Agar ma'lum bir raqamni kuchga ko'tarish kerak bo'lsa, dan foydalanishingiz mumkin. Endi biz batafsilroq ko'rib chiqamiz kuchlarning xususiyatlari.
Eksponensial sonlar katta imkoniyatlar ochadi, ular bizga ko'paytirishni qo'shimchaga aylantirish imkonini beradi va qo'shish ko'paytirishdan ko'ra ancha osondir.
Misol uchun, 16 ni 64 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu ikki raqamni ko'paytirish mahsuloti 1024. Lekin 16 4x4, 64 esa 4x4x4. Demak, 16 marta 64=4x4x4x4x4, bu ham 1024 ga teng.
16 raqamini 2x2x2x2 va 64 raqamini 2x2x2x2x2x2 sifatida ham ko'rsatish mumkin, agar ko'paytirsak, yana 1024 ni olamiz.
Endi qoidadan foydalanamiz. 16=4 2, yoki 2 4, 64=4 3 yoki 2 6, 1024=6 4 =4 5 yoki 2 10.
Demak, bizning masalamiz boshqacha tarzda yozilishi mumkin: 4 2 x4 3 =4 5 yoki 2 4 x2 6 =2 10 va har safar biz 1024 ni olamiz.
Biz shunga o'xshash bir qancha misollarni echishimiz mumkin va raqamlarning kuchlar bilan ko'payishi ga kamayganini ko'rishimiz mumkin ko‘rsatkichlarni qo‘shish, yoki ko'rsatkich, albatta, omillarning asoslari teng bo'lishi sharti bilan.
Shunday qilib, biz ko'paytirmasdan darhol aytishimiz mumkin: 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Bu qoida raqamlarni kuchlar bilan bo'lishda ham to'g'ri keladi, lekin bu holda, e bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning darajasidan ayiriladi. Shunday qilib, oddiy sonlarda 32:8=4 ga teng bo'lgan 2 5:2 3 =2 2, ya'ni 2 2 . Keling, xulosa qilaylik:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, bu erda m va n butun sonlardir.
Bir qarashda shunday tuyulishi mumkin sonlarni kuch bilan ko'paytirish va bo'lish unchalik qulay emas, chunki avval raqamni eksponensial shaklda ifodalash kerak. 8 va 16 raqamlarini bu shaklda ifodalash qiyin emas, ya'ni 2 3 va 2 4, lekin buni 7 va 17 raqamlari bilan qanday qilish kerak? Yoki raqam eksponensial shaklda ifodalanishi mumkin bo'lgan hollarda nima qilish kerak, lekin sonlarning eksponensial ifodalari asoslari juda boshqacha. Masalan, 8×9 2 3 x 3 2 ga teng, bu holda ko‘rsatkichlarni yig‘a olmaymiz. 2 5 ham, 3 5 ham javob emas, ikkalasi orasidagi javob ham emas.
Keyin bu usul bilan umuman bezovtalanishga arziydimi? Albatta bunga arziydi. Bu, ayniqsa, murakkab va ko'p vaqt talab qiladigan hisob-kitoblar uchun katta afzalliklarni beradi.
Shubhasiz, kuchga ega raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birma-bir qo'shish orqali.
Shunday qilib, a 3 va b 2 yig'indisi a 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.
Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning bir xil kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.
Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.
Bundan tashqari, agar ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni oladigan bo'lsak, bu ham aniq.
Ammo darajalar turli xil o'zgaruvchilar Va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilariga qo'shish orqali qo'shilishi kerak.
Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.
Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning kvadratidan ikki marta emas, balki a ning kubidan ikki barobar kattadir.
3 b n va 3a 5 b 6 yig'indisi a 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.
Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtrahend belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.
Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 soat 2 b 6 - 4 soat 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Quvvatli sonlar boshqa miqdorlar kabi ularni birin-ketin yozish orqali, ular orasidagi ko'paytirish belgisi bilan yoki ko'paytirmasdan ko'paytirilishi mumkin.
Demak, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.
Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3 .
Bir nechta raqamlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. so'm atamalar darajalari.
Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.
Demak, a n .a m = a m+n.
a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha bo'lsa, shuncha ko'p marta olinadi;
Va a m , koeffitsient sifatida qancha marta m darajaga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;
Shunung uchun, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarni qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.
Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Bu qoida ko'rsatkichlari - bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.
1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni
Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi summasiga teng yoki ularning kvadratlari farqi.
Ikki sonning yig'indisi va farqi ga ko'tarilsa kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.
Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Kuchli sonlarni boshqa sonlar kabi boʻluvchidan ayirish yoki kasr shaklida joylashtirish yoʻli bilan boʻlish mumkin.
Demak, a 3 b 2 b 2 ga bo'lingan holda a 3 bo'ladi.
3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\fracga o'xshaydi $. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.
Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..
Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ya'ni, $\frac = y$.
Va a n+1:a = a n+1-1 = a n. Ya'ni, $\frac = a^n$.
Yoki:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 ga teng.
Shuningdek, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.
1. $\frac $ da koʻrsatkichlarni qisqartiring Javob: $\frac $.
2. $\frac$ ko'rsatkichlarini kamaytiring. Javob: $\frac $ yoki 2x.
3. a 2 / a 3 va a -3 / a -4 ko'rsatkichlarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 birinchi raqam -2 hisoblanadi.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3/5a 7 va 5a 5/5a 7 yoki 2a 3/5a 2 va 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.
6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.
7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.
8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.
Ushbu darsda biz tushunganimizni eslatib o'tamiz daraja xususiyatlari tabiiy ko'rsatkichlar va nolga teng. Ratsional ko'rsatkichli darajalar va ularning xususiyatlari 8-sinf uchun darslarda muhokama qilinadi.
Tabiiy ko'rsatkichli ko'rsatkich bir qancha muhim xususiyatlarga ega bo'lib, ular ko'rsatkich misollarida hisoblarni soddalashtirishga imkon beradi.
Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va darajalar qo'shiladi.
a m a n \u003d a m + n, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.
Vakolatlarning bu xossasi uch yoki undan ortiq vakolatlar mahsulotiga ham ta'sir qiladi.
E'tibor bering, ko'rsatilgan mulkda gap faqat bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish haqida edi.. Bu ularning qo'shilishiga taalluqli emas.
Siz yig'indini (3 3 + 3 2) 3 5 bilan almashtira olmaysiz. Bu tushunarli, agar
hisoblang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 va 3 5 = 243
Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos o'zgarishsiz qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividend darajasidan chiqariladi.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Misol. Tenglamani yeching. Biz qisman darajalar xususiyatidan foydalanamiz.
3 8: t = 3 4
Javob: t = 3 4 = 81
No1 va 2-sonli xususiyatlardan foydalanib, siz ifodalarni osongina soddalashtirishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin.
Misol. Ifodani soddalashtiring.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Misol. Daraja xossalaridan foydalanib ifoda qiymatini toping.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
E'tibor bering, 2-mulk faqat bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash bilan bog'liq.
Farqni (4 3 −4 2) 4 1 bilan almashtira olmaysiz. Agar siz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 va 4 1 = 4 ni hisoblasangiz, buni tushunish mumkin.
Quvvatni kuchga ko'targanda, quvvatning asosi o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.
(a n) m \u003d a n m, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.
Sizga shuni eslatib o'tamizki, qism kasr sifatida ko'rsatilishi mumkin. Shuning uchun biz keyingi sahifada kasrni kuchga ko'tarish mavzusiga batafsil to'xtalib o'tamiz.
Quvvatlarni qanday ko'paytirish kerak? Qaysi kuchlarni ko'paytirish mumkin va qaysi biri mumkin emas? Raqamni kuchga qanday ko'paytirish mumkin?
Algebrada kuchlar mahsulotini ikki holatda topish mumkin:
1) agar darajalar bir xil asosga ega bo'lsa;
2) darajalar bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lsa.
Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos bir xil bo'lishi kerak va ko'rsatkichlar qo'shilishi kerak:
Darajani bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirishda umumiy ko'rsatkich qavslardan chiqarilishi mumkin:
Keling, ko'rsatkichlarni qanday ko'paytirishni ko'rib chiqaylik aniq misollar.
Ko'rsatkichdagi birlik yozilmagan, ammo darajalarni ko'paytirishda ular hisobga olinadi:
Ko'paytirishda darajalar soni har qanday bo'lishi mumkin. Shuni esda tutish kerakki, siz ko'paytirish belgisini harfdan oldin yoza olmaysiz:
Ifodalarda birinchi navbatda daraja ko'tariladi.
Agar siz raqamni darajaga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, avval darajani ko'paytirishingiz kerak, shundan keyingina ko'paytirish:
Sizda allaqachon obuna bormi? Kirish uchun
Ushbu darsda biz bir xil asos bilan kuchlarni qanday ko'paytirishni o'rganamiz. Birinchidan, biz daraja ta'rifini eslaymiz va tenglikning haqiqiyligi bo'yicha teoremani tuzamiz . Keyin uning aniq raqamlarga qo'llanilishiga misollar keltiramiz va buni isbotlaymiz. Yechish uchun biz teoremadan ham foydalanamiz turli vazifalar.
Mavzu: Tabiiy ko`rsatkichli daraja va uning xossalari
Dars: Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirish (formula)
Asosiy ta'riflar:
n- ko'rsatkich,
— n-sonning darajasi.
Teorema 1. Har qanday raqam uchun lekin va har qanday tabiiy n Va k tenglik to'g'ri:
Boshqacha aytganda: agar lekin- istalgan raqam; n Va k natural sonlar, keyin:
Shunday qilib, 1-qoida:
Chiqish: maxsus holatlar No1 teoremaning to'g'riligini tasdiqladi. Keling, buni umumiy holatda, ya'ni har qanday uchun isbotlaylik lekin va har qanday tabiiy n Va k.
Raqam berilgan lekin- har qanday; raqamlar n Va k- tabiiy. Isbot qiling:
Dalil daraja ta'rifiga asoslanadi.
1-misol: Diplom sifatida taqdim eting.
Quyidagi misollarni yechish uchun biz 1-teoremadan foydalanamiz.
g) 
Mana umumlashma:
2-misol: Hisoblang (asosiy darajalar jadvalidan foydalanishingiz mumkin).
lekin) 
(jadvalga ko'ra)
b) 
3-misol: 2-asos bilan kuch sifatida yozing.
lekin) 
4-misol: Raqamning belgisini aniqlang:
, lekin - salbiy, chunki -13 da ko'rsatkich toq.
5-misol:( ) ni asosli quvvat bilan almashtiring r:
Bizda bor, ya'ni.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 7. 6-nashr. M.: Ma'rifat. 2010 yil
1. Maktab yordamchisi (Manba).
1. Daraja sifatida ifodalang:
a B C D E) 
3. 2-asos bilan daraja sifatida yozing:
4. Sonning ishorasini aniqlang:
lekin) 
5. ( ) ni asosli sonning darajasi bilan almashtiring r:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Ushbu darsda biz bir xil darajali darajalarni ko'paytirishni o'rganamiz. Birinchidan, bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish va kuchni bir darajaga ko'tarish haqidagi asosiy ta'rif va teoremalarni eslaylik. Keyin darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish va bo'lish teoremalarini tuzamiz va isbotlaymiz. Va keyin ularning yordami bilan biz bir qator tipik muammolarni hal qilamiz.
Bu yerda a- daraja bazasi
— n-sonning darajasi.
Teorema 1. Har qanday raqam uchun lekin va har qanday tabiiy n Va k tenglik to'g'ri:
Bir xil asosga ega kuchlarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, asos o'zgarishsiz qoladi.
