Bilasizmi, Miletlik Thales o'sha paytdagi eng mashhur ettitadan biri, Yunonistonning donishmandidir. U Ion maktabiga asos solgan. Thales bu maktabda ilgari surgan g'oya hamma narsaning birligi edi. Donishmand hamma narsa kelib chiqadigan yagona boshlanish borligiga ishongan.
Miletlik Falesning buyuk xizmati ilmiy geometriyani yaratishdir. Bu buyuk ta'limot Misr o'lchov san'atidan deduktiv geometriyani yaratishga qodir edi, uning asosi umumiy asoslardir.
Thales geometriya bo'yicha ulkan bilimidan tashqari, astronomiyani ham yaxshi bilgan. U birinchi bo'lib Quyoshning to'liq tutilishini bashorat qilgan. Ammo unda bu sodir bo'lmadi zamonaviy dunyo, va 585 yilda, hatto miloddan avvalgi.
Miletlik Fales shimolni Kichik Ursa yulduz turkumi tomonidan aniq aniqlash mumkinligini anglagan odam edi. Lekin bu ham uniki emas edi so'nggi kashfiyot, chunki u yil uzunligini aniq aniqlay olgan, uni uch yuz oltmish besh kunga bo'lgan, shuningdek, tengkunlik vaqtini belgilagan.
Thales aslida har tomonlama rivojlangan va dono odam edi. U zo'r matematik, fizik va astronom sifatida mashhur bo'lishidan tashqari, u haqiqiy meteorolog ham bo'lgan va zaytun hosilini juda aniq bashorat qila olgan.
Ammo eng diqqatga sazovor tomoni shundaki, Thales hech qachon o'z bilimlarini faqat ilmiy-nazariy soha bilan cheklamagan, balki har doim o'z nazariyalarining dalillarini amaliyotda mustahkamlashga harakat qilgan. Eng qizig'i shundaki, buyuk donishmand o'z bilimining biron bir sohasiga e'tibor bermagan, uning qiziqishi turli yo'nalishlarga ega edi.
Thales ismi o'sha paytda ham donishmandning uy nomiga aylandi. Uning Gretsiya uchun ahamiyati va ahamiyati Rossiya uchun Lomonosov nomi kabi katta edi. Albatta, uning hikmatini turlicha talqin qilish mumkin. Lekin aniq aytishimiz mumkinki, u zukkolik, amaliy zukkolik va ma'lum darajada ajralganligi bilan ajralib turardi.
Miletlik Fales zo'r matematik, faylasuf, astronom bo'lgan, sayohat qilishni yaxshi ko'rgan, savdogar va tadbirkor bo'lgan, savdo bilan shug'ullangan, shuningdek, yaxshi muhandis, diplomat, ko'ruvchi va siyosiy hayotda faol ishtirok etgan.
U hatto tayoq va soya yordamida piramidaning balandligini aniqlashga muvaffaq bo'ldi. Va shunday bo'ldi. Quyoshli kunlarning birida Thales asosini piramida soyasi tugaydigan chegaraga qo'ydi. Keyin u tayog'ining soyasining uzunligi uning balandligiga teng bo'lguncha kutdi va piramida soyasining uzunligini o'lchadi. Demak, Thales oddiygina piramidaning balandligini aniqlab, bir soyaning uzunligi boshqa soyaning uzunligiga bog'liqligini isbotlaganga o'xshaydi, xuddi piramidaning balandligi tayoqning balandligi bilan bog'liq. Bu Fir'avn Amasisning o'zini hayratga soldi.
Thales tufayli o'sha paytda ma'lum bo'lgan barcha bilimlar ilmiy qiziqish sohasiga o'tkazildi. U ma’lum tushunchalar majmuasini ajratib ko‘rsatgan holda natijalarni ilmiy iste’molga mos darajaga yetkaza oldi. Va, ehtimol, Thales yordamida antik falsafaning keyingi rivojlanishi boshlandi.
