Artikli sisu
MATEMAATIKA AJALUGU. Vanim matemaatiline tegevus oli loendamine. Konto oli vajalik kariloomade jälgimiseks ja kauplemiseks. Mõned primitiivsed hõimud loendasid esemete arvu, seostades neid erinevate kehaosadega, peamiselt sõrmede ja varvastega. Tänaseni kiviajast säilinud kaljumaal kujutab numbrit 35 järjestikku 35 sõrmepulga seeriana. Esimesed olulised edusammud aritmeetikas olid arvu kontseptualiseerimine ja nelja põhitehte väljamõtlemine: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Geomeetria esimesi saavutusi seostatakse selliste lihtsate mõistetega nagu sirgjooned ja ringid. Matemaatika edasine areng algas umbes 3000 eKr. tänu babüloonlastele ja egiptlastele.
Meie teadmiste allikaks Babüloonia tsivilisatsiooni kohta on hästi säilinud savitahvlid, mis on kaetud nn. kiilkirjatekstid, mis pärinevad aastast 2000 eKr. ja kuni 300 pKr Kiilkirjatahvlite matemaatika oli peamiselt seotud põlluharimisega. Aritmeetikat ja lihtalgebrat kasutati raha vahetamisel ja kauba eest tasumisel, liht- ja liitintresside, maksude ning riigile, pühakojale või maaomanikule üle antud saagiosa arvutamisel. Kanalite, aidade ja muude avalike ehitustöödega seoses tekkis arvukalt aritmeetilisi ja geomeetrilisi probleeme. Matemaatika väga oluline ülesanne oli kalendri arvutamine, kuna kalendri järgi määrati põllutööde ja usupühade kuupäevad. Ringi jagamine 360 ning kraadide ja minutite 60 osaks pärineb Babüloonia astronoomiast.
Babüloonlased lõid ka numbrisüsteemi, mis kasutas arvude 1 kuni 59 jaoks alust 10. Ühe sümbolit korrati vajalik arv kordi numbrite 1 kuni 9 puhul. Numbrite 11 kuni 59 tähistamiseks kasutasid babüloonlased kombinatsiooni numbri 10 sümbol ja ühe sümbol. Arvude tähistamiseks alates 60. aastast võtsid babüloonlased kasutusele positsioonilise numbrisüsteemi, mille alus on 60. Oluliseks edusammuks oli positsiooniprintsiip, mille kohaselt on samal numbrimärgil (sümbolil) erinev tähendus olenevalt kohast, kus see asub. asub. Näitena võib tuua kuue tähenduse (tänapäevases) arvu 606 tähistuses. Muistses Babüloonia numbrisüsteemis aga nulli ei olnud, mistõttu võis sama sümbolikogum tähendada nii arvu 65 (60 + 5) ja number 3605 (60 2 + 0 + 5). Ebaselgusi tekkis ka murdude tõlgendamisel. Näiteks võivad samad sümbolid tähendada arvu 21, murdosa 21/60 ja (20/60 + 1/60 2). Ebaselgused lahendati sõltuvalt konkreetsest kontekstist.
Babüloonlased koostasid pöördarvude tabeleid (mida kasutati jagamisel), ruutude ja ruutjuurte tabeleid ning kuubikute ja kuupjuurte tabeleid. Nad teadsid arvule head ligikaudset hinnangut. Kiilkirjatekstid, mis käsitlevad algebraliste ja geomeetriliste ülesannete lahendamist, näitavad, et nad kasutasid ruutvõrrandite lahendamiseks ruutvalemit ja suutsid lahendada mõningaid eritüüpi ülesandeid, mis hõlmavad kuni kümme võrrandit kümnes tundmatus, samuti teatud tüüpi kuup- ja kvartvõrrandeid. Savitahvlitel on kujutatud vaid ülesanded ja nende lahendamise protseduuride põhietapid. Kuna tundmatute suuruste tähistamiseks kasutati geomeetrilist terminoloogiat, koosnesid lahendusmeetodid peamiselt geomeetrilistest tehtetest joonte ja pindaladega. Mis puudutab algebralisi ülesandeid, siis need formuleeriti ja lahendati verbaalselt.
Umbes 700 eKr Babüloonlased hakkasid Kuu ja planeetide liikumise uurimiseks kasutama matemaatikat. See võimaldas neil ennustada planeetide asukohti, mis oli oluline nii astroloogia kui ka astronoomia jaoks.
Geomeetrias teadsid babüloonlased selliseid seoseid, näiteks sarnaste kolmnurkade vastavate külgede proportsionaalsust. Nad teadsid Pythagorase teoreemi ja seda, et poolringi sisse kirjutatud nurk on täisnurk. Neil olid ka reeglid lihtsate tasapinnaliste kujundite, sealhulgas korrapäraste hulknurkade pindalade ja lihtkehade ruumalade arvutamiseks. Number lk Babüloonlased pidasid seda võrdseks 3-ga.
Meie teadmised Vana-Egiptuse matemaatikast põhinevad peamiselt kahel papüürusel, mis pärinevad umbes aastast 1700 eKr. Nendes papüürustes esitatud matemaatiline teave pärineb veelgi varasemast perioodist - c. 3500 eKr Egiptlased kasutasid matemaatikat kehade massi, põllukultuuride pindala ja aidade mahu, maksude suuruse ja teatud ehitiste ehitamiseks vajalike kivide arvu arvutamiseks. Papüürustest võib leida ka probleeme, mis on seotud etteantud arvu õlleklaaside valmistamiseks vajaliku teravilja koguse määramisega, aga ka keerukamaid probleeme, mis on seotud teraviljaliikide erinevustega; Nendel juhtudel arvutati ümberarvestustegurid.
Kuid matemaatika peamine rakendusvaldkond oli astronoomia või pigem kalendriga seotud arvutused. Kalendrit kasutati usupühade kuupäevade määramiseks ja Niiluse iga-aastase üleujutuse ennustamiseks. Vana-Egiptuse astronoomia arengutase oli aga palju madalam kui selle arengutase Babülonis.
Vana-Egiptuse kirjutamine põhines hieroglüüfidel. Ka selle perioodi numbrisüsteem jäi Babüloonia omale alla. Egiptlased kasutasid mittepositsioonilist kümnendsüsteemi, kus numbreid 1 kuni 9 tähistati vastava arvu vertikaalsete ribadega ja arvu 10 järjestikuste astmete jaoks võeti kasutusele individuaalsed sümbolid. Neid sümboleid järjestikku kombineerides saab kirjutada suvalise numbri. Papüüruse tulekuga tekkis nn hieraatiline kursiivkirjutus, mis omakorda aitas kaasa uue numbrisüsteemi tekkimisele. Iga arvu 1 kuni 9 ja 10, 100 jne esimese üheksa kordse jaoks. kasutati spetsiaalset identifitseerimissümbolit. Murrud kirjutati murdude summana, mille lugeja on võrdne ühega. Selliste murdudega tegid egiptlased kõik neli aritmeetilist tehtet, kuid selliste arvutuste protseduur jäi väga tülikaks.
Geomeetria taandus egiptlaste seas ristkülikute, kolmnurkade, trapetside, ringide pindalade arvutamisele, aga ka teatud kehade ruumalade arvutamise valemitele. Peab ütlema, et matemaatika, mida egiptlased püramiidide ehitamisel kasutasid, oli lihtne ja primitiivne.
Papüürustes antud ülesanded ja lahendused on sõnastatud puhtalt retsepti alusel, ilma igasuguse selgituseta. Egiptlased tegelesid ainult kõige lihtsamate ruutvõrrandite ning aritmeetiliste ja geomeetriliste progressioonidega ning seetõttu olid ka üldised reeglid, mida nad suutsid tuletada, kõige lihtsamat laadi. Ei Babüloonia ega Egiptuse matemaatikutel polnud üldisi meetodeid; kogu matemaatiliste teadmiste kogum oli empiiriliste valemite ja reeglite kogum.
Kuigi Kesk-Ameerika maiad ei mõjutanud matemaatika arengut, on nende umbes 4. sajandist pärit saavutused tähelepanuväärsed. Maiad olid ilmselt esimesed, kes kasutasid oma 20-kohalises süsteemis nulli tähistamiseks spetsiaalset sümbolit. Neil oli kaks numbrisüsteemi: üks kasutas hieroglüüfe ja teine, tavalisem, kasutas ühe jaoks punkti, numbri 5 jaoks horisontaalset joont ja nulli sümbolit. Positsioonitähistused algasid numbriga 20 ja numbrid kirjutati vertikaalselt ülalt alla.
20. sajandi vaatevinklist. Matemaatika rajajad olid klassikalise perioodi (6.–4. saj eKr) kreeklased. Matemaatika, nagu see eksisteeris varasemal perioodil, oli empiiriliste järelduste kogum. Vastupidi, deduktiivses arutluskäigus tuletatakse uus väide aktsepteeritud eeldustest viisil, mis välistab selle tagasilükkamise võimaluse.
Kreeklaste nõudmine deduktiivsele tõendile oli erakordne samm. Ükski teine tsivilisatsioon pole jõudnud ideeni jõuda järeldusteni ainult deduktiivse arutluskäigu põhjal, alustades selgesõnaliselt välja öeldud aksioomidest. Leiame ühe seletuse kreeklaste deduktiivsete meetodite järgimisele klassikalise perioodi Kreeka ühiskonna struktuuris. Matemaatikud ja filosoofid (sageli olid need samad inimesed) kuulusid ühiskonna kõrgeimasse kihti, kus igasugust praktilist tegevust peeti väärituks ametiks. Matemaatikud eelistasid praktiliste ülesannete lahendamisele abstraktset arutluskäiku arvude ja ruumisuhete kohta. Matemaatika jagunes aritmeetikaks – teoreetiliseks aspektiks ja logistikaks – arvutuslikuks aspektiks. Logistika jäeti madalamate klasside ja orjade vabasündinutele.
Kreeka matemaatika deduktiivne iseloom kujunes täielikult välja Platoni ja Aristotelese ajaks. Deduktiivse matemaatika leiutamise põhjuseks on tavaliselt Thales Miletosest (umbes 640–546 eKr), kes, nagu paljud klassikalise perioodi Vana-Kreeka matemaatikud, oli ka filosoof. On oletatud, et Thales kasutas geomeetria mõningate tulemuste tõestamiseks deduktsiooni, kuigi see on kaheldav.
