Schody. Grupa wejściowa. Przybory. Drzwi. Zamki Projekt

Zadanie 8 na egzamin z matematyki

3.1. Przekątna mniejszego boku równoległościanu prostokątnego jest równa większej krawędzi podstawy. Wysokość równoległościanu wynosi 2 cm, przekątna podstawy wynosi 14 cm. Znajdź objętość równoległościanu.
3.2. Podstawa prostego pryzmatu - prawy trójkąt z przeciwprostokątną o długości 10 cm i odnogą o długości 6 cm. Większa noga trójkąta u podstawy pryzmatu równy przekątnej mniejsza z bocznych ścian. Znajdź wysokość pryzmatu.
3.3. Podstawą prostego graniastosłupa jest romb o boku 12 cm i kącie 60°. Mniejsza z przekątnych pryzmatu jest kwadratem. Znajdź objętość pryzmatu.
3.4. U podstawy prostego pryzmatu leży trapez równoramienny z kątem ostrym 60°; bok boczny i mniejszy z równoległych boków trapezu mają długość 4 cm; Przekątna pryzmatu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz objętość pryzmatu.
3.5. Przekątna równoległościanu prostokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45°, a przekątna ściany bocznej tworzy kąt 60°. Wysokość prostokątnego równoległościanu wynosi 8 cm. Znajdź jego objętość.
3.6. U podstawy prostego pryzmatu znajduje się romb; przekątne graniastosłupa tworzą z płaszczyzną podstawy kąty 30° i 60°; Wysokość pryzmatu wynosi 6 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3.7. U podstawy prostego pryzmatu leży romb o boku 10 cm. Strona podstawy jest oddzielona od dwóch równoległych boków przeciwległej ściany odpowiednio o 5 cm i 13 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3.8. Krawędź dolnej podstawy foremnego czworokątnego pryzmatu znajduje się w odległości 10 cm od płaszczyzny górnej podstawy. Odległości pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi wynoszą 8 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3.9. U podstawy prostego pryzmatu leży trapez. Pole równoległych ścian bocznych pryzmatu wynosi 8 cm i 12 cm, a odległość między nimi wynosi 5 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3.10. U podstawy prostego pryzmatu leży trapez. Objętość pryzmatu wynosi 40 cm. Pole równoległych ścian bocznych wynosi 6 cm i 14 cm. Znajdź odległość między nimi.
3.11. Przekątna podstawy równoległościanu prostokątnego
wynosi 10 cm, a przekątne ścian bocznych wynoszą 2 * / W cm i 2 l / 17 cm. Znajdź objętość równoległościanu.
3.12. U podstawy prostego pryzmatu znajduje się romb. Pole podstawy pryzmatu wynosi 48 cm, a pole jego przekątnej
przekroje mają długość 30 cm i 40 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3.13. Wysokość piramidy regularnej czworokątnej wynosi 3 cm, a pole powierzchni bocznej wynosi 80 cm. Znajdź objętość piramidy.
3.14. W regularnej czworokątnej piramidzie bok podstawy wynosi 6 cm, pole powierzchni bocznej jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Znajdź objętość piramidy.
3.15. Pole powierzchni bocznej stożka wynosi 60 tcm; odległość od środka podstawy do tworzącej wynosi 4,8 cm. Znajdź objętość stożka.
3.16. Podstawą nachylonego graniastosłupa jest kwadrat o boku 6 cm; jeden z przekątnych pryzmatu jest prostopadły do ​​płaszczyzny podstawy i jest rombem o kącie 60°. Znajdź objętość pryzmatu.
3.17. U podstawy nachylony równoległościan- kwadrat o boku 3 cm boczne twarze prostopadle do podstawy, pozostałe dwa tworzą z płaszczyzną podstawy kąty 30°. Całkowita powierzchnia równoległościanu wynosi 72 cm. Znajdź objętość równoległościanu.
3.18. U podstawy nachylonego równoległościanu znajduje się romb o boku 4 cm i kącie ostrym 45°; krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°; przekątna jednej ściany bocznej jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Znajdź objętość równoległościanu.
3.19. Wszystkie 9 krawędzi nachylonego pryzmatu ma długość 4 cm. Objętość pryzmatu wynosi 24 cm. Znajdź kąt nachylenia bocznej krawędzi pryzmatu do płaszczyzny podstawy.
3.20. W nachylonym trójkątnym pryzmacie odległości między krawędziami bocznymi wynoszą 5 cm, 12 cm i 13 cm. Pole mniejszej krawędzi bocznej wynosi 22 cm.
3.21. U podstawy nachylonego graniastosłupa leży trójkąt prostokątny o ramionach o długości 4 cm i 6 cm. Boczna krawędź graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°.
Objętość pryzmatu wynosi 60 cm. Oblicz długość bocznej krawędzi pryzmatu.
3.22. Dwie boczne ściany nachylonego trójkątnego pryzmatu tworzą kąt 60°; odległość od ich wspólnej krawędzi do pozostałych dwóch żeber wynosi 5 cm; krawędź boczna pryzmatu wynosi 8 cm. Znajdź powierzchnię boczną pryzmatu.