Teorema 2. Har qanday raqam uchun lekin va har qanday tabiiy n Va k, shu kabi n > k tenglik to'g'ri:
Bir xil asosga ega darajalarni bo'lishda ko'rsatkichlar ayiriladi va asos o'zgarishsiz qoladi.
Teorema 3. Har qanday raqam uchun lekin va har qanday tabiiy n Va k tenglik to'g'ri:
Yuqoridagi barcha teoremalar bir xil kuchlar haqida edi asoslar, bu darsda bir xil darajalar ko'rib chiqiladi ko'rsatkichlar.
Quyidagi misollarni ko'rib chiqing:
Darajani aniqlash uchun iboralarni yozamiz.
Chiqish: Buni misollardan ko'rish mumkin 
, lekin bu hali ham isbotlanishi kerak. Biz teoremani shakllantiramiz va uni umumiy holatda, ya'ni har qanday uchun isbotlaymiz lekin Va b va har qanday tabiiy n.
Har qanday raqamlar uchun lekin Va b va har qanday tabiiy n tenglik to'g'ri:
Isbot Teorema 4 .
Darajaning ta'rifi bo'yicha:
Shunday qilib, biz buni isbotladik .
Bir xil ko'rsatkichli darajalarni ko'paytirish uchun asoslarni ko'paytirish va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirish kifoya.
Biz darajalarni bir xil ko'rsatkichlarga bo'lish teoremasini tuzamiz.
Har qanday raqam uchun lekin Va b() va har qanday tabiiy n tenglik to'g'ri:
Isbot Teorema 5 .
Keling, daraja ta'rifi bo'yicha yozamiz:
Shunday qilib, biz buni isbotladik.
Bir xil darajali darajalarni bir-biriga bo'lish uchun bir asosni boshqasiga bo'lish va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirish kifoya.
1-misol: Kuchlar mahsuli sifatida ifoda eting.
Quyidagi misollarni yechish uchun biz 4-teoremadan foydalanamiz.
Quyidagi misolni hal qilish uchun formulalarni eslang:
4-teoremani umumlashtirish:
2-misol: Mahsulot darajasi sifatida yozing.
3-misol: Ko'rsatkichi 2 bo'lgan daraja sifatida yozing.
4-misol: Eng oqilona tarzda hisoblang.
2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. va boshqalar.Algebra 7 .M .: Ta'lim. 2006 yil
2. Maktab yordamchisi (Manba).
1. Kuchlar mahsuli sifatida taqdim etiladi:
lekin); b) ; in); G) ;
2. Mahsulot darajasi sifatida yozing:
3. Ko‘rsatkichi 2 bo‘lgan daraja ko‘rinishida yozing:
4. Eng oqilona usulda hisoblang.
Bo'limlar: Matematika
Pedagogik maqsad:
Vazifalar:
Doktrinaning faoliyat birliklari: tabiiy ko'rsatkich bilan darajani aniqlash; daraja komponentlari; xususiy ta'rifi; ko'paytirishning assotsiativ qonuni.
a) bilimlarni yangilash:
2) Tabiiy ko'rsatkich bilan daraja ta'rifini shakllantirish.
a n \u003d a a a a ... a (n marta)
b k \u003d b b b b a ... b (k marta) Javobingizni asoslang.
O'z-o'zini tekshirish :( individual ish ikki versiyada.)
A1) 7 7 7 7 x x x hosilani daraja sifatida ifodalang:
A2) (-3) 3 x 2 darajasini hosila sifatida ifodalang
A3) Hisoblang: -2 3 2 + 4 5 3
Sinf darajasidagi tayyorgarlikka mos ravishda testdagi topshiriqlar sonini tanlayman.
Sinov uchun men o'z-o'zini sinab ko'rish uchun kalitni beraman. Mezon: o'tish - muvaffaqiyatsiz.
1) va 2) masalalarni yechish jarayonida o‘quvchilar yechim taklif qiladilar va men o‘qituvchi sifatida bir xil asoslar bilan ko‘paytirishda darajalarni soddalashtirish yo‘lini topish uchun dars tashkil qilaman.
O'qituvchi: bir xil asos bilan ko'paytirishda kuchlarni soddalashtirish usulini toping.
Klasterda yozuv paydo bo'ladi:
Dars mavzusi tuziladi. Quvvatlarni ko'paytirish.
O'qituvchi: darajalarni bir xil asoslarga bo'lish qoidasini o'ylab toping.
Fikrlash: bo'linishni qanday harakat tekshiradi? a 5: a 3 =? a 2 a 3 = a 5
Men sxemaga qaytaman - klaster va yozuvni to'ldiraman - ..bo'lishda dars mavzusini ayirish va qo'shish. ...va darajalar bo'linishi.
O'qituvchi: Bugungi dars uchun minimalning vazifasi - bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlarini qo'llashni o'rganish va maksimal: ko'paytirish va bo'linishni birgalikda qo'llash.
Doskaga yozing : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n
a) Darslik bo`yicha: 403-son (a, v, e) turli matnli topshiriqlar
№ 404 (a, e, f) mustaqil ish, keyin men o'zaro tekshirishni tashkil qilaman, kalitlarni beraman.
b) m ning qaysi qiymati uchun tenglik bajariladi? a 16 a m \u003d dan 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Vazifa: bo'lish uchun shunga o'xshash misollar keltiring.
c) № 417 (a), № 418 (a) Talabalar uchun tuzoqlar: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.
diagnostika ishlari.
Sinov(kalitlarni qo'ying teskari tomon test).
Vazifa variantlari: x 15 koeffitsientini daraja sifatida taqdim eting: x 3; hosilani quvvat sifatida ifodalaydi (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; buning uchun m tenglik a 16 a m = a 32 rost; h 0 ifodaning qiymatini toping: h 2 bilan h = 0,2; ifoda qiymatini hisoblang (5 2 5 0) : 5 2 .
