Objetivo:

• repetir la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
• definir un sistema de ecuaciones lineales con parámetros
• Te enseñará a resolver sistemas de ecuaciones lineales con parámetros.

durante las clases

1. Organizar el tiempo
2. Repetición
3. Explicación de un nuevo tema.
4. Consolidación
5. Resumen de la lección
6. Tarea

2. Repetición:

I. Ecuación lineal con una variable:

1. Definir una ecuación lineal con una variable.

[Una ecuación de la forma ax=b, donde x es una variable, a y b son algunos números, se llama ecuación lineal con una variable]

2. ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación lineal?

[- Si a=0, b0, entonces la ecuación no tiene soluciones, x

Si a=0, b=0, entonces x R

Si a0, entonces la ecuación tiene una solución única, x =

3. Descubre cuántas raíces tiene la ecuación (según opciones)

II. Ecuación lineal con 2 variables y sistema de ecuaciones lineales con 2 variables.

1. Definir una ecuación lineal en dos variables. Dar un ejemplo.

[Una ecuación lineal con dos variables es una ecuación de la forma ax + by = c, donde xey son variables, a, byc son algunos números. Por ejemplo, x-y=5]

2. ¿Cómo se llama resolver una ecuación con dos variables?

[Una solución a una ecuación con dos variables es un par de valores de variables que convierte la ecuación en una verdadera igualdad.]

3. ¿El par de valores de las variables x = 7, y = 3 es una solución a la ecuación 2x ​​+ y = 17?

4. ¿Cómo se llama la gráfica de una ecuación en dos variables?

[La gráfica de una ecuación con dos variables es el conjunto de todos los puntos en el plano coordenado cuyas coordenadas son soluciones a esta ecuación.]

5. Descubre cuál es la gráfica de la ecuación:

[Expresemos la variable y a través de x: y=-1.5x+3

La fórmula y=-1,5x+3 es una función lineal, cuya gráfica es una línea recta. Dado que las ecuaciones 3x+2y=6 e y=-1.5x+3 son equivalentes, esta recta también es una gráfica de la ecuación 3x+2y=6]

6. ¿Cuál es la gráfica de la ecuación ax+bу=c con variables x e y, donde a0 o b0?

[La gráfica de una ecuación lineal con dos variables en la que al menos uno de los coeficientes de las variables no es cero es una línea recta.]

7. ¿Cómo se llama resolver un sistema de ecuaciones con dos variables?

[Una solución a un sistema de ecuaciones con dos variables es un par de valores de variables que convierte cada ecuación del sistema en una verdadera igualdad]

8. ¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones?

[Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no hay soluciones.]

9. Averigüe si dicho sistema siempre tiene soluciones y, de ser así, cuántas (gráficamente).

10. ¿Cuántas soluciones puede tener un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables?

[La única solución es si las líneas se cruzan; no tiene soluciones si las rectas son paralelas; infinitos si las lineas coinciden]

11. ¿Qué ecuación suele definir una línea recta?

12. Establezca una conexión entre coeficientes de ángulos y términos libres:

Opción I: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, sin soluciones;

Opción II: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 , una solución;

Opción III: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, muchas soluciones.

Conclusión:

1. Si los coeficientes angulares de las rectas que son gráficas de estas funciones son diferentes, entonces estas rectas se cruzan y el sistema tiene una solución única.
2. Si los coeficientes angulares de las rectas son iguales y los puntos de intersección con el eje y son diferentes, entonces las rectas son paralelas y el sistema no tiene soluciones.
3. Si los coeficientes angulares y los puntos de intersección con el eje y son iguales, entonces las rectas coinciden y el sistema tiene infinitas soluciones.

Hay una tabla en la pizarra que el profesor y los alumnos van rellenando poco a poco.

III. Explicación de un nuevo tema.

Definición: Ver sistema

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

donde A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 son expresiones que dependen de los parámetros, y x e y son incógnitas, se denomina sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales con dos incógnitas en los parámetros.

Son posibles los siguientes casos:

1) Si , entonces el sistema tiene una solución única

2) Si , entonces el sistema no tiene soluciones.

3) Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

IV. Consolidación

Ejemplo 1.

¿A qué valores del parámetro a funciona el sistema?

• 2x - 3y = 7
• Ah - 6 años = 14

a) tiene un número infinito de soluciones;

b) tiene una solución única

Respuesta:

a) si a=4, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones;

b) si un4, entonces sólo hay una solución.

Ejemplo 2.

Resuelve el sistema de ecuaciones.

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Solución: a), es decir para m1 el sistema tiene una solución única.

b), es decir para m=1 (2=m+1) y n1 el sistema original no tiene soluciones

c) , para m=1 y n=1 el sistema tiene infinitas soluciones.

Respuesta: a) si m=1 y n1, entonces no hay soluciones

b) m=1 y n=1, entonces la solución es un conjunto infinito

• y - cualquiera
• x=n-2y

c) si m1 y n son cualquiera, entonces

Ejemplo 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Solución: De la ecuación II encontramos x = 1-аy y sustituimos la ecuación I en la ecuación

a(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Posibles casos:

1) a=0. Entonces la ecuación queda así 0*y=3 [y]

Por lo tanto, para a=0 el sistema no tiene soluciones.

2) a=-3. Entonces 0*y=0.

Por tanto, y. En este caso x=1-ау=1+3у

3) a0 y a-3. Entonces y=-, x=1-a(-=1+1=2

Respuesta:

1) si a=0, entonces (x; y)

2) si a=-3, entonces x=1+3y, y

3) si un0 y a?-3, entonces x=2, y=-

Consideremos el segundo método para resolver el sistema (1).

Resolvamos el sistema (1) usando el método de la suma algebraica: primero multiplicamos la primera ecuación del sistema por B 2, la segunda por B 1 y sumamos estas ecuaciones término por término, eliminando así la variable y:

Porque A 1 B 2 -A 2 B 1 0, entonces x =

Ahora eliminemos la variable x. Para ello se multiplica la primera ecuación del sistema (1) por A 2, y la segunda por A 1, y se suman ambas ecuaciones término a término:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

porque A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Para facilitar la resolución del sistema (1), introducimos la siguiente notación:

- determinante principal

Ahora la solución al sistema (1) se puede escribir usando determinantes:

Las fórmulas dadas se llaman fórmulas de Cramer.

Si , entonces el sistema (1) tiene una solución única: x=; y=

Si , o , entonces el sistema (1) no tiene soluciones

Si , , , , entonces el sistema (1) tiene un número infinito de soluciones.

En este caso, es necesario investigar más a fondo el sistema. En este caso, por regla general, se reduce a una ecuación lineal. En este caso, suele ser conveniente estudiar el sistema de la siguiente manera: resolviendo la ecuación, encontramos valores específicos de los parámetros o expresamos uno de los parámetros en términos de los demás y sustituimos estos valores de los parámetros en el sistema. Entonces obtenemos un sistema con coeficientes numéricos específicos o con un número menor de parámetros, que deben ser estudiados.

Si los coeficientes A 1 , A 2 , B 1 , B 2 del sistema dependen de varios parámetros, entonces es conveniente estudiar el sistema utilizando determinantes del sistema.

Ejemplo 4.

Para todos los valores del parámetro a, resuelva el sistema de ecuaciones.

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Solución: Encontremos el determinante del sistema:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Pirogova Tatyana Nikolaevna – profesora de la categoría más alta

Escuela secundaria MAOU nº 10, Taganrog.

“Resolución de ecuaciones con módulo y parámetros”

10º grado, lección del curso optativo “Propiedades de una función”.

Objetivos de la lección.

repetir varios métodos para resolver ecuaciones con módulos;

realizar un estudio de la dependencia del número de raíces de los datos de la ecuación;

Desarrollar la atención, la memoria, la capacidad de análisis al realizar trabajos de investigación y resumir sus resultados.

Plan de estudios.

Motivación.

Actualización de conocimientos.

Resolver una ecuación lineal con módulo de diferentes formas.

Resolver ecuaciones que contienen un módulo debajo de un módulo.

Investigación determinando la dependencia del número de raíces de la ecuación

| | x| - A |= V de valores A Y v.

Resolver ecuaciones con dos módulos y un parámetro.

Reflexión.

Progreso de la lección.

Motivación.Como decían los filósofos antiguos: "La sabiduría es el amor al conocimiento, y el amor es la medida de todas las cosas".“Medida” en latín es “módulo”, de donde proviene la palabra “módulo”. Y hoy trabajaremos con ecuaciones que contienen un módulo. Espero que tengamos éxito y que al final de la lección usted y yo seamos más sabios.

Actualización de conocimientos. Entonces, recordemos lo que ya sabemos sobre el módulo.

Definición del módulo.El módulo de un número real es el número mismo si es no negativo y el número opuesto si es negativo.

Significado geométrico del módulo. Módulo de un número realA igual a la distancia desde el origen al punto con coordenadasA en la recta numérica.

–a 0 a

|– a | = | a | | a | X

Significado geométrico del módulo de diferencia de magnitudes.Módulo de diferencia de magnitud| a-c | es la distancia entre puntos con coordenadasA Y V en la recta numérica,

Aquellos. longitud del segmento [y en ]

1) si a < b 2) si a>b

a b b a

S = b – a S = a – b

3) si a = b , Eso S = a – b = b – a = 0

Propiedades básicas del módulo.

El módulo de un número es un número no negativo, es decir|X | ≥ 0 para cualquier X

Los módulos de números opuestos son iguales, es decir|X | = |–X | para cualquiera X

El cuadrado del módulo es igual al cuadrado de la expresión submodular, es decir|X | 2 =X 2 para cualquiera X

4. El módulo del producto de dos números es igual al producto de los módulos. factores, es decir| a b | = |a | · | b |

5. Si el denominador de la fracción es diferente de cero, entonces el módulo de la fracción es igual al cociente del módulo del numerador dividido por el módulo del denominador, es decir en b ≠ 0

6. Para la igualdad de cualquier número.a Y b las desigualdades son válidas:

| |a | – |b | | ≤ |a + b | ≤ |a | + |b |

| |a | – |b | | ≤ |a – b | ≤ |a | + |b |

Horario del módulo y = | x | - un ángulo recto con un vértice en el origen, cuyos lados son las bisectrices de los cuadrantes 1 y 2.

¿Cómo graficar funciones? y = |X – A|, y = | X | + V, y = | X – A | + V, y = || x| – A |

Ejemplo. Resuelve la ecuación 3

 

X

.

Método 1. Método de revelar módulos por intervalos.

5

5

,

1

3

2

,

2

1

1

,

2

3

2

,

2

2

1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Método 2. Apertura directa del módulo.

Si el módulo de un número es 3, entonces el número es 3 o -3.

.

1

,

5

3

2

,

3

2

3

2

2

1

X

X

X

X

X

Método 3 . Utilizando el significado geométrico del módulo.

Es necesario encontrar en el eje numérico los valores de x que se alejan de 2 a una distancia igual a 3.

 

.

5

,

1

2

1

X

X

5

-1

2

3

3

Método 4. Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Esto usa la propiedad del módulo. y que ambos lados de la ecuación no son negativos.

.