Matematikada Fales teoremasi muhim rol o'ynaydi. U nafaqat dunyoda mashhur edi Qadimgi Misr va Bobil, balki boshqa mamlakatlarda ham matematikaning rivojlanishi uchun asos bo'lgan. Ha va ichkarida Kundalik hayot, binolar, inshootlar, yo'llar va boshqalarni qurish jarayonida Thales teoremasisiz qilolmaydi.
Thales teoremasi nafaqat matematikada mashhur bo'ldi, balki u madaniyatga ham kiritildi. Bir vaqtlar Argentinalik musiqiy guruh Les Luthiers (ispan) tomoshabinlarga mashhur teoremaga bag'ishlangan qo'shiqni taqdim etdi. Les Luthiers a'zolari ushbu qo'shiq uchun maxsus videoklipda proportsional segmentlar uchun to'g'ridan-to'g'ri teorema uchun dalillarni taqdim etdilar.
6.6 teorema (Tales teoremasi).Agar burchakning tomonlarini kesib o'tuvchi parallel chiziqlar bir tomondan teng segmentlarni kesib tashlasa, ikkinchi tomondan teng segmentlarni kesib tashlaydi.(131-rasm).
Isbot. A 1, A 2, A 3 burchak tomonlaridan biri bilan parallel chiziqlarning kesishish nuqtalari bo'lsin va A 2 A 1 va A 3 orasida joylashgan bo'lsin (131-rasm). B 1, B 2, B 3 burchakning boshqa tomoni bilan bu chiziqlarning kesishish nuqtalari bo'lsin. Agar A 1 A 2 = A 2 Az bo'lsa, B 1 B 2 = B 2 B 3 ekanligini isbotlaymiz.
B 2 nuqta orqali A 1 A 3 to‘g‘ri chiziqqa parallel EF to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Paralelogrammaning xossasi bo'yicha A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E. Va A 1 A 2 = A 2 A 3 bo'lgani uchun, FB 2 = B 2 E.
B 2 B 1 F va B 2 B 3 E uchburchaklar ikkinchi mezonga muvofiq tengdir. Ular isbotlanganlarga ko'ra B 2 F=B 2 E ga ega. B 2 cho'qqidagi burchaklar vertikal, B 2 FB 1 va B 2 EB 3 burchaklari esa parallel A 1 B 1 va A 3 B 3 va EF sekant bilan ichki ko'ndalang yotganga teng.
Uchburchaklar tengligidan tomonlar tengligi kelib chiqadi: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema isbotlangan.
Izoh. Thales teoremasi sharoitida burchak tomonlari o'rniga istalgan ikkita to'g'ri chiziqni olish mumkin va teoremaning xulosasi bir xil bo'ladi:
Berilgan ikkita to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tuvchi va bir to‘g‘rida teng bo‘laklarni kesuvchi parallel chiziqlar ikkinchi chiziqdagi teng segmentlarni ham kesib tashlaydi.
Ba'zan Thales teoremasi bu shaklda qo'llaniladi.
Muammo (48). Ushbu AB segmentini n ta teng qismga bo'ling.
Yechim. A nuqtadan AB to'g'rida yotmaydigan a yarim chiziq chizamiz (132-rasm). Yarim chiziqda teng segmentlarni chizamiz: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. A n va B nuqtalarni bog‘laymiz. A 1, A 2, ... nuqtalardan o‘tkazamiz. A n B to‘g‘ri chiziqqa parallel A n -1 to‘g‘ri chiziq. Ular AB segmentini B 1, B 2, B n- nuqtalarda kesishadi. AB segmentini n ta teng segmentga ajratadigan 1 (Tales teoremasi bo'yicha).
