Trapez nazywa się czworokątem, którego tylko dwa boki są do siebie równoległe.
Nazywa się je podstawami figury, pozostałe nazywane są bokami. Równoległoboki są uważane za szczególne przypadki figury. Istnieje również zakrzywiony trapez, który zawiera wykres funkcji. Wzory na powierzchnię trapezu obejmują prawie wszystkie jego elementy i Najlepsza decyzja jest wybierany w zależności od określonych wartości.
Główne role w trapezie przypisane są wysokości i linii środkowej. Środkowa linia- To jest linia łącząca środki boków. Wysokość Trapez jest rysowany pod kątem prostym od górnego rogu do podstawy.
Pole trapezu na jego wysokości jest równe iloczynowi połowy sumy długości podstaw pomnożonej przez wysokość:
Jeśli znana jest linia średnia zgodnie z warunkami, wówczas wzór ten jest znacznie uproszczony, ponieważ jest równy połowie sumy długości podstaw:
Jeśli zgodnie z warunkami podane są długości wszystkich boków, możemy rozważyć przykład obliczenia pola trapezu na podstawie tych danych: 
Załóżmy, że mamy trapez o podstawach a = 3 cm, b = 7 cm i bokach c = 5 cm, d = 4 cm. Znajdźmy pole figury: 
Trapez równoramienny lub, jak to się nazywa, trapez równoramienny, jest uważany za odrębny przypadek.
Szczególnym przypadkiem jest znalezienie pola trapezu równobocznego. Formuła jest wyprowadzana różne sposoby– przez przekątne, przez kąty przylegające do podstawy i promień okręgu wpisanego.
Jeśli długość przekątnych zostanie określona zgodnie z warunkami i znany jest kąt między nimi, można skorzystać ze wzoru:
Pamiętaj, że przekątne trapezu równoramiennego są sobie równe!
Oznacza to, że znając jedną z ich podstaw, bok i kąt, możesz łatwo obliczyć pole.
Szczególnym przypadkiem jest zakrzywiony trapez. Znajduje się na osi współrzędnych i jest ograniczony wykresem ciągłej funkcji dodatniej.
Jego podstawa znajduje się na osi X i ogranicza się do dwóch punktów: 
Całki pomagają obliczyć powierzchnię zakrzywionego trapezu.
Formuła jest zapisana w następujący sposób:
Rozważmy przykład obliczenia pola zakrzywionego trapezu. Formuła wymaga pewnej wiedzy do pracy pewne całki. Najpierw spójrzmy na wartość całki oznaczonej: 
Tutaj F(a) jest wartością funkcji pierwotnej f(x) w punkcie a, F(b) jest wartością tej samej funkcji f(x) w punkcie b. 
Teraz rozwiążmy problem. Rysunek przedstawia zakrzywiony trapez ograniczony funkcją. Funkcjonować 
Musimy znaleźć pole wybranej figury, która jest trapezem krzywoliniowym ograniczonym powyżej wykresem, po prawej stronie prostą x =(-8), po lewej stronie prostą x =(-10 ) i oś OX poniżej.
Pole tej figury obliczymy za pomocą wzoru: 
Warunki problemu dają nam funkcję. Za jego pomocą znajdziemy wartości funkcji pierwotnej w każdym z naszych punktów:
Teraz
Odpowiedź: Pole danego zakrzywionego trapezu wynosi 4.
Obliczenie tej wartości nie jest skomplikowane. Ważna jest tylko duża ostrożność w obliczeniach.
Praktyka ubiegłorocznych jednolitych egzaminów państwowych i egzaminów państwowych pokazuje, że problemy z geometrią sprawiają wielu uczniom trudności. Możesz łatwo sobie z nimi poradzić, jeśli zapamiętasz wszystkie niezbędne formuły i przećwiczysz rozwiązywanie problemów.
W tym artykule zobaczysz wzory na znalezienie pola trapezu, a także przykłady problemów z rozwiązaniami. Na te same można natknąć się w KIM-ach podczas egzaminów certyfikacyjnych czy na olimpiadach. Dlatego traktuj je ostrożnie.
Na początek pamiętajmy o tym trapez nazywa się czworokątem, w którym dwa przeciwległe boki, zwane także podstawami, są równoległe, a pozostałe dwa nie.
W trapezie wysokość (prostopadle do podstawy) można również obniżyć. Rysowana jest linia środkowa - jest to linia prosta równoległa do podstaw i równa połowie ich sumy. Jak również przekątne, które mogą się przecinać, tworząc ostre i kąty rozwarte. Lub, w niektórych przypadkach, pod kątem prostym. Ponadto, jeśli trapez jest równoramienny, można w niego wpisać okrąg. I opisz okrąg wokół niego.
Najpierw spójrzmy na standardowe wzory na znalezienie obszaru trapezu. Poniżej rozważymy sposoby obliczania powierzchni trapezów równoramiennych i krzywoliniowych.
Wyobraźmy sobie więc trapez o podstawach a i b, w którym wysokość h jest obniżona do większej podstawy. Obliczenie pola figury w tym przypadku jest tak proste, jak łuskanie gruszek. Wystarczy podzielić sumę długości podstaw przez dwa i pomnożyć wynik przez wysokość: S = 1/2(a + b)*h.
Weźmy inny przypadek: załóżmy, że w trapezie oprócz wysokości znajduje się linia środkowa m. Znamy wzór na znalezienie długości linii środkowej: m = 1/2(a + b). Dlatego możemy słusznie uprościć wzór na pole trapezu do następujący typ: S = m*h. Innymi słowy, aby znaleźć pole trapezu, należy pomnożyć linię środkową przez wysokość.
Rozważmy inną opcję: trapez zawiera przekątne d 1 i d 2, które nie przecinają się pod kątem prostym α. Aby obliczyć pole takiego trapezu, należy podzielić iloczyn przekątnych przez dwa i pomnożyć wynik przez grzech kąta między nimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Rozważmy teraz wzór na znalezienie pola trapezu, jeśli nie wiadomo o nim nic poza długościami wszystkich jego boków: a, b, c i d. Jest nieporęczny i złożona formuła, ale na wszelki wypadek warto o tym pamiętać: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + do 2 – re 2)) 2.
Nawiasem mówiąc, powyższe przykłady dotyczą również przypadku, gdy potrzebny jest wzór na pole prostokątnego trapezu. Jest to trapez, którego bok łączy się z podstawami pod kątem prostym.
Trapez, którego boki są równe, nazywa się równoramiennymi. Rozważymy kilka opcji wzoru na obszar trapezu równoramiennego.
Opcja pierwsza: dla przypadku, gdy okrąg o promieniu r jest wpisany w trapez równoramienny, a bok i większa podstawa tworzą ostry rógα. W trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości boków.
Pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób: pomnóż kwadrat promienia wpisanego koła przez cztery i podziel przez sinα: S = 4r 2 /sinα. Inny wzór na pole jest szczególnym przypadkiem dla opcji, gdy kąt między dużą podstawą a bokiem wynosi 30 0: S = 8r2.
Opcja druga: tym razem bierzemy trapez równoramienny, w którym dodatkowo narysowane są przekątne d 1 i d 2 oraz wysokość h. Jeżeli przekątne trapezu są do siebie prostopadłe, wysokość stanowi połowę sumy podstaw: h = 1/2(a + b). Wiedząc o tym, łatwo jest przekształcić znany już wzór na pole trapezu do tej postaci: S = godz. 2.
Zacznijmy od ustalenia, czym jest zakrzywiony trapez. Wyobraźmy sobie oś współrzędnych i wykres ciągłej, nieujemnej funkcji f, która nie zmienia znaku w obrębie danego odcinka na osi x. Trapez krzywoliniowy tworzy wykres funkcji y = f(x) - u góry oś x znajduje się na dole (odcinek), a po bokach - linie proste poprowadzone pomiędzy punktami a i b oraz wykres funkcja.
Niemożliwe jest obliczenie powierzchni tak niestandardowej figury za pomocą powyższych metod. Tutaj musisz złożyć wniosek Analiza matematyczna i skorzystaj z całki. Mianowicie: wzór Newtona-Leibniza - S = ∫ b za f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). W tym wzorze F jest funkcją pierwotną naszej funkcji na wybranym segmencie. A pole trapezu krzywoliniowego odpowiada przyrostowi funkcji pierwotnej na danym odcinku.
Aby ułatwić zrozumienie wszystkich tych wzorów w głowie, oto kilka przykładów problemów ze znalezieniem pola trapezu. Najlepiej będzie, jeśli najpierw spróbujesz samodzielnie rozwiązać problemy, a dopiero potem porównasz otrzymaną odpowiedź z gotowym rozwiązaniem.
Zadanie 1: Biorąc pod uwagę trapez. Jego większa podstawa ma 11 cm, mniejsza 4 cm. Trapez ma przekątne, jedna o długości 12 cm, druga o długości 9 cm.
Rozwiązanie: Zbuduj trapez AMRS. Poprowadź prostą РХ przez wierzchołek P tak, aby była równoległa do przekątnej MC i przecinała prostą AC w punkcie X. Otrzymasz trójkąt APХ.
Rozważymy dwie figury uzyskane w wyniku tych manipulacji: trójkąt APX i równoległobok CMRX.
Dzięki równoległobokowi dowiadujemy się, że PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Skąd możemy obliczyć bok AX trójkąta ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Można także udowodnić, że trójkąt APX jest prostokątny (w tym celu należy zastosować twierdzenie Pitagorasa – AX 2 = AP 2 + PX 2). I oblicz jego pole: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Następnie musisz udowodnić, że trójkąty AMP i PCX mają równe pola. Podstawą będzie równość stron MR i CX (udowodniona już powyżej). A także wysokości, które obniżysz po tych bokach - są one równe wysokości trapezu AMRS.
Wszystko to pozwoli Ci powiedzieć, że SAMPC = S APX = 54 cm 2.
Zadanie nr 2: Dany jest trapez KRMS. Na jego bocznych stronach znajdują się punkty O i E, natomiast OE i KS są równoległe. Wiadomo też, że pola trapezów ORME i OKSE są w stosunku 1:5. RM = a i KS = b. Musisz znaleźć OE.
Rozwiązanie: Narysuj prostą równoległą do RK przez punkt M i oznacz punkt jej przecięcia z OE jako T. A jest punktem przecięcia prostej poprowadzonej przez punkt E równoległej do RK z podstawą KS.
Wprowadźmy jeszcze jedną notację - OE = x. A także wysokość h 1 dla trójkąta TME i wysokość h 2 dla trójkąta AEC (możesz samodzielnie udowodnić podobieństwo tych trójkątów).
Zakładamy, że b > a. Pola trapezów ORME i OKSE są w stosunku 1:5, co daje nam prawo do utworzenia równania: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Przekształćmy i otrzymamy: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Ponieważ trójkąty TME i AEC są podobne, mamy h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Połączmy oba wpisy i otrzymamy: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Zatem OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Geometria nie jest nauką najłatwiejszą, ale z pytaniami egzaminacyjnymi z pewnością sobie poradzisz. Wystarczy wykazać się odrobiną wytrwałości w przygotowaniach. I oczywiście pamiętaj o wszystkich niezbędnych formułach.
Staraliśmy się zebrać wszystkie wzory na obliczenie pola trapezu w jednym miejscu, aby można było z nich skorzystać podczas przygotowań do egzaminów i powtórki materiału.
Pamiętaj, aby poinformować o tym artykule swoich kolegów i znajomych z klasy. w sieciach społecznościowych. Niech będzie więcej dobrych ocen z Jednolitego Egzaminu Państwowego i Egzaminów Państwowych!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
I . Teraz możemy zacząć zastanawiać się, jak znaleźć obszar trapezu. To zadanie pojawia się bardzo rzadko w życiu codziennym, ale czasami okazuje się konieczne, aby na przykład znaleźć powierzchnię pomieszczenia w kształcie trapezu, co jest coraz częściej stosowane w budownictwie nowoczesne apartamenty lub w projektach renowacji.
Trapez jest figura geometryczna, utworzone przez cztery przecinające się odcinki, z których dwa są równoległe do siebie i nazywane są podstawami trapezu. Pozostałe dwa odcinki nazywane są bokami trapezu. Ponadto będziemy potrzebować później innej definicji. Jest to środkowa linia trapezu, czyli odcinek łączący środki boków i wysokość trapezu, która jest równa odległości między podstawami.
Podobnie jak trójkąty, trapezy mają specjalne typy w postaci trapezu równoramiennego (równobocznego), w którym długości boków są takie same, oraz trapezu prostokątnego, w którym jeden z boków tworzy kąt prosty z podstawami.
Trapezy mają kilka interesujących właściwości:
Jak znaleźć obszar trapezu.
Pole trapezu będzie równe połowie sumy jego podstaw pomnożonej przez jego wysokość. W formie wzoru zapisuje się to jako wyrażenie:
gdzie S to powierzchnia trapezu, a, b to długość każdej z podstaw trapezu, h to wysokość trapezu.
Możesz także rozszerzyć dowolny trapez na więcej proste figury: prostokąt i jeden lub dwa trójkąty, a jeśli jest to dla ciebie łatwiejsze, znajdź obszar trapezu jako sumę pól jego figur składowych.
Jest jeszcze jeden prosta formuła obliczyć jego pole. Zgodnie z nim pole trapezu jest równe iloczynowi jego linii środkowej przez wysokość trapezu i zapisuje się w postaci: S = m*h, gdzie S jest polem, m jest długością trapezu linia środkowa, h jest wysokością trapezu. Ten wzór jest bardziej odpowiedni do problemów matematycznych niż do problemów codziennych, ponieważ w rzeczywistych warunkach nie poznasz długości linii środkowej bez wstępnych obliczeń. I będziesz znać tylko długości podstaw i boków.
W takim przypadku obszar trapezu można znaleźć za pomocą wzoru:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
gdzie S to powierzchnia, a, b to podstawy, c, d to boki trapezu.
Istnieje kilka innych sposobów znalezienia obszaru trapezu. Są jednak mniej więcej tak samo niewygodne jak ostatnia formuła, co oznacza, że nie ma sensu się nad nimi rozwodzić. Dlatego zalecamy skorzystanie z pierwszej formuły z artykułu i życzymy, aby zawsze uzyskiwano dokładne wyniki.
W matematyce znanych jest kilka rodzajów czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok. Wśród nich jest trapez – rodzaj wypukłego czworoboku, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie. Równoległe przeciwległe boki nazywane są podstawami, a pozostałe dwa nazywane są bocznymi bokami trapezu. Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową. Istnieje kilka rodzajów trapezów: równoramienny, prostokątny, zakrzywiony. Dla każdego rodzaju trapezu istnieją wzory na znalezienie pola.
Aby znaleźć pole trapezu, musisz znać długość jego podstaw i wysokość. Wysokość trapezu to odcinek prostopadły do podstaw. Niech górna podstawa będzie równa a, dolna podstawa będzie b, a wysokość będzie h. Następnie możesz obliczyć pole S, korzystając ze wzoru:
S = ½ * (a+b) * godz
te. weź połowę sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.
Możliwe będzie również obliczenie pola trapezu, jeśli znana będzie wysokość i linia środkowa. Oznaczmy linię środkową - m. Następnie
Rozwiążmy bardziej skomplikowany problem: znane są długości czterech boków trapezu - a, b, c, d. Następnie obszar zostanie znaleziony za pomocą wzoru:
Jeżeli znane są długości przekątnych i kąt między nimi, wówczas obszar przeszukiwany jest w następujący sposób:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
gdzie d z indeksami 1 i 2 są przekątnymi. W tym wzorze w obliczeniach podaje się sinus kąta.
Mając znane długości podstaw a i b oraz dwa kąty przy dolnej podstawie, pole oblicza się w następujący sposób:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Trapez równoramienny jest szczególnym przypadkiem trapezu. Różnica polega na tym, że taki trapez jest wypukły czworobok z osią symetrii przechodzącą przez środki dwóch przeciwległych boków. Jego boki są równe.
Istnieje kilka sposobów znalezienia obszaru trapezu równoramiennego.
S = do * grzech α * (a + c * cos α)
gdzie a jest górną podstawą, c jest bokiem.
S = do * sin α * (b – c * cos α)
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
S = ½ * d2 * sin α
Niech bok będzie c, linia środkowa m, a kąt a, wtedy:
S = m * do * grzech α
Czasami w trapez równoboczny można wpisać okrąg, którego promień będzie wynosił r.
Wiadomo, że w dowolny trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości jego boków. Następnie obszar można znaleźć poprzez promień okręgu wpisanego i kąt przy dolnej podstawie:
S = 4r2 / sinα
To samo obliczenie przeprowadza się na podstawie średnicy D okręgu wpisanego (nawiasem mówiąc, pokrywa się ona z wysokością trapezu):
Znając podstawę i kąt, pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób:
S = a * b / grzech α
(ten i kolejne wzory obowiązują tylko dla trapezów z wpisanym okręgiem).
Korzystając z podstaw i promienia okręgu, pole obliczamy w następujący sposób:
Jeśli znane są tylko podstawy, wówczas pole oblicza się ze wzoru:
Przez podstawy i linię boczną pole trapezu z wpisanym okręgiem oraz przez podstawy i linię środkową - m oblicza się w następujący sposób:
Pole prostokątnego trapezu
Trapez nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego boków jest prostopadły do podstawy. W tym przypadku długość boku pokrywa się z wysokością trapezu.
Trapez prostokątny składa się z kwadratu i trójkąta. Po znalezieniu obszaru każdej z figur zsumuj wyniki i uzyskaj Całkowita powierzchnia figurki.
Nadaje się również do obliczania pola prostokątnego trapezu ogólne formuły obliczyć pole trapezu.
S = (a + b) * godz / 2
Strona boczna c może pełnić funkcję h (wysokość). Wtedy formuła wygląda następująco:
S = (a + b) * do / 2
lub przez długość bocznego prostopadłego boku:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Jeżeli przekątne są prostopadłe, wzór upraszcza się do postaci:
S = ½ * d1 * d2
Wzór ten obowiązuje dla zasad. Jeśli weźmiemy długości boków, jeden z nich będzie równy dwukrotności promienia. Formuła będzie wyglądać następująco:
S = (2r + c) * r
gdzie m jest długością linii środkowej.
Trapez krzywoliniowy to figura płaska ograniczona wykresem nieujemnej funkcji ciągłej y = f(x), określonej na odcinku, osi odciętych i prostych x = a, x = b. Zasadniczo dwa jego boki są do siebie równoległe (podstawy), trzeci bok jest prostopadły do podstaw, a czwarty jest krzywą odpowiadającą wykresowi funkcji.
Pole trapezu krzywoliniowego wyznacza się poprzez całkę za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:
W ten sposób obliczane są pola różne rodzaje trapez. Ale oprócz właściwości boków, trapezy mają identyczne właściwości rogi Podobnie jak wszystkie istniejące czworokąty, suma narożniki wewnętrzne trapez ma 360 stopni. A suma kątów przylegających do boku wynosi 180 stopni.
Powierzchnia trapezu. Pozdrowienia! W tej publikacji przyjrzymy się tej formule. Dlaczego ona taka jest i jak ją zrozumieć. Jeśli istnieje zrozumienie, nie musisz go uczyć. Jeśli chcesz tylko spojrzeć na tę formułę i pilnie, możesz od razu przewinąć stronę w dół))
Teraz szczegółowo i po kolei.
Trapez jest czworokątem, dwa boki tego czworokąta są równoległe, a pozostałe dwa nie. Te, które nie są równoległe, to podstawy trapezu. Pozostałe dwa nazywane są stronami.
Jeśli boki są równe, trapez nazywa się równoramiennym. Jeśli jeden z boków jest prostopadły do podstaw, wówczas taki trapez nazywa się prostokątnym.
W klasyczny wygląd Trapez jest przedstawiony w następujący sposób: większa podstawa znajduje się na dole, a mniejsza podstawa znajduje się na górze. Ale nikt nie zabrania przedstawiania jej i odwrotnie. Oto szkice:
Następna ważna koncepcja.
Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków. Linia środkowa jest równoległa do podstaw trapezu i równa ich połowie.
Teraz zagłębimy się głębiej. Dlaczego tak jest?
Rozważmy trapez z podstawami a i b i z linią środkową l, i wykonaj dodatkowe konstrukcje: narysuj linie proste przez podstawy i prostopadłe przez końce linii środkowej, aż przetną się z podstawami:
*Oznaczenia literowe wierzchołków i innych punktów nie zostały uwzględnione celowo, aby uniknąć niepotrzebnych oznaczeń.
Spójrz, trójkąty 1 i 2 są równe zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów, trójkąty 3 i 4 są takie same. Z równości trójkątów wynika równość elementów, a mianowicie nóg (są one oznaczone odpowiednio kolorem niebieskim i czerwonym).
Teraz uwaga! Jeśli mentalnie „odetniemy” niebieskie i czerwone segmenty od dolnej podstawy, pozostanie nam odcinek (jest to bok prostokąta) równy środkowej linii. Następnie, jeśli „przykleimy” wycięte segmenty niebieski i czerwony do górnej podstawy trapezu, to otrzymamy również odcinek (jest to jednocześnie bok prostokąta) równy linii środkowej trapezu.
Rozumiem? Okazuje się, że suma podstaw będzie równa dwóm środkowym liniom trapezu:
Zobacz inne wyjaśnienie
Zróbmy tak - skonstruuj linię prostą przechodzącą przez dolną podstawę trapezu oraz linię prostą, która przejdzie przez punkty A i B:
Otrzymujemy trójkąty 1 i 2, są one równe wzdłuż boku i sąsiednich kątów (drugi znak równości trójkątów). Oznacza to, że powstały odcinek (na szkicu jest zaznaczony na niebiesko) jest równy górnej podstawie trapezu.
Teraz rozważmy trójkąt:
*Środek tego trapezu pokrywa się z linią środkową trójkąta.
Wiadomo, że trójkąt jest równy połowie równoległej do niego podstawy, czyli:
OK, wymyśliliśmy to. Teraz o obszarze trapezu.
Mówią: pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.
Oznacza to, że jest równy iloczynowi linii środkowej i wysokości:
Pewnie już zauważyłeś, że to oczywiste. Geometrycznie można to wyrazić w ten sposób: jeśli w myślach odetniemy trójkąty 2 i 4 z trapezu i umieścimy je odpowiednio na trójkątach 1 i 3:
Następnie otrzymujemy prostokąt w obszarze równa powierzchni nasz trapez. Pole tego prostokąta będzie równe iloczynowi linii środkowej i wysokości, to znaczy możemy napisać:
Ale tu nie chodzi oczywiście o pisanie, ale o zrozumienie.
Pobierz (przejrzyj) materiał artykułu w formacie *pdf
To wszystko. Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander.