Darsning xulosasi. Reflektsiya. Men sinfni ikki guruhga ajrataman.
I guruhning argumentlarini toping: darajaning xususiyatlarini bilish foydasiga va II guruh - xususiyatlarsiz ham qila olishingizni aytadigan argumentlar. Biz barcha javoblarni tinglaymiz, xulosa chiqaramiz. Keyingi darslarda siz statistik ma'lumotlarni taklif qilishingiz va "Bu mening boshimga to'g'ri kelmaydi!" Rubrikasini nomlashingiz mumkin.
Tarix ma'lumotnomasi. Qanday sonlar Fermat raqamlari deyiladi.
P.19. #403, #408, #417
Ishlatilgan kitoblar:
Raqamning darajasi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, son darajasining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajaning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, n darajasi har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, va foydalanish haqiqiy sonlarni ko‘paytirish xossalari, biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:
Biz darhol barcha yozma tenglik ekanligini ta'kidlaymiz bir xil belgilangan sharoitlarda va ularning o'ng va chap qismlarini almashtirish mumkin. Masalan, a m a n = a m + n bilan kasrning asosiy xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n = a m a n shaklida qo‘llaniladi.
Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xususiyatidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.
Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli darajaning ta'rifiga ko'ra, a m a n ko'rinishidagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar mahsulotini mahsulot sifatida yozish mumkin. 
. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin 
, va bu ko'paytma tabiiy ko'rsatkichli m+n, ya'ni m+n ning kuchidir. Bu dalilni to'ldiradi.
Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va natural darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajaning asosiy xususiyatiga ko'ra 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. Keling, uning haqiqiyligini tekshirib ko'ramiz, buning uchun biz 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblaymiz. Ko'rsatkichni bajarayotganda bizda 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 va 2 5 =2 2 2 2 2=32 bo'ladi, chunki biz teng qiymatlarni olamiz, keyin tenglik 2 2 2 3 = 2 5 rost va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.
Ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan darajaning asosiy xossasini uch va ko'paytmasiga umumlashtirish mumkin Ko'proq asoslari va natural ko‘rsatkichlari bir xil bo‘lgan darajalar. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.
Masalan, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Tabiiy ko'rsatkich bilan darajalarning keyingi xususiyatiga o'tishingiz mumkin - bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman vakolatlarning mulki: har qanday nolga teng boʻlmagan haqiqiy son va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik toʻgʻri boʻladi.
Ushbu xususiyatni isbotlashdan oldin, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. a≠0 sharti nolga boʻlinmaslik uchun zarur, chunki 0 n =0 va boʻlinish bilan tanishganimizda nolga boʻlinib boʻlmaydi degan fikrga keldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun am−n ko‘rsatkichi natural sondir, aks holda u nol bo‘ladi (bu m−n bo‘lganda sodir bo‘ladi) yoki manfiy son (mm−n an =a (m−n) bo‘lganda sodir bo‘ladi) +n =am Olingan am−n ·an =am tengligidan va ko‘paytirish va bo‘lish o‘rtasidagi bog‘lanishdan am−n am ning qisman darajasi va an Shu asoslarga ega bo‘lgan qisman darajalar xossasini isbotlaydi.
Keling, bir misol keltiraylik. Asoslari bir xil p va natural ko‘rsatkichlari 5 va 2 bo‘lgan ikkita darajani olaylik, darajaning ko‘rib chiqilayotgan xossasi p 5 tengligiga mos keladi: p 2 = p 5−3 = p 3.
Endi o'ylab ko'ring mahsulot darajasi xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural darajasi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a b) n =a n b n.
Darhaqiqat, tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, biz bor 
. Oxirgi qism ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan holda qayta yozilishi mumkin 
, bu a n b n ga teng.
Mana bir misol: 
.
Bu xususiyat uch va ko'paytma darajasiga qadar cho'ziladi Ko'proq multiplikatorlar. Ya'ni, k omillar ko'paytmasining n natural daraja xossasi (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n shaklida yoziladi.
Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning 7 ning kuchiga ko'paytmasi uchun bizda mavjud.
Keyingi mulk tabiiy mulk: a va b , b≠0 haqiqiy sonlarning n natural darajaga bo‘lgan qismi a n va b n darajalarning ko‘rsatkichiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n .
Tasdiqlash avvalgi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Demak (a:b) n bn =((a:b) b) n =an va (a:b) n bn =an tengligidan (a:b) n ning a ning bn qismiga tengligi kelib chiqadi. .
Keling, ushbu xususiyatni aniq raqamlar misolidan foydalanib yozamiz: 
.
Endi ovoz beramiz eksponentatsiya xossasi: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural sonlar m va n uchun a m ning n darajali darajasi m·n darajali a ning kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n .
Masalan, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Darajada quvvat xususiyatining isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: 
.
Ko'rib chiqilgan xususiyat daraja ichida darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik 
. Aniqroq bo'lishi uchun aniq raqamlar bilan misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.
Biz nol va kuchning taqqoslash xususiyatini tabiiy ko'rsatkich bilan isbotlashdan boshlaymiz.
Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini asoslaylik.
Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari bizga ijobiy sonlarning istalgan sonini ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'lishini ta'kidlashga imkon beradi. Tabiiy ko‘rsatkichi n bo‘lgan a ning kuchi esa, ta’rifiga ko‘ra, har biri a ga teng bo‘lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun n ning darajasi musbat son ekanligini ta’kidlash imkonini beradi. Tasdiqlangan xususiyatga ko'ra 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 va 
.
Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0 .
Keling, salbiy asoslarga o'taylik.
Keling, ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaylik, uni 2 m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin 
. Manfiy sonlarni ko`paytirish qoidasiga ko`ra a a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng bo`lib, bu musbat son ekanligini bildiradi. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi. 
va darajasi a 2 m. Mana misollar: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .
Nihoyat, a ning asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda 
. Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xossa (−5) tufayli 3 17 n n n ta haqiqiy tengsizlikning chap va o‘ng qismlarining ko‘paytmasi a. tengsizliklar xossalari, isbotlanayotgan tengsizlik a n n ko`rinishda bo`ladi. Masalan, bu xossa tufayli 3 7 7 va tengsizliklar 
.
Tabiiy ko'rsatkichlari bo'lgan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslari birdan kam bo'lgan ikki darajaning darajasi kattaroq, ko'rsatkichi kamroq; va tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta bo'lgan ikki daraja, ko'rsatkichi katta bo'lgan daraja katta bo'ladi. Biz ushbu mulkning isbotiga murojaat qilamiz.
m>n va 0m n uchun buni isbotlaylik. Buning uchun a m − a n farqini yozamiz va uni nolga tenglashtiramiz. Qavs ichidan n olingandan keyin yozma farq a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Hosil boʻlgan koʻpaytma a musbat son va am−n−1 manfiy sonning koʻpaytmasi sifatida manfiy boʻladi (an musbat sonning natural kuchi sifatida musbat va am−n−1 farqi manfiy, chunki m−n >0 m>n boshlang'ich sharti tufayli, bundan kelib chiqadiki, 0m−n uchun u birdan kichik). Shuning uchun isbotlanishi kerak bo'lgan a m - a n m n. Masalan, biz to'g'ri tengsizlikni beramiz.
Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n haqiqat ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma ijobiy, chunki a>1 uchun an darajasi musbat son, am−n−1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa am−n darajasi bir dan katta. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a m - a n >0 va a m >a n. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.
Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun darajali darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab o‘tilgan va isbotlangan natural ko‘rsatkichli darajalarning xossalariga to‘liq mos keladi.
Biz manfiy butun koʻrsatkichli darajani, shuningdek, nol koʻrsatkichli darajani aniqladik, shunda tenglik bilan ifodalangan tabiiy koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari oʻz kuchida qoladi. Shuning uchun bu xususiyatlarning barchasi nol darajalar uchun ham, manfiy darajalar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalar asoslari nolga teng emas.
Shunday qilib, har qanday haqiqiy va nolga teng bo'lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi. darajalarning butun ko‘rsatkichli xossalari:
a=0 uchun a m va a n darajalar faqat m va n musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina ma’noga ega bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.
Bu xossalarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun natural va butun ko'rsatkichli daraja ta'riflaridan hamda haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, quvvat xossasi musbat butun sonlar uchun ham, nomusbat butun sonlar uchun ham amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q ekanligini ko'rsatishimiz kerak. , (ap ) −q =ap (−q) va (a −p) −q =a (−p) (−q) . Keling buni bajaramiz.
Musbat p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi kichik bo'limda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va a 0 q =a 0 =1 ga ega bo'lamiz, bundan (a 0) q =a 0 q . Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, u holda (a p) 0 =1 va a p 0 =a 0 =1 , bundan (a p) 0 =a p 0 bo'ladi. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0 0 =a 0 =1 , bundan (a 0) 0 =a 0 0 .
Endi (a −p) q =a (−p) q ekanligini isbotlaylik. Salbiy butun ko'rsatkichli daraja ta'rifi bilan, keyin 
. Darajada bo'linish xususiyatiga ko'ra, biz bor 
. Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda taʼrifiga koʻra a −(p q) koʻrinishdagi quvvat boʻlib, uni koʻpaytirish qoidalariga koʻra (−p) q shaklida yozish mumkin.
Xuddi shunday 
.
VA 
.
Xuddi shu printsipga ko'ra, darajaning barcha boshqa xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlash mumkin.
Yozilgan xususiyatlarning oxirgi qismida a −n >b −n tengsizlikning isbotiga to‘xtalib o‘tish joiz, bu har qanday manfiy butun −n son va a sharti bo‘lgan har qanday musbat a va b uchun to‘g‘ri keladi. . Ushbu tengsizlikning chap va o'ng qismlari orasidagi farqni yozamiz va o'zgartiramiz: 
. Chunki shartga ko'ra a n n, demak, b n - a n >0. a n ·b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin olingan kasr b n - a n va a n b n musbat sonlar bo'limi sifatida musbat bo'ladi. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a −n >b −n qaerdan kelib chiqqan.
Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi tabiiy darajali darajalarning oʻxshash xossasi kabi isbotlanadi.
Biz darajani kasr ko'rsatkichi bilan aniqladik, unga butun sonli darajaning xususiyatlarini kengaytirdik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:
a>0 uchun va agar va bo'lsa, a≥0 uchun;
a>0 uchun;
a>0 va b>0 uchun, va agar va bo'lsa, a≥0 va (yoki) b≥0 uchun;
a>0 va b>0 uchun va agar bo'lsa, a≥0 va b>0 uchun;
a>0 uchun va agar va bo'lsa, a≥0 uchun;Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani aniqlashga, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlariga va butun darajali darajaning xususiyatlariga asoslanadi. Keling, dalil keltiraylik.
Kasr ko'rsatkichi bilan darajaning ta'rifi bo'yicha va , keyin 
. Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli daraja xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, bu erdan, kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali, biz 
, va olingan darajaning ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.
Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi xuddi shunday isbotlangan: 
Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar bilan isbotlangan: 
Biz keyingi mulkning isbotiga murojaat qilamiz. Har qanday musbat a va b , a uchun ekanligini isbotlaylik 0 a p p tengsizlik o'rinli va p p >b p uchun. Biz p ratsional sonini m/n deb yozamiz, bu erda m butun son, n esa natural sondir. Bu holda p 0 shartlar mos ravishda m 0 shartlariga ekvivalent bo'ladi. m>0 va am m uchun. Bu tengsizlikdan, ildizlarning xossasi bo'yicha, biz bor va a va b musbat sonlar bo'lganligi sababli, darajani kasr ko'rsatkichi bilan belgilashga asoslanib, natijada hosil bo'lgan tengsizlikni, ya'ni a p p shaklida qayta yozish mumkin.