Teine suur kreeklane, kelle nime seostatakse matemaatika arenguga, oli Pythagoras (umbes 585–500 eKr). Arvatakse, et Babüloonia ja Egiptuse matemaatikaga võis ta tutvuda oma pikkade rännakute käigus. Pythagoras asutas liikumise, mis õitses ca. 550–300 eKr Pythagorased lõid puhta matemaatika arvuteooria ja geomeetria kujul. Need kujutasid täisnumbreid punktide või kivikeste kujul, klassifitseerides need numbrid vastavalt saadud arvude kujule (“lokkis numbrid”). Sõna "arvutamine" (arvutamine, arvutamine) pärineb kreeka sõnast, mis tähendab "kivike". Numbrid 3, 6, 10 jne. Pythagoraslased nimetasid seda kolmnurkseks, kuna vastava arvu veerisid saab paigutada kolmnurga kujul, numbrid 4, 9, 16 jne. – ruut, kuna vastava arvu kivikesi saab paigutada ruudu kujul jne.
Lihtsatest geomeetrilistest konfiguratsioonidest tekkisid mõned täisarvude omadused. Näiteks avastasid pütagoorlased, et kahe järjestikuse kolmnurkarvu summa on alati võrdne mõne ruutarvuga. Nad avastasid, et kui (tänapäevases tähistuses) n 2 on siis ruutarv n 2 + 2n +1 = (n+ 1) 2 . Arvu, mis võrdub kõigi tema enda jagajate summaga, välja arvatud see arv ise, nimetasid Pythagoreanid täiuslikuks. Täiuslike arvude näideteks on täisarvud nagu 6, 28 ja 496. Pythagoraslased nimetasid kahte arvu sõbralikeks, kui kumbki arv on võrdne teise jagajate summaga; näiteks 220 ja 284 on sõbralikud numbrid (ja siin on arv ise oma jagajate hulgast välja jäetud).
Pythagoraslaste jaoks esindas mis tahes arv midagi enamat kui kvantitatiivne väärtus. Näiteks number 2 tähendas nende nägemuse kohaselt erinevust ja seepärast samastati seda arvamusega. Neli esindas õiglust, kuna see oli esimene number, mis võrdub kahe võrdse teguri korrutisega.
Samuti avastasid pütagoorlased, et teatud ruutarvude paaride summa on jällegi ruutarv. Näiteks 9 ja 16 summa on 25 ning 25 ja 144 summa on 169. Arvude kolmikuid nagu 3, 4 ja 5 või 5, 12 ja 13 nimetatakse Pythagorase arvudeks. Neil on geomeetriline tõlgendus: kui kaks arvu kolmest võrdsustatakse täisnurkse kolmnurga jalgade pikkusega, siis kolmas arv võrdub selle hüpotenuusi pikkusega. See tõlgendus viis Pythagorase ilmselt mõistma üldisemat tõsiasja, mida praegu tuntakse Pythagorase teoreemina, mille kohaselt on mis tahes täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.
Arvestades ühikjalgadega täisnurkset kolmnurka, avastasid pütagoorlased, et selle hüpotenuusi pikkus oli võrdne , ja see ajas nad segadusse, sest nad üritasid tulutult esitada arvu kahe täisarvu suhtena, mis oli nende jaoks äärmiselt oluline. filosoofia. Pythagoraslased nimetasid suurusi, mida ei saa esitada täisarvude suhetena, võrreldamatuteks; tänapäevane termin on “irratsionaalsed arvud”. Umbes 300 eKr Euclid tõestas, et arv on võrreldamatu. Pythagorased tegelesid irratsionaalsete arvudega, mis kujutasid kõiki suurusi geomeetrilistel kujutistel. Kui 1 loetakse mõne lõigu pikkuseks, siis tasandatakse ratsionaal- ja irratsionaalarvude erinevus. Arvude korrutis on ristküliku pindala, mille küljed on pikkusega ja. Isegi tänapäeval räägime mõnikord numbrist 25 kui 5 ruudust ja arvust 27 kui 3 kuubist.
Vanad kreeklased lahendasid võrrandeid tundmatutega geomeetriliste konstruktsioonide abil. Lõikude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise teostamiseks töötati välja spetsiaalsed konstruktsioonid, eraldades lõikude pikkustest ruutjuured; nüüd nimetatakse seda meetodit geomeetriliseks algebraks.
Ülesannete taandamisel geomeetrilisele kujule oli mitmeid olulisi tagajärgi. Eelkõige hakati numbreid käsitlema geomeetriast eraldi, kuna võrreldamatute seostega oli võimalik töötada ainult geomeetriliste meetodite abil. Geomeetria sai peaaegu kogu range matemaatika aluseks vähemalt aastani 1600. Ja isegi 18. sajandil, kui algebra ja matemaatiline analüüs olid juba piisavalt arenenud, tõlgendati ranget matemaatikat geomeetriana ja sõna "geomeeter" oli samaväärne sõnaga " matemaatik."
Pythagorastele võlgneme suure osa matemaatikast, mida siis süstemaatiliselt esitleti ja tõestati Algused Euclid. On põhjust arvata, et just nemad avastasid teoreemid kolmnurkade, paralleelsirgete, hulknurkade, ringide, sfääride ja korrapäraste hulktahukate kohta.
Üks silmapaistvamaid pütagoorlasi oli Platon (umbes 427–347 eKr). Platon oli veendunud, et füüsilist maailma saab mõista ainult matemaatika kaudu. Arvatakse, et talle omistatakse analüütilise tõestusmeetodi leiutaja. (Analüütiline meetod algab väitega, mida tuleb tõestada, ja järeldab sellest järjest tagajärgi, kuni jõutakse mõne teadaoleva faktini; tõestus saadakse vastupidise protseduuriga.) On üldtunnustatud seisukoht, et Platoni järgijad leiutasid tõestamismeetodi. , mida nimetatakse "vastuolu tõestamiseks". Aristotelesel, Platoni õpilasel, on matemaatika ajaloos silmapaistev koht. Aristoteles pani aluse loogikateadusele ja väljendas mitmeid ideid definitsioonide, aksioomide, lõpmatuse ja geomeetriliste konstruktsioonide võimalikkuse kohta.
Klassikalise perioodi Kreeka matemaatikutest suurim, tulemuste tähtsuselt Archimedese järel teine, oli Eudoxus (umbes 408–355 eKr). Just tema võttis kasutusele suurusjärgu mõiste selliste objektide jaoks nagu joonelõigud ja nurgad. Omades suurusjärgu mõistet, põhjendas Eudoxus loogiliselt ja rangelt Pythagorase meetodit irratsionaalsete arvude käsitlemiseks.
Eudoxuse töö võimaldas selgesõnaliselt sõnastatud aksioomide põhjal luua matemaatika deduktiivse struktuuri. Ta astus ka esimese sammu matemaatilise analüüsi loomisel, kuna just tema leiutas pindalade ja mahtude arvutamise meetodi, mida nimetatakse ammendumismeetodiks. See meetod seisneb sissekirjutatud ja kirjeldatud lamedate kujundite või ruumiliste kehade konstrueerimises, mis täidavad („väljastavad”) uuritava kujundi või keha pindala või ruumala. Eudoxusele kuulub ka esimene astronoomiline teooria, mis selgitab planeetide vaadeldud liikumist. Eudoxuse pakutud teooria oli puhtalt matemaatiline; see näitas, kuidas erineva raadiuse ja pöörlemisteljega pöörlevate sfääride kombinatsioonid võivad seletada Päikese, Kuu ja planeetide näiliselt ebakorrapäraseid liikumisi.
Umbes 300 eKr paljude kreeka matemaatikute tulemused ühendas ühtseks tervikuks Eukleides, kes kirjutas matemaatilise meistriteose Algused. Mõnest kavalalt valitud aksioomist tuletas Euclid umbes 500 teoreemi, mis hõlmasid kõiki klassikalise perioodi tähtsamaid tulemusi. Euclid alustas oma tööd selliste mõistete määratlemisega nagu sirgjoon, nurk ja ring. Seejärel ütles ta välja kümme iseenesestmõistetavat tõde, näiteks „tervik on suurem kui ükski osa”. Ja nendest kümnest aksioomist suutis Euclid tuletada kõik teoreemid. Tekst matemaatikutele Algas Eukleides oli pikka aega ranguse eeskuju, kuni 19. sajandini. sellel ei leitud tõsiseid puudusi, nagu näiteks selgesõnaliselt väljendamata oletuste alateadlik kasutamine.
Apollonius (umbes 262–200 eKr) elas Aleksandria perioodil, kuid tema põhitöö on klassikalise traditsiooni vaimus. Tema pakutud koonuselõike – ring, ellips, parabool ja hüperbool – analüüs oli kreeka geomeetria arengu kulminatsioon. Apolloniusest sai ka kvantitatiivse matemaatilise astronoomia rajaja.
Sellel perioodil, mis algas umbes 300 eKr, muutus Kreeka matemaatika olemus. Aleksandria matemaatika tekkis klassikalise Kreeka matemaatika sulandumisel Babüloonia ja Egiptuse matemaatikaga. Üldiselt kaldusid Aleksandria perioodi matemaatikud rohkem puhttehnilisi probleeme lahendama kui filosoofiat. Suured Aleksandria matemaatikud – Eratosthenes, Archimedes, Hipparkhos, Ptolemaios, Diophantos ja Pappus – demonstreerisid kreeka geeniuse tugevust teoreetilises abstraktsioonis, kuid olid võrdselt valmis rakendama oma annet nii praktiliste kui ka puhtalt kvantitatiivsete probleemide lahendamisel.
Eratosthenes (u 275–194 eKr) leidis lihtsa meetodi Maa ümbermõõdu täpseks arvutamiseks, samuti lõi ta kalendri, milles igal neljandal aastal on üks päev rohkem kui teistel. Astronoom Aristarchos (umbes 310–230 eKr) kirjutas essee Päikese ja Kuu suurustest ja kaugustest, mis sisaldas üht esimestest katsetest neid suurusi ja vahemaid määrata; Aristarchose töö oli oma olemuselt geomeetriline.