3.23. Dwie boczne ściany nachylonego trójkątnego pryzmatu są prostopadłe. Suma ich pól wynosi 70 cm. Długość krawędzi bocznej wynosi 5 cm. Objętość pryzmatu wynosi 120 cm. Znajdź odległości między bocznymi krawędziami pryzmatu.
3,25. W regularnej czworokątnej piramidzie boczna krawędź tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Bok podstawy ostrosłupa ma długość 6 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.
3.26. W regularnej czworokątnej piramidzie krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Wysokość piramidy wynosi 3 cm. Znajdź pole powierzchni piramidy.
3,27. W regularnej czworokątnej piramidzie apotem tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Wysokość piramidy wynosi 6 cm. Oblicz pole powierzchni piramidy.
3.28. W regularnej czworokątnej piramidzie apotem tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Bok podstawy piramidy wynosi 12 cm. Oblicz pole powierzchni piramidy.
3.29. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy wynosi 6 cm i tworzy z jej boczną ścianą kąt 30°. Znajdź objętość piramidy.
3.30. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy wynosi 10 cm i tworzy z boczną krawędzią kąt 45°. Znajdź objętość piramidy.
3.31. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy wynosi 8 cm, a krawędź boczna wynosi 10 cm. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
3.32. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy wynosi 20 cm, a krawędź boczna wynosi 16 cm. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
3.33. Wysokość regularnej piramidy sześciokątnej wynosi 12 cm, a krawędź boczna wynosi 13 cm. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
3,34. W regularnej czworokątnej piramidzie bok podstawy wynosi 8 cm; kąt dwuścienny u podstawy piramidy wynosi 60°. Znajdź objętość piramidy.
3.35. W regularnej czworokątnej piramidzie wysokość wynosi 8 cm; kąt dwuścienny u podstawy piramidy wynosi 30°. Znajdź objętość piramidy.
3,36. W regularnej czworokątnej piramidzie apotem ma 16 cm; kąt dwuścienny u podstawy piramidy wynosi 45°. Znajdź objętość piramidy.
3,37. Bok podstawy regularnej czworokątnej piramidy wynosi 5 cm; przekątna jest równa podstawie. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
3,38. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy wynosi 10 cm; przekątna jest równa podstawie. Znajdź powierzchnię boczną piramidy.
3,39. Promień walca wynosi 8 cm, a jego wysokość wynosi 12 cm. Przez środek osi walca poprowadzono linię prostą przecinającą płaszczyznę dolnej podstawy walca w odległości 24 cm od środka walca. dolna podstawa. W jaki sposób ta linia dzieli tworzące walca, który ją przecina?
3.40. Promień walca wynosi 6 cm, a jego wysokość wynosi 10 cm. Przez środek tworzącej walca poprowadzono linię prostą, przecinającą oś walca. Linia ta przecina dolną podstawę cylindra w odległości 3 cm od środka dolnej podstawy. W jakim stosunku ta prosta dzieli oś walca?
3.41. Promień walca wynosi 8 cm. Przez środek osi walca poprowadzono linię prostą przecinającą płaszczyznę zawierającą dolną podstawę walca, w odległości 12 cm od środka dolnej podstawy. Ta linia prosta przecina tworzącą walca w odległości 2 cm od płaszczyzny dolnej podstawy. Znajdź wysokość cylindra.
3,42. Wysokość cylindra wynosi 12 cm. Przez środek tworzącej cylindra poprowadzono linię prostą, przecinającą oś cylindra w odległości 4 cm od dolnej podstawy. Linia ta przecina płaszczyznę zawierającą dolną podstawę walca w odległości 18 cm od środka dolnej podstawy. Znajdź promień podstawy walca.
3,43. Wysokość stożka wynosi 20 cm, odległość od środka podstawy do tworzącej wynosi 12 cm. Znajdź objętość stożka.
3,44. Promień podstawy stożka wynosi 20 cm; odległość od środka podstawy do tworzącej wynosi 12 cm. Znajdź pole powierzchni bocznej stożka.
3,45. U podstawy piramidy leży trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna wynosi 15 cm, a jedna z nóg ma długość 9 cm. Znajdź pole przekroju poprowadzonego przez środek wysokości piramidy równolegle do jej podstawy .
3,46. W odległości 4 cm od wierzchołka piramidy narysowano przekrój równoległy do ​​podstawy. Pole przekroju wynosi 10 cm i jest równe polu podstawy piramidy.
Znajdź objętość piramidy.