5

,

1

0

5

4

9

2

9

2

3

2

2

1

2

2

2

X

X

X

X

X

X

X

Método 5. Solución gráfica de la ecuación. 3

X

denotemos 

X

X

F

X

F

Construyamos gráficos de funciones. Y :

2 -1 0 1 2 3 4 5

2 -1 0 1 2 3 4 5

Las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas darán las raíces. y 5

X

Trabajo independiente

resuelve las ecuaciones:

| X – 1| = 3

| X – 5| = 3

| X –3| = 3

| X + 3| = 3

| X + 5| = 3

(-2; 4)

(2; 8)

(0; 6)

(-6; 0)

(-8;-2)

Ahora agrega un módulo más a las condiciones y resuelve las ecuaciones:

| | x| – 1| = 3

| | x| –5| = 3

| | X | – 3| = 3

| | X | + 3| = 3

| | X | + 5| = 3

( )

( )

(0)

(sin raíces)

Entonces, ¿cuántas raíces puede tener una ecuación de la forma | |x | – A |= ¿V? ¿De qué depende esto?

Trabajo de investigación sobre el tema.

“Determinación de la dependencia del número de raíces de una ecuación | |x | – A |= V deA YV »

Trabajaremos en grupos utilizando métodos de solución analíticos, gráficos y geométricos.

Determinemos bajo qué condiciones esta ecuación tiene 1 raíz, 2 raíces, 3 raíces, 4 raíces y ninguna raíz.

1 grupo (un priorato)

2do grupo (usando el sentido geométrico del módulo) -v+v

C.A A a+c

3 grupo (usando gráficas de funciones)

, A > 0

, A < 0

1 grupo

2do grupo

3 grupo

Sin raíces

V < 0 или V ≥ 0

V + A < 0

V < 0 или V ≥ 0

A + V < 0

V < 0 или V ≥ 0

V < – A

exactamente una raíz

V > 0 yV + A = 0

V > 0 yV + A = 0

V > 0 yV = – A

exactamente dos raíces

V > 0 yV + A > 0

– V + A < 0

V > 0 yV + A > 0

– V + A < 0

V > 0 yen > | un |

exactamente tres raíces

V > 0 y –V + A = 0

V > 0 y –V + A = 0

V > 0 yV = A

exactamente cuatro raíces

V > 0 y –V + A >0

V > 0 y –V + A >0

V > 0 yV < A

Compare los resultados, saque una conclusión general y elabore un esquema general.

Por supuesto, este esquema no es necesario.recordar. Lo principal en nuestra investigación fue:ver esta dependencia usando diferentes métodos, y ahora no nos resultará difícil repetir nuestro razonamiento al resolver este tipo de ecuaciones.

Después de todo, resolver un problema con un parámetro siempre implica algo de investigación.

Resolver ecuaciones con dos módulos y un parámetro.

1. Encuentra valoresR, x| – R – 3| = 7 tiene exactamente una raíz.

Solución: | | x| – (R + 3)| = 7

R +3= -7, R = -10. O geométricamente

R + 3 – 7 R + 3 R + 3+7 R + 3+7=0, R = -10

7 7 Según el esquema, una ecuación de este tipo tiene exactamente una raíz siV = – A, Dónde V =7, A = R +3

2. Encuentra valoresR, para cada uno de los cuales la ecuación | |x| – R – 6| = 11 tiene exactamente dos raíces.

Solución: | | x| – (R + 6)| = 11 geométricamente

R + 6 – 11 R + 6 R + 6+11 R + 6-11<0, R < 5, R + 6+11>0, R > -17

11 11

Según el esquema, una ecuación de esta forma tiene exactamente dos raíces siV + A > 0 y –V + A < 0, Dónde V =11, A = R +6. -17< R< 5.

3. Encuentra valoresR, para cada uno de los cuales la ecuación | |x| – 4 R R,

5. ¿A qué valores del parámetro p la ecuación| | X –4 | – 3| + 2 R = 0 tiene tres raíces. Encuentra estas raíces.

Transformemos la ecuación a la forma:

| | X –4 | – 3|= – 2 R .

Según el diagrama, una ecuación de este tipo tiene tres raíces,

si –2 R =3>0,

aquellos. R = –1,5.

¿Qué hicimos hoy?

¿Qué estaban haciendo?

Repetido

Decidido

explorado

Resumido

ellos demostraron

Construido

Módulo

parámetro

¿Qué repitieron?