Antiikaja suurim matemaatik oli Archimedes (umbes 287–212 eKr). Ta on paljude keerukate kujundite ja kehade pindala ja mahtu käsitlevate teoreemide sõnastuste autor, mida ta üsna rangelt tõestas ammendumise meetodil. Archimedes püüdis alati saada täpseid lahendusi ja leidis irratsionaalsete arvude ülemise ja alumise piiri. Näiteks tavalise 96-goniga töötades tõestas ta veatult, et numbri täpne väärtus lk on vahemikus 3 1/7 kuni 3 10/71. Archimedes tõestas ka mitmeid teoreeme, mis sisaldasid uusi tulemusi geomeetrilises algebras. Tema ülesandeks oli sõnastada palli tasapinna järgi lahtilõikamise probleem nii, et segmentide mahud oleksid üksteise suhtes etteantud suhtes. Archimedes lahendas selle ülesande, leides parabooli ja võrdkülgse hüperbooli ristumiskoha.
Archimedes oli antiikaja suurim matemaatiline füüsik. Ta kasutas mehaanika teoreemide tõestamiseks geomeetrilisi kaalutlusi. Tema essee Ujuvatest kehadest pani aluse hüdrostaatikale. Legendi järgi avastas Archimedes oma nime kandva seaduse, mille kohaselt mõjub vette kastetud kehale ujumisjõud, mis on võrdne tema poolt vannituppa sattudes välja tõrjutud vedeliku kaaluga, ega suuda sellega toime tulla teda haaranud avastamisrõõmuga jooksis ta alasti tänavale hüüdes: "Eureka!" ("Avatud!")
Archimedese ajal ei piirdunud need enam geomeetriliste konstruktsioonidega, mida sai teha vaid sirkli ja joonlauaga. Archimedes kasutas oma konstruktsioonides spiraali ja Diocles (2. sajandi lõpp eKr) lahendas kuubi kahekordistamise probleemi, kasutades enda kasutusele võetud kõverat, mida nimetatakse cissoidiks.
Aleksandria perioodil käsitleti aritmeetikat ja algebrat geomeetriast sõltumatult. Klassikalise perioodi kreeklastel oli loogiliselt põhjendatud täisarvude teooria, kuid Aleksandria kreeklased, kes olid omaks võtnud Babüloonia ja Egiptuse aritmeetika ja algebra, kaotasid suures osas oma juba välja töötatud ideed matemaatilise ranguse kohta. Elas vahemikus 100 eKr ja 100 pKr Aleksandria Heron muutis suure osa kreeklaste geomeetrilisest algebrast ausalt öeldes leebeteks arvutusprotseduurideks. Eukleidilise geomeetria uute teoreemide tõestamisel lähtus ta aga endiselt klassikalise perioodi loogilise ranguse standarditest.
Esimene üsna mahukas raamat, milles aritmeetikat esitati geomeetriast sõltumatult, oli Sissejuhatus aritmeetikasse Nicomacheus (umbes 100 pKr). Aritmeetika ajaloos on selle roll võrreldav omaga Algas Eukleides geomeetria ajaloos. See oli standardõpik enam kui 1000 aastat, kuna see õpetas täisarvude (algus-, liit-, algarvu ja proportsioonide) õpetusi selgelt, lühidalt ja kõikehõlmavalt. Korrates palju Pythagorase avaldusi, Sissejuhatus Nicomachus läks aga kaugemale, kuna Nicomachus nägi ka üldisemaid suhteid, kuigi ta viitas neile ilma tõenditeta.
Märkimisväärne verstapost Aleksandria kreeklaste algebras oli Diophantose (umbes 250) töö. Üks tema peamisi saavutusi on seotud sümboolika kasutuselevõtuga algebrasse. Diophantus ei pakkunud oma töödes välja üldisi meetodeid, ta ei käsitlenud konkreetseid positiivseid ratsionaalarvusid, mitte aga nende tähte. Ta pani aluse nn. Diofantiini analüüs – ebakindlate võrrandite uurimine.
Aleksandria matemaatikute kõrgeim saavutus oli kvantitatiivse astronoomia loomine. Trigonomeetria leiutamise võlgneme Hipparkhosele (umbes 161–126 eKr). Tema meetod põhines teoreemil, mis väitis, et sarnastes kolmnurkades on ühe neist mis tahes kahe külje pikkuste suhe võrdne teise kahe vastava külje pikkuste suhtega. Eelkõige teravnurga vastas asuva jala pikkuse suhe A täisnurkses kolmnurgas peab hüpotenuusi pikkus olema sama kõigi sama teravnurgaga täisnurksete kolmnurkade puhul A. Seda suhet tuntakse nurga siinuse nime all A. Täisnurkse kolmnurga teiste külgede pikkuste suhteid nimetatakse nurga koosinusiks ja puutujaks A. Hipparkhos leiutas meetodi selliste suhtarvude arvutamiseks ja koostas nende tabelid. Nende tabelite ja kergesti mõõdetavate kaugustega Maa pinnal suutis ta välja arvutada selle suurringi pikkuse ja kauguse Kuust. Tema arvutuste kohaselt oli Kuu raadius kolmandik Maa raadiusest; Kaasaegsetel andmetel on Kuu ja Maa raadiuste suhe 27/1000. Hipparkhos määras päikeseaasta pikkuse veaga vaid 6 1/2 minutit; Arvatakse, et just tema tutvustas laius- ja pikkuskraadi.
Kreeka trigonomeetria ja selle rakendused astronoomias saavutasid haripunkti aastal Almagest Egiptlane Claudius Ptolemaios (suri 168 pKr). IN Almagest esitati taevakehade liikumise teooria, mis valitses kuni 16. sajandini, mil see asendati Koperniku teooriaga. Ptolemaios püüdis luua kõige lihtsamat matemaatilist mudelit, mõistes, et tema teooria oli vaid mugav matemaatiline astronoomiliste nähtuste kirjeldus, mis on kooskõlas vaatlustega. Koperniku teooria valitses just seetõttu, et see oli mudelina lihtsam.
Pärast Egiptuse vallutamist roomlaste poolt 31 eKr. suur Kreeka Aleksandria tsivilisatsioon langes lagunema. Cicero väitis uhkelt, et erinevalt kreeklastest ei olnud roomlased unistajad ja seetõttu rakendasid nad oma matemaatilisi teadmisi praktikas, saades neist tõelist kasu. Roomlaste panus matemaatika enda arendamisse oli aga tühine. Rooma numbrite süsteem põhines tülikatel arvude märkimisel. Selle peamine omadus oli lisamise põhimõte. Isegi lahutav printsiip, näiteks arvu 9 kirjutamine IX-ks, tuli laialdaselt kasutusele alles pärast ladumise leiutamist 15. sajandil. Rooma numbrite märkimist kasutati mõnes Euroopa koolis umbes 1600. aastani ja raamatupidamises sajand hiljem.
Kreeklaste järeltulijad matemaatika ajaloos olid indiaanlased. India matemaatikud ei tegelenud tõestustega, kuid nad tutvustasid originaalseid kontseptsioone ja mitmeid tõhusaid meetodeid. Just nemad võtsid esimest korda kasutusele nulli nii kardinaalarvuna kui ka vastavas numbris ühikute puudumise sümbolina. Mahavira (850 pKr) kehtestas reeglid tehtetele nulliga, uskudes aga, et arvu jagamine nulliga jätab arvu muutumatuks. Arvu nulliga jagamise juhtumile andis õige vastuse Bhaskara (s. 1114) ning talle kuulusid ka irratsionaalsete arvudega opereerimise reeglid. Indiaanlased võtsid kasutusele negatiivsete arvude kontseptsiooni (võlgade tähistamiseks). Leiame nende varaseima kasutuse Brahmaguptast (umbes 630). Aryabhata (lk 476) läks Diophantosest kaugemale, kui kasutas jätkuvaid murde määramatute võrrandite lahendamisel.
Meie tänapäevane numbrisüsteem, mis põhineb numbrite ja nulli kui kardinaalarvu positsioonilisel põhimõttel ning tühja numbrimärgi kasutamisel, kannab nime indoaraabia. Indias ehitatud templi seinal ca. 250 eKr avastati mitu figuuri, mis oma piirjoonte poolest meenutavad meie tänapäevaseid kujusid.
Umbes 800 India matemaatikat jõudis Bagdadi. Mõiste "algebra" pärineb raamatu pealkirja algusest Al-jabr wa-l-muqabala (Täiendus ja vastuseis), mille kirjutas aastal 830 astronoom ja matemaatik al-Khwarizmi. Oma essees avaldas ta austust India matemaatika teenete eest. Al-Khwarizmi algebra põhines Brahmagupta töödel, kuid Babüloonia ja Kreeka mõjud on selgelt märgatavad. Teine silmapaistev araabia matemaatik Ibn al-Haytham (umbes 965–1039) töötas välja meetodi ruut- ja kuupvõrrandite algebraliste lahenduste saamiseks. Araabia matemaatikud, sealhulgas Omar Khayyam, suutsid mõned kuupvõrrandid lahendada geomeetriliste meetodite abil, kasutades koonuselõike. Araabia astronoomid võtsid trigonomeetrias kasutusele puutuja ja kotangensi mõiste. Nasireddin Tusi (1201–1274) aastal Traktaat täielikust nelinurgast visandas süstemaatiliselt tasapinnalise ja sfäärilise geomeetria ning käsitles esimesena trigonomeetriat astronoomiast eraldi.
Ometi olid araablaste kõige olulisem panus matemaatikasse nende tõlked ja kommentaarid kreeklaste suurteoste kohta. Euroopa tutvus nende teostega pärast araablaste Põhja-Aafrika ja Hispaania vallutamist ning hiljem tõlgiti kreeklaste teosed ladina keelde.