3,47. Promień podstawy stożka wynosi 6 cm, a wysokość 12 cm W stożku narysowano przekrój równoległy do ​​podstawy. Promień przekroju wynosi 4 cm, w jakim stosunku przekrój dzieli wysokość stożka?
3,48. Wysokość stożka wynosi 12 cm, a promień podstawy wynosi 3 cm. W jakiej odległości od wierzchołka stożka należy narysować przekrój równoległy do ​​podstawy, aby jego pole było równe cm?
3,49. W równoległościanie prawym przekrój przebiega przez przekątną dolnej podstawy i środek krawędzi bocznej nie stykającej się z tą przekątną. Odległość od płaszczyzny przekroju do szczytu dolnej podstawy,
nie leżącego w płaszczyźnie przekroju wynosi 5 cm
Sekcja 2 jest równa 10 cm. Znajdź objętość równoległościanu.
3,50. W regularnym czworokątnym pryzmacie narysowany jest przekrój przez przekątną dolnej podstawy i koniec nierównoległej przekątnej górnej podstawy. Pole podstawy pryzmatu i pole przekroju poprzecznego wynoszą 20 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3,51. W regularnym trójkątnym pryzmacie przekrój jest rysowany przez bok dolnej podstawy i środek przeciwnej krawędzi bocznej. Płaszczyzna przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°; Pole przekroju poprzecznego wynosi 4 l/6 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
3,52. Wysokość regularnego trójkątnego pryzmatu wynosi 12 cm. W pryzmacie narysowany jest przekrój przez bok dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy.
Płaszczyzna przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy pryzmatu pod kątem 60°. Znajdź objętość pryzmatu. 3,53. W prawym równoległościanie przekrój jest poprowadzony przez przekątną dolnej podstawy i środek krawędzi bocznej, która nie przecina się z tą przekątną. Objętość mniejszego z dwóch wielościanów, na które podzielony jest równoległościan płaszczyzna przekroju
, wynosi 40 cm. Znajdź objętość równoległościanu.
3,54. W trójkątnym pryzmacie narysowany jest przekrój przez bok dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy. W jakim stosunku płaszczyzna przekroju dzieli objętość pryzmatu? 3,55. W trójkątnej piramidzie przeciągnięty jest przekrój linia środkowa
dolna podstawa i górna część piramidy. W jakim stosunku płaszczyzna przekroju dzieli objętość piramidy?
3,56. W regularnej czworokątnej piramidzie przekrój jest narysowany przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy, prostopadle do podstawy. W jakim stosunku płaszczyzna przekroju dzieli objętość piramidy? 3,57. W prostokątny równoległościan
przekrój jest rysowany przez krawędź dolnej podstawy i punkt przecięcia przekątnych przeciwległej powierzchni bocznej. W jakim stosunku płaszczyzna przekroju dzieli objętość równoległościanu?
3,58. Piramida ma przekrój równoległy do ​​podstawy. Płaszczyzna przekroju dzieli piramidę na części, których objętości są w stosunku 1:26, licząc od góry.
W jakim stosunku płaszczyzna cięcia dzieli wysokość piramidy?
3,59. Piramida ma przekrój równoległy do ​​podstawy. Płaszczyzna przekroju dzieli wysokość piramidy na części, których stosunek wynosi 2:1, licząc od góry.
W jakim stosunku płaszczyzna przekroju dzieli objętość pioamylu?
3,63. Prostokąt o bokach 12 cm i 16 cm można złożyć na dwa sposoby w postaci powierzchni bocznej regularnego czworokątnego pryzmatu. Porównaj objętości tych pryzmatów.
3,64. Prostokąt o bokach 24 cm i 10 cm można złożyć na dwa sposoby w powierzchnię boczną foremnego czworokątnego pryzmatu. Porównaj całkowite pola powierzchni tych pryzmatów.
3,65. Prostokąt o bokach 12 cm i 8 cm składa się po raz pierwszy w postaci powierzchni bocznej foremnego czworokątnego graniastosłupa o wysokości 8 cm, a po raz drugi - foremnego trójkątnego pryzmatu o tej samej wysokości. Porównaj objętości tych pryzmatów.
3,66. Prostokąt o bokach 24 cm i 10 cm składa się po raz pierwszy w postaci powierzchni bocznej foremnego czworokątnego graniastosłupa o wysokości 10 cm, a po raz drugi - foremnego trójkątnego pryzmatu o tej samej wysokości. Porównaj całkowite pola powierzchni tych pryzmatów.
3,67. Kwadrat o boku 12 cm składa się po raz pierwszy w postaci powierzchni bocznej regularnego graniastosłupa trójkątnego, a po raz drugi - foremnego graniastosłupa czworokątnego.
Porównaj całkowite pola powierzchni tych pryzmatów.
3,68. Kwadrat o boku 24 cm składa się po raz pierwszy w postaci powierzchni bocznej pryzmatu foremnego trójkątnego, a po raz drugi - graniastosłupa foremnego czworokątnego.
Porównaj objętości tych pryzmatów.