Definición

Significado geométrico

Propiedades

Gráficos

Ecuaciones

Diferentes métodos

Tarea.

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Igualemos los coeficientes de x en la primera y segunda ecuaciones; para ello multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 6 y de la segunda ecuación por 10, obtenemos:

60x − 30 y − 18z = − 54,60x + 40 y − 50z = − 10.

Restamos la primera ecuación de la segunda ecuación del sistema resultante.

Por lo tanto, obtenemos: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

De la segunda ecuación del sistema original restamos la tercera ecuación multiplicada por 2, obtenemos: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 y + 7z = 45.

Ahora resolvemos un nuevo sistema de ecuaciones:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

A la primera ecuación del nuevo sistema, multiplicada por 7, le sumamos la segunda ecuación, multiplicada por 16, obtenemos:

35 7 y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Ahora sustituimos y = 2, z = 3 en la primera ecuación del sistema original

temas, obtenemos: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Respuesta: (1; 2;3). ▲

§ 3. Solución de sistemas con parámetros y con módulos.

hacha + 4 y = 2 a,

Considere el sistema de ecuaciones.

x + ay = a.

Curso académico 2010-2011 año., No. 3, 8vo grado. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

En realidad, existen tres variables en este sistema, a saber: a, x, y. x e y se consideran desconocidos, a se denomina parámetro. Se requiere encontrar soluciones (x, y) de este sistema para cada valor del parámetro a.

Demostremos cómo se resuelven tales sistemas. Expresemos la variable x de la segunda ecuación del sistema: x = a − ay. Sustituimos este valor por x en la primera ecuación del sistema, obtenemos:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − una )(2 + una ) y = una (2 − una ) .

Si a = 2, entonces obtenemos la ecuación 0 y = 0. Esta ecuación se satisface con cualquier número y, y luego x = 2 − 2 y, es decir, para a = 2, el par de números (2 − 2 y; y) es una solución del sistema. Dado que y puede ser

cualquier número, entonces el sistema con a = 2 tiene infinitas soluciones.

Si a = − 2, entonces obtenemos la ecuación 0 y = 8. Esta ecuación no tiene solución.

Si ahora a ≠ ± 2,				entonces y =		un (2 - un)
						(2 − una )(2 + una )		2+a
x = a − ay = a −
				2+a

Respuesta: Para a = 2, el sistema tiene infinitas soluciones de la forma (2 − 2 y; y), donde y es cualquier número;

para a = − 2 el sistema no tiene soluciones;
para a ≠ ± 2, el sistema tiene una solución única						. ▲
		2+a		2+a

Resolvimos este sistema y establecimos para qué valores del parámetro a el sistema tiene una solución, cuándo tiene infinitas soluciones y para qué valores del parámetro a no tiene soluciones.

Ejemplo 1: resolver el sistema de ecuaciones

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Curso académico 2010-2011 año., No. 3, 8vo grado. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

−3

y-1

3x − 2 y = 5.

De la segunda ecuación del sistema que expresamos x a y, obtenemos

2 años + 5

sustituimos este valor por x en la primera ecuación del sistema

temas, obtenemos:

2 años + 5

−3

y-1

−3

−1

5 = 0

Expresión

y = -

y > −

; Si

−5

= −y

Expresión y − 1 = 0,

si y = 1. Si

y > 1, entonces

y-1

Y − 1, y es-

si y< 1, то

y-1

1 - y .

Si y ≥ 1, entonces

y-1

Y-1 y

obtenemos la ecuación:

−3(y

− 1) = 3,

−3 años

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. El número 2 > 1, por lo que el par (3;2) se re-

cambiando el sistema.

Déjalo ahora

5 ≤ años<1,

y-1

− y ;

hallazgo

obtenemos

la ecuacion

3y-3

4 años + 10

3 años = 6,

13 años = 8

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Curso académico 2010-2011 año., No. 3, 8vo grado. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

(2 y + 5) =

Pero menos que

entonces un par de números

es una solución al sistema.

y< −

entonces obtenemos la ecuación:

3y-3

4 años -

3 años = 6,

5 años =

28, y = 28.

significado

entonces no hay soluciones.

