan xususiyatlari ham hisob-kitoblarda qo'llaniladi, ammo bu haqda keyingi paragraflarda gaplashamiz.
Ushbu banddagi ma'lumotlar logarifmlarning xossalarini hisoblashda foydalanish mavzusini davom ettiradi. Ammo bu erda asosiy farq shundaki, logarifmlarning xossalari dastlabki logarifmni qiymati ma'lum bo'lgan boshqa logarifm shaklida ifodalash uchun ishlatiladi. Aniqlik uchun misol keltiramiz. Aytaylik, log 2 3≈1,584963 ekanligini bilamiz, u holda, masalan, log 2 6 ni logarifmning xossalari yordamida biroz o‘zgartirish orqali topishimiz mumkin: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Yuqoridagi misolda mahsulotning logarifmi xususiyatidan foydalanishimiz kifoya edi. Biroq, berilganlar orqali asl logarifmni hisoblash uchun ko'pincha logarifmlar xususiyatlarining kengroq arsenalidan foydalanish kerak bo'ladi.
Misol.
Agar log 60 2=a va log 60 5=b ekanligini bilsangiz, 27 ning 60 asosiga logarifmini hisoblang.
Yechim.
Shunday qilib, log 60 27 ni topishimiz kerak. 27 = 3 3 ekanligini va asl logarifmni kuchning logarifmi xususiyatidan kelib chiqib, 3·log 60 3 shaklida qayta yozish mumkinligini ko'rish oson.
Endi log 60 3 ni ma'lum logarifmlar bilan qanday ifodalashni ko'rib chiqamiz. Bazaga teng son logarifmining xossasi 60 60=1 tenglik logini yozishga imkon beradi. Boshqa tomondan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Shunday qilib, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Demak, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Nihoyat, biz asl logarifmni hisoblaymiz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Javob:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Shaklning logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasining ma'nosini alohida ta'kidlash kerak. 
. Bu sizga har qanday asosli logarifmlardan ma'lum bir asosli, qiymatlari ma'lum yoki ularni topish mumkin bo'lgan logarifmlarga o'tish imkonini beradi. Odatda, dastlabki logarifmdan, o'tish formulasidan foydalanib, ular 2, e yoki 10 asoslaridan birida logarifmlarga o'tadilar, chunki bu asoslar uchun ularning qiymatlarini ma'lum darajada hisoblash imkonini beruvchi logarifmlar jadvallari mavjud. aniqlik. Keyingi paragrafda bu qanday amalga oshirilganligini ko'rsatamiz.
Logarifm qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun foydalanish mumkin logarifm jadvallari. Eng ko'p ishlatiladigan 2 ta logarifm jadvali jadvaldir tabiiy logarifmlar va o'nlik logarifmlar jadvali. O'nlik sanoq sistemasida ishlaganda o'nlik asosga asoslangan logarifmlar jadvalidan foydalanish qulay. Uning yordami bilan biz logarifmlarning qiymatlarini topishni o'rganamiz.
Taqdim etilgan jadval 1000 dan 9999 gacha (uchta kasrli) raqamlarning o'n mingdan bir qismi aniqligi bilan o'nlik logarifmlarining qiymatlarini topishga imkon beradi. O'nlik logarifmlar jadvalidan foydalanib, logarifmning qiymatini topish tamoyilini tahlil qilamiz aniq misol- bu aniqroq. Log1.256 ni topamiz.
O'nlik logarifmlar jadvalining chap ustunida biz 1,256 raqamining birinchi ikkita raqamini topamiz, ya'ni 1,2 ni topamiz (aniqlik uchun bu raqam ko'k rangda aylana shaklida chizilgan). 1.256 raqamining uchinchi raqami (5-raqam) qo'sh qatorning chap tomonidagi birinchi yoki oxirgi satrda joylashgan (bu raqam qizil rang bilan aylanalangan). Dastlabki 1.256 raqamining to'rtinchi raqami (6-raqam) qo'sh chiziqning o'ng tomonidagi birinchi yoki oxirgi qatorda joylashgan (bu raqam yashil chiziq bilan o'ralgan). Endi biz raqamlarni logarifmlar jadvalining katakchalarida belgilangan qator va belgilangan ustunlar kesishmasida topamiz (bu raqamlar ta'kidlangan. apelsin). Belgilangan raqamlar yig'indisi o'nlik logarifmning kerakli qiymatini to'rtinchi kasrgacha aniq beradi, ya'ni log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Yuqoridagi jadvaldan foydalanib, kasrdan keyin uchtadan ortiq raqamga ega bo'lgan, shuningdek, 1 dan 9,999 gacha bo'lgan diapazondan tashqariga chiqadigan raqamlarning o'nlik logarifmlarining qiymatlarini topish mumkinmi? Ha mumkin. Keling, bu qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.
Keling, lg102.76332 ni hisoblaymiz. Avval siz yozishingiz kerak raqam ichida standart shakl : 102,76332=1,0276332·10 2. Shundan so'ng, mantisani uchinchi kasrga yaxlitlash kerak, bizda bor 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, asl o'nlik logarifmi taxminan olingan sonning logarifmiga teng bo'lsa, ya'ni lg102,76332≈lg1,028·10 2 ni olamiz. Endi biz logarifmning xususiyatlarini qo'llaymiz: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nihoyat, lg1.028 oʻnlik logarifmlar jadvalidan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 logarifm qiymatini topamiz. Natijada, logarifmni hisoblashning butun jarayoni quyidagicha ko'rinadi: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Xulosa qilib shuni ta'kidlash kerakki, o'nlik logarifmlar jadvalidan foydalanib, har qanday logarifmning taxminiy qiymatini hisoblashingiz mumkin. Buning uchun o'nlik logarifmlarga o'tish, jadvalda ularning qiymatlarini topish va qolgan hisob-kitoblarni bajarish uchun o'tish formulasidan foydalanish kifoya.
Masalan, log 2 3 ni hisoblab chiqamiz. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasiga ko'ra, bizda mavjud. O'nli logarifmlar jadvalidan log3≈0,4771 va log2≈0,3010 ni topamiz. Shunday qilib, 
.
Adabiyotlar ro'yxati.
Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar aniq emasligi sababli oddiy raqamlar, bu erda qoidalar mavjud, ular deyiladi asosiy xususiyatlar.
Siz, albatta, ushbu qoidalarni bilishingiz kerak - ularsiz biron bir jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - siz bir kunda hamma narsani o'rganishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.
bilan ikkita logarifmni ko'rib chiqing xuddi shu asoslarda:log a x va jurnal a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:
Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga, ayirmasi esa bo‘linmaning logarifmiga teng. Eslatma: asosiy moment Bu yerga - bir xil asoslar. Agar sabablar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!
Ushbu formulalar sizga hisoblashda yordam beradi logarifmik ifoda hatto uning alohida qismlari hisobga olinmasa ham ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:
Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.
Logarifmlar bir xil asoslarga ega bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.
Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.
Yana asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida hisoblanmaydi. Ammo transformatsiyalardan so'ng butunlay normal raqamlar olinadi. Ko'pchilik bu haqiqatga asoslanadi test qog'ozlari. Ha, testga o'xshash iboralar Yagona davlat imtihonida barcha jiddiylik bilan (ba'zan deyarli hech qanday o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.
Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumenti kuch bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:
Oxirgi qoida birinchi ikkitasiga amal qilishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.
Albatta, agar logarifmning ODZiga rioya qilinsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. Logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .
Keling, birinchi formuladan foydalanib, argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:
[Rasm uchun sarlavha]
E'tibor bering, maxraj logarifmadan iborat bo'lib, uning asosi va argumenti aniq darajalardir: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizda ... bor:
[Rasm uchun sarlavha] O'ylaymanki, oxirgi misol biroz tushuntirishni talab qiladi. Logarifmlar qayerga ketdi? Biz oxirgi daqiqagacha faqat maxraj bilan ishlaymiz. Biz u erda turgan logarifmning asosini va argumentini kuchlar shaklida taqdim etdik va ko'rsatkichlarni olib tashladik - biz "uch qavatli" kasrni oldik.
Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil sonni o'z ichiga oladi: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rttasi hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarilgan. Natijada javob bo'ldi: 2.
Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar sabablar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?
Yangi poydevorga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Keling, ularni teorema shaklida tuzamiz:
Logarifm jurnali berilsin a x. Keyin istalgan raqam uchun c shu kabi c> 0 va c≠ 1, tenglik to'g'ri:
[Rasm uchun sarlavha]
Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:
[Rasm uchun sarlavha]
Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda ko'rinadi.
An'anaviy formulalar kamdan-kam uchraydi raqamli ifodalar. Ularning qanchalik qulayligini faqat qaror qabul qilish orqali baholash mumkin logarifmik tenglamalar va tengsizliklar.
Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.
E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq kuchlarni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Endi ikkinchi logarifmni “teskari” qilaylik:
[Rasm uchun sarlavha]Faktorlarni qayta tartibga solishda mahsulot o'zgarmasligi sababli, biz xotirjamlik bilan to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlar bilan ishladik.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.
Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:
[Rasm uchun sarlavha]Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:
[Rasm uchun sarlavha]Ko'pincha yechim jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi. Bunday holda, quyidagi formulalar bizga yordam beradi:
Birinchi holda, raqam n argumentda turgan daraja ko'rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifm qiymati.
Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu shunday deyiladi: asosiy logarifmik identifikatsiya.
Aslida, raqam bo'lsa, nima bo'ladi b raqamni shunday kuchga ko'taring b bu kuchga raqamni beradi a? To'g'ri: siz xuddi shu raqamni olasiz a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga yopishib olishadi.
Yangi bazaga o'tish formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.
Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:
[Rasm uchun sarlavha]
E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - oddiygina kvadratni logarifmning asosi va argumentidan oldi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:
[Rasm uchun sarlavha]Agar kimdir bilmasa, bu yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi :)
Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlar deb atash qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, ular logarifm ta'rifining oqibatlari. Ular doimo muammolarda paydo bo'ladi va ajablanarlisi shundaki, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.
Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.