3,69. Romb o boku 10 cm i kącie ostrym 60° obraca się wokół boku. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,70. Romb o boku 8 cm i kącie ostrym 60° obraca się wokół boku. Znajdź pole powierzchni ciała obrotowego.
3,71. Prostokątny trapez o podstawach 5 cm i 8 cm i wysokości 4 cm obraca się wokół większej podstawy. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,72. Prostokątny trapez o podstawach 6 cm i 10 cm i wysokości 3 cm obraca się wokół większej podstawy. Znajdź pole powierzchni ciała obrotowego.
3,73. Prostokątny trapez o podstawach 10 cm i 14 cm i wysokości 3 cm obraca się wokół mniejszej podstawy. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,74. Prostokątny trapez o podstawach 12 cm i 15 cm^ i wysokości 4 cm obraca się wokół mniejszej podstawy. Znajdź pole powierzchni ciała obrotowego.
3,77. Trapez równoboczny o podstawach 10 cm i 16 cm i wysokości 4 cm obraca się wokół mniejszej podstawy. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,78. Trapez równoboczny o podstawach 10 cm i 18 cm i wysokości 3 cm obraca się wokół mniejszej podstawy. Znajdź pole powierzchni korpusu obrotowego.
3,79. Trapez równoboczny o podstawach 12 cm i 18 cm i wysokości 4 cm obraca się wokół większej podstawy. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,80. Trapez równoboczny o podstawach 15 cm i 25 cm i wysokości 12 cm obraca się wokół większej podstawy. Znajdź pole powierzchni korpusu obrotowego.
3,81. Trapez równoboczny o podstawach 12 cm i 24 cm i wysokości 8 cm obraca się pierwszy raz wokół mniejszej podstawy, a drugi raz wokół większej. Porównaj objętości ciał wirujących.
3,82. Trapez równoboczny o podstawach 12 cm i 28 cm i wysokości 6 cm obraca się pierwszy raz wokół mniejszej podstawy, a drugi raz wokół większej. Porównaj pola powierzchni ciał obrotowych.
3,83. Trójkąt prostokątny o ramieniu długości 3 cm i przeciwprostokątnej długości 6 cm obraca się wokół osi przechodzącej przez wierzchołek kąta prostego równoległego do przeciwprostokątnej. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,84. Kwadrat o boku 8 cm obraca się wokół linii prostej poprowadzonej przez wierzchołek równoległy do ​​przekątnej, która nie przechodzi przez ten wierzchołek. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,85. Trójkąt foremny o boku 4 cm obraca się wokół osi poprowadzonej przez wierzchołek równoległy do ​​boku nieprzechodzącego przez ten wierzchołek. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,86. Trójkąt prostokątny o nogach 3 cm i 4 cm obraca się wokół linii prostej równoległej do mniejszej z nóg i przechodzącej przez wierzchołek mniejszego z kątów trójkąta. Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,87. Romb o boku 13 cm i przekątnej 10 cm obraca się wokół osi przechodzącej przez wierzchołek kąta rozwartego równoległego do przekątnej, która nie przechodzi przez ten wierzchołek.
Znajdź objętość ciała obrotowego.
3,88. Romb ABCD o boku 10 cm i przekątnej AC = 12 cm obraca się po raz pierwszy wokół osi przechodzącej przez wierzchołek A równoległej do przekątnej BD i po raz drugi przez wierzchołek B równoległej do przekątnej AC. Porównaj objętości ciał wirujących.
3,89. Prostokątny trapez o podstawach 10 cm i 18 cm i wysokości 6 cm obraca się wokół linii prostej przechodzącej przez wierzchołek kąta ostrego prostopadłego do podstaw.
3,91. Cztery metalowe kule o promieniu a są stopione w jeden sześcian. Co jest większe: pole powierzchni tego sześcianu czy całkowita powierzchnia kulek?
3,92. Ile kulek o średnicy 2 cm można odrzucić z metalowego sześcianu o krawędzi 4 cm?
3,93. Ile sześcianów o krawędzi 2 cm można odrzucić z metalowej kuli o średnicy 4 cm?
3,94. W regularny czworokątny pryzmat wpisano cylinder. Objętość walca wynosi V. Znajdź objętość pryzmatu.
3,95. W regularny trójkątny pryzmat wpisano cylinder. Pole powierzchni bocznej pryzmatu wynosi S. Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra.
3,96. Prawidłowe trójkątny pryzmat. Pole powierzchni bocznej pryzmatu wynosi 5. Znajdź pole powierzchni bocznej walca.
3,97. W regularną trójkątną piramidę wpisano stożek. Objętość stożka wynosi V. Znajdź objętość piramidy.
3,98. Regularna czworokątna piramida wpisana jest w stożek. Objętość piramidy wynosi V. Znajdź objętość stożka.
3,99. W sześcian wpisano kulę. Znajdź stosunek pól powierzchni sześcianu i kuli.
3.100. Sześcian jest wpisany w kulę. Znajdź stosunek objętości kuli i sześcianu.