Así, el sistema tiene dos soluciones (3;2) y 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1. Un automóvil viaja de una ciudad a un pueblo en 2,5 horas. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, en 2 horas recorrerá una distancia 15 km mayor que la distancia de la ciudad al pueblo. Encuentra esta distancia.

Denotaremos por S la distancia entre la ciudad y el pueblo y por V la velocidad del coche. Entonces para encontrar S obtenemos un sistema de dos ecuaciones.

2,5 V = S,

(V+20)2 = S+15.

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Curso académico 2010-2011 año., No. 3, 8vo grado. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

en la segunda ecuación:		S + 20 2	+15,		S = 25,	S = 125.

Respuesta: 125 kilómetros. ▲

Ejemplo 2. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 15. Si se intercambian estos dígitos, se obtiene un número que es 27 más que el original. Encuentra estos números.

Sea el número dado ab, es decir el número de decenas es a y el número de unidades es b. De la primera condición del problema tenemos: a + b = 15. Si restamos el número ab al número ba, obtenemos 27, por lo tanto obtenemos la segunda ecuación: 10 b + a − (10 a + b) = 27.x

Curso académico 2010-2011 año., No. 3, 8vo grado. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 20, obtenemos: x + 8 y = 840. Para encontrar xey obtenemos un sistema de ecuaciones

Respuesta: 40 t, 100 t.▲

Ejemplo 4. Un operador de computadora, trabajando con un estudiante, procesa una tarea en 2 horas y 24 minutos. Si el operador trabaja 2 horas y el estudiante 1 hora, entonces

los niños completaron 2 3 de todo el trabajo. ¿Cuánto tiempo tardará en operar?

¿ru y el estudiante por separado para procesar la tarea?

Denotemos todo el trabajo con 1, la productividad del operador con x y la productividad de los estudiantes con y. Tomamos en cuenta que

2 horas 24 minutos = 2 5 2 horas = 12 5 horas.

De la primera condición del problema se deduce que (x+y) 12 5 = 1. De la segunda condición del problema se deduce que 2 x + y = 2 3. Recibimos un sistema de ecuaciones.

(x+y)

2 x + y =

Resolvemos este sistema usando el método de sustitución:

− 2 x ;

−2x

−x

− 1;

; x =

; y =

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Diapositiva 2

.

Resolver ecuaciones con parámetros y módulos, aplicar las propiedades de funciones en situaciones inesperadas y dominar técnicas geométricas para la resolución de problemas. Ecuaciones no estándar Propósito de la lección.

Diapositiva 3

El valor absoluto o módulo de un número a es el número a, si a>0, el número -a, si a 0 ׀ a ׀=( 0, si a=0 -a, si a 0) equivale al doble desigualdad -a 0. La desigualdad ׀ x ׀>a, (si a>0) es equivalente a dos desigualdades - Desigualdad׀ x׀>a, (si a

Diapositiva 4

Resolver una ecuación con parámetros significa indicar para qué valores de los parámetros existen soluciones y cuáles son. a) determinar el conjunto de valores aceptables de incógnitas y parámetros; b) para cada sistema admisible de valores de parámetros, encuentre los conjuntos correspondientes de soluciones a la ecuación. Repetición del material teórico más importante sobre los temas “Resolución de ecuaciones con parámetros”

Diapositiva 5

1. Resuelve la ecuación ׀ x-2 ׀ =5; Respuesta 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; Respuesta: no hay solución ׀ x-2 ׀ =x+5; ; La respuesta no es ninguna solución; 1,5 ׀ x-2 ׀ = ׀ x+5 ׀ ; La respuesta no es ninguna solución; -1,5; no hay solución; -1,5; Ejercicios orales.