A. V. Pogorelov, 7-11-sinflar uchun geometriya, Ta'lim muassasalari uchun darslik
chaqirdi nisbat. Ayni paytda ular shunday deyishadi:
x 1 dan x 2 ga teng, chunki y 1 dan y 2 gacha,
x 1 va x 2 sonlarining nisbati y 1 va y 2 sonlarining nisbatiga teng.,
x 1 va x 2 raqamlari y 1 va y 2 raqamlari bilan bir xil bog'langan,
yoki nihoyat
x 1 va y 1 raqamlari (!) x 2 va y 2 sonlariga proporsionaldir(ya'ni, sonlar maxrajlarga mutanosib).
Bu erda raqamlar kiritilgan x 1 , x 2 , y 1 va y 2 nisbat shartlari deyiladi. Odatda ularning barchasi ijobiydir, ammo bu kerak emas. Biroq, ularning hech biri nolga teng emas deb taxmin qilinadi. Bu tenglik alohida nom oldi, chunki u ko'pincha turli matematik muammolarni echishda paydo bo'ladi.
Proportionlarni tenglamaning bir qismining "yuqoridan" boshqa qismiga "pastga" va aksincha ko'chirish orqali o'zgartirish mumkin. Ushbu protsedurani quyidagicha osonlik bilan oqlash mumkin. Aytaylik, biz transfer qilmoqchimiz x 1 chapdan o'ngga. Buning uchun proportsiyaning ikkala tomonini 1/ ga ko'paytiring. x 1:
ya'ni o'zgaruvchi x 1 "diagonal ravishda yuqoridan pastga" siljidi. Keling, o'zgaruvchini "chapga" siljitamiz y 2. Bunga ushbu tenglikning ikkala tomonini ko'paytirish orqali erishiladi. Natijada bizda bor
hisoblagichlar x 1 Va y 1 bir-biriga mos keladigan maxrajlari bilan aynan bir xil bog'langan x 2 va y 2 .
Umumlashtirilgan Fales teoremasi
Oxirgi marta muhokama qilingan Thales teoremasi quyidagi umumlashtirish imkonini beradi.
Ikki ixtiyoriy chiziq bo'lsin x Va y uchta parallel chiziq bilan kesishadi n 1 , n 2 va n 3 ball X 1 , X 2 , X 3 va Y 1 , Y 2 , Y 3 rasmda ko'rsatilganidek:
Keyin kesilgan segmentlarning uzunligi quyidagi nisbatni hosil qiladi
ratsional sondir, ya'ni uni qaytarilmas kasr sifatida ifodalash mumkin
|
|X 1 X 2 | |
|||
|
|X 1 X 3 | |
Qayerda a Va b- ba'zi natural sonlar, a< b. Keling, segmentni ajratamiz X 1 X 3 da b bir xil qismlar. (Shu bilan birga, nuqta X 2 bo'linish nuqtalaridan biri bo'lib chiqadi.) Har bir bo'linish nuqtasiga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. n 1 , n 2 va n 3. (Ushbu qatorlardan biri chiziqqa to'g'ri keladi n 2 .)
Thales teoremasiga ko'ra (asl nusxada), segment Y 1 Y 3 ham shu qatorlar bilan bo'linadi b teng qismlar, shulardan a qismlar segmentni tashkil qiladi Y 1 Y 2. Demak,
|
|Y 1 Y 2 | |
|X 1 X 2 | |
||||
|
|Y 1 Y 3 | |
b |
|X 1 X 3 | |
Q.E.D. Bizning qurilishimizdan ham shuni ko'rsatadiki
|
|Y 2 Y 3 | |
|X 2 X 3 | |
||||
|
|Y 1 Y 3 | |
b |
|X 1 X 3 | |
|
|Y 2 Y 3 | |
|X 2 X 3 | |
||||
|
|Y 1 Y 2 | |
a |
|X 1 X 2 | |
Proportsional xususiyatlardan foydalanib, bu tengliklarni bitta zanjir shaklida qayta yozish mumkin:
|
|Y 1 Y 2 | |
|Y 2 Y 3 | |
|Y 1 Y 3 | |
|||
|
|X 1 X 2 | |
|X 2 X 3 | |
|X 1 X 3 | |
Shunday qilib, segmentlar to'g'ri chiziqda kesiladi y chiziqdagi mos segmentlarga proportsionaldir x.
Nazariy jihatdan, uzunlik nisbati bo'lsa, vaziyat ham mumkin
|
|X 1 X 2 | |
|
|X 1 X 3 | |
ratsional son emas, chunki segmentlarning uzunliklari | X 1 X 2 | va | X 1 X 3 | printsipial jihatdan irratsional sonlar bilan ifodalanishi mumkin. Biroq, amalda bunday holat hech qachon sodir bo'lmaydi. Segmentlarning uzunligini aniqlash uchun biz har doim qandaydir turdagilardan foydalanamiz o'lchash asbobi(masalan, maktab o'lchagich), bu faqat oxirgi o'nli kasr shaklida yaxlitlangan natijalarni beradi.
Muhim xulosa
Bir-biriga to'g'ri kelmaydigan to'g'ri chiziqlar berilsin x Va y, O nuqtada kesishgan, shuningdek, ikkita parallel chiziq n 1 va n 2 chiziqni kesib o'tuvchi x nuqtalarda X 1 va X 2 va tekis y nuqtalarda Y 1 va Y 2 rasmda ko'rsatilganidek.
Keling, quyidagi belgini kiritamiz:
x 1 = |OX 1 |, x 2 = |OX 2 |;
y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |;
z 1 = |X 1 Y 1 |, z 2 = |X 2 Y 2 |.
|
y 1 |
|||||
|
y 2 |
Darhaqiqat, ushbu zanjirdagi ikkala tenglik to'g'ridan-to'g'ri umumlashtirilgan Thales teoremasidan kelib chiqadi. Birinchi tenglik uchun bu darhol aniq bo'ladi, lekin ikkinchisi uchun bu nuqtadan o'tganimizdan keyin aniq bo'ladi Y 1 to'g'ri chiziq chizish m, chiziqqa parallel x.
Qarama-qarshilik ham to'g'ri. Xuddi shu geometrik konstruktsiya berilsin va bu ma'lum
Keyin tekis n 1 va n 2 parallel. Aslida, keling, nuqta orqali chizamiz X 1 ta yordamchi chiziq chiziqqa parallel n 2. Umumlashtirilgan Thales teoremasiga ko'ra, bu yordamchi chiziq nuqtadan o'tadi Y 1 . Shuning uchun u to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi n 1 . Shunday qilib, to'g'ridan-to'g'ri n 1 chiziqqa parallel n 2 .
Masshtab
Biz bilan qog'oz va qalam olib, tashqariga chiqaylik. Keling, varaqimizni gorizontal ravishda joylashtiramiz va uning ustiga taxminan o'rtasiga O nuqtasini qo'yamiz, shu nuqtadan boshlab biz taxminan yuz metr radiusda joylashgan turli xil diqqatga sazovor nuqtalar - daraxtlar, ustunlar, burchaklar yo'nalishi bo'yicha nurlarni chizamiz. binolar va boshqalar.
Aytaylik, bizda ushbu muhim nuqtalargacha bo'lgan masofani o'lchash imkoniyati mavjud. Masalan, eng yaqin daraxtgacha bo'lgan masofa 10 m bo'lsin, biz nuqtadan aqliy ravishda chizamiz O ushbu daraxt yo'nalishi bo'yicha, uzunligi ushbu masofadan 1000 marta kichik bo'lgan segment va uning ikkinchi uchining o'rnini qog'ozga qalam bilan belgilang. Nuqtadan masofani hisoblash oson O belgiga 10 m/1000 = 1 sm bo'ladi.
Xuddi shunday, boshqa diqqatga sazovor ob'ektga masofa ham bo'lsin x 1 . Keling, bu masofani raqamga ko'paytiramiz k, 1/1000 ga teng. Keling, aqliy jihatdan fikrdan uzoqlashaylik O uzunlik segmenti x 2 =kx 1 berilgan ob'ektga yo'naltirilgan nur bo'ylab. Segmentning ikkinchi uchi joylashgan qog'ozda qalam bilan belgi qo'ying. Keling, ushbu protsedurani har doim bir xil parametr qiymatidan foydalanib, erdagi barcha diqqatga sazovor nuqtalar bilan bajaraylik k. Agar ushbu nuqtalardan birortasi bir-biriga panjara yoki devor yoki shunga o'xshash narsa bilan bog'langan bo'lsa, biz qog'ozdagi tegishli belgilar orasiga ham chiziqlar chizamiz.
Natijada, biz qog'oz varag'ida hududning xaritasini olamiz. Thales teoremasi va nisbatlarning xossalari tufayli qog'ozdagi masofalar orasidagi barcha munosabatlar haqiqatdagi kabi bo'ladi. Bundan tashqari, qog'ozdagi barcha chiziqlar erdagi mos keladigan chiziqlarga parallel bo'ladi. Bu parallellik, albatta, biz varaqimizni boshqa joyga olganimizda buziladi, lekin chiziqlar orasidagi burchaklar qoladi.
Parametr k, biz qurilishimizda ishlatgan deb ataladi masshtab omili yoki oddiygina masshtab. Albatta, u 1/1000 ga teng bo'lishi shart emas. U, qoida tariqasida, har qanday qiymatni olishi mumkin, yagona muhim narsa bu qiymat xaritani yaratish jarayonida o'zgarishsiz qoladi;
Haqiqiylarda geografik xaritalar shkalasi afsonada ko'rsatilishi kerak va odatda kasr chizig'i o'rniga ikki nuqta qo'llaniladi. Masalan, 1:100 000 masshtab xaritadagi bir santimetr yerdagi 100 000 santimetrga (ya’ni bir kilometr) to‘g‘ri kelishini bildiradi.
Texnik chizmalar ham har doim, ular aytganidek, ma'lum bir miqyosda amalga oshiriladi. 1:1 shkalasi qism chizilganligini bildiradi hayot hajmi. 10:1 shkalasi chizmaning o'n barobar kattalashtirish bilan qilinganligini ko'rsatadi.
Parallel chiziqlar haqida eslatma
Biz parallel chiziqlarni shunday nomladikki, ular bir-biriga to'g'ri kelmaydi va ular orasidagi burchak nolga teng. Biz bunday chiziqlar hech qayerda kesishmasligini ta'kidladik. Endi isbot qilaylik, agar chiziqlar bir tekislikda yotsa va parallel bo'lmasa (ya'ni ular orasidagi burchak nolga teng bo'lmasa), u holda ular bir joyda albatta kesishadi.
Bir tekislikda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin - x Va n. Keling, ularga o'zboshimchalik bilan nuqtalarni belgilaymiz - O Va Y- va bu nuqtalar orqali uchinchi to'g'ri chiziqni torting - y. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak deb faraz qiling x Va n u holda nolga teng emas qo'shni burchaklar bir-biriga teng bo'lmasligi kerak. Ishonch hosil qilaylik α 1 > α 2 rasmda ko'rsatilganidek.
Keling, nuqta orqali chizamiz O bevosita n 1, chiziqqa parallel n. Keling, uni burchak tomondan belgilaymiz α 1 ixtiyoriy nuqta N 1 va bu nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazing y 1, chiziqqa parallel y. Bunday holda, rasmda kulrang fon bilan ko'rsatilgan parallelogramma hosil bo'ladi.
Bu shuni anglatadiki, to'g'ridan-to'g'ri y 1 chiziqni kesib o'tadi n bir nuqtada, biz buni belgilaymiz N. Streyt x, nuqtada parallelogrammning "hududiga" kirish O, albatta, u erdan biror joyga chiqishi kerak. U buni segment orqali ham qila oladi YN, yoki segment orqali N 1 N. Birinchi holda, to'g'ri chiziq darhol aniq bo'ladi x chiziqni kesib o'tadi n. Keling, ikkinchi ishni ko'rib chiqaylik. Chiziqning kesishish nuqtasini belgilaymiz x va segment N 1 N orqali X 1 . Keling, u orqali to'g'ri chiziq chizamiz n 2 chiziqqa parallel n. Bu chiziq parallelogrammani ajratadi ON 1 NY ikkita yangi parallelogramm hosil qiladi va chiziqni kesib o'tadi y bir nuqtada Y 1 . Keling, to'g'ri chiziqda belgilaymiz x shunday nuqta X, buning uchun munosabat amal qiladi
|
|OY 1 | |
|||
Keling, nuqtalar orqali chizamiz X Va Y bevosita. Yuqorida muhokama qilingan Thales teoremasidan olingan xulosaga ko'ra, bu chiziq chiziqqa parallel n 2, ya'ni u to'g'ri chiziq bilan nol burchak hosil qiladi n. Binobarin, yangi chiziq chiziqqa to'g'ri keladi n, bu shunday qilib to'g'ri chiziqni kesib o'tadi x nuqtada X.
Endi biz divergent chiziqlar haqida quyidagi uchta bayonotni da'vo qilishimiz mumkin a Va b bir xil tekislikda yotish xuddi shu narsani anglatadi:
(1) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak a Va b nolga teng.
(2) To'g'ri a Va b hech bir joyda kesishmang.
(3) To'g'ri a Va b parallel.
An'anaviy geometriya kurslarida chiziqlar parallelligining ta'rifi 2-chiziqdir. Ushbu maqsadlar uchun biz 1-bayonotni tanladik. Axir, ikki to'g'ri chiziq bo'ylab hech qanday joyda kesishmasligiga ishonch hosil qilishdan ko'ra, ularning orasidagi burchakni aniqlash ancha osondir. butun cheksiz uzunlik.
Abstrakt
1. Shaklning tengligi x 1 /x 2 = y 1 /y 2 nisbat deyiladi. Numeratorlar maxrajlarga mutanosib. Bir kasrning soni va maxraji boshqa kasrning soni va maxraji bilan bir xil bog'langan. Ekvivalent tenglik: x 1 /y 1 = x 2 /y 2 .
2. Umumlashtirilgan Fales teoremasi. Ikki ixtiyoriy chiziq bo'lsin a Va b uchta parallel chiziq bilan kesishadi. Keyin segmentlar to'g'ri chiziqda kesiladi a, to'g'ri chiziqda kesilgan mos keladigan segmentlarga proportsionaldir b.
3. Xulosa 1. Burchakning tomonlari uning uchi nuqtada bo'lsin O ikkita parallel chiziq bilan kesishadi n 1 va n 2. Keyin segmentlar to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesiladi n 1 va n 2, nuqtadan burchakning har ikki tomonida joylashgan segmentlar bilan bir xil tarzda bog'langan O chiziqlar bilan kesishishning mos keladigan nuqtalariga n 1 va n 2 .
4. Xulosa 2. Burchakning yon tomonlaridagi segmentlar cho'qqidan shunday bo'lsinki, bir tomondagi segmentlar boshqa tomondagi segmentlarga proportsional bo'lsin. Keyin bu segmentlarning mos keladigan uchlari orqali o'tadigan chiziqlar bir-biriga parallel.
5. Masofalar va barcha burchaklar orasidagi barcha munosabatlar xaritada saqlanadi. Xaritadagi baʼzi ikki nuqta orasidagi masofaning yerdagi mos nuqtalar orasidagi masofaga nisbati nuqtalarni tanlashga bogʻliq emas va masshtab deyiladi.
6. Agar bir tekislikda yotgan ikkita chiziq orasidagi burchak nolga teng bo'lmasa, bunday chiziqlar kesishishi kerak.
Parallellar va sekantlar haqida.
Rus tilidagi adabiyotdan tashqari, Thales teoremasi ba'zan planimetriyaning yana bir teoremasi deb ataladi, ya'ni aylananing diametri bilan chizilgan burchak to'g'ri burchakdir. Ushbu teoremaning kashfiyoti haqiqatan ham Falesga tegishli, bu Prokl tomonidan tasdiqlanadi.
Agar ikkita chiziqdan birida bir nechta teng segmentlar ketma-ket joylashtirilsa va ikkinchi chiziqni kesib o'tadigan uchlari orqali parallel chiziqlar o'tkazilsa, ular ikkinchi chiziqdagi teng segmentlarni kesib tashlaydilar.
Yana umumiy formula, deb ham ataladi proportsional segment teoremasi
Parallel chiziqlar sekantlarda proportsional segmentlarni kesib tashlaydi:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3. (\ displaystyle (\ frac (A_ (1) A_ (2)) (B_ (1) B_ (2)))) = (\ frac (A_ (2) A_ (3)) (B_ (2) B_ (3)) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)Sekantlar holatida isbot
Keling, bir-biriga bog'lanmagan juft segmentlar bilan variantni ko'rib chiqaylik: burchak to'g'ri chiziqlar bilan kesishsin. A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) va unda A B = C D (\displaystyle AB=CD).
Parallel chiziqlar holatida isbot
Keling, to'g'ridan-to'g'ri qilaylik Miloddan avvalgi. Burchaklar ABC Va BCD parallel chiziqlar bilan ichki ko'ndalang yotishga teng AB Va CD va sekant Miloddan avvalgi, va burchaklar ACB Va CBD parallel chiziqlar bilan ichki ko'ndalang yotishga teng A.C. Va BD va sekant Miloddan avvalgi. Keyin, uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga ko'ra, uchburchaklar ABC Va DCB teng. Bundan kelib chiqadi A.C. = BD Va AB = CD. ■
Agar Thales teoremasida teng segmentlar tepadan boshlansa (ko'pincha maktab adabiyoti bunday formuladan foydalaniladi), u holda teskari teorema ham to'g'ri bo'ladi. Kesishuvchi sekantlar uchun u quyidagicha tuzilgan:
IN teoremaning teskarisi Thales, teng segmentlar tepadan boshlanishi muhim
Shunday qilib (rasmga qarang) haqiqatdan C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1))))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_) (1)A_(2)))=\ldots), buni kuzatib boradi A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
Agar sekantlar parallel bo'lsa, u holda ikkala sekantdagi segmentlar bir-biriga teng bo'lishini talab qilish kerak, aks holda bu bayonot noto'g'ri bo'ladi (qarshi misol - bu asoslarning o'rta nuqtalaridan o'tadigan chiziq bilan kesishgan trapezoid).
Bu teorema navigatsiyada qo'llaniladi: bir kemadan boshqasiga yo'nalish saqlanib qolsa, doimiy tezlikda harakatlanadigan kemalar o'rtasida to'qnashuv muqarrar.
Quyidagi bayonot Sollertinskiy lemmasi bilan ikkitadir:
|
Mayli f (\displaystyle f)- chiziqdagi nuqtalar orasidagi proyektiv yozishmalar l (\displaystyle l) va tekis m (\displaystyle m). Keyin chiziqlar to'plami ba'zi konusning kesimiga (ehtimol degeneratsiya) teginishlar to'plami bo'ladi. |
Thales teoremasida konus cheksiz bo'ladi masofaviy nuqta, parallel chiziqlar yo'nalishiga mos keladi.
Bu bayonot, o'z navbatida, quyidagi bayonotning cheklovchi holatidir:
|
Mayli f (\displaystyle f)- konusning proektsion transformatsiyasi. Keyin to'g'ri chiziqlar to'plamining konverti X f (X) (\displaystyle Xf(X)) konus bo'ladi (ehtimol degeneratsiya). |