Wersję tematu lekcji możesz zobaczyć na stronie www.urokimatematiki.ru pod linkiem

Podczas lekcji każdy będzie mógł zorientować się w temacie”Wielościany. Pryzmat. Problemy z pryzmatem.” Na tej lekcji omówimy podstawowe informacje o wielościanach. Szczególną uwagę zwrócimy na definicję pryzmatu. Przypomnijmy twierdzenie o polu powierzchni bocznej prostego pryzmatu. Następnie rozwiążemy kilka problemów na ten temat.

Temat: Wielościany

Lekcja: Wielościany. Pryzmat. Problemy z pryzmatem

Na tej lekcji omówimy podstawowe informacje o wielościanach. Szczególną uwagę zwrócimy na definicję pryzmatu. Przypomnijmy twierdzenie o polu powierzchni bocznej prostego pryzmatu.

Rysunek 1 przedstawia pryzmat ABCDFA 1 B 1 Do 1 D 1 F 1, jego podstawy ABCDF I ZA 1 B 1 Do 1 D 1 F 1. Pięciokąty ABCDF I ZA 1 B 1 Do 1 D 1 F 1 są równe i leżą w płaszczyznach równoległych.

Ryż. 1

Podstawy pryzmatyczne- są to dwie ściany będące równymi wielokątami leżącymi w równoległych płaszczyznach.

BocznyŚciany to wszystkie ściany pryzmatu, z wyjątkiem podstaw. Każda ściana boczna jest równoległobokiem.

Nazywa się wspólne strony ścian bocznych żebra boczne.

Wróćmy do rysunku 1. W pięciokącie ABCDFA 1 B 1 Do 1 D 1 F 1:

ABCDF I ZA 1 B 1 Do 1 D 1 F 1- podstawa pryzmatu.

Boczne ściany są twarzami AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C,CC 1 D 1 D, DD 1 F 1 F, FF 1 A 1 A. I boczne żebra - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1 , FF 1 .

Definicja. Jeżeli boczna krawędź pryzmatu jest prostopadła do płaszczyzny jego podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się bezpośredni.

Rozważmy pryzmat pięciokątny ABCDFA 1 B 1 Do 1 D 1 F 1(ryc. 2).

Niech boczna krawędź AA 1 prostopadle do płaszczyzny podstawy. Oznacza to, że ten pryzmat jest prosty. Od krawędzi AA 1 prostopadle do płaszczyzny ABC, to ta boczna krawędź jest prostopadła do dowolnej linii prostej z płaszczyzny podstawy ABC, w tym bezpośrednie AF. Oznacza to, że ściana boczna jest prostokątem.

Ryż. 2

Rozważmy równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-(Rys. 3) jest szczególnym przypadkiem pryzmatu. Podstawą pryzmatu są równoległoboki ABCD I ZA 1 B 1 C 1 D 1.

Ryż. 3

Jeżeli krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, wówczas taki równoległościan nazwiemy równoległościanem prawym.

Ryż. 4

Rozważmy równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-(ryc. 4). Jeśli krawędź AA 1 prostopadle do płaszczyzny ABCD, a następnie równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- bezpośredni.

Jeśli prostokąt leży u podstawy prawego równoległościanu, wówczas taki równoległościan nazywa się prostokątnym. Oznaczenie: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- lub krótko AK 1.

Definicja. Prawidłowy N- Pryzmat kątowy to prosty pryzmat, który ma regularną podstawę u podstawy. N-gon.

Twierdzenie. Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Rozważmy to twierdzenie na przykładzie trójkątnego prawego pryzmatu ABCA 1 B 1 C 1(ryc. 5) . Pryzmat ABCA 1 B 1 C 1-- proste, co oznacza, że ​​wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.

Dany: ABCA 1 W 1 Z 1- pryzmat prosty, tj. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = godz.

Udowodnić: Strona S = P główna ∙ godz.

Ryż. 5

Dowód.

Trójkątny pryzmat ABCA 1 W 1 Z 1- proste, czyli krawędzie boczne AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - prostokąty. Wszystkie boczne krawędzie pryzmatu są równe wysokości pryzmatu.

Znajdźmy pole powierzchni bocznej jako sumę pól prostokątów AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

Strona S = AB∙ AA 1 + BC∙ BB 1 + CA∙ SS 1 = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P główny ∙ godz.

Dostajemy Strona S = P główna ∙ h, co było do okazania

W prawym N- bok podstawy pryzmatu węglowego jest równy A i wysokość jest H. Oblicz pole powierzchni bocznej i całkowitej pryzmatu, jeśli N = 3, H= 15cm, A= 10 cm Patrz rys. 6.

Dany: ABCA 1 W 1 Z 1- pryzmat,

AA 1 ⊥ ABC,

h =AA 1 = 15cm ,

AB=BC=CA=a= 10 cm.

Znajdować: Strona S, S pełna.

Ryż. 6

Rozwiązanie:

Pod warunkiem, że pryzmat jest prosty. A więc żebro AA 1 prostopadła do płaszczyzny podstawy i równa wysokości pryzmatu.

Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy pryzmatu i jego wysokości. Znajdźmy obszar powierzchni bocznej.

S strona = P główna ∙ h = P ABC ∙ AA 1 = 3 ∙ AB ∙ godz = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (cm2).

U podstawy pryzmatu znajduje się regularny trójkąt ABC. Znajdźmy jego pole.

Całkowita powierzchnia pryzmatu to obszar wszystkich jego ścian, to znaczy obszar powierzchni bocznej plus pola dwóch podstaw. Oznacza:

Odpowiedź: (cm2).

Boczna krawędź nachylonego czworokątnego pryzmatu ma długość 12 cm. Przekrój prostopadły to romb o boku 5 cm. Znajdź pole powierzchni bocznej.

Dany: pryzmat ABCDA 1 B 1 Do 1 D 1(ryc. 7) ,

AA 1 = 12cm,

przekrój prostopadły - romb o boku 5 cm.

Znajdować: Sstrona

Ryż. 7

Rozwiązanie:

Na ostatniej lekcji udowodniliśmy, że pole powierzchni bocznej nachylonego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu przekroju prostopadłego i krawędzi bocznej.

Zgodnie z warunkiem przekrój prostopadły jest rombem o boku 5 cm. Wszystkie boki rombu są równe. Oznacza to, że obwód przekroju prostopadłego jest równy cm.

Teraz obliczmy pole powierzchni bocznej:

(cm 2).

Odpowiedź: 240 cm 2 .

Podstawą prostego graniastosłupa jest trapez równoramienny o podstawach 25 cm i 9 cm i wysokości 8 cm. Znajdź kąty dwuścienne na bocznych krawędziach pryzmatu. Zobacz rys. 8.

Dany:ABCDA 1 B 1 Do 1 D 1- pryzmat,

AA 1 ⊥ ABC,

AB∥CD, CB = AD,

AB = 9cm , CD = 25cm,

Hdrabina= 8cm.

Znajdować: kąty dwuścienne na bocznych krawędziach pryzmatu.

Ryż. 8

Rozwiązanie:

Przypomnijmy sobie, czym jest kąt dwuścienny. Załóżmy, że mamy dwie półpłaszczyzny α i β, które przecinają się na linii prostej CC 1(ryc. 9). Następnie tworzą z krawędzią kąt dwuścienny CC 1. Kąt dwuścienny mierzy się za pomocą kąta liniowego.

Jak zbudowany jest kąt liniowy? Przyjmowany jest dowolny punkt M na krawędzi i narysowane są dwie prostopadłe: jedna prostopadła w płaszczyźnie β - prostopadła B, druga prostopadła w płaszczyźnie α jest prostopadła A. Następnie kąt między liniami A I B i będzie kątem liniowym kąta dwuściennego.

Ryż. 9

Znajdźmy kąt liniowy na krawędzi SS 1. Od krawędzi CC 1 prostopadle do całej płaszczyzny ABC, potem krawędź CC 1 prostopadle do dowolnej linii prostej wychodzącej z tej płaszczyzny, włączając linie proste przed Chrystusem I płyta CD. Następnie kąt między liniami przed Chrystusem I płyta CD, czyli kąt DCB, jest kątem liniowym kąta dwuściennego na krawędzi CC 1.

W podobny sposób stwierdzamy, że kąt liniowy na krawędzi AA 1- to jest kąt WOGŁOSZENIE, na krawędzi DD 1 - ∠ADC, na krawędzi nocleg ze śniadaniem 1 - ∠ABC. Wszystkie te kąty są kątami trapezowymi ABCD. Znajdźmy miarę ich stopnia.

Rozważmy trapez ABCD(ryc. 10) . Prześledźmy wysokości JAKIŚ I KV. Zgodnie z warunkiem wysokość trapezu wynosi 8 cm AN = KV= 8cm.

Ryż. 10

Znajdziemy NK. Bezpośredni JAKIŚ I HF prostopadle do tej samej linii DC. Więc to jest proste JAKIŚ I HF równoległy. Ponieważ JAKIŚ = HF, To ANKW- równoległobok. Oznacza, NK = AB= 9cm.

Od trapezu ABCD równoramienny, to zobacz

Rozważmy trójkąt DHA. Jest prostokątny, ponieważ JAKIŚ ⊥ DC i równoramienny, ponieważ JAKIŚ = D.H.. Oznacza, ∠ MIAŁ = ∠ HDA= 45° stopni.

Od trapezu ABCD zatem równoramienny ∠ DCB = ∠ ZDA= 45°, ∠ ZIMNICA = ∠ ABC= 180° - 45° = 135°.

Odpowiedź: 45°, 45°, 135°, 135°.

Referencje

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (podstawowy i poziomy profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik do kształcenia ogólnego instytucje edukacyjne/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

1. Zajęcia z fizyki/matematyki ().
2. 5klass.net ().
3. Ppt4web.ru ().
4. Iklasa().
5. Rutube.ru ().

Praca domowa

1. Równoległościan ma trzy ściany o powierzchni 1 cm 2, 2 cm 2, 3 cm 2. Jaka jest całkowita powierzchnia równoległościanu?
2. Podstawą pryzmatu jest trójkąt prostokątny, przekątne bocznych ścian pryzmatu wynoszą 8 cm, 14 cm, 16 cm. Znajdź wysokość pryzmatu.
3. Przekątna ściany bocznej regularnego graniastosłupa sześciokątnego jest równa większej przekątnej podstawy. Pod jakim kątem przecinają się przekątne ściany bocznej tego pryzmatu?
4. Znajdź powierzchnię właściwą N-graniastosłup gonalny, jeśli jakakolwiek krawędź tego pryzmatu jest równa A. A) N = 3; B) N = 4.

Test nr 3 na temat „Wielościany. Pole powierzchni pryzmatu, piramidy”

Poziomuję

Karta nr 1

2. Podstawą prostego pryzmatu jest romb o boku 5 cm i kąt rozwarty 120°. Powierzchnia boczna Pryzmat ma powierzchnię 240 cm2. Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu przechodzącego przez boczną krawędź i mniejszą przekątną podstawy.

3. Bok regularnej trójkątnej piramidy ma 6 cm i wysokość

Karta nr 2

2. Podstawą prostego graniastosłupa jest romb o kącie ostrym 60°. Boczna krawędź pryzmatu ma długość 10 cm, a pole powierzchni bocznej wynosi 240 cm2. Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu przechodzącego przez boczną krawędź i mniejszą przekątną podstawy.

3. Boczna krawędź regularnej trójkątnej piramidy ma 5 cm i wysokość√13 cm Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

II poziom

Karta nr 1

1. Wielościany regularne.

2. Podstawą prawego równoległościanu jest romb. Znajdź obszar powierzchni bocznej równoległościanu, jeśli obszary jego przekątnych to P iQ.

3. Podstawą piramidy jest trójkąt prostokątny o boku 4√3 cm i przeciwległym kącie 60°. Wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Karta nr 2

1. Powierzchnia boczna regularnej ściętej piramidy.

2. Przekątna regularnego czworokątnego pryzmatu ma poleQ. Znajdź pole powierzchni bocznej pryzmatu.

3. Podstawą piramidy jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30°. Wysokość ostrosłupa wynosi 4 cm i tworzy kąty 45° ze wszystkimi krawędziami bocznymi. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Poziom III

Karta nr 1

1. Pryzmat. Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu.

2. W pryzmacie prostym ABCA1B1C1 AB = 13, BC = 21, AC = 20. Przekątna ściany bocznej A1C tworzy z płaszczyzną ściany CC1B1B kąt 30°. Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu.

3. W regularnej czworokątnej piramidzie bok podstawy jest równy a, a kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi wynosi 120°. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Karta nr 2

1. Piramida. Powierzchnia boczna regularnej piramidy.

2. W prawym równoległościanieABCDA1 B1 C1 D1 OGŁOSZENIE= 17, DC= 28, AC = 39. Przekątna powierzchni bocznejA1 Dkomponuje się z płaszczyzną twarzy bocznejDD1 C1 Ckąt 45°. Znajdź całkowitą powierzchnię równoległościanu.

3. W regularnej trójkątnej piramidzie bok podstawy jest równyM. Kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi wynosi 120°. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Rozwiązania

Poziom I (karta 1)

№ 1. Biorąc pod uwagę:ABCDA1 B1 C1 D1 - prosty pryzmat.ABCD-romb. AD = 5cm; ∠ B=120° ; S6OK. = 240 cm2.

Znajdować:Subój.

nocleg ze śniadaniem1 D1 D. nocleg ze śniadaniem1 D1 D- prostokąt.Ssek. =BD· DD1. AA= 180° - 120° = 60°, ponieważABDC- romb, następnie ΔABD- równoboczne iBD= OGŁOSZENIE= 5cm.(Odpowiedź: 60 cm2.)

№ 2. Biorąc pod uwagę:DABC- regularna piramida trójkątna AB = BC = AC = 6 cm.DO- wysokość;DO= √3.

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie: Ponieważ piramida jest regularna, to O jest środkiem okręgu opisanego i wpisanego w ΔABC.Gdzieha- apotem ściany bocznej. Rosn. = 3 6 = 18 cm Rozważ ΔAA1C:(Odpowiedź:Sstrona. = 36 cm2.)

Poziom I (karta 2)

№ 1. Biorąc pod uwagę:ABCDA1 B1 C1 D1 - prosty pryzmat.ABCD- romb∠ A= 60°.AA1 = 10 cm.Sstrona. = 240 cm2.

Znajdować:Subój.

Rozwiązanie: Przekrój przechodzący przez żebro boczne i mniejszą przekątną podstawynocleg ze śniadaniem1 D1 D. nocleg ze śniadaniem1 D1 D- prostokąt.Ssek. =BD· DD1. AB = DC= AC (według warunku). AB = 24/4 = 6 cm. Rozważ ΔABD, ponieważ∠ A = 60°, następnie ΔABD- równoboczny.BD= 6cm.Sprzekrój = 6 10 = 60 cm (Odpowiedź: 60 cm.)

№ 2. Biorąc pod uwagę:DABC- regularna trójkątna piramidaDC= D.B.= OGŁOSZENIE= 5cm.DO- wysokość;DO= √ 1 3 cm.

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie:Gdzieha– apotem ściany bocznej. Rozważ ΔAOD: Więc,Ha = 4 (cm). Rozważmy ΔABC - równoboczny.(Odpowiedź:Sbok = 36 cm2.)

Poziom II (karta 1)

№ 1. Biorąc pod uwagę:ABCDA1 B1 C1 D1 - prosty równoległościan.ABCD- rombWOREK.1 CA = R;S.B.1 D1 D.B. = Q.

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie:

2)

3) Przekątne rombu, przecinające się, są podzielone na pół i są wzajemnie prostopadłe.

(Odpowiedź:)

№ 2. Dany:DABC - piramida∠ C = 90 ° ; SA= 4√3 (cm);∠ B = 60 ° ; ∠ DBO = ∠ DAO = ∠ DCO = 45 ° .

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie: Ponieważ krawędzie piramidy są nachylone pod tym samym kątem, to OA = OB = CO. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego wokół ΔABC i jest środkiem przeciwprostokątnej.

1) Rozważ ΔADB: DAO– równoramienne (∠ DAO= 45°). Stąd,AO = DO. AO = 1/2AB. Wyznaczmy AB na podstawie ΔABC.

2) Rozważ ΔCDA: DMwyznaczamy z ΔDOM. Ustalmy OM z ΔАВС. OM = 1/2BC. BC = 1/2AB (noga pod kątem 30°). BC = 4 cm MO= 2 cm.

3) Rozważ ΔCDB:

(Odpowiedź:)

IIpoziom (karta 2)

№ 1. Biorąc pod uwagę:ABCDA1 B1 C1 D1 - regularny czworokątny pryzmat.ABCD- kwadrat.SACA1 C1 = Q.

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie:Rozważ ΔADC: AC2 = OGŁOSZENIE2 + DC2, ponieważABCD- w takim razie kwadratAC2= 2 OGŁOSZENIE2.

(Odpowiedź:)

№ 2. Biorąc pod uwagę;DABC- piramida. ΔАВС - prostokątny;∠ Z = 90 ° ; ∠ W = 30 ° ; DO- wysokość;DO= 4cm.∠ KOROWODY= ∠ BDO= ∠ CDO

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie: ΔKOROWODY= Δ DBO= Δ CDO(przez nogę i ostry róg). Dlatego AO = OB= system operacyjny. Oznacza to, że punkt O jest środkiem okręgu opisanego na obwodzie ΔABC, a zatem jest środkiem przeciwprostokątnej. Z równości trójkątów wynika AO = OB = OC =OD(równoramienny, prostokątny). AO = 4 cm AB = 8 cm.

1. RozważΔADB:

2. RozważΔADC:

(Odpowiedź:)

Poziom III (karta 1)

№ 1. Biorąc pod uwagę:ABCA1 B1 C1 - prosty pryzmat.AB= 13, BC = 21, AC = 20;∠ AFM = 30 ° .

Znajdować:Spełny

Rozwiązanie: Kąt pomiędzy A1C a płaszczyzną BB1C1C wynosi 30°. Jest to kąt pomiędzy prostą A1C a jej rzutem na płaszczyznę BB1C1C. A1M⊥ B1C1, MS - rzut A1C na płaszczyznęnocleg ze śniadaniem1 CC1. ∠ ACM= 30°.Rozważmy ΔA1MC: A1M - wysokość iRozważmyΔA1 MC: (to jest∠ A1 C.M.= 30°); A1C = 24 i(Odpowiedź:)

№ 2. Biorąc pod uwagę:MABCD- regularna czworokątna piramida.DA= a;∠ BKD= 120°.

Znajdować:Sstrona.

Rozwiązanie: Kąt między twarzamiBstwardnienie rozsiane iDMCrówna się 120°;DK⊥ MC; ponieważ ΔBMC = Δ DMC, ToB.K.⊥ MCI∠ BKD - kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią MC; ha = MN; BD = a√2 (przekątna kwadratu); ΔBKD-równoramienny. Stąd,∠ OK= 60°, a∠ ODK= 30° iRozważ ΔDMC: LubZΔDKC: Od ΔMNC: (Odpowiedź:)