Diapositiva 6

2. Resolver ecuaciones=1; Respuesta. Si a=0, entonces no hay solución; si a=0, entoncesx=1/ a 1.3. Resuelve la ecuación (a²-1) x = a+ 1. 1) a = 1; entonces la ecuación toma la forma Ox = 2 y no tiene solución 2) a = 1; obtenemos Ox = O, y obviamente x es cualquiera. 1 3) si a =± 1, entonces x = -- a-1 Respuesta. Si a=-1, entonces x es cualquiera; si a=1, entonces no hay solución 1 si a =± 1, entonces x= -- a-1

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2. Resuelve la ecuación ׀ x+3 ׀ + ׀ y -2 ׀= 4; . 2 3. 4. 1

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3 3 2 x y 0 1 Respuesta: (-3; 2).

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2. Resuelve la ecuación aх=1;

Respuesta. Si a=0, entonces no hay solución; si a=0, entonces x=1/ a 1.3. Resuelve la ecuación (a²-1) x = a+ 1. 1) a = 1; entonces la ecuación toma la forma Ox = 2 y no tiene solución 2) a = 1; obtenemos Ox = O, y obviamente x es cualquiera. 1 3) si a =± 1, entonces x = -- a-1 Respuesta. Si a=-1, entonces x es cualquiera; si a=1, entonces no hay solución 1 si a =± 1, entonces x= -- a-1

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3 Construye una gráfica de la función y= ׀х׀, y= ׀х-2 ׀, y = ׀ x+5I, y = ׀х-2 ׀+3, y = ׀ x+3 ׀-2

y x У=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3

A tareas con parámetro Esto puede incluir, por ejemplo, la búsqueda de soluciones a ecuaciones lineales y cuadráticas en forma general, el estudio de la ecuación para el número de raíces disponibles dependiendo del valor del parámetro.

Sin dar definiciones detalladas, considere las siguientes ecuaciones como ejemplos:

y = kx, donde x, y son variables, k es un parámetro;

y = kx + b, donde x, y son variables, k y b son parámetros;

ax 2 + bx + c = 0, donde x son variables, a, byc son un parámetro.

Resolver una ecuación (desigualdad, sistema) con un parámetro significa, por regla general, resolver un conjunto infinito de ecuaciones (desigualdades, sistemas).

Las tareas con un parámetro se pueden dividir en dos tipos:

A) la condición dice: resuelva la ecuación (desigualdad, sistema); esto significa, para todos los valores del parámetro, encuentre todas las soluciones. Si al menos un caso queda sin investigar, dicha solución no puede considerarse satisfactoria.

b) es necesario indicar los posibles valores del parámetro en el que la ecuación (desigualdad, sistema) tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, tiene una solución, no tiene soluciones, tiene soluciones que pertenecen al intervalo, etc. En tales tareas, es necesario indicar claramente en qué valor del parámetro se cumple la condición requerida.

El parámetro, al ser un número fijo desconocido, tiene una especie de dualidad especial. En primer lugar, es necesario tener en cuenta que la supuesta popularidad indica que el parámetro debe percibirse como un número. En segundo lugar, la libertad de manipular el parámetro está limitada por su oscuridad. Por ejemplo, las operaciones de dividir por una expresión que contiene un parámetro o extraer la raíz de un grado par de dicha expresión requieren una investigación preliminar. Por lo tanto, se requiere cuidado al manipular el parámetro.

Por ejemplo, para comparar dos números -6a y 3a, debes considerar tres casos:

1) -6a será mayor que 3a si a es un número negativo;

2) -6a = 3a en el caso de que a = 0;

3) -6a será menor que 3a si a es un número positivo 0.

La solución será la respuesta.

Sea la ecuación kx = b. Esta ecuación es una forma abreviada de un número infinito de ecuaciones con una variable.

Al resolver tales ecuaciones puede haber casos:

1. Sea k cualquier número real distinto de cero y b sea cualquier número de R, entonces x = b/k.

2. Sean k = 0 y b ≠ 0, la ecuación original tomará la forma 0 x = b. Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones.

