Schody.  Grupa wejściowa.  Przybory.  Drzwi.  Zamki  Projekt

Schody. Grupa wejściowa. Przybory. Drzwi. Zamki Projekt

» Rozwiązywanie nierówności wykładniczych dla poziomu profilu Unified State Exam. Równania wykładnicze i nierówności

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych dla poziomu profilu Unified State Exam. Równania wykładnicze i nierówności

Równania i nierówności wykładnicze to takie, w których niewiadoma jest zawarta w wykładniku.

Rozwiązywanie równań wykładniczych często sprowadza się do rozwiązania równania a x = a b, gdzie a > 0, a ≠ 1, x jest niewiadomą. Równanie to ma jeden pierwiastek x = b, ponieważ prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Jeśli a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, to x 1 = x 2.

Uzasadnijmy rozważane stwierdzenie.

Załóżmy, że nie zachodzi równość x 1 = x 2, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, to funkcja wykładnicza y = a x rośnie i dlatego musi być spełniona nierówność a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >x2. W obu przypadkach otrzymaliśmy sprzeczność z warunkiem a x 1 = a x 2.

Rozważmy kilka problemów.

Rozwiąż równanie 4 ∙ 2 x = 1.

Rozwiązanie.

Zapiszmy równanie w postaci 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, z czego otrzymamy x + 2 = 0, tj. x = -2.

Odpowiedź. x = -2.

Rozwiąż równanie 2 3x ∙ 3 x = 576.

Rozwiązanie.

Ponieważ 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, równanie można zapisać jako 8 x ∙ 3 x = 24 2 lub jako 24 x = 24 2.

Stąd otrzymujemy x = 2.

Odpowiedź. x = 2.

Rozwiąż równanie 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Rozwiązanie.

Biorąc wspólny czynnik 3 x - 2 z nawiasów po lewej stronie, otrzymujemy 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

skąd 3 x - 2 = 1, tj. x – 2 = 0, x = 2.

Odpowiedź. x = 2.

Rozwiąż równanie 3 x = 7 x.

Rozwiązanie.

Ponieważ 7 x ≠ 0, równanie można zapisać jako 3 x /7 x = 1, skąd (3/7) x = 1, x = 0.

Odpowiedź. x = 0.

Rozwiąż równanie 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Rozwiązanie.

Zastępując 3 x = a, równanie to sprowadza się do równania kwadratowego a 2 – 4a – 45 = 0.

Rozwiązując to równanie, znajdujemy jego pierwiastki: a 1 = 9 i 2 = -5, skąd 3 x = 9, 3 x = -5.

Równanie 3 x = 9 ma pierwiastek 2, a równanie 3 x = -5 nie ma pierwiastków, ponieważ funkcja wykładnicza nie może przyjmować wartości ujemnych.

Odpowiedź. x = 2.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych często sprowadza się do rozwiązania nierówności a x > a b lub a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Spójrzmy na niektóre problemy.

Rozwiąż nierówność 3 x< 81.

Rozwiązanie.

Zapiszmy nierówność w postaci 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, to funkcja y = 3 x rośnie.

Dlatego dla x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Zatem w x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odpowiedź. X< 4.

Rozwiąż nierówność 16 x +4 x – 2 > 0.

Rozwiązanie.

Oznaczmy 4 x = t, wówczas otrzymamy nierówność kwadratową t2 + t – 2 > 0.

Ta nierówność zachodzi dla t< -2 и при t > 1.

Ponieważ t = 4 x, otrzymujemy dwie nierówności 4 x< -2, 4 х > 1.

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ 4 x > 0 dla wszystkich x € R.

Drugą nierówność zapisujemy w postaci 4 x > 4 0, skąd x > 0.

Odpowiedź. x > 0.

Rozwiąż graficznie równanie (1/3) x = x – 2/3.

Rozwiązanie.

1) Zbudujmy wykresy funkcji y = (1/3) x i y = x – 2/3.

2) Na podstawie naszego rysunku możemy stwierdzić, że wykresy rozważanych funkcji przecinają się w punkcie z odciętą x ≈ 1. Sprawdzenie to potwierdza

x = 1 jest pierwiastkiem tego równania:

(1/3) 1 = 1/3 i 1 – 2/3 = 1/3.

Innymi słowy, znaleźliśmy jeden z pierwiastków równania.

3) Znajdźmy inne korzenie lub udowodnijmy, że ich nie ma. Funkcja (1/3) x maleje, a funkcja y = x – 2/3 rośnie. Dlatego dla x > 1 wartości pierwszej funkcji są mniejsze niż 1/3, a drugiej – większe niż 1/3; o x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odpowiedź. x = 1.

Zauważmy, że w szczególności z rozwiązania tego problemu wynika, że ​​nierówność (1/3) x > x – 2/3 jest spełniona dla x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Rozwiązanie większości problemów matematycznych w taki czy inny sposób polega na przekształcaniu wyrażeń numerycznych, algebraicznych lub funkcjonalnych. Powyższe dotyczy w szczególności decyzji. W wersjach Unified State Examination z matematyki do tego typu zadania zalicza się w szczególności zadanie C3. Nauka rozwiązywania zadań C3 jest ważna nie tylko po to, żeby odnieść sukces zdanie jednolitego egzaminu państwowego, ale także dlatego, że umiejętność ta przyda się podczas nauki matematyki w szkole średniej.

Wykonując zadania C3 musisz podjąć decyzję różne typy równania i nierówności. Należą do nich racjonalne, irracjonalne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, zawierające moduły (wartości bezwzględne), a także połączone. W tym artykule omówiono główne typy równań wykładniczych i nierówności, a także różne metody ich decyzje. O rozwiązywaniu innych typów równań i nierówności przeczytaj w dziale „” w artykułach poświęconych metodom rozwiązywania problemów C3 z Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego w matematyce.

Zanim zaczniemy analizować konkretne Równania i nierówności wykładnicze Jako nauczyciel matematyki sugeruję, abyś odświeżył niektóre elementy materiał teoretyczny, które będą nam potrzebne.

Funkcja wykładnicza

Co to jest funkcja wykładnicza?

Funkcja formy y = x, Gdzie A> 0 i A≠ 1 nazywa się funkcja wykładnicza.

Podstawowy własności funkcji wykładniczej y = x:

Wykres funkcji wykładniczej

Wykres funkcji wykładniczej to wykładnik potęgowy:

Wykresy funkcji wykładniczych (wykładniki)

Rozwiązywanie równań wykładniczych

Orientacyjny nazywane są równaniami, w których nieznana zmienna występuje tylko w wykładnikach niektórych potęg.

Aby rozwiązać równania wykładnicze musisz znać i umieć zastosować następujące proste twierdzenie:

Twierdzenie 1. Równanie wykładnicze A F(X) = A G(X) (Gdzie A > 0, A≠ 1) jest równoważne równaniu F(X) = G(X).

Ponadto warto zapamiętać podstawowe formuły i operacje na stopniach:

Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Przykład 1. Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: Korzystamy z powyższych wzorów i podstawień:

Równanie staje się wtedy:

Rozróżnienie otrzymanych równanie kwadratowe pozytywny:

Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Oznacza to, że to równanie ma dwa pierwiastki. Znajdujemy je:

Przechodząc do odwrotnego podstawienia, otrzymujemy:

Drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ funkcja wykładnicza jest ściśle dodatnia w całej dziedzinie definicji. Rozwiążmy drugie:

Biorąc pod uwagę to, co zostało powiedziane w Twierdzeniu 1, przechodzimy do równoważnego równania: X= 3. To będzie odpowiedź na zadanie.

Odpowiedź: X = 3.

