Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Definicja
wielościan nazwiemy zamkniętą powierzchnię złożoną z wielokątów i ograniczającą pewną część przestrzeni.
Segmenty, które są bokami tych wielokątów, nazywają się żebra wielościan i same wielokąty - twarze. Wierzchołki wielokątów nazywane są wierzchołkami wielościanu.
Rozważymy tylko wielościany wypukłe (jest to wielościan znajdujący się po jednej stronie każdej płaszczyzny zawierającej jego twarz).
Wielokąty tworzące wielościan tworzą jego powierzchnię. Część przestrzeni ograniczona danym wielościanem nazywana jest jego wnętrzem.
Definicja: pryzmat
Rozważmy dwa równe wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) umieszczone w równoległych płaszczyznach tak, aby segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) są równoległe. Wielościan utworzony z wielokątów \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) oraz równoległoboków \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), nazywa się (\(n\)-węgiel) pryzmat.
Wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) nazywane są podstawami graniastosłupa, równoległobokiem \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– ścianki boczne, segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- boczne żebra.
W ten sposób boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.
Rozważmy przykład - pryzmat \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), którego podstawą jest wypukły pięciokąt.
Wzrost Pryzmat jest prostopadły z dowolnego punktu na jednej podstawie do płaszczyzny innej podstawy.
Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy, nazywa się taki pryzmat skośny(ryc. 1), w przeciwnym razie - proste. W przypadku prostego pryzmatu boczne krawędzie są wysokościami i twarze boczne są równymi prostokątami.
Jeśli u podstawy prawego pryzmatu leży wielokąt foremny, to pryzmat nazywa się prawidłowy.
Definicja: pojęcie objętości
Jednostką objętości jest sześcian jednostkowy (sześcian o wymiarach \(1\times1\times1\) units\(^3\) , gdzie jednostka jest jednostką miary).
Można powiedzieć, że objętość wielościanu to ilość przestrzeni, jaką ten wielościan ogranicza. Inaczej: jest to wartość, której wartość liczbowa wskazuje, ile razy sześcian jednostkowy i jego części mieszczą się w danym wielościanie.
Objętość ma takie same właściwości jak powierzchnia:
1. Objętości równych cyfr są równe.
2. Jeśli wielościan składa się z kilku nie przecinających się wielościanów, to jego objętość jest równa sumie tomy tych wielościanów.
3. Objętość jest wartością nieujemną.
4. Objętość mierzona jest w cm\(^3\) (centymetrach sześciennych), m\(^3\) ( Metry sześcienne) itp.
Twierdzenie
1. Powierzchnia bocznej powierzchni pryzmatu jest równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.
Pole powierzchni bocznej jest sumą pól powierzchni bocznych pryzmatu.
2. Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości pryzmatu: \
Definicja: pudełko!
Równoległościan Jest to pryzmat, którego podstawą jest równoległobok.
Wszystkie ściany równoległościanu (ich \(6\) : \(4\) ściany boczne i \(2\) podstawy) są równoległobokami, a przeciwległe ściany (równoległe do siebie) są równoległoboki równe(rys. 2).
Przekątna pudełka to odcinek łączący dwa wierzchołki równoległościanu, które nie leżą na tej samej powierzchni (ich \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itp.).
prostopadłościan
jest równoległościanem prawym z prostokątem u podstawy.
Dlatego jest równoległościanem prawym, to boki są prostokątami. Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie powierzchnie prostokątnego równoległościanu są prostokątami.
Wszystkie przekątne prostopadłościanu są równe (wynika to z równości trójkątów \(\trójkąt ACC_1=\trójkąt AA_1C=\trójkąt BDD_1=\trójkąt BB_1D\) itp.).
Komentarz
Tak więc równoległościan ma wszystkie właściwości pryzmatu.
Twierdzenie
Powierzchnia bocznej powierzchni prostokątnego równoległościanu jest równa \
Kwadrat pełna powierzchnia prostokątny równoległościan jest równy \
Twierdzenie
Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi jego trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (trzy wymiary prostopadłościanu): \
Dowód
Dlatego dla prostopadłościanu prostokątnego krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy, wtedy są to również jego wysokości, czyli \(h=AA_1=c\) podstawa jest prostokątem \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Stąd pochodzi formuła.