3. Sean k y b números iguales a cero, entonces tenemos la igualdad 0 x = 0. Su solución es cualquier número real.

Un algoritmo para resolver este tipo de ecuación:

1. Determine los valores de "control" del parámetro.

2. Resuelva la ecuación original para x para los valores de los parámetros que se determinaron en el primer párrafo.

3. Resuelva la ecuación original para x para valores de parámetros diferentes a los elegidos en el primer párrafo.

4. Puedes escribir la respuesta de la siguiente forma:

1) para... (valores de parámetros), la ecuación tiene raíces...;

2) para... (valores de los parámetros), no hay raíces en la ecuación.

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación con el parámetro |6 – x| = a.

Solución.

Es fácil ver que aquí a ≥ 0.

Según la regla del módulo 6 – x = ±a, expresamos x:

Respuesta: x = 6 ± a, donde a ≥ 0.

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 con respecto a la variable x.

Solución.

Abramos los corchetes: aх – а + 2х – 2 = 0

Escribamos la ecuación en forma estándar: x(a + 2) = a + 2.

Si la expresión a + 2 no es cero, es decir, si a ≠ -2, tenemos la solución x = (a + 2) / (a ​​+ 2), es decir x = 1.

Si a + 2 es igual a cero, es decir a = -2, entonces tenemos la igualdad correcta 0 x = 0, entonces x es cualquier número real.

Respuesta: x = 1 para a ≠ -2 y x € R para a = -2.

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación x/a + 1 = a + x con respecto a la variable x.

Solución.

Si a = 0, entonces transformamos la ecuación a la forma a + x = a 2 + ax o (a – 1)x = -a(a – 1). La última ecuación para a = 1 tiene la forma 0 x = 0, por lo tanto x es cualquier número.

Si a ≠ 1, entonces la última ecuación tomará la forma x = -a.

Esta solución se puede ilustrar en la línea de coordenadas. (Figura 1)

Respuesta: no hay soluciones para a = 0; x – cualquier número con a = 1; x = -a para a ≠ 0 y a ≠ 1.

Método gráfico

Consideremos otra forma de resolver ecuaciones con un parámetro: gráficamente. Este método se utiliza con bastante frecuencia.

Ejemplo 4.

Dependiendo del parámetro a, ¿cuántas raíces tiene la ecuación ||x| – 2| = un?

Solución.

Para resolver usando el método gráfico, construimos gráficas de las funciones y = ||x| – 2| y y = a (Figura 2).

El dibujo muestra claramente posibles casos de ubicación de la recta y = a y el número de raíces en cada uno de ellos.

Respuesta: la ecuación no tendrá raíces si< 0; два корня будет в случае, если a >2 y a = 0; la ecuación tendrá tres raíces en el caso de a = 2; cuatro raíces – en 0< a < 2.

Ejemplo 5.

¿A qué a la ecuación 2|x| + |x – 1| = a tiene una sola raíz?

Solución.

Representemos las gráficas de las funciones y = 2|x| + |x – 1| y y = a. Para y = 2|x| + |x – 1|, ampliando los módulos mediante el método de intervalos, obtenemos:

(-3x + 1, en x< 0,

y = (x + 1, para 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, para x > 1.

En figura 3 Se ve claramente que la ecuación tendrá una sola raíz sólo cuando a = 1.

Respuesta: a = 1.

Ejemplo 6.

Determine el número de soluciones de la ecuación |x + 1| + |x + 2| = a dependiendo del parámetro a?

Solución.

Gráfica de la función y = |x + 1| + |x + 2| será una línea discontinua. Sus vértices estarán ubicados en los puntos (-2; 1) y (-1; 1) (Figura 4).

Respuesta: si el parámetro a es menor que uno, entonces la ecuación no tendrá raíces; si a = 1, entonces la solución de la ecuación es un conjunto infinito de números del intervalo [-2; -1]; si los valores del parámetro a son mayores que uno, entonces la ecuación tendrá dos raíces.

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