Xuddi shunday, m m >b m bo'lganda, qaerdan, ya'ni va a p >b p.
Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. P va q ratsional sonlar uchun, 0p q uchun p>q, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik ekanligini isbotlaylik. Biz har doim p va q ratsional sonlarini umumiy maxrajga qisqartirishimiz mumkin, oddiy kasrlar va ni olamiz, bu erda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti taqqoslash qoidasidan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. oddiy kasrlar bir xil maxrajlar bilan. So'ngra, bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan darajalarni taqqoslash xususiyatiga ko'ra, 0m 1 m 2 uchun va a>1 uchun a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xususiyatlari bo'yicha bu tengsizliklar, o'z navbatida, qayta yozilishi mumkin 
Va 
. Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi mos ravishda tengsizliklarga o'tishga imkon beradi. Bu erdan yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0p q uchun, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.
Irratsional darajali daraja qanday aniqlanganidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xususiyatlariga ega. Shunday qilib, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi irratsional darajali darajalarning xossalari:
Bundan xulosa qilish mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.
Salbiy ko'rsatkichli daraja. Xuddi shu asos bilan vakolatlarning taqsimlanishi. 4. 2a4/5a3 va 2/a4 darajalarni qisqartiring va ularni umumiy maxrajga keltiring. Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsuloti darajasiga qadar tarqaladi. Shuning uchun am−an>0 va am>an, isbotlanishi kerak edi. Tabiiy ko'rsatkichlari bo'lgan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi.
E'tibor bering, 4-sonli mulk, darajalarning boshqa xususiyatlari kabi, ham ishlatiladi teskari tartib. Ya'ni, darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish uchun siz asoslarni ko'paytirishingiz va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirishingiz mumkin. Quvvat qiymatini hisoblash eksponentatsiya harakati deb ataladi. Ya'ni, qavs ichida bo'lmagan ifodaning qiymatini hisoblashda birinchi navbatda uchinchi bosqich, keyin ikkinchi (ko'paytirish va bo'lish) va eng oxirida birinchi (qo'shish va ayirish) amallari bajariladi.
Raqamning darajasi aniqlangandan so'ng, darajaning xususiyatlari haqida gapirish mantiqan to'g'ri keladi. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, son darajasining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajaning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz. Biz darhol ta'kidlaymizki, barcha yozma tengliklar belgilangan sharoitlarda bir xil bo'lib, ularning o'ng va chap qismlari almashtirilishi mumkin.
Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Ushbu xususiyatni isbotlashdan oldin, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Kasrning asosiy xossasi am−n·an=a(m−n)+n=am tengligini yozishga imkon beradi.
Ya'ni, k omil ko'paytmasining n natural daraja xossasi (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn shaklida yoziladi. Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Tasdiqlash avvalgi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik amal qiladi. Aniqlik uchun aniq raqamlar bilan misol keltiramiz: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari bizga ijobiy sonlarning istalgan sonini ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'lishini ta'kidlashga imkon beradi. Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n uchun an darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0n=0·0·…·0=0. Masalan, 03=0 va 0762=0. Keling, salbiy asoslarga o'taylik. Ko‘rsatkich juft son bo‘lgan holatdan boshlaymiz, uni 2·m deb belgilaymiz, bunda m natural sondir.
Biz ushbu mulkning isbotiga murojaat qilamiz. m>n va 0 uchun xuddi shu printsip bo'yicha darajaning boshqa barcha xossalarini tenglik sifatida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlash mumkinligini isbotlaylik. Bu holda p 0 shartlar mos ravishda m 0 shartlariga ekvivalent bo'ladi. Bunda p>q sharti bir xil maxrajli oddiy kasrlarni solishtirish qoidasidan kelib chiqadigan m1>m2 shartga mos keladi.
Ildizlar bilan operatsiyalar. Daraja tushunchasini kengaytirish. Hozirgacha biz faqat tabiiy koʻrsatkichli darajalarni koʻrib chiqdik, lekin koʻrsatkichlar va ildizlar bilan amallar manfiy, nol va kasr koʻrsatkichlarga ham olib kelishi mumkin. Ushbu ko'rsatkichlarning barchasi qo'shimcha ta'rifni talab qiladi. Agar a m: a n=a m - n formulasi m = n uchun o‘rinli bo‘lishini istasak, nol darajani aniqlashimiz kerak. Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin.
Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi! Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.
Ularning qanchalik qulayligini faqat qaror qabul qilishda baholash mumkin logarifmik tenglamalar va tengsizliklar. Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik. Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi.
n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati. Bu asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi. Yangi bazaga o'tish uchun formulalar singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan noyobdir mumkin bo'lgan yechim. Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar.
Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng. 1 = 0 - logarifmik nol. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa - logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir. Bu barcha xususiyatlar. Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.
2.a-4 - a-2 birinchi raqam. Bunday holda, biz sizga quyidagilarni qilishni maslahat beramiz. Bu uchinchi bosqichdagi harakat. Masalan, am·an=am+n kasrning asosiy xossasi ifodalarni soddalashtirganda ko‘pincha am+n=am·an shaklida qo‘llaniladi. a≠0 sharti nolga boʻlinmaslik uchun zarur, chunki 0n=0 va boʻlinish bilan tanishganimizda nolga boʻlinib boʻlmaydi degan fikrga keldik. Hosil bo‘lgan am−n·an=am tengligidan va ko‘paytirish va bo‘lish o‘rtasidagi bog‘liqlikdan am−n am va an sonining ko‘rsatkichi ekanligi kelib chiqadi. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman kuchlarning xususiyatini isbotlaydi.
Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, u holda (ap)0=1 va ap 0=a0=1, bundan (ap)0=ap 0. Ko'proq qiyin misollar ko'paytirish va bo'lish turli asoslar va turli darajali darajalarda bajarilishi kerak bo'lgan holatlar bo'lishi mumkin. Ildizlarning xossalaridagi bu tengsizliklar mos ravishda va kabi qayta yozilishi mumkin. Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi mos ravishda tengsizliklarga o'tishga imkon beradi.
Xuddi shu asos bilan vakolatlarning taqsimlanishi. Ko'paytirishning xossalariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin.
3.a-3 a0 = 1, ikkinchi numerator. Murakkab misollarda, ko'paytirish va bo'lish turli asoslar va turli darajali darajalarda bajarilishi kerak bo'lgan holatlar bo'lishi mumkin. Endi ularni aniq misollar bo'yicha ko'rib chiqing va isbotlashga harakat qiling.
Shunday qilib, biz bir xil asoslarga ega ikkita darajani bo'lishda ularning ko'rsatkichlarini ayirish kerakligini isbotladik. Raqamning darajasi aniqlangandan so'ng, darajaning xususiyatlari haqida gapirish mantiqan to'g'ri keladi.
Bu erda biz darajaning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz. Masalan, am·an=am+n kasrning asosiy xossasi ifodalarni soddalashtirganda ko‘pincha am+n=am·an shaklida qo‘llaniladi. Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Ushbu xususiyatni isbotlashdan oldin, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik.
Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Hosil bo‘lgan am−n·an=am tengligidan va ko‘paytirish va bo‘lish o‘rtasidagi bog‘liqlikdan am−n am va an sonining ko‘rsatkichi ekanligi kelib chiqadi. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman kuchlarning xususiyatini isbotlaydi. Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik amal qiladi. Aniqlik uchun aniq raqamlar bilan misol keltiramiz: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari bizga ijobiy sonlarning istalgan sonini ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'lishini ta'kidlashga imkon beradi. Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n uchun an darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0n=0·0·…·0=0. Masalan, 03=0 va 0762=0. Keling, salbiy asoslarga o'taylik. Ko‘rsatkich juft son bo‘lgan holatdan boshlaymiz, uni 2·m deb belgilaymiz, bunda m natural sondir.
Biz ushbu mulkning isbotiga murojaat qilamiz. m>n va 0 uchun xossaning ikkinchi qismini isbotlash qolganligini isbotlaymiz. Shuning uchun am−an>0 va am>an, isbotlanishi kerak edi. Bu xossalarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun natural va butun ko'rsatkichli daraja ta'riflaridan hamda haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya.
Agar p=0 bo'lsa, u holda (a0)q=1q=1 va a0 q=a0=1 bo'ladi, bundan (a0)q=a0 q. Xuddi shu printsipga ko'ra, darajaning barcha boshqa xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlash mumkin. Bu holda p 0 shartlar mos ravishda m 0 shartlariga ekvivalent bo'ladi.
Bunda p>q sharti bir xil maxrajli oddiy kasrlarni solishtirish qoidasidan kelib chiqadigan m1>m2 shartga mos keladi. Ildizlarning xossalaridagi bu tengsizliklar mos ravishda va kabi qayta yozilishi mumkin. Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi mos ravishda tengsizliklarga o'tishga imkon beradi.
Quvvat qiymatini hisoblash eksponentatsiya harakati deb ataladi. Ya'ni, qavs ichida bo'lmagan ifodaning qiymatini hisoblashda birinchi navbatda uchinchi bosqich, keyin ikkinchi (ko'paytirish va bo'lish) va eng oxirida birinchi (qo'shish va ayirish) amallari bajariladi. Ildizlar bilan operatsiyalar.
Daraja tushunchasini kengaytirish. Hozirgacha biz faqat tabiiy koʻrsatkichli koʻrsatkichlarni koʻrib chiqdik, lekin koʻrsatkichlar va ildizlar bilan amallar manfiy, nol va kasr koʻrsatkichlariga ham olib kelishi mumkin. Ushbu ko'rsatkichlarning barchasi qo'shimcha ta'rifni talab qiladi. Agar a m: a n=a m - n formulasi m = n uchun o‘rinli bo‘lishini istasak, nol darajani aniqlashimiz kerak.
Ko‘rsatkichlari bir xil bo‘lgan sonlarning darajalarini ko‘paytirish. Keyinchalik, teng asoslar bilan kuchlarni bo'lish teoremasini tuzamiz, tushuntirish masalalarini yechamiz va teoremani umumiy holatda isbotlaymiz. Endi biz salbiy kuchlarning ta'rifiga murojaat qilamiz. Buni ta'rifdagi formulani qolgan xususiyatlar bilan almashtirish orqali osongina tekshirishingiz mumkin. Ushbu muammoni hal qilish uchun esda tuting: 49 = 7^2 va 147 = 7^2 * 3^1. Agar siz hozir darajalarning xususiyatlaridan ehtiyotkorlik bilan foydalansangiz (darajani bir darajaga ko'tarishda, ko'rsatkichlar ...
Ya'ni, ko'rsatkichlar haqiqatdan ayiriladi, lekin ko'rsatkich ko'rsatkichning maxrajida manfiy bo'lganligi sababli, minusni minusga ayirishda u ortiqcha beradi va ko'rsatkichlar qo'shiladi. Keling, monomial deb ataladigan narsalarni eslaylik va monomiallar bilan qanday operatsiyalarni bajarish mumkin. Eslatib o'tamiz, monomialni kamaytirish uchun standart ko'rinish birinchi navbatda barcha raqamli omillarni ko'paytirish orqali raqamli koeffitsientni olishingiz kerak, keyin esa mos keladigan kuchlarni ko'paytirishingiz kerak.
Ya'ni, biz o'xshash va o'xshash bo'lmagan monomlarni farqlashni o'rganishimiz kerak. Xulosa qilamiz: o'xshash monomiylar bir xil harf qismiga ega va bunday monomiallarni qo'shish va ayirish mumkin.
Fikr-mulohazangiz uchun rahmat. Agar sizga loyihamiz yoqqan bo'lsa va unda yordam berishga yoki ishtirok etishga tayyor bo'lsangiz, loyiha haqida ma'lumotni do'stlaringiz va hamkasblaringizga yuboring. Oldingi videoda monomialli misollarda faqat ko‘paytirish bo‘lishi mumkinligi aytilgan edi: “Keling, bu iboralar va oldingilar orasidagi farqni topamiz.
Matematik birlik sifatida monomial tushunchasining o'zi faqat raqamlar va o'zgaruvchilarni ko'paytirishni nazarda tutadi, agar boshqa operatsiyalar mavjud bo'lsa, ifoda endi monomial bo'lmaydi. Ammo shu bilan birga, monomiallarni qo'shish, ayirish, o'zaro bo'lish mumkin ... Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar aniq emasligi sababli oddiy raqamlar, u asosiy xususiyatlar deb ataladigan o'z qoidalariga ega.
Eslatma: asosiy moment bu erda bir xil asoslar mavjud. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi! Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.
Ya'ni, k omil ko'paytmasining n natural daraja xossasi (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn shaklida yoziladi. Bir xil asosli darajalarni qo'shish va ayirish qoidalari yo'q. Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. 4. 2a4/5a3 va 2/a4 darajalarni qisqartiring va ularni umumiy maxrajga keltiring.
Oxirgi video darsda biz asosning darajasi ko'rsatkichga teng miqdorda olingan asos va o'zining mahsuloti bo'lgan ifoda ekanligini bilib oldik. Keling, ba'zilarini ko'rib chiqaylik eng muhim xususiyatlar va daraja operatsiyalari.
Masalan, bir xil asosga ega bo'lgan ikkita turli darajani ko'paytiramiz:
Keling, ushbu qismni to'liq ko'rib chiqaylik:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Ushbu ifodaning qiymatini hisoblab, biz 32 raqamini olamiz. Boshqa tomondan, xuddi shu misoldan ko'rinib turibdiki, 32 ni 5 marta olingan bir xil asosning (ikki) ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin. Va haqiqatan ham, agar hisoblasangiz, unda:
Shunday qilib, ishonch bilan xulosa qilish mumkin:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Ushbu qoida har qanday ko'rsatkichlar va har qanday asoslar uchun muvaffaqiyatli ishlaydi. Darajani ko'paytirishning bu xususiyati mahsulotdagi transformatsiyalar paytida iboralar ma'nosini saqlash qoidasidan kelib chiqadi. Har qanday a asosi uchun ikkita (a) x va (a) y ifodalarning hosilasi a (x + y) ga teng. Boshqacha qilib aytganda, bir xil asosga ega har qanday iboralar ishlab chiqarilganda, yakuniy monomial birinchi va ikkinchi ifodalarning darajasini qo'shish orqali hosil bo'lgan umumiy darajaga ega bo'ladi.
Taqdim etilgan qoida bir nechta ifodalarni ko'paytirishda ham ajoyib ishlaydi. Asosiy shart - hamma uchun asoslar bir xil bo'lishi. Misol uchun:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Ifodaning ikki elementi bilan, agar ularning asoslari boshqacha bo'lsa, darajalarni qo'shish va umuman olganda, har qanday kuch qo'shma harakatlarini amalga oshirish mumkin emas.
Videomizdan ko'rinib turibdiki, ko'paytirish va bo'lish jarayonlarining o'xshashligi tufayli mahsulot davomida kuchlarni qo'shish qoidalari bo'linish tartibiga mukammal tarzda o'tkaziladi. Ushbu misolni ko'rib chiqing:
Keling, iborani to'liq shaklga aylantiramiz va dividend va bo'luvchidagi bir xil elementlarni kamaytiramiz:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Ushbu misolning yakuniy natijasi unchalik qiziq emas, chunki uni hal qilish jarayonida ifodaning qiymati ikkining kvadratiga teng ekanligi aniq. Va bu ikkinchi ifodaning darajasini birinchisining darajasidan ayirish orqali olingan ikkilikdir.
Bo'lim darajasini aniqlash uchun dividend darajasidan bo'linuvchining darajasini ayirish kerak. Qoida barcha qadriyatlari va barcha tabiiy kuchlar uchun bir xil asosda ishlaydi. Abstrakt shaklda bizda:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Bo'linish qoidasidan bir xil asoslar kuchlar bilan nol daraja uchun ta'rifga amal qiladi. Shubhasiz, quyidagi ifoda:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Boshqa tomondan, agar biz vizual tarzda ajratsak, biz quyidagilarni olamiz:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Kasrning barcha ko'rinadigan elementlarini kamaytirishda har doim 1/1 ifodasi olinadi, ya'ni bitta. Shuning uchun, nol kuchga ko'tarilgan har qanday baza birga teng ekanligi odatda qabul qilinadi:
a qiymatidan qat'iy nazar.
Biroq, agar 0 (har qanday ko'paytirish uchun hali ham 0 beradi) qandaydir tarzda birga teng bo'lsa, bu bema'nilik bo'ladi, shuning uchun (0) 0 (noldan nol darajaga) kabi ifoda oddiygina mantiqiy emas va (a) formulasi. 0 = 1 shart qo'shing: "agar a 0 ga teng bo'lmasa".
Keling, mashqni bajaramiz. Ifodaning qiymatini topamiz:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Baza hamma joyda bir xil va 34 ga teng bo'lganligi sababli, yakuniy qiymat daraja bilan bir xil bazaga ega bo'ladi (yuqoridagi qoidalarga muvofiq):
Boshqa so'zlar bilan aytganda:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Javob: ifoda bittaga teng.