Twierdzenie
Przekątnej \(d\) prostopadłościanu szukamy według wzoru (gdzie \(a,b,c\) są wymiarami prostopadłościanu)\
Dowód
Rozważ ryc. 3. Ponieważ podstawa jest prostokątem, a następnie \(\triangle ABD\) jest prostokątne, zatem według twierdzenia Pitagorasa \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Dlatego wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, to \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) prostopadłe do dowolnej linii w tej płaszczyźnie, tj. \(BB_1\perp BD\) . Tak więc \(\triangle BB_1D\) jest prostokątne. Następnie przez twierdzenie Pitagorasa \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), tys.
Definicja: kostka
Sześcian jest prostokątnym równoległościanem, którego wszystkie boki są równe kwadratom.
Zatem trzy wymiary są sobie równe: \(a=b=c\) . Więc poniższe są prawdziwe
Twierdzenia
1. Objętość sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(V_(\text(sześcian))=a^3\) .
2. Przekątna sześcianu jest przeszukiwana według wzoru \(d=a\sqrt3\) .
3. Całkowita powierzchnia sześcianu \(S_(\text(pełne iteracje kostki))=6a^2\).
W geometrii kluczowymi pojęciami są płaszczyzna, punkt, linia i kąt. Używając tych terminów, można opisać dowolną figurę geometryczną. Wielościany są zwykle opisywane w kategoriach więcej proste figury które leżą na tej samej płaszczyźnie, na przykład koło, trójkąt, kwadrat, prostokąt i tak dalej. W tym artykule zastanowimy się, czym jest równoległościan, opiszemy rodzaje równoległościanów, jego właściwości, z jakich elementów się składa, a także podamy podstawowe formuły obliczania powierzchni i objętości dla każdego typu równoległościanu.
Równoległościan w przestrzeni trójwymiarowej to graniastosłup, którego wszystkie boki są równoległobokami. W związku z tym może mieć tylko trzy pary równoległoboków lub sześć ścian.
Aby zwizualizować pudełko, wyobraź sobie zwykłą standardową cegłę. Cegła - dobry przykład prostokątny równoległościan, który może sobie wyobrazić nawet dziecko. Inne przykłady to wielopiętrowe domy panelowe, szafy, pojemniki magazynowe produkty żywieniowe odpowiednia forma itp.
Istnieją tylko dwa rodzaje równoległościanów:
Wzory dla każdego konkretnego przypadku równoległościanu będą różne.
W przypadku dowolnego równoległościanu prawdziwe jest twierdzenie, że jego objętość jest równa wartości bezwzględnej potrójnego iloczynu skalarnego wektorów trzech boków pochodzących z jednego wierzchołka. Nie ma jednak wzoru na obliczenie objętości dowolnego równoległościanu.
W przypadku równoległościanu prostokątnego obowiązują następujące wzory:
Innym szczególnym przypadkiem równoległościanu, w którym wszystkie boki są kwadratami, jest sześcian. Jeżeli którykolwiek z boków kwadratu jest oznaczony literą a, to dla pola powierzchni i objętości tej figury można zastosować następujące wzory:
Ostatni rodzaj równoległościanu, który rozważamy, to prosty równoległościan. Jaka jest różnica między prostopadłościanem a prostopadłościanem, pytasz. Faktem jest, że podstawą prostokątnego równoległościanu może być dowolny równoległobok, a podstawą linii prostej może być tylko prostokąt. Jeżeli obwód podstawy, równy sumie długości wszystkich boków wyznaczymy jako Po, a wysokość jako h, to do obliczenia objętości i pola powierzchni pełnej i bocznej mamy prawo użyć poniższych wzorów powierzchnie.
Kiedy byłeś mały i bawiłeś się kostkami, być może dodałeś figurki pokazane na rysunku 154. Te liczby dają wyobrażenie o prostopadłościan. Kształt prostokątnego równoległościanu to na przykład pudełko czekoladek, cegła, pudełko zapałek, pudełko do pakowania, torebka na sok.
Rysunek 155 przedstawia prostokątny równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Pudełko prostokątne jest ograniczone do sześciu twarze. Każda twarz to prostokąt, czyli powierzchnia prostopadłościanu składa się z sześciu prostokątów.
Boki twarzy nazywane są krawędzie prostokątnego równoległościanu, wierzchołki powierzchni − wierzchołki prostokątnego równoległościanu. Na przykład odcinki AB, BC, A 1 B 1 są krawędziami, a punkty B, A 1 , C 1 są wierzchołkami równoległościanu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 155).
Prostopadłościan ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
Ściany AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C nie mają wspólnych wierzchołków. Takie krawędzie nazywają się naprzeciwko. Równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ma jeszcze dwie pary przeciwległych ścian: prostokąty ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 , a także prostokąty AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C.
Przeciwległe ściany prostopadłościanu są równe.
Na rysunku 155 twarz ABCD nazywa się podstawa prostopadłościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Powierzchnia równoległościanu to suma powierzchni wszystkich jego ścian.
Aby mieć pojęcie o wymiarach prostopadłościanu, wystarczy wziąć pod uwagę dowolne trzy krawędzie, które mają wspólny wierzchołek. Długości tych krawędzi nazywają się pomiary prostokątny równoległościan. Aby je rozróżnić, użyj nazw: długość, szerokość, wzrost(Rys. 156).
Nazywa się prostokątny równoległościan, w którym wszystkie wymiary są równe sześcian(ryc. 157). Powierzchnia sześcianu składa się z sześciu równych kwadratów.
Jeśli pudełko, które ma kształt prostokątnego równoległościanu, zostanie otwarte ( ryc. 158) i przecięte wzdłuż czterech pionowych krawędzi ( ryc. 159), a następnie rozłożone, otrzymamy figurę składającą się z sześciu prostokątów ( ryc. 160) . Ta figura nazywa się rozwój prostokątnego równoległościanu.
Rysunek 161 przedstawia figurę składającą się z sześciu równych kwadratów. To rozwój sześcianu.
Za pomocą przeciągnięcia możesz wykonać model prostokątnego równoległościanu.
Można to zrobić na przykład w ten sposób. Narysuj jego kontur na papierze. Wytnij go, wygnij wzdłuż segmentów odpowiadających krawędziom prostokątnego równoległościanu (patrz rys. 159) i przyklej.
Prostopadłościan to rodzaj wielościanu - figury, której powierzchnia składa się z wielokątów. Rysunek 162 przedstawia wielościany.
Jeden rodzaj wielościanu to piramida.
Ta postać nie jest dla ciebie nowa. Studiowanie kursu świat starożytny poznałeś jeden z siedmiu cudów świata – egipskie piramidy.
Rysunek 163 przedstawia piramidy MABC, MABCD, MABCDE. Powierzchnia piramidy to twarze boczne− trójkąty mające wspólny wierzchołek, oraz fusy(Rys. 164). Wspólny wierzchołek ścian bocznych nazywa się krawędzie podstawy piramidy, oraz boki ścian bocznych, które nie należą do podstawy − boczne żebra piramidy.
Piramidy można klasyfikować według liczby boków podstawy: trójkątne, czworokątne, pięciokątne (patrz rys. 163) itp.
Powierzchnia trójkątnej piramidy składa się z czterech trójkątów. Każdy z tych trójkątów może służyć jako podstawa piramidy. Ta podstawa jest rodzajem piramidy, której każda ściana może służyć jako jej podstawa.
Rysunek 165 przedstawia postać, która może służyć rozwój piramidy czworokątnej. Składa się z kwadratu i czterech równych trójkątów równoramiennych.
Rysunek 166 przedstawia figurę składającą się z czterech równych trójkątów równobocznych. Korzystając z tej figury, możesz wykonać model trójkątnej piramidy, w której wszystkie twarze są trójkątami równobocznymi.
Wielościany są przykładami ciała geometryczne.
Rysunek 167 pokazuje znane ciała geometryczne, które nie są wielościanami. Więcej o tych ciałach dowiesz się w szóstej klasie.
W tej lekcji każdy będzie mógł zapoznać się z tematem „Pudełko prostokątne”. Na początku lekcji powtórzymy, czym są arbitralne i proste równoległościany, przypomnimy sobie właściwości ich przeciwległych ścian i przekątnych równoległościanu. Następnie zastanowimy się, czym jest prostopadłościan i omówimy jego główne właściwości.
Temat: Prostopadłość linii i płaszczyzn
Lekcja: Prostopadłościan
Powierzchnia składająca się z dwóch równych równoległoboków ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 oraz czterech równoległoboków ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 jest nazywana równoległościan(rys. 1).
Ryż. 1 równoległościan
Czyli: mamy dwa równe równoległoboki ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (podstawy), leżą one w równoległych płaszczyznach tak, że krawędzie boczne AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 są równoległe. Tak więc powierzchnia złożona z równoległoboków nazywa się równoległościan.
Zatem powierzchnia równoległościanu jest sumą wszystkich równoległoboków, które tworzą równoległościan.
1. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.
(liczby są równe, to znaczy można je łączyć za pomocą nakładki)
Na przykład:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (z definicji równe równoległoboki),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (ponieważ AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ponieważ AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu).
2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają ten punkt.
Przekątne równoległościanu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B przecinają się w jednym punkcie O, a każda przekątna jest podzielona na pół przez ten punkt (ryc. 2).
Ryż. 2 Przekątne równoległościanu przecinają i przecinają punkt przecięcia.
3. Istnieją trzy czwórki równych i równoległych krawędzi równoległościanu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definicja. Równoległościan nazywa się prostym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw.
Niech krawędź boczna AA 1 będzie prostopadła do podstawy (rys. 3). Oznacza to, że prosta AA 1 jest prostopadła do prostych AD i AB, które leżą w płaszczyźnie podstawy. I dlatego prostokąty leżą na bocznych ścianach. A podstawy są dowolnymi równoległobokami. Oznaczmy, ∠BAD = φ, kąt φ może być dowolny.
Ryż. 3 Prawe pudełko
Tak więc właściwe pudełko to pudełko, w którym boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw pudełka.
Definicja. Równoległościan nazywa się prostokątnym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawy są prostokątami.
Równoległościan АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 jest prostokątny (ryc. 4), jeżeli:
1. AA 1 ⊥ ABCD (krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli prosty równoległościan).
2. ∠BAD = 90°, tzn. podstawa jest prostokątem.
Ryż. 4 Prostopadłościan
Prostokątne pudełko ma wszystkie właściwości dowolnego pudełka. Ale istnieją dodatkowe właściwości, które wynikają z definicji prostopadłościanu.
Więc, prostopadłościan jest równoległościanem, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt.
1. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty.
ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są z definicji prostokątami.
2. Żebra boczne są prostopadłe do podstawy. Oznacza to, że wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.
3. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi.
Rozważmy na przykład kąt dwuścienny równoległościanu prostokątnego z krawędzią AB, tj. kąt dwuścienny między płaszczyznami ABB 1 i ABC.
AB jest krawędzią, punkt A 1 leży w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie ABB 1, a punkt D w drugiej - w płaszczyźnie A 1 B 1 C 1 D 1. Wówczas rozpatrywany kąt dwuścienny można również oznaczyć w następujący sposób: ∠А 1 АВD.
Weź punkt A na krawędzi AB. AA 1 jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABB-1, AD jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABC. Stąd ∠A 1 AD jest kątem liniowym danego kąta dwuściennego. ∠A 1 AD \u003d 90 °, co oznacza, że kąt dwuścienny na krawędzi AB wynosi 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Podobnie udowadnia się, że wszelkie kąty dwuścienne prostopadłościanu prostokątnego są prawidłowe.
Kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.
Notatka. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu są wymiarami prostopadłościanu. Czasami nazywa się je długością, szerokością, wysokością.
Biorąc pod uwagę: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prostokątny równoległościan (ryc. 5).
Udowodnić: .
Ryż. 5 Prostopadłościan
Dowód:
Prosta CC 1 jest prostopadła do płaszczyzny ABC, a więc do prostej AC. Czyli trójkąt CC 1 A jest trójkątem prostokątnym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Rozważać trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Ale BC i AD są przeciwległymi stronami prostokąta. Więc BC = AD. Następnie:
Dlatego , a , następnie. Ponieważ CC 1 = AA 1, to co należało udowodnić.
Przekątne prostokątnego równoległościanu są równe.
Oznaczmy wymiary równoległościanu ABC jako a, b, c (patrz rys. 6), a następnie AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