Przykład 2. Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: Równanie nie ma ograniczeń co do zakresu dopuszczalnych wartości, ponieważ wyrażenie radykalne ma sens dla dowolnej wartości X(funkcja wykładnicza y = 9 4 -X dodatnia i różna od zera).

Równanie rozwiązujemy za pomocą przekształceń równoważnych, korzystając z zasad mnożenia i dzielenia potęg:

Ostatnie przejście przeprowadzono zgodnie z Twierdzeniem 1.

Odpowiedź:X= 6.

Przykład 3. Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: obie strony pierwotnego równania można podzielić przez 0,2 X. To przejście będzie równoważne, ponieważ to wyrażenie jest większe od zera dla dowolnej wartości X(funkcja wykładnicza jest ściśle dodatnia w swojej dziedzinie definicji). Wtedy równanie przyjmuje postać:

Odpowiedź: X = 0.

Przykład 4. Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: upraszczamy równanie do elementarnego poprzez przekształcenia równoważne, korzystając z podanych na początku artykułu zasad dzielenia i mnożenia potęg:

Dzielenie obu stron równania przez 4 X, jak w poprzednim przykładzie, jest równoważną transformacją, ponieważ to wyrażenie nie jest równe zero dla żadnej wartości X.

Odpowiedź: X = 0.

Przykład 5. Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: funkcjonować y = 3X, stojąca po lewej stronie równania, rośnie. Funkcjonować y = —X Wartość -2/3 po prawej stronie równania maleje. Oznacza to, że jeśli wykresy tych funkcji przecinają się, to co najwyżej w jednym punkcie. W w tym przypadku nietrudno zgadnąć, że wykresy przecinają się w tym punkcie X= -1. Innych korzeni nie będzie.

Odpowiedź: X = -1.

Przykład 6. Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie: upraszczamy równanie za pomocą przekształceń równoważnych, pamiętając wszędzie, że funkcja wykładnicza jest ściśle większa od zera dla dowolnej wartości X i korzystając z zasad obliczania iloczynu i ilorazu potęg podanych na początku artykułu:

Odpowiedź: X = 2.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Orientacyjny nazywane są nierównościami, w których nieznana zmienna jest zawarta tylko w wykładnikach niektórych potęg.

Aby rozwiązać nierówności wykładnicze wymagana jest znajomość następującego twierdzenia:

Twierdzenie 2. Jeśli A> 1, to nierówność A F(X) > A G(X) jest równoważne nierówności o tym samym znaczeniu: F(X) > G(X). Jeśli 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) jest równoważne nierówności o odwrotnym znaczeniu: F(X) < G(X).

Przykład 7. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie: Przedstawiamy pierwotną nierówność w postaci:

Podzielmy obie strony tej nierówności przez 3 2 X, w tym przypadku (ze względu na dodatniość funkcji y= 3 2X) znak nierówności nie ulegnie zmianie:

Skorzystajmy z podstawienia:

Wtedy nierówność będzie miała postać:

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział:

przechodząc do odwrotnego podstawienia, otrzymujemy:

Ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej lewa nierówność jest spełniona automatycznie. Korzystając ze znanej własności logarytmu, przechodzimy do równoważnej nierówności:

Ponieważ podstawa stopnia jest liczbą większą niż jeden, równoważne (zgodnie z Twierdzeniem 2) jest przejście do następującej nierówności:

Więc w końcu dostajemy odpowiedź:

Przykład 8. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie: Korzystając z własności mnożenia i dzielenia potęg, zapisujemy nierówność w postaci:

Wprowadźmy nową zmienną:

Uwzględniając to podstawienie, nierówność przyjmuje postać:

Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez 7, otrzymujemy równoważną nierówność:

Zatem następujące wartości zmiennej spełniają nierówność T:

Następnie przechodząc do odwrotnego podstawienia otrzymujemy:

Ponieważ podstawa stopnia jest tutaj większa niż jeden, przejście do nierówności będzie równoważne (zgodnie z Twierdzeniem 2):

Wreszcie dostajemy odpowiedź:

Przykład 9. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie:

Obie strony nierówności dzielimy według wyrażenia:

Jest ona zawsze większa od zera (ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej), więc nie ma potrzeby zmiany znaku nierówności. Otrzymujemy:

t znajdujący się w przedziale:

Przechodząc do odwrotnego podstawienia, okazuje się, że pierwotna nierówność dzieli się na dwa przypadki:

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań ze względu na dodatniość funkcji wykładniczej. Rozwiążmy drugie:

Przykład 10. Rozwiąż nierówność:

Rozwiązanie:

Gałęzie paraboli y = 2X+2-X 2 są skierowane w dół, dlatego jest ograniczona od góry wartością, jaką osiąga na swoim wierzchołku:

Gałęzie paraboli y = X 2 -2X+2 we wskaźniku są skierowane w górę, co oznacza, że ​​jest on ograniczony od dołu wartością, jaką osiąga na swoim wierzchołku:

Jednocześnie funkcja okazuje się również ograniczona od dołu y = 3 X 2 -2X+2, co jest po prawej stronie równania. Osiąga swój cel najniższa wartość w tym samym punkcie co parabola wykładnika i wartość ta jest równa 3 1 = 3. Zatem pierwotna nierówność może być prawdziwa tylko wtedy, gdy funkcja po lewej stronie i funkcja po prawej stronie przyjmą wartość równą 3 w tym samym punkcie (przy przecięciu. Zakres wartości tych funkcji to tylko ta liczba). Warunek ten jest spełniony w jednym punkcie X = 1.

Odpowiedź: X= 1.

Aby nauczyć się decydować równania i nierówności wykładnicze, konieczne jest ciągłe szkolenie w ich rozwiązywaniu. W tym trudnym zadaniu mogą pomóc różne rzeczy. podręczniki metodyczne, podręczniki problemowe z matematyki elementarnej, zbiory problemów konkursowych, zajęcia z matematyki w szkole, a także lekcje indywidualne z profesjonalnym lektorem. Serdecznie życzę sukcesów w przygotowaniach i doskonałych wyników na egzaminie.


Siergiej Waleriewicz

P.S. Drodzy Goście! Proszę nie pisać w komentarzach próśb o rozwiązanie równań. Niestety nie mam na to kompletnie czasu. Takie wiadomości będą usuwane. Proszę przeczytać artykuł. Być może znajdziesz w nim odpowiedzi na pytania, które nie pozwoliły Ci samodzielnie rozwiązać zadania.

Wiele osób uważa, że ​​nierówności wykładnicze są czymś złożonym i niezrozumiałym. I że nauczenie się ich rozwiązywania to niemal wielka sztuka, którą tylko Wybrani są w stanie pojąć...

Kompletny nonsens! Nierówności wykładnicze są łatwe. I zawsze można je rozwiązać w prosty sposób. No prawie zawsze :)

Dzisiaj przyjrzymy się temu tematowi od wewnątrz i od zewnątrz. Ta lekcja będzie bardzo przydatna dla tych, którzy dopiero zaczynają rozumieć tę część matematyki szkolnej. Zacznijmy od prostych problemów i przejdźmy do bardziej złożonych. Nie będzie dzisiaj nic trudnego, ale to, co zaraz przeczytasz, wystarczy, aby rozwiązać większość nierówności na wszelkiego rodzaju testach i testach. niezależna praca. I na tym twoim egzaminie też.

Jak zawsze zacznijmy od definicji. Nierówność wykładnicza to dowolna nierówność zawierająca funkcję wykładniczą. Innymi słowy, zawsze można to sprowadzić do nierówności formy

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdzie $b$ może pełnić tę rolę? zwykły numer i może coś mocniejszego. Przykłady? Tak, proszę:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ kwadrat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(align)\]

Myślę, że znaczenie jest jasne: istnieje funkcja wykładnicza $((a)^(x))$, jest ona porównywana z czymś, a następnie proszona o znalezienie $x$. W szczególnie klinicznych przypadkach zamiast zmiennej $x$ można postawić jakąś funkcję $f\left(x \right)$ i w ten sposób nieco skomplikować nierówność :)

Oczywiście w niektórych przypadkach nierówność może wydawać się poważniejsza. Tutaj na przykład:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Albo nawet to:

Ogólnie rzecz biorąc, złożoność takich nierówności może być bardzo różna, ale ostatecznie sprowadzają się one do prostej konstrukcji $((a)^(x)) \gt b$. I jakoś wymyślimy taką konstrukcję (w szczególnie przypadkach klinicznych, gdy nic nie przychodzi nam do głowy, pomogą nam logarytmy). Dlatego teraz nauczymy Cię, jak rozwiązywać takie proste konstrukcje.

Rozwiązywanie prostych nierówności wykładniczych

Rozważmy coś bardzo prostego. Na przykład to:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Oczywiście liczbę po prawej stronie można przepisać jako potęgę dwójki: $4=((2)^(2))$. Zatem pierwotną nierówność można zapisać w bardzo wygodnej formie:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz aż mnie swędzą ręce, żeby „skreślić” dwójki w podstawach potęg, żeby otrzymać odpowiedź $x \gt 2$. Ale zanim cokolwiek skreślimy, przypomnijmy sobie potęgę dwójki:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak widzimy, niż większa liczba jest w wykładniku, tym większa jest liczba wyjściowa. „Dzięki, Cap!” – zawoła jeden z uczniów. Czy jest inaczej? Niestety, to się zdarza. Na przykład:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ prawo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tutaj również wszystko jest logiczne: im większy stopień, tym więcej razy liczba 0,5 jest mnożona przez siebie (tj. Dzielona na pół). Zatem wynikowy ciąg liczb jest malejący, a różnica między pierwszą a drugą sekwencją występuje tylko w podstawie:

  • Jeśli podstawa stopnia $a \gt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ również wzrośnie;
  • I odwrotnie, jeśli $0 \lt a \lt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ będzie się zmniejszać.

Podsumowując te fakty, otrzymujemy najważniejsze stwierdzenie, na którym opiera się całe rozwiązanie nierówności wykładniczych:

Jeżeli $a \gt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równa nierówności $x \gt n$. Jeśli $0 \lt a \lt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \lt n$.

Innymi słowy, jeśli podstawa jest większa niż jedność, możesz ją po prostu usunąć - znak nierówności nie ulegnie zmianie. A jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale jednocześnie będziesz musiał zmienić znak nierówności.

Należy pamiętać, że nie uwzględniliśmy opcji $a=1$ i $a\le 0$. Ponieważ w takich przypadkach pojawia się niepewność. Powiedzmy, jak rozwiązać nierówność postaci $((1)^(x)) \gt 3$? Jeden do dowolnej potęgi znowu da jeden - nigdy nie dostaniemy trzech lub więcej. Te. nie ma rozwiązań.

Z powodów negatywnych wszystko jest jeszcze bardziej interesujące. Rozważmy na przykład tę nierówność:

\[((\lewo(-2 \prawo))^(x)) \gt 4\]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste:

Prawidłowy? Ale nie! Wystarczy zastąpić kilka liczb parzystych i kilka nieparzystych zamiast $x$, aby mieć pewność, że rozwiązanie jest błędne. Spójrz:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Jak widać, znaki są naprzemienne. Ale są też potęgi ułamkowe i inne bzdury. Jak na przykład zamówić obliczenie $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dwa do potęgi siedem)? Nie ma mowy!

Dlatego dla pewności zakładamy, że we wszystkich nierównościach wykładniczych (a przy okazji także w równaniach) $1\ne a \gt 0$. A potem wszystko zostało rozwiązane bardzo prosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Ogólnie rzecz biorąc, pamiętaj jeszcze raz o głównej zasadzie: jeśli podstawa równania wykładniczego jest większa niż jeden, możesz ją po prostu usunąć; a jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale znak nierówności ulegnie zmianie.

Przykłady rozwiązań

Przyjrzyjmy się zatem kilku prostym nierównościom wykładniczym:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Podstawowe zadanie we wszystkich przypadkach jest takie samo: sprowadzić nierówności do najprostszej postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Dokładnie to samo teraz zrobimy z każdą nierównością, jednocześnie powtarzając własności stopni i funkcji wykładniczych. Więc chodźmy!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co możesz tutaj zrobić? Cóż, po lewej stronie mamy już orientacyjne wyrażenie - nic nie trzeba zmieniać. Ale po prawej stronie jest jakiś badziew: ułamek, a nawet pierwiastek z mianownika!

Pamiętajmy jednak o zasadach pracy z ułamkami i potęgami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Co to znaczy? Po pierwsze, możemy łatwo pozbyć się ułamka, zamieniając go na potęgę o wykładniku ujemnym. A po drugie, skoro mianownik ma pierwiastek, fajnie byłoby zamienić go na potęgę - tym razem z wykładnikiem ułamkowym.

Zastosujmy te działania sekwencyjnie do prawej strony nierówności i zobaczmy, co się stanie:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \prawo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \lewo(-1 \prawo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nie zapominaj, że podnosząc stopień do potęgi, wykładniki tych stopni sumują się. Ogólnie rzecz biorąc, pracując z równaniami wykładniczymi i nierównościami, absolutnie konieczne jest poznanie przynajmniej najprostszych zasad pracy z potęgami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Właściwie właśnie zastosowaliśmy ostatnią zasadę. Dlatego nasza pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz pozbywamy się tej dwójki u podstawy. Ponieważ 2 > 1, znak nierówności pozostanie taki sam:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Główna trudność wcale nie polega na funkcji wykładniczej, ale na właściwej transformacji pierwotnego wyrażenia: musisz ostrożnie i szybko doprowadzić je do najprostszej formy.

Rozważmy drugą nierówność:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak, tak. Tutaj czekają na nas ułamki dziesiętne. Jak mówiłem wiele razy, w każdym wyrażeniu z potęgami należy pozbyć się ułamków dziesiętnych - często jest to jedyny sposób na szybkie i proste rozwiązanie. Tutaj pozbędziemy się:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\lewo(\frac(1)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Tutaj znowu mamy najprostszą nierówność i to nawet o podstawie 1/10, tj. mniej niż jeden. Cóż, usuwamy podstawy, jednocześnie zmieniając znak z „mniej” na „więcej” i otrzymujemy:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Uwaga: odpowiedź jest właśnie zbiorem, a w żadnym wypadku konstrukcją w postaci $x \lt -1$. Bo formalnie taka konstrukcja nie jest w ogóle zbiorem, tylko nierównością względem zmiennej $x$. Tak, to bardzo proste, ale to nie jest odpowiedź!

Ważna uwaga. Nierówność tę można rozwiązać w inny sposób - sprowadzając obie strony do potęgi o podstawie większej niż jeden. Spójrz:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strzałka w prawo ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takim przekształceniu ponownie otrzymamy nierówność wykładniczą, ale o podstawie 10 > 1. Oznacza to, że możemy po prostu skreślić dziesiątkę – znak nierówności nie ulegnie zmianie. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Jak widać, odpowiedź była dokładnie taka sama. Jednocześnie uchroniliśmy się od konieczności zmiany znaku i ogólnie pamiętamy o wszelkich zasadach :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Jednak nie pozwól, aby Cię to przestraszyło. Bez względu na to, co znajduje się we wskaźnikach, sama technologia rozwiązywania nierówności pozostaje taka sama. Dlatego zauważmy najpierw, że 16 = 2 4. Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę ten fakt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Brawo! Mamy zwykłą nierówność kwadratową! Znak nigdzie się nie zmienił, ponieważ podstawa to dwa - liczba większa niż jeden.

Zera funkcji na osi liczbowej

Ustawiamy znaki funkcji $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - oczywiście jej wykres będzie parabolą z gałęziami do góry, więc będą „plusy” ”po bokach. Nas interesuje region, w którym dana funkcja mniej niż zero, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ jest odpowiedzią na pierwotny problem.

Na koniec rozważmy inną nierówność:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ponownie widzimy funkcję wykładniczą z ułamkiem dziesiętnym u podstawy. Zamieńmy ten ułamek na ułamek zwykły:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\RightArrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\lewo(((5)^(-1)) \prawo))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

W tym przypadku skorzystaliśmy z uwagi podanej wcześniej - w celu uproszczenia dalszego rozwiązania zredukowaliśmy bazę do liczby 5 > 1. Zróbmy to samo z prawą stroną:

\[\frac(1)(25)=((\lewo(\frac(1)(5) \prawo))^(2))=((\lewo(((5)^(-1)) \ prawo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Przepiszmy pierwotną nierówność uwzględniając obie transformacje:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Podstawy po obu stronach są takie same i przekraczają jeden. Po prawej i lewej stronie nie ma innych terminów, więc po prostu „przekreślamy” piątki i otrzymujemy bardzo proste wyrażenie:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Tutaj trzeba zachować większą ostrożność. Wielu uczniów lubi po prostu wyodrębniać pierwiastek kwadratowy obu stron nierówności i napisz coś w stylu $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. W żadnym wypadku nie powinieneś tego robić, ponieważ pierwiastek dokładnego kwadratu wynosi moduł, a w żadnym wypadku oryginalna zmienna:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lewo| x\prawo|\]

Jednak praca z modułami nie należy do najprzyjemniejszych, prawda? Więc nie będziemy pracować. Zamiast tego po prostu przesuwamy wszystkie wyrazy w lewo i rozwiązujemy zwykłą nierówność za pomocą metody przedziałowej:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(wyrównaj)$

Ponownie zaznaczamy uzyskane punkty na osi liczbowej i patrzymy na znaki:

Uwaga: kropki są zacienione

Ponieważ rozwiązywaliśmy nieścisłą nierówność, wszystkie punkty na wykresie zostały zacienione. Dlatego odpowiedź będzie następująca: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie jest przedziałem, ale segmentem.

Ogólnie rzecz biorąc, chciałbym zauważyć, że nie ma nic skomplikowanego w nierównościach wykładniczych. Znaczenie wszystkich przekształceń, które dzisiaj wykonaliśmy, sprowadza się do prostego algorytmu:

  • Znajdź podstawę, do której sprowadzimy wszystkie stopnie;
  • Ostrożnie wykonaj przekształcenia, aby otrzymać nierówność postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Oczywiście zamiast zmiennych $x$ i $n$ mogą istnieć znacznie bardziej złożone funkcje, ale znaczenie się nie zmieni;
  • Przekreśl podstawy stopni. W tym przypadku znak nierówności może się zmienić, jeśli podstawa $a \lt 1$.

W rzeczywistości jest to uniwersalny algorytm rozwiązywania wszystkich takich nierówności. A wszystko inne, co Ci powiedzą na ten temat, to tylko konkretne techniki i triki, które uproszczą i przyspieszą transformację. Porozmawiamy teraz o jednej z tych technik :)

Metoda racjonalizacji

Rozważmy inny zestaw nierówności:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Co więc jest w nich takiego wyjątkowego? Są lekkie. Chociaż przestań! Czy liczbę π podniesiono do jakiejś potęgi? Co za nonsