Przypomnijmy z materiału z poprzedniej lekcji, że trójkąt nazywamy trójkątem prostokątnym, jeśli przynajmniej jeden z jego kątów jest kątem prostym (tj. równym 90°).
Rozważmy pierwszy znak Równość trójkątów: jeśli dwie nogi jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe dwóm nogom innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są przystające.
Zilustrujmy ten przypadek:
Ryż. 1. Równe trójkąty prostokątne
Dowód:
Przypomnijmy sobie pierwszą równość dowolnych trójkątów.
Ryż. 2
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta oraz odpowiadające im dwa boki i kąt między nimi drugiego trójkąta są równe, to te trójkąty są przystające. Wskazuje na to pierwszy znak równości trójkątów, czyli:
Podobny dowód następuje dla trójkątów prostokątnych:
.
Trójkąty są równe według pierwszego kryterium.
Rozważmy drugi znak równości trójkątów prostokątnych. Jeżeli noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przyległemu kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są przystające.
Ryż. 3
Dowód:
Ryż. 4
Skorzystajmy z drugiego kryterium równości trójkątów:
Podobny dowód dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąty są równe według drugiego kryterium.
Rozważmy trzecie kryterium równości trójkątów prostokątnych: jeśli przeciwprostokątna i kąt przyległy jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i kątowi sąsiedniemu innego trójkąta, wówczas takie trójkąty są przystające.
Dowód:
Ryż. 5
Przypomnijmy drugie kryterium równości trójkątów:
Ryż. 6
Te trójkąty są równe, jeśli:
Ponieważ wiadomo, że jedna para kątów ostrych w trójkątach prostokątnych jest równa (∠A = ∠A 1), to równość drugiej pary kątów (∠B = ∠B 1) udowadnia się w następujący sposób:
Ponieważ AB = A 1 B 1 (według warunku), ∠B = ∠B 1, ∠A = ∠A 1. Dlatego trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są równe zgodnie z drugim kryterium.
Rozważmy następujące kryterium równości trójkątów:
Jeśli noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta są odpowiednio równe nodze i przeciwprostokątnej innego trójkąta, takie trójkąty prostokątne są przystające.
Ryż. 7
Dowód:
Połączmy trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 nakładając się na siebie. Załóżmy, że wierzchołki A i A 1 oraz C i C 1 nakładają się na siebie, ale wierzchołek B i punkt B 1 nie pokrywają się. Dokładnie tak jest w przypadku pokazanym na poniższym rysunku:
Ryż. 8
W w tym przypadku możemy zauważyć trójkąt równoramienny ABB 1 (z definicji - na mocy warunku AB = AB 1). Zatem zgodnie z własnością ∠AB 1 B = ∠ABV 1. Spójrzmy na definicję kąta zewnętrznego. Narożnik zewnętrzny trójkąta to kąt przylegający do dowolnego kąta trójkąta. Jego miara stopnia jest równa sumie dwóch kątów trójkąta, które do niego nie przylegają. Rysunek pokazuje ten stosunek:
Ryż. 9
Kąt 5 to zewnętrzny narożnik trójkąta i jest równa ∠5 = ∠1 + ∠2. Wynika z tego, że kąt zewnętrzny jest większy od każdego z kątów do niego niesąsiadujących.
Zatem ∠ABB 1 jest kątem zewnętrznym trójkąta ABC i równa sumie∠ABV 1 = ∠CAB + ∠ACV = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Zatem ∠AB 1 V (tj kąt ostry w trójkącie prostokątnym ABC 1) nie może być równy kątowi ∠ABB 1, ponieważ zgodnie z tym, co zostało udowodnione, kąt ten jest rozwarty.
Oznacza to, że nasze założenie dotyczące położenia punktów B i B 1 okazało się błędne, zatem punkty te pokrywają się. Oznacza to, że trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 nakładają się na siebie. Zatem są one równe (z definicji).
Zatem funkcje te nie są wprowadzane na próżno, ponieważ można je wykorzystać do rozwiązania niektórych problemów.
1. nr 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., pod red. Sadovnichy V.A. Geometria 7. M.: Edukacja. 2010
2. Na podstawie danych pokazanych na rysunku wskaż równe trójkąty, jeśli istnieją.
3. Na podstawie danych wskazanych na rysunku wskaż równe trójkąty, jeśli występują. Pamiętaj, że AC = AF.
4. W trójkącie prostokątnym mediana i wysokość są rysowane do przeciwprostokątnej. Kąt między nimi wynosi 20°. Określ wielkość każdego z kątów ostrych tego trójkąta prostokątnego.
Rozważmy trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej i trzy odcinki łączące te punkty (ryc. 1).
Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona tymi odcinkami, odcinki nazywane są bokami trójkąta, a końce odcinków (trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej) to wierzchołki trójkąta.
Tabela 1 zawiera listę wszystkich możliwe typy trójkąty w zależności od wielkości ich kątów .
Tabela 1 - Rodzaje trójkątów w zależności od wielkości kątów
| Rysunek | Typ trójkąta | Definicja |
 | Ostry trójkąt | Trójkąt z wszystkie kąty są ostre , zwany ostrym kątem |
 | Prawy trójkąt | Trójkąt z jeden z kątów jest prosty , zwany prostokątnym |
 | Rozwarty trójkąt | Trójkąt z jeden z kątów jest rozwarty , zwany tępym |
| Ostry trójkąt |
Definicja: Trójkąt z wszystkie kąty są ostre , zwany ostrym kątem |
| Prawy trójkąt |
Definicja: Trójkąt z jeden z kątów jest prosty , zwany prostokątnym |
| Rozwarty trójkąt |
Definicja: Trójkąt z jeden z kątów jest rozwarty , zwany tępym |
W zależności od długości boków są dwa ważne typy trójkąty.
Tabela 2 - Trójkąty równoramienne i równoboczne
| Rysunek | Typ trójkąta | Definicja |
 | Trójkąt równoramienny | strony, a trzeci bok nazywa się podstawą trójkąta równoramiennego |
 | równoboczny (poprawnie) trójkąt | Trójkąt, w którym wszystkie trzy boki są równe, nazywa się trójkątem równobocznym lub foremnym. |
| Trójkąt równoramienny |
Definicja: Trójkąt, którego dwa boki są równe, nazywa się trójkątem równoramiennym. W tym przypadku dwa równe strony zwany strony, a trzeci bok nazywany jest podstawą trójkąta równoramiennego |
| Trójkąt równoboczny (prawy). |
Definicja: Trójkąt, w którym wszystkie trzy boki są równe, nazywa się trójkątem równobocznym lub foremnym. |
Trójkąty nazywane są przystającymi, jeśli są można łączyć poprzez nakładkę .
Tabela 3 pokazuje znaki równości trójkątów.
Tabela 3 – Znaki równości trójkątów
| Rysunek | Nazwa funkcji | Sformułowanie atrybutu |
 | Przez dwie strony i kąt między nimi | |
 | Test równoważności trójkątów Przez bok i dwa sąsiednie kąty | |
 | Test równoważności trójkątów Przez trzy imprezy |
| Test równoważności trójkątów po obu stronach i kąt między nimi |
|
| Sformułowanie atrybutu. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta i kąt między nimi są odpowiednio równe dwóm bokom innego trójkąta i kątowi między nimi, to takie trójkąty są przystające |
| Test równoważności trójkątów wzdłuż boku i dwóch sąsiadujących rogów |
|
| Sformułowanie atrybutu. Jeżeli bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające |
| Test równoważności trójkątów z trzech stron |
|
| Sformułowanie atrybutu. Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające |
Następujące nazwy są powszechnie używane dla boków trójkątów prostokątnych.
Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciwko prosty kąt(ryc. 2), pozostałe dwie strony nazywane są nogami.
Tabela 4 – Znaki równości trójkątów prostokątnych
| Rysunek | Nazwa funkcji | Sformułowanie atrybutu |
 | Przez dwie strony | Jeżeli dwie nogi jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe dwóm nogom innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające |
 | Test równości dla trójkątów prostokątnych Przez noga i przyległy kąt ostry | Jeżeli noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przyległemu kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające |
 | Test równości dla trójkątów prostokątnych Przez nogę i przeciwny kąt ostry | Jeżeli noga i przeciwny kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przeciwnemu kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające |
 | Test równości dla trójkątów prostokątnych Przez przeciwprostokątna i kąt ostry | Jeżeli przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu drugiego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające |
 | Test równości dla trójkątów prostokątnych Przez noga i przeciwprostokątna | Jeżeli noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przeciwprostokątnej innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające |
| Znak równości trójkątów prostokątnych po obu stronach |
Aby ustalić równość trójkątów prostokątnych, wystarczy wiedzieć, że dwa elementy jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm elementom drugiego trójkąta (z wyłączeniem kąta prostego). Nie dotyczy to oczywiście równości dwóch kątów jednego trójkąta z dwoma kątami drugiego trójkąta.
Ponieważ w trójkącie prostokątnym kąt między dwiema nogami jest prosty, a dowolne dwa kąty proste są równe, to z pierwszego znaku równości trójkątów wynika:
Jeśli nogi jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nogom drugiego, wówczas takie trójkąty są przystające (ryc. 5).
Jeżeli noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i kątowi przyległemu innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające (ryc. 6).
Rozważmy jeszcze dwa znaki równości trójkątów prostokątnych.
TWIERDZENIE . Jeżeli przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu drugiego trójkąta, to takie trójkąty są przystające (ryc. 7).
DOWÓD. Z własności 1є § wynika, że w takich trójkątach pozostałe dwa kąty ostre są również równe, dlatego trójkąty są równe zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów, to znaczy wzdłuż boku (przeciwprostokątna) i dwóch sąsiednich kątów.
co było do okazania
TWIERDZENIE . Jeżeli przeciwprostokątna i noga jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i nodze innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.
DOWÓD. Rozważmy trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 , których kąty C i C 1 są kątami prostymi, AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 (ryc. 8).
Ponieważ< C = < C 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина C совместится с вершиной C 1 , а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C 1 A 1 и C 1 B 1 , поскольку CB = C 1 B 1 , то вершина B совместится с вершиной B 1 . Но тогда вершины A и A 1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A 2 луча C 1 A 1 , то получим равнобедренный треугольник A 1 B 1 A 2 , в котором углы при основании A 1 A 2 не равны (на рисунке < A 2 - острый, а < A 1 - тупой как смежный с острым углом B 1 A 1 C 1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A 1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A 1 B 1 C 1 , то есть они равны.
co było do okazania
Jego znaczenie polega na tym, że większość twierdzeń geometrii można z niego lub za jego pomocą wyprowadzić. Jedno z twierdzeń pozwala sprawdzić, że jeśli poprowadzić do niego linie prostopadłe i ukośne z punktu znajdującego się poza linią, to: a) linie ukośne są równe, jeśli ich rzuty są równe; b) ten, który jest nachylony, jest większy, co ma większy występ.
Twierdzenie Pitagorasa było pierwszym stwierdzeniem, które powiązało długości boków trójkątów. Następnie nauczyliśmy się obliczać długości boków i kątów trójkątów ostrych i rozwartych. Powstała cała nauka o trygonometrii („trigon” oznacza po grecku „trójkąt”). Nauka ta znalazła zastosowanie w geodezji. Ale jeszcze wcześniej za jego pomocą nauczyli się mierzyć wyimaginowane trójkąty na niebie, których wierzchołkami były gwiazdy. Obecnie trygonometrię wykorzystuje się nawet do pomiaru odległości pomiędzy statkami kosmicznymi.
Korzystając z właściwości pól wielokątów, ustalimy teraz niezwykłą zależność pomiędzy przeciwprostokątną a ramionami trójkąta prostokątnego. Twierdzenie, które udowodnimy, nazywa się twierdzeniem Pitagorasa i jest najważniejszym twierdzeniem w geometrii.
Jeżeli dany jest nam trójkąt,
I pod kątem prostym,
To jest kwadrat przeciwprostokątnej
Zawsze możemy łatwo znaleźć:
Prostujemy nogi,
Znajdujemy sumę potęg
I to w tak prosty sposób
Dojdziemy do wyniku.
TWIERDZENIE. W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.
DOWÓD. Rozważmy trójkąt prostokątny o nogach a, b i c (ryc. 9 a).
Udowodnijmy, że do 2 = a 2 + b 2 . Zbudujmy trójkąt w kwadrat o boku a+b, jak pokazano na rysunku (ryc. 9 b).
Pole takiego kwadratu o boku a + b jest równe (a + b) 2. Z drugiej strony kwadrat ten składa się z czterech równych trójkątów prostokątnych o polu ab i kwadratu o boku c, więc
Zatem (a + b) 2 =2ab + do 2, skąd c 2 = a 2 + b 2.
co było do okazania
WNIOSEK 1 . W trójkącie prostokątnym dowolna z nóg jest krótsza od przeciwprostokątnej.
DOWÓD. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa AB 2 = AC 2 + BC 2 . Ponieważ BC 2 > 0, następnie AC 2<АВ, То есть АС<АВ.
WNIOSEK 2. Dla dowolnego kąta ostrego b cosb<1.
DOWÓD. Z definicji cosinus cosб = . Ale w wniosku 1 udowodniono, że AC<АВ, Oznacza to, że ułamek jest mniejszy niż 1.
Trójkąty prostokątne, których boki są wyrażone w liczbach całkowitych, nazywane są trójkątami pitagorejskimi.
Można udowodnić, że ramiona a, b i przeciwprostokątna c takich trójkątów wyrażają się wzorami a=2kmn; b=k(m2-n2); c=k(m 2 + n 2), gdzie k, m i n są liczbami naturalnymi takimi, że m>n. Trójkąty o bokach długości 3, 4, 5 nazywane są trójkątami egipskimi, ponieważ były znane starożytnym Egipcjanom.
Odwrotność twierdzenia Pitagorasa.
Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to trójkąt jest prostokątny (znak trójkąta prostokątnego).
DOWÓD.
Wpuśćmy trójkąt ABC AB 2 = AC 2 + BC 2. Udowodnijmy, że kąt C jest kątem prostym. Rozważmy trójkąt prostokątny A 1 B 1 C 1 z kątem prostym C 1, w którym A 1 C 1 = AC i B 1 C 1 = BC. Według twierdzenia Pitagorasa A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2, a zatem A 1 B 1 2 = AC 2 + BC 2. Ale AC 2 + BC 2 = AB 2 zgodnie z warunkami twierdzenia. Dlatego A 1 B 1 2 = AB 2, skąd A 1 B 1 = AB. Trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są zatem równe z trzech stron< C = < C 1 , то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.
co było do okazania
Przypomnijmy z materiału z poprzedniej lekcji, że trójkąt nazywamy trójkątem prostokątnym, jeśli przynajmniej jeden z jego kątów jest kątem prostym (tj. równym 90°).
Rozważmy pierwszy znak Równość trójkątów: jeśli dwie nogi jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe dwóm nogom innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są przystające.
Zilustrujmy ten przypadek:
Ryż. 1. Równe trójkąty prostokątne
Dowód:
Przypomnijmy sobie pierwszą równość dowolnych trójkątów.
Ryż. 2
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta oraz odpowiadające im dwa boki i kąt między nimi drugiego trójkąta są równe, to te trójkąty są przystające. Wskazuje na to pierwszy znak równości trójkątów, czyli:
Podobny dowód następuje dla trójkątów prostokątnych:
.
Trójkąty są równe według pierwszego kryterium.
Rozważmy drugi znak równości trójkątów prostokątnych. Jeżeli noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przyległemu kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty są przystające.
Ryż. 3
Dowód:
Ryż. 4
Skorzystajmy z drugiego kryterium równości trójkątów:
Podobny dowód dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąty są równe według drugiego kryterium.
Rozważmy trzecie kryterium równości trójkątów prostokątnych: jeśli przeciwprostokątna i kąt przyległy jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i kątowi sąsiedniemu innego trójkąta, wówczas takie trójkąty są przystające.
Dowód:
Ryż. 5
Przypomnijmy drugie kryterium równości trójkątów:
Ryż. 6
Te trójkąty są równe, jeśli:
Ponieważ wiadomo, że jedna para kątów ostrych w trójkątach prostokątnych jest równa (∠A = ∠A 1), to równość drugiej pary kątów (∠B = ∠B 1) udowadnia się w następujący sposób:
Ponieważ AB = A 1 B 1 (według warunku), ∠B = ∠B 1, ∠A = ∠A 1. Dlatego trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są równe zgodnie z drugim kryterium.
Rozważmy następujące kryterium równości trójkątów:
Jeśli noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta są odpowiednio równe nodze i przeciwprostokątnej innego trójkąta, takie trójkąty prostokątne są przystające.
Ryż. 7
Dowód:
Połączmy trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 nakładając się na siebie. Załóżmy, że wierzchołki A i A 1 oraz C i C 1 nakładają się na siebie, ale wierzchołek B i punkt B 1 nie pokrywają się. Dokładnie tak jest w przypadku pokazanym na poniższym rysunku:
Ryż. 8
W tym przypadku możemy zauważyć trójkąt równoramienny ABB 1 (z definicji - na mocy warunku AB = AB 1). Zatem zgodnie z własnością ∠AB 1 B = ∠ABV 1. Spójrzmy na definicję kąta zewnętrznego. Narożnik zewnętrzny trójkąta to kąt przylegający do dowolnego kąta trójkąta. Jego miara stopnia jest równa sumie dwóch kątów trójkąta, które do niego nie przylegają. Rysunek pokazuje ten stosunek:
Ryż. 9
Kąt 5 jest kątem zewnętrznym trójkąta i jest równy ∠5 = ∠1 + ∠2. Wynika z tego, że kąt zewnętrzny jest większy od każdego z kątów do niego niesąsiadujących.
Zatem ∠ABB 1 jest kątem zewnętrznym trójkąta ABC i jest równy sumie ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90 o. Zatem ∠AB 1 B (który jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym ABC 1) nie może być równy kątowi ∠ABB 1, ponieważ zgodnie z tym, co zostało udowodnione, kąt ten jest rozwarty.
Oznacza to, że nasze założenie dotyczące położenia punktów B i B 1 okazało się błędne, zatem punkty te pokrywają się. Oznacza to, że trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 nakładają się na siebie. Zatem są one równe (z definicji).
Zatem funkcje te nie są wprowadzane na próżno, ponieważ można je wykorzystać do rozwiązania niektórych problemów.
1. nr 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., pod red. Sadovnichy V.A. Geometria 7. M.: Edukacja. 2010
2. Na podstawie danych wskazanych na rysunku wskaż równe trójkąty, jeśli występują.
3. Na podstawie danych wskazanych na rysunku wskaż równe trójkąty, jeśli występują. Pamiętaj, że AC = AF.
4. W trójkącie prostokątnym mediana i wysokość są rysowane do przeciwprostokątnej. Kąt między nimi wynosi 20°. Określ wielkość każdego z kątów ostrych tego trójkąta prostokątnego.
1. Pierwsze dwa znaki równości trójkątów prostokątnych.
Aby dwa trójkąty były równe, wystarczy, że trzy elementy jednego trójkąta są równe odpowiednim elementom drugiego trójkąta, a elementy te z pewnością muszą obejmować przynajmniej jeden bok.
Ponieważ wszystkie kąty proste są sobie równe, trójkąty prostokątne mają już jeden równy element, a mianowicie jeden kąt prosty.
Wynika z tego, że trójkąty prostokątne są przystające:
jeśli nogi jednego trójkąta są odpowiednio równe nogom innego trójkąta (ryc. 153);
jeśli noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta są odpowiednio równe nodze i przyległemu kątowi ostremu drugiego trójkąta (ryc. 154).
Udowodnimy teraz dwa twierdzenia ustalające dwa kolejne kryteria równości trójkątów prostokątnych.
Aby udowodnić to twierdzenie, skonstruujmy dwa kąty prostokątne ABC i A'B'C', w których kąty A i A' są równe, przeciwprostokątne AB i A'B' są również równe, a kąty C i C' są równe prawy (ryc. 157) .
Nałóżmy trójkąt A’B’C’ na trójkąt ABC tak, aby wierzchołek A’ pokrywał się z wierzchołkiem A, przeciwprostokątna A’B’ pokrywała się z równą przeciwprostokątną AB. Wtedy, ze względu na równość kątów A i A’, bok A’C’ będzie przebiegał wzdłuż boku AC; noga B’C’ będzie pokrywać się z nogą BC: obie są prostopadłymi poprowadzonymi do jednej prostej AC z punktu B. Oznacza to, że wierzchołki C i C’ będą się pokrywać.
Trójkąt ABC pokrywa się z trójkątem A'B'C'.
Zatem \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A'B'C'.
Twierdzenie to podaje trzecie kryterium równości trójkątów prostokątnych (przez przeciwprostokątną i kąt ostry).
Twierdzenie 2. Jeżeli przeciwprostokątna i noga jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i nodze innego trójkąta, to takie trójkąty prostokątne są przystające.
Aby to udowodnić, skonstruujmy dwa trójkąty prostokątne ABC i A'B'C', w których kąty C i C' są kątami prostymi, przyprostokątne AC i A'C' są równe, przeciwprostokątne AB i A'B' są również równe ( Ryc. 158) .
Narysujmy prostą MN i zaznaczmy na niej punkt C, z tego punktu rysujemy prostopadłą SC do prostej MN. Następnie nałożymy kąt prosty trójkąta ABC na kąt prosty KSM tak, aby ich wierzchołki pokrywały się i ramię AC przebiegało wzdłuż półprostej SC, następnie ramię BC przebiegało wzdłuż półprostej CM. Kąt prosty trójkąta A'B'C' nałożymy na kąt prosty KCN tak, aby ich wierzchołki pokrywały się i noga A'C' przebiegała wzdłuż półprostej SK, następnie noga C'B' przebiegała wzdłuż półprostej CN. Wierzchołki A i A' będą się pokrywać ze względu na równość nóg AC i A'C'.
Trójkąty ABC i A'B'C' utworzą razem trójkąt równoramienny BAB', w którym AC będzie wysokością i dwusieczną, a zatem osią symetrii trójkąta BAB'. Wynika z tego, że \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)A’B’C’.
Twierdzenie to podaje czwarte kryterium równości trójkątów prostokątnych (przez przeciwprostokątną i nogę).
Zatem wszystkie znaki równości trójkątów prostokątnych:
1. Jeśli dwie nogi jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe dwóm nogom innego trójkąta prostokątnego, wówczas takie trójkąty prostokątne są równe2. Jeżeli noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i sąsiedniemu kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające
3. Jeżeli noga i przeciwny kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przeciwnemu kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające
4. Jeżeli przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu innego trójkąta prostokątnego, to takie trójkąty prostokątne są przystające
5. Jeśli noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta prostokątnego są odpowiednio równe nodze i przeciwprostokątnej innego trójkąta prostokątnego, wówczas takie trójkąty prostokątne są przystające