Rooma tsivilisatsioon ei jätnud matemaatikasse märgatavat jälge, kuna tegeles liiga palju praktiliste probleemide lahendamisega. Varakeskajal Euroopas (umbes 400–1100) arenenud tsivilisatsioon ei olnud produktiivne täpselt vastupidisel põhjusel: vaimuelu keskendus peaaegu eranditult teoloogiale ja hauatagusele elule. Matemaatiliste teadmiste tase ei tõusnud kõrgemale aritmeetilistest ja lihtsatest lõikudest alates Algas Euclid. Astroloogiat peeti keskajal matemaatika kõige olulisemaks haruks; astrolooge kutsuti matemaatikuteks. Ja kuna arstipraktika põhines eelkõige astroloogilistel näidustustel või vastunäidustustel, ei jäänud arstidel muud üle, kui hakata matemaatikuks.
Umbes 1100. aasta paiku algas Lääne-Euroopa matemaatikas peaaegu kolm sajandit kestnud araablaste ja Bütsantsi kreeklaste säilinud iidse maailma ja ida pärandi valdamise periood. Kuna araablastele kuulusid peaaegu kõik iidsete kreeklaste teosed, sai Euroopa ulatuslikku matemaatilist kirjandust. Nende teoste tõlkimine ladina keelde aitas kaasa matemaatilise uurimistöö tõusule. Kõik tolleaegsed suured teadlased tunnistasid, et ammutasid inspiratsiooni kreeklaste töödest.
Esimene mainimist vääriv Euroopa matemaatik oli Leonardo Pisast (Fibonacci). Tema essees Aabitsaraamat(1202) tutvustas ta eurooplastele indoaraabia numbreid ja arvutusmeetodeid, aga ka araabia algebrat. Järgmise paari sajandi jooksul matemaatiline aktiivsus Euroopas rauges. Luca Pacioli 1494. aastal koostatud ajastu matemaatiliste teadmiste kogum ei sisaldanud ühtegi algebralist uuendust, mida Leonardol ei olnud.
Renessansi parimate geomeetrite hulgas olid kunstnikud, kes töötasid välja perspektiivi idee, mis nõudis koonduvate paralleelsete joontega geomeetriat. Kunstnik Leon Battista Alberti (1404–1472) tutvustas projektsiooni ja läbilõike mõisteid. Sirged valguskiired vaatleja silmast erinevatesse kujutatud stseeni punktidesse moodustavad projektsiooni; lõik saadakse tasapinna läbimisel projektsioonist. Selleks, et maalitud pilt näeks välja realistlik, pidi see olema selline läbilõige. Projektsiooni ja lõigu mõisted tekitasid puhtalt matemaatilisi küsimusi. Näiteks millised ühised geomeetrilised omadused on lõigul ja algstseenil ning millised on sama projektsiooni kahe erineva lõigu omadused, mille moodustavad kaks erinevat tasandit, mis lõikuvad projektsiooni erinevate nurkade all? Sellistest küsimustest tekkis projektiivne geomeetria. Selle rajaja J. Desargues (1593–1662) ühtlustas projektsioonil ja lõikel põhinevate tõestuste abil käsitluse erinevat tüüpi koonuslõigetele, mida Kreeka suur geomeeter Apollonius käsitles eraldi.
16. sajandi edenemine. Lääne-Euroopas tähistasid olulised saavutused algebra ja aritmeetika vallas. Tutvustati kümnendmurrud ja nendega tehtavate aritmeetiliste toimingute reeglid. Tõeline triumf oli logaritmide leiutamine 1614. aastal J. Napieri poolt. 17. sajandi lõpuks. on lõpuks välja kujunenud arusaam logaritmidest kui eksponenditest, mille positiivne arv ei ole alus. 16. sajandi algusest. Irratsionaalseid arve hakati laiemalt kasutama. B. Pascal (1623–1662) ja I. Barrow (1630–1677), I. Newtoni õpetaja Cambridge’i ülikoolis, väitsid, et sellist arvu nagu , saab tõlgendada ainult geomeetrilise suurusena. Kuid neil samadel aastatel uskusid R. Descartes (1596–1650) ja J. Wallis (1616–1703), et irratsionaalsed arvud on iseenesest vastuvõetavad, ilma geomeetriale viitamata. 16. sajandil Vaidlused negatiivsete arvude kasutuselevõtu seaduslikkuse üle jätkusid. Veelgi vähem vastuvõetavateks peeti ruutvõrrandite lahendamisel tekkinud keerulisi numbreid, näiteks neid, mida Descartes nimetas kujuteldavaks. Need numbrid olid kahtluse all isegi 18. sajandil, kuigi L. Euler (1707–1783) kasutas neid edukalt. Lõplikult hakati kompleksarvusid ära tundma alles 19. sajandi alguses, kui matemaatikud tutvusid nende geomeetrilise esitusega.
16. sajandil Itaalia matemaatikud N. Tartaglia (1499–1577), S. Dal Ferro (1465–1526), L Ferrari (1522–1565) ja D. Cardano (1501–1576) leidsid kolmanda ja neljanda võrrandi üldlahendused. kraadid. Algebralise arutluskäigu ja märgistamise täpsemaks muutmiseks võeti kasutusele palju sümboleid, sealhulgas +, –, ґ, =, > ja<.>b 2-4 ac] ruutvõrrand, nimelt et võrrand kirves 2 + bx + c= 0 on võrdsed reaal-, erinevad reaal- või komplekssed konjugaatjuured, olenevalt sellest, kas diskriminant b 2 – 4ac võrdne nulliga, suurem või väiksem kui null. 1799. aastal tõestas K. Friedrich Gauss (1777–1855) nn. algebra põhiteoreem: iga polünoom n-th kraad on täpselt n juured
Algebra põhiülesanne – algebralistele võrranditele üldise lahenduse otsimine – jätkas matemaatikute tegevust 19. sajandi alguses. Rääkides teise astme võrrandi üldlahendusest kirves 2 + bx + c= 0, tähendab, et iga selle kahe juure saab väljendada, kasutades koefitsientide jaoks tehtud lõplikku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja juurdumisoperatsioone a, b Ja Koos. Noor Norra matemaatik N. Abel (1802–1829) tõestas, et 4-st kõrgema astme võrrandi üldlahendust on võimatu saada lõpliku arvu algebraliste tehtetega. Siiski on palju võrrandeid, mille astme erivorm on suurem kui 4, mis lubavad sellist lahendust. Noor prantsuse matemaatik E. Galois (1811–1832) andis oma surma eel duellis otsustava vastuse küsimusele, millised võrrandid on lahendatavad radikaalides, s.o. mille võrrandite juuri saab väljendada nende kordajate kaudu, kasutades lõplikku arvu algebralisi tehteid. Galois' teooria kasutas juurte asendusi või permutatsioone ja tutvustas rühma mõistet, mis on leidnud laialdast rakendust paljudes matemaatika valdkondades.
Analüütilise ehk koordinaatgeomeetria lõid iseseisvalt P. Fermat (1601–1665) ja R. Descartes, et laiendada eukleidilise geomeetria võimalusi ehitusprobleemide lahendamisel. Ent Fermat käsitles oma teost vaid Apolloniuse loomingu ümbersõnastusena. Tõeline avastus – algebraliste meetodite täieliku jõu realiseerimine – kuulub Descartes’ile. Eukleidiline geomeetriline algebra nõudis iga konstruktsiooni jaoks oma algse meetodi leiutamist ega suutnud pakkuda teadusele vajalikku kvantitatiivset teavet. Descartes lahendas selle ülesande: ta sõnastas geomeetrilised ülesanded algebraliselt, lahendas algebralise võrrandi ja alles seejärel konstrueeris soovitud lahenduse – sobiva pikkusega segmendi. Analüütiline geomeetria ise tekkis siis, kui Descartes hakkas käsitlema määramatuid ehitusprobleeme, mille lahendusteks polnud mitte üks, vaid mitu võimalikku pikkust.
Analüütiline geomeetria kasutab kõverate ja pindade esitamiseks ja uurimiseks algebralisi võrrandeid. Descartes pidas vastuvõetavaks kõveraks, mille saab kirjutada ühe algebralise võrrandi abil X Ja juures. See lähenemine oli oluline samm edasi, sest see mitte ainult ei hõlmanud selliseid kõveraid nagu konchoid ja cissoid vastuvõetavate seas, vaid laiendas oluliselt ka kõverate ulatust. Sellest tulenevalt 17.–18. Paljud uued olulised kõverad, nagu tsükloid ja kontaktvõrk, võeti teaduslikku kasutusse.
Ilmselt oli esimene matemaatik, kes kasutas võrrandeid koonuselõike omaduste tõestamiseks, J. Wallis. 1865. aastaks oli ta algebraliselt saanud kõik V raamatus esitatud tulemused Algas Euclid.
Analüütiline geomeetria muutis geomeetria ja algebra rollid täielikult ümber. Nagu märkis suur prantsuse matemaatik Lagrange: "Seni, kuni algebra ja geomeetria läksid oma teed, oli nende areng aeglane ja nende rakendused piiratud. Kuid kui need teadused ühendasid oma jõupingutused, laenasid nad üksteiselt uusi elulisi jõude ja on sellest ajast alates liikunud kiiresti täiuslikkuse poole. Vaata ka ALGEBRAILINE GEOMEETIA; GEOMEETIA ; GEOMEETIA ÜLEVAADE.
Kaasaegse teaduse rajajad – Kopernik, Kepler, Galileo ja Newton – lähenesid looduse uurimisele kui matemaatikale. Liikumist uurides arendasid matemaatikud välja sellise põhimõiste nagu funktsioon või muutujate vaheline seos, näiteks d = kt 2 kus d on vabalt langeva keha läbitud vahemaa ja t– sekundite arv, mille jooksul keha on vabalanguses. Funktsiooni mõiste sai kohe keskseks antud ajahetkel kiiruse ja liikuva keha kiirenduse määramisel. Selle ülesande matemaatiline raskus seisnes selles, et keha läbib igal hetkel nulli ajaga nulli. Seega, määrates kiiruse väärtuse ajahetkel, jagades tee ajaga, jõuame matemaatiliselt mõttetu avaldiseni 0/0.
Erinevate suuruste hetkemuutuste määramise ja arvutamise probleem äratas peaaegu kõigi 17. sajandi matemaatikute tähelepanu, sealhulgas Barrow, Fermat, Descartes ja Wallis. Nende pakutud erinevad ideed ja meetodid ühendasid diferentsiaalarvutuse loojad Newton ja G. Leibniz (1646–1716) süstemaatiliseks, universaalselt rakendatavaks formaalseks meetodiks. Nende vahel tekkisid tulised vaidlused selle arvutuse väljatöötamise prioriteetsuse üle, kusjuures Newton süüdistas Leibnizi plagiaadis. Kuid nagu teadusajaloolaste uuringud on näidanud, lõi Leibniz matemaatilise analüüsi Newtonist sõltumatult. Konflikti tagajärjel katkes Mandri-Euroopa ja Inglismaa matemaatikute mõttevahetus paljudeks aastateks Inglise poole kahjuks. Inglise matemaatikud jätkasid analüüsiideede arendamist geomeetrilises suunas, samas kui Mandri-Euroopa matemaatikud, sealhulgas I. Bernoulli (1667–1748), Euler ja Lagrange saavutasid võrreldamatult suurema edu algebralise ehk analüütilise lähenemise järgi.
Kogu matemaatilise analüüsi aluseks on piiri mõiste. Kiirus hetkel on defineeritud kui piir, milleni keskmine kiirus kipub d/t kui väärtus t nullile lähemale jõudmas. Diferentsiaalarvutus pakub arvutuslikult mugavat üldmeetodit funktsiooni muutumiskiiruse leidmiseks f (x) mis tahes väärtuse jaoks X. Seda kiirust nimetatakse tuletiseks. Plaadi üldistusest f (x) on selge, et tuletise mõiste on rakendatav mitte ainult probleemides, mis on seotud kiiruse või kiirenduse leidmise vajadusega, vaid ka seoses mistahes funktsionaalse sõltuvusega, näiteks mõne majandusteooria seosega. Diferentsiaalarvutuse üks peamisi rakendusi on nn. maksimaalsed ja minimaalsed ülesanded; Teine oluline probleemide valdkond on antud kõvera puutuja leidmine.
Selgus, et spetsiaalselt liikumisprobleemidega töötamiseks leiutatud tuletise abil on võimalik leida ka vastavalt kõverate ja pindadega piiratud alasid ja mahtusid. Eukleidilise geomeetria meetodid ei omanud vajalikku üldistust ega võimaldanud saada vajalikke kvantitatiivseid tulemusi. Läbi 17. sajandi matemaatikute pingutuste. Loodi arvukalt privaatseid meetodeid, mis võimaldasid leida üht või teist tüüpi kõveratega piiratud kujundite pindalasid ning mõnel juhul täheldati nende probleemide seost funktsioonide muutumise kiiruse leidmise probleemidega. Kuid nagu diferentsiaalarvutuse puhul, mõistsid Newton ja Leibniz meetodi üldistust ja lõid sellega integraalarvutuse aluse.
Diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomine tähistas "kõrgema matemaatika" algust. Matemaatilise analüüsi meetodid, erinevalt selle aluseks olevast piirikontseptsioonist, tundusid selged ja arusaadavad. Matemaatikud, sealhulgas Newton ja Leibniz, püüdsid aastaid asjata anda piiri mõiste täpset definitsiooni. Vaatamata arvukatele kahtlustele matemaatilise analüüsi paikapidavuses leidis see siiski üha laialdasemat kasutust. Diferentsiaal- ja integraalarvutus said matemaatilise analüüsi nurgakivideks, mis aja jooksul hõlmasid selliseid aineid nagu diferentsiaalvõrrandite teooria, harilikud ja osatuletised, lõpmatud jadad, variatsioonide arvutamine, diferentsiaalgeomeetria ja palju muud. Piiri range määratlus saadi alles 19. sajandil.
1800. aastaks toetus matemaatika kahele tugisambale – numbrisüsteemile ja eukleidilisele geomeetriale. Kuna paljud arvusüsteemi omadused olid geomeetriliselt tõestatud, oli eukleidiline geomeetria matemaatika ehitise kõige usaldusväärsem osa. Paralleelide aksioom sisaldas aga väidet lõpmatuseni ulatuvate sirgjoonte kohta, mida kogemus ei saanud kinnitada. Isegi Eukleidese enda versioon sellest aksioomist ei ütle üldse, et mõned sirged ei ristuks. Pigem sõnastab see tingimuse, mille korral nad ristuvad mingis lõpp-punktis. Matemaatikud on sajandeid püüdnud paralleelaksioomile sobivat asendust leida. Kuid iga variandi puhul oli kindlasti tühimik. Mitteeukleidilise geomeetria loomise au langes N. I. Lobatševskile (1792–1856) ja J. Bolyaile (1802–1860), kellest igaüks avaldas iseseisvalt oma originaalse mitteeukleidilise geomeetria esitluse. Nende geomeetrias võib läbi antud punkti tõmmata lõpmatu arv paralleelseid sirgeid. B. Riemanni (1826–1866) geomeetrias ei saa paralleeli tõmmata sirgest väljaspool asuva punkti kaudu.
Mitte-eukleidilise geomeetria füüsiliste rakenduste peale ei mõelnud keegi tõsiselt. Üldrelatiivsusteooria loomine A. Einsteini (1879–1955) poolt 1915. aastal äratas teadusmaailma teadlikkuse mitteeukleidilise geomeetria tegelikkusest.
Kuni umbes 1870. aastani uskusid matemaatikud, et nad tegutsevad nii, nagu vanad kreeklased olid kavandanud, rakendades matemaatiliste aksioomide suhtes deduktiivset arutluskäiku, tagades seeläbi nende järelduste usaldusväärsuse, mis ei ole väiksem kui aksioomidel. Mitteeukleidiline geomeetria ja kvaternioonid (algebra, mis ei allu kommutatiivsele omadusele) sundisid matemaatikuid mõistma, et need, mida nad pidasid abstraktseteks ja loogiliselt järjekindlateks väideteks, põhinesid tegelikult empiirilisel ja pragmaatilisel alusel.
Mitte-eukleidilise geomeetria loomisega kaasnes ka teadlikkus eukleidilise geomeetria loogiliste lünkade olemasolust. Üks eukleidese puudusi Algas oli eelduste kasutamine, mida ei olnud selgesõnaliselt öeldud. Ilmselt ei seadnud Euclid kahtluse alla tema geomeetriliste kujundite omadusi, kuid need omadused ei sisaldunud tema aksioomides. Lisaks kasutas Euclid kahe kolmnurga sarnasuse tõestamisel ühe kolmnurga superpositsiooni teise kolmnurga peale, eeldades kaudselt, et kujundite omadused liikumisel ei muutu. Kuid selliste loogiliste lünkade kõrval on sisse Algused Oli ka ekslikke tõendeid.
Uute algebrate loomine, mis sai alguse kvaternioonidest, tekitas sarnaseid kahtlusi aritmeetika ja tavalise arvusüsteemi algebra loogilises kehtivuses. Kõik varem matemaatikutele teada olnud arvud omasid kommutatiivsuse omadust, s.t. ab = ba. Kvaternioonid, mis muutsid pöörde traditsioonilistes ettekujutes numbritest, avastas 1843. aastal W. Hamilton (1805–1865). Need osutusid kasulikeks mitmete füüsikaliste ja geomeetriliste ülesannete lahendamisel, kuigi kommutatiivsus ei kehtinud kvaternioonide puhul. Kvaternioonid sundisid matemaatikuid mõistma, et peale täisarvudele pühendatud osa ja kaugel täiuslikkusest on eukleidiline Algas, aritmeetikal ja algebral pole oma aksiomaatilist alust. Matemaatikud käsitlesid vabalt negatiivseid ja kompleksarvusid ning sooritasid algebralisi tehteid, juhindudes vaid sellest, et need toimisid edukalt. Loogiline rangus andis võimaluse näidata kahtlaste kontseptsioonide ja protseduuride juurutamise praktilist kasu.
Peaaegu matemaatilise analüüsi algusest peale on korduvalt püütud luua sellele ranget alust. Matemaatiline analüüs tõi kasutusele kaks uut keerulist mõistet – tuletis ja kindel integraal. Nende mõistetega võitlesid Newton ja Leibniz, aga ka järgnevate põlvkondade matemaatikud, kes muutsid diferentsiaal- ja integraalarvutuse matemaatiliseks analüüsiks. Kuid hoolimata kõigist jõupingutustest jäi piiri, järjepidevuse ja eristatavuse mõistetesse palju ebakindlust. Lisaks selgus, et algebraliste funktsioonide omadusi ei saa üle kanda kõikidele teistele funktsioonidele. Peaaegu kõik 18. sajandi matemaatikud. ja 19. sajandi alguses. on tehtud jõupingutusi matemaatilise analüüsi jaoks range aluse leidmiseks ja kõik on ebaõnnestunud. Lõpuks, 1821. aastal andis O. Cauchy (1789–1857) arvu mõistet kasutades range aluse kogu matemaatilisele analüüsile. Kuid hilisemad matemaatikud avastasid Cauchys loogilisi lünki. Soovitud ranguse saavutas lõpuks 1859. aastal K. Weierstrass (1815–1897).
Weierstrass pidas reaal- ja kompleksarvude omadusi alguses iseenesestmõistetavaks. Hiljem mõistis ta, nagu G. Cantor (1845–1918) ja R. Dedekind (1831–1916), vajadust ehitada üles irratsionaalsete arvude teooria. Nad andsid irratsionaalarvudele õige definitsiooni ja panid paika nende omadused, kuid pidasid ratsionaalarvude omadusi siiski iseenesestmõistetavaks. Lõpuks omandas reaal- ja kompleksarvude teooria loogiline struktuur oma täieliku kuju Dedekindi ja J. Peano (1858–1932) töödes. Arvsüsteemi aluste loomine võimaldas lahendada ka algebra põhjendamise ülesandeid.
Eukleidilise geomeetria sõnastuste ranguse suurendamise ülesanne oli suhteliselt lihtne ja taandus defineeritavate terminite loetlemisele, definitsioonide selgitamisele, puuduvate aksioomide sissetoomisele ja tõestuste lünkade täitmisele. Selle ülesande täitis 1899. aastal D. Gilbert (1862–1943). Peaaegu samal ajal pandi alus ka teistele geomeetriatele. Hilbert sõnastas formaalse aksiomaatika mõiste. Tema pakutud lähenemisviisi üheks tunnuseks on määratlemata terminite tõlgendamine: neid võib mõista kui mis tahes objekte, mis rahuldavad aksioome. Selle omaduse tagajärjeks oli kaasaegse matemaatika suurenev abstraktsus. Eukleidiline ja mitteeukleidiline geomeetria kirjeldab füüsilist ruumi. Kuid topoloogias, mis on geomeetria üldistus, võib määratlemata mõiste "punkt" olla vaba geomeetrilistest seostest. Topoloogi jaoks võib punkt olla funktsioon või numbrijada, aga ka kõik muu. Abstraktne ruum on selliste "punktide" komplekt ( Vaata ka TOPOLOOGIA).
Hilberti aksiomaatiline meetod kuulus peaaegu kõikidesse 20. sajandi matemaatika harudesse. Peagi sai aga selgeks, et sellel meetodil on teatud piirangud. Cantor püüdis 1880. aastatel süstemaatiliselt klassifitseerida lõpmatuid hulki (näiteks kõigi ratsionaalarvude hulk, reaalarvude hulk jne), neid võrdlevalt kvantifitseerides, omistades neile nn. piiriülesed arvud. Samal ajal avastas ta vastuolusid hulgateoorias. Seega 20. sajandi alguseks. matemaatikud pidid tegelema oma lahendamise probleemiga, aga ka teiste oma teaduse aluste probleemidega, nagu implitsiitne nn. valiku aksioomid. Ja ometi ei saa midagi võrrelda K. Gödeli (1906–1978) mittetäielikkuse teoreemi hävitava mõjuga. See teoreem väidab, et iga järjekindel formaalne süsteem, mis on piisavalt rikas, et sisaldada arvuteooriat, peab tingimata sisaldama otsustamatut propositsiooni, s.t. väide, mida selle raames ei saa tõestada ega ümber lükata. Praegu on üldtunnustatud seisukoht, et matemaatikas pole absoluutset tõestust. Arvamused selle kohta, mis tõendid on, erinevad. Enamik matemaatikuid kipub siiski arvama, et matemaatika aluste probleemid on filosoofilised. Tõepoolest, äsja avastatud loogiliselt rangete struktuuride tulemusena pole muutunud ükski teoreem; see näitab, et matemaatika ei põhine mitte loogikal, vaid kindlal intuitsioonil.
Kui enne 1600. aastat tuntud matemaatikat võib iseloomustada kui elementaarset, siis võrreldes hiljem looduga on see elementaarmatemaatika ääretult väike. Vanad valdkonnad laienesid ja tekkisid uued, nii puhtad kui ka rakenduslikud matemaatiliste teadmiste harud. Ilmub umbes 500 matemaatikaajakirja. Avaldatud tulemuste tohutu hulk ei võimalda isegi spetsialistil end kurssi viia kõigega, mis tema töövaldkonnas toimub, rääkimata sellest, et paljud tulemused on arusaadavad vaid kitsa profiiliga spetsialistile. Ükski matemaatik ei saa tänapäeval loota, et ta teab rohkem kui seda, mis toimub teaduse väga väikeses nurgas. Vaata ka artiklid teadlastest – matemaatikutest.
Kirjandus:
Van der Waerden B.L. Äratusteadus. Vana-Egiptuse, Babüloni ja Kreeka matemaatika. M., 1959
Juškevitš A.P. Matemaatika ajalugu keskajal. M., 1961
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Rajad ja labürindid. Esseed matemaatika ajaloost. M., 1986
Klein F. Loengud matemaatika arengust 19. sajandil. M., 1989
araabia bulgaaria hiina horvaadi tšehhi taani hollandi inglise eesti soome prantsuse saksa kreeka heebrea hindi ungari islandi indoneesia itaalia jaapani korea läti leedu malagassi norra pärsia poola portugali rumeenia vene serbia sloveeni hispaania rootsi tai türgi vietnami
Haridusprotsessis hõlmab analüüs:
Samas on valikuliselt antud funktsionaalanalüüsi elemente ja Lebesgue’i integraali teooriat ning eraldi kursustena õpetatakse TFKP-d, variatsioonide arvutamist ja diferentsiaalvõrrandite teooriat. Esitluse rangus järgib 19. sajandi lõpu mustreid ja kasutab eelkõige naiivset hulgateooriat.
Vene Föderatsiooni ülikoolides õpetatava analüüsikursuse programm vastab ligikaudu angloameerika kursuse “Calculus” programmile.
Matemaatilise analüüsi eelkäijad olid iidne ammendumise meetod ja jagamatute meetod. Kõiki kolme suunda, sealhulgas analüüsi, seob ühine algidee: lagunemine lõpmatuteks elementideks, mille olemus tundus aga idee autoritele üsna ebamäärane. Algebraline lähenemine ( lõpmatu väikearvutus) hakkab ilmuma filmides Wallis, James Gregory ja Barrow. Uue arvutuse kui süsteemi lõi täies mahus Newton, kes aga oma avastusi pikka aega ei avaldanud.
Diferentsiaalarvutuse ametlikuks sünnikuupäevaks võib pidada maikuud, mil Leibniz avaldas oma esimese artikli "Uus tõusude ja mõõnade meetod...". See artikkel kirjeldab kokkuvõtlikul ja ligipääsmatul kujul uue meetodi, mida nimetatakse diferentsiaalarvutuseks, põhimõtteid.
Neid määratlusi selgitatakse geomeetriliselt, samas kui joonisel fig. lõpmata väikseid juurdekasvu on kujutatud lõplikuna. Kaalutlus põhineb kahel nõudel (aksioomil). Esiteks:
Nõutakse, et kaks suurust, mis erinevad üksteisest ainult lõpmata väikese summa võrra, võib [avaldiste lihtsustamisel?] võtta ükskõikselt üks teise asemel.
Iga sellise sirge jätku nimetatakse kõvera puutujaks. Punkti läbivat puutujat uurides peab L'Hopital suurt tähtsust kvantiteedile
,kõvera käändepunktides äärmuslike väärtusteni jõudmine, samas kui seosele ei omistata erilist tähtsust.
Tähelepanuväärne on äärmuslike punktide leidmine. Kui läbimõõdu pideva suurenemise korral ordinaat kõigepealt suureneb ja seejärel väheneb, on diferentsiaal kõigepealt positiivne ja seejärel negatiivne.
Kuid ükski pidevalt kasvav või kahanev väärtus ei saa muutuda positiivsest negatiivseks, läbimata lõpmatust või nulli... Sellest järeldub, et suurima ja väikseima väärtuse erinevus peab olema võrdne nulli või lõpmatusega.
See sõnastus pole ilmselt veatu, kui meenutada esimest nõuet: olgu, ütleme, , siis esimese nõude alusel
;nulli juures on parem pool null ja vasak mitte. Ilmselt oleks pidanud ütlema, et selle saab esimese nõude kohaselt teisendada nii, et maksimumpunktis . . Näidetes on kõik iseenesestmõistetav ja ainult käändepunktide teoorias kirjutab L'Hopital, et see on maksimumpunktis võrdne nulliga, jagades .
Edasi, ainuüksi diferentsiaalide abil formuleeritakse äärmuslikud tingimused ja vaadeldakse suurt hulka keerulisi probleeme, mis on seotud peamiselt diferentsiaalgeomeetriaga tasapinnal. Raamatu lõpus ptk. 10, kirjeldab seda, mida praegu nimetatakse L'Hopitali reegliks, kuigi ebatavalisel kujul. Olgu kõvera ordinaat väljendatud murdena, mille lugeja ja nimetaja kaovad . Siis on kõvera punktil c ordinaat, mis võrdub lugeja diferentsiaali ja nimetaja diferentsiaali suhtega, mis on võetud .
L'Hôpitali plaani kohaselt moodustas tema kirjutatu Analüüsi esimene osa, samas kui teine pidi sisaldama integraalarvutust, st meetodit muutujate seose leidmiseks nende diferentsiaalide teadaoleva ühenduse kaudu. Selle esimese ettekande pidas Johann Bernoulli oma Matemaatilised loengud integraalmeetodist. Siin on toodud meetod enamiku elementaarintegraalide võtmiseks ja meetodid paljude esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.
Viidates uue meetodi praktilisele kasulikkusele ja lihtsusele, kirjutas Leibniz:
Seda, mida selle arvutuse tundja saab otse kolmes reas saada, olid teised õppinud mehed sunnitud otsima keerulisi ümbersõite järgides.
Järgmise poole sajandi jooksul toimunud muutused kajastuvad Euleri ulatuslikus traktaadis. Analüüsi esitluse avab kaheköiteline “Sissejuhatus”, mis sisaldab uurimusi elementaarfunktsioonide erinevate esituste kohta. Mõiste "funktsioon" esineb esmakordselt ainult Leibnizis, kuid Euler pani selle esikohale. Funktsiooni mõiste algne tõlgendus oli, et funktsioon on loendamise väljend (saksa. Rechnungsausdrϋck) või analüütiline väljendus.
Muutuva suuruse funktsioon on analüütiline avaldis, mis koosneb mingil viisil sellest muutuvast suurusest ja arvudest või konstantsetest suurustest.
Rõhutades, et "peamine erinevus funktsioonide vahel seisneb selles, kuidas need koosnevad muutujatest ja konstantidest", loetleb Euler toimingud, "mille kaudu saab suurusi kombineerida ja omavahel segada; need toimingud on: liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine, astendamine ja juurte eraldamine; See peaks hõlmama ka [algebraliste] võrrandite lahendamist. Lisaks nendele algebralistele operatsioonidele on ka palju teisi, transtsendentaalseid, näiteks eksponentsiaalseid, logaritmilisi ja lugematuid teisi, mis esitatakse integraalarvutuse abil. See tõlgendus võimaldas hõlpsasti käsitleda mitme väärtusega funktsioone ja ei nõudnud selgitust, millise välja jaoks funktsioon käsitleti: loendusavaldis defineeriti muutujate keeruliste väärtuste jaoks isegi siis, kui see polnud alloleva probleemi jaoks vajalik. kaalumist.
Operatsioonid avaldises olid lubatud ainult lõplike arvudega ja transtsendentaalne tungis lõpmatult suure arvu abil. Avaldistes kasutatakse seda arvu koos naturaalarvudega. Näiteks peetakse sellist eksponendi avaldist vastuvõetavaks
,
milles alles hilisemad autorid nägid ülimat üleminekut. Analüütiliste avaldistega tehti erinevaid teisendusi, mis võimaldasid Euleril leida elementaarfunktsioonide esitusi jadate, lõpmatute korrutite jne kujul. Euler teisendab loendamiseks mõeldud avaldisi nagu algebras, pööramata tähelepanu võimalusele arvutada funktsioonide väärtust. funktsioon punktis igaühe jaoks kirjutatud valemitest.
Erinevalt L'Hopitalist uurib Euler üksikasjalikult transtsendentaalseid funktsioone ja eelkõige nende kahte enim uuritud klassi – eksponentsiaalset ja trigonomeetrilist. Ta avastab, et kõiki elementaarfunktsioone saab väljendada aritmeetiliste ja kahe tehte abil – võttes logaritmi ja eksponendi.
Tõestus ise demonstreerib suurepäraselt lõpmata suure kasutamise tehnikat. Olles defineerinud siinuse ja koosinuse trigonomeetrilise ringi abil, tuletas Euler liitmisvalemitest järgmise:
Eeldusel ja , ta saab
,kõrgema järgu lõpmata väikeste koguste kõrvaleheitmine. Seda ja sarnast väljendit kasutades sai Euler oma kuulsa valemi
.Olles näidanud erinevaid avaldisi funktsioonide jaoks, mida nüüd nimetatakse elementaarseteks, jätkab Euler käsi vaba liikumisega joonistatud tasapinna kõverate käsitlemist. Tema arvates ei ole võimalik leida igale sellisele kõverale ühtset analüütilist väljendit (vt ka String Dispute). 19. sajandil peeti seda väidet Casorati õhutusel ekslikuks: Weierstrassi teoreemi kohaselt saab iga pidevat kõverat tänapäevases tähenduses ligikaudselt kirjeldada polünoomidega. Tegelikult Eulerit see vaevalt veenis, sest tal oli siiski vaja sümbolit kasutades lõik piirini ümber kirjutada.
Euler alustab oma diferentsiaalarvutuse esitlust lõplike erinevuste teooriaga, millele järgneb kolmandas peatükis filosoofiline selgitus, et "lõpmata väike suurus on täpselt null", mis kõige enam Euleri kaasaegsetele ei sobinud. Seejärel moodustatakse diferentsiaalid lõplikest erinevustest lõpmatu väikese sammuga ja Newtoni interpolatsioonivalemist - Taylori valemist. See meetod ulatub sisuliselt tagasi Taylori (1715) loomingusse. Sel juhul on Euleril stabiilne seos , mida aga käsitletakse kahe lõpmatu väikese suhtena. Viimased peatükid on pühendatud ligikaudsele arvutustele seeriate abil.
Kolmeköitelises integraaliarvutuses tõlgendab ja tutvustab Euler integraali mõistet järgmiselt:
Funktsiooni, mille diferentsiaali nimetatakse selle integraaliks ja mida tähistatakse ette asetatud märgiga.
Üldiselt on see osa Euleri traktaadist pühendatud diferentsiaalvõrrandite integreerimise üldisemale, kaasaegsest vaatenurgast lähtuvale probleemile. Samal ajal leiab Euler hulga integraale ja diferentsiaalvõrrandeid, mis viivad uute funktsioonideni, näiteks -funktsioonid, elliptilised funktsioonid jne. Nende mitteelementaarsuse kohta andis Jacobi 1830. aastatel range tõestuse elliptiliste funktsioonide jaoks. ja Liouville'i poolt (vt elementaarfunktsioonid).
Järgmine suurem töö, mis analüüsikontseptsiooni väljatöötamisel olulist rolli mängis, oli Analüütiliste funktsioonide teooria Lagrange’i ja Lacroix’ ulatuslik ümberjutustamine Lagrange’i loomingust mõnevõrra eklektilises võtmes.
Soovides lõpmatust väikesest üldse lahti saada, muutis Lagrange tuletisinstrumentide ja Taylori seeria vahelise seose ümber. Analüütilise funktsiooni all mõistis Lagrange suvalist funktsiooni, mida uuriti analüütiliste meetoditega. Ta nimetas funktsiooni enda nimeks , andes graafilise võimaluse sõltuvuse kirjutamiseks – varem elas Euler ainult muutujatega. Analüüsimeetodite rakendamiseks on Lagrange'i sõnul vaja funktsiooni laiendada jadaks
,mille koefitsiendid on uued funktsioonid. Jääb üle nimetada seda tuletiseks (diferentsiaalkoefitsient) ja tähistada kui . Seega tutvustatakse tuletise mõistet traktaadi teisel leheküljel ja ilma infinitesimaalide abita. Tuleb veel märkida, et
,seetõttu on koefitsient tuletise tuletis kaks korda suurem, st
jne. Sellist lähenemist tuletise mõiste tõlgendamisele kasutatakse tänapäevases algebras ja see oli aluseks Weierstrassi analüütiliste funktsioonide teooria loomisel.
Lagrange kasutas selliseid seeriaid nagu formaalsed ja sai mitmeid tähelepanuväärseid teoreeme. Eelkõige tõestas ta esimest korda ja üsna rangelt algülesande lahendatavust tavaliste diferentsiaalvõrrandite jaoks formaalsetes astmeridades.
Küsimuse Taylori seeria osaliste summade abil saadud ligikaudsete summade täpsuse hindamise kohta esitas kõigepealt Lagrange: lõpuks Analüütiliste funktsioonide teooriad ta tuletas selle, mida praegu nimetatakse Taylori valemiks, ülejäänud terminiga Lagrange'i kujul. Erinevalt kaasaegsetest autoritest ei näinud Lagrange siiski vajadust kasutada seda tulemust Taylori seeria lähenemise õigustamiseks.
Küsimus, kas analüüsis kasutatavaid funktsioone saab tõesti laiendada astmeridadeks, sai hiljem aruteluobjektiks. Muidugi teadis Lagrange, et mõnes punktis ei pruugi elementaarfunktsioone astmeridadeks laiendada, kuid nendes punktides ei ole need üheski mõttes eristatavad. Cauchy omas Algebraline analüüs tõi funktsiooni vastunäitena
pikendatakse nulliga nulliga. See funktsioon on kõikjal reaalteljel sujuv ja nullis on sellel null Maclaurini seeria, mis seetõttu ei ühtlustu väärtusega . Selle näite vastu väitis Poisson, et Lagrange defineeris funktsiooni ühe analüütilise avaldisena, samas kui Cauchy näites on funktsioon defineeritud erinevalt nulli ja . Alles 19. sajandi lõpus tõestas Pringsheim, et on olemas lõpmatult diferentseeruv funktsioon, mille annab üks avaldis ja mille puhul Maclaurini seeria lahkneb. Sellise funktsiooni näide on avaldis
.
19. sajandi viimasel kolmandikul aritmetiseeris Weierstrass analüüsi, pidades geomeetrilist põhjendust ebapiisavaks, ja pakkus välja klassikalise piiri definitsiooni ε-δ keele kaudu. Ta lõi ka esimese range teooria reaalarvude hulga kohta. Samal ajal viisid katsed parandada Riemanni integreeritavuse teoreemi reaalsete funktsioonide katkendlikkuse klassifikatsiooni loomiseni. Avastati ka “patoloogilisi” näiteid (pidevad funktsioonid, mis ei ole kuskil eristatavad, ruumitäitvad kõverad). Sellega seoses töötas Jordan välja mõõtmisteooria ja Cantor hulgateooria ning 20. sajandi alguses vormistati nende abiga matemaatiline analüüs. Teine oluline 20. sajandi areng oli mittestandardse analüüsi kui alternatiivse lähenemisviisi väljatöötamine analüüsi põhjendamisel.
Paljude aastate jooksul on Venemaal populaarsed olnud järgmised õpikud:
Mõnel ülikoolil on oma analüüsijuhendid:
Õpikud:
Suurenenud raskusastmega probleemid:
Kursuse üldeesmärk on avada matemaatika üldharidust omandavatele õpilastele matemaatika mõningaid ajaloolisi aspekte ja mingil määral näidata matemaatilise loovuse olemust. Kokkuvõtlikult vaadeldakse matemaatika ideede ja teooriate arengu üldist panoraami alates Babüloonia ja Egiptuse perioodist kuni 20. sajandi alguseni. Kursus sisaldab rubriiki “Matemaatika ja arvutiteadus”, mis annab ülevaate arvutitehnoloogia ajaloo verstapostidest, killud arvutite arenguloost Venemaal ning killud arvutiteaduse ajaloost. Õppematerjalidena pakutakse küllaltki suurt loetelu kirjandusest ja teatmematerjali iseseisvaks tööks ja referaatide koostamiseks.
Matemaatilise analüüsi ajalugu
18. sajandit nimetatakse sageli teadusrevolutsiooni sajandiks, mis määras ühiskonna arengu kuni tänapäevani. See revolutsioon põhines tähelepanuväärsetel matemaatilistel avastustel, mis tehti 17. sajandil ja millele tugineti järgmisel sajandil. „Materiaalses maailmas pole ainsatki objekti ega ühtki mõtet vaimuvallas, mida 18. sajandi teadusrevolutsiooni mõju ei mõjutaks. Mitte ükski kaasaegse tsivilisatsiooni element ei saaks eksisteerida ilma mehaanika põhimõteteta, ilma analüütilise geomeetria ja diferentsiaalarvutuseta. Pole ühtegi inimtegevuse haru, mida poleks tugevalt mõjutanud Galileo, Descartes’i, Newtoni ja Leibnizi geenius. Need prantsuse matemaatiku E. Boreli (1871 - 1956) sõnad, mille ta ütles 1914. aastal, on meie ajal aktuaalsed. Matemaatilise analüüsi arendamisse aitasid kaasa paljud suured teadlased: I. Kepler (1571 -1630), R. Descartes (1596 -1650), P. Fermat (1601 -1665), B. Pascal (1623 -1662), H. Huygens (1629 -1695), I. Barrow (1630 -1677), vennad J. Bernoulli (1654 -1705) ja I. Bernoulli (1667 -1748) jt.
Nende kuulsuste uuendused meid ümbritseva maailma mõistmisel ja kirjeldamisel:
liikumine, muutumine ja muutlikkus (elu on sisenenud oma dünaamika ja arenguga);
statistilised võtted ja ühekordsed fotod tema seisunditest.
17. ja 17. sajandi matemaatiliste avastuste määratlemisel kasutati selliseid mõisteid nagu muutuja ja funktsioon, koordinaadid, graafik, vektor, tuletis, integraal, jada ja diferentsiaalvõrrand.
Pascal, Descartes ja Leibniz polnud niivõrd matemaatikud, kuivõrd filosoofid. Nende matemaatiliste avastuste universaalne inimlik ja filosoofiline tähendus on praegu põhiväärtus ja üldkultuuri vajalik element.
Nii tõsist filosoofiat kui ka tõsist matemaatikat ei saa aru ilma vastavat keelt valdamata. Newton esitab kirjas Leibnizile diferentsiaalvõrrandite lahendamise kohta oma meetodi järgmiselt: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu.
L. Euler on ajaloo kõige produktiivsem matemaatik, rohkem kui 800 matemaatilise analüüsi, diferentsiaalgeomeetria, arvuteooria, ligikaudsete arvutuste, taevamehaanika, matemaatilise füüsika, optika, ballistika, laevaehituse, muusikateooria jne töö autor. Paljud tema töödel oli suur mõju teaduse arengule.
Euler veetis peaaegu poole oma elust Venemaal, kus ta aitas energiliselt luua Venemaa teadust. 1726. aastal kutsuti ta tööle Peterburi. Aastatel 1731-1741 ja aastast 1766 oli ta Peterburi Teaduste Akadeemia akadeemik (1741-1766 töötas Berliinis, jäädes Peterburi Akadeemia auliikmeks). Ta oskas hästi vene keelt ja avaldas osa oma teoseid (eriti õpikuid) vene keeles. Esimesed vene akadeemikud matemaatikas (S.K. Kotelnikov) ja astronoomias (S.Ya. Rumovsky) olid Euleri õpilased. Mõned tema järeltulijad elavad siiani Venemaal.
L. Euler andis väga suure panuse matemaatilise analüüsi arengusse.
Essee eesmärk on uurida matemaatilise analüüsi arengulugu 18. sajandil.
Matemaatiline analüüs on matemaatika harude kogum, mis on pühendatud funktsioonide ja nende üldistuste uurimisele diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetoditega. Sellise üldise tõlgenduse korral peaks analüüs hõlmama ka funktsionaalset analüüsi koos Lebesgue'i integraali teooriaga, kompleksanalüüs (TFCA), mis uurib komplekstasandil defineeritud funktsioone, mittestandardne analüüs, mis uurib lõpmata väikseid ja lõpmata suuri arve, nagu samuti variatsioonide arvutus.
Haridusprotsessis hõlmab analüüs
· diferentsiaal- ja integraalarvutus
· jadateooria (funktsionaalne, võimsus ja Fourier) ja mitmemõõtmeliste integraalide teooria
· vektoranalüüs.
Samas on valikuliselt antud funktsionaalanalüüsi elemente ja Lebesgue’i integraali teooriat ning eraldi kursustena õpetatakse TFKP-d, variatsioonide arvutamist ja diferentsiaalvõrrandite teooriat. Esitluse rangus järgib 19. sajandi lõpu mustreid ja kasutab eelkõige naiivset hulgateooriat.
Matemaatilise analüüsi eelkäijad olid iidne ammendumise meetod ja jagamatute meetod. Kõiki kolme suunda, sealhulgas analüüsi, seob ühine algidee: lagunemine lõpmatuteks elementideks, mille olemus oli aga idee autorite jaoks üsna ebamäärane. Algebraline lähenemine (lõpmatu väikearvutus) hakkab ilmnema Wallise, James Gregory ja Barrow'ga. Uue arvutuse kui süsteemi lõi täielikult Newton, kes aga oma avastusi pikka aega ei avaldanud. Newton I. Matemaatilised tööd. M, 1937.
Diferentsiaalarvutuse ametlikuks sünnikuupäevaks võib pidada 1684. aasta maikuud, mil Leibniz avaldas esimese artikli “Uus meetod maksimumide ja miinimumide järgi...” Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., V, lk. 220--226. Rus. Tõlk.: Uspekhi Mat. Teadused, 3. kd, v. 1 (23), lk. 166--173.. See artikkel esitab kokkuvõtlikul ja ligipääsmatul kujul uue meetodi, mida nimetatakse diferentsiaalarvutuseks, põhimõtted.
17. sajandi lõpus tekkis Leibnizi ümber ring, mille silmapaistvamad esindajad olid vennad Bernoullid Jacob ja Johann ning L'Hopital. 1696. aastal kirjutas L'Hopital I. Bernoulli loenguid kasutades esimese L'Hopitali õpiku. Infinitesimaalide analüüs. M.-L.: GTTI, 1935., mis tõi välja uue meetodi, mida rakendatakse tasapinnakõverate teoorias. Ta nimetas seda "lõpmatu väikeseks analüüsiks", andes sellega ühe nime uuele matemaatika harule. Esitlus põhineb muutuvate suuruste kontseptsioonil, mille vahel on mingi seos, mille tõttu ühe muutus toob kaasa teise muutumise. L'Hôpitalis on see seos antud tasapinnakõverate abil: kui M on tasapinna kõvera liikuv punkt, siis selle Descartes'i koordinaadid x ja y, mida nimetatakse kõvera läbimõõduks ja ordinaadiks, on muutujad ning x-i muutus toob kaasa y muutus. Funktsiooni mõiste puudub: soovides öelda, et muutujate sõltuvus on antud, ütleb L'Hopital, et "kõvera olemus on teada". Diferentsiaali mõiste tutvustatakse järgmiselt:
“Lõpmatut väikest osa, mille võrra muutuv suurus pidevalt suureneb või kahaneb, nimetatakse selle diferentsiaaliks... Muutuva suuruse diferentsiaali tähistamiseks, mida väljendatakse ühe tähega, kasutame märki või sümbolit d. Just seal. 1. peatüki definitsioon 2 http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8 %D1 %87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - tsiteeri_märkus -4 #cite_note-4 ... Lõpmatult väikest osa, mille võrra muutuja väärtuse diferentsiaal pidevalt suureneb või väheneb, nimetatakse ... teiseks diferentsiaaliks. Just seal. 4. peatüki määratlus 1.
Neid määratlusi selgitatakse geomeetriliselt, kusjuures lõpmata väikesed sammud on joonisel kujutatud lõplikena. Kaalutlus põhineb kahel nõudel (aksioomil). Esiteks:
Nõutakse, et kaks suurust, mis erinevad üksteisest vaid lõpmata väikese koguse võrra, võib võtta ükskõikselt teise asemel. L'Hopital. Infinitesimaalide analüüs. M.-L.: GTTI, 1935. 1. peatükk, nõue 1.
dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx
ja nii edasi. diferentseerimisreeglid. Teine nõue ütleb:
Nõutav on, et kõverat joont saab käsitleda lõpmatu arvu lõpmata väikeste sirgjoonte kogumina.
Iga sellise sirge jätku nimetatakse kõvera puutujaks. Just seal. 2. peatükk. def. Punkti M = (x,y) läbiva puutuja uurimisel omistab L'Hopital suurusele suurt tähtsust
kõvera pöördepunktides äärmuslike väärtusteni jõudmine, kuid dy ja dx suhtele ei omistata erilist tähtsust.
Tähelepanuväärne on äärmuslike punktide leidmine. Kui läbimõõdu x pideva suurenemise korral ordinaat y esmalt suureneb ja seejärel väheneb, on diferentsiaal dy esmalt positiivne võrreldes dx-ga ja seejärel negatiivne.
Kuid ükski pidevalt kasvav või kahanev väärtus ei saa muutuda positiivsest negatiivseks, läbimata lõpmatust või nulli... Sellest järeldub, et suurima ja väikseima väärtuse erinevus peab olema võrdne nulli või lõpmatusega.
See sõnastus pole ilmselt veatu, kui meenutame esimest nõuet: olgu näiteks y = x2, siis esimese nõude alusel
2xdx + dx2 = 2xdx;
nulli juures on parem pool null ja vasak mitte. Ilmselt oleks tulnud öelda, et dy saab esimese nõude kohaselt teisendada nii, et maksimumpunktis dy = 0. Näidetes on kõik iseenesestmõistetav ja ainult käändepunktide teoorias kirjutab L'Hopital, et dy on maksimumpunktis võrdne nulliga, jagatuna dx L'Hopitaliga. Infinitesimaalide analüüs. M.-L.: GTTI, 1935 § 46.
Edasi, ainuüksi diferentsiaalide abil formuleeritakse äärmuslikud tingimused ja vaadeldakse suurt hulka keerulisi probleeme, mis on seotud peamiselt diferentsiaalgeomeetriaga tasapinnal. Raamatu lõpus ptk. 10, kirjeldab seda, mida praegu nimetatakse L'Hopitali reegliks, kuigi ebatavalisel kujul. Olgu kõvera ordinaat y väljendatud murdena, mille lugeja ja nimetaja kaovad x = a. Siis on kõvera punktil x = a ordinaat y, mis võrdub lugeja diferentsiaali ja nimetaja diferentsiaali suhtega, mis on võetud x = a.
L'Hopitali plaani kohaselt moodustas tema kirjutatu "Analüüsi" esimese osa, teine aga pidi sisaldama integraalarvutust, st meetodit muutujatevahelise seose leidmiseks nende diferentsiaalide teadaoleva seose põhjal. Selle esimese ettekande pidas Johann Bernoulli raamatus "Matemaatika loengud integraalimeetodist" Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Siin on toodud meetod enamiku elementaarintegraalide võtmiseks ja meetodid paljude esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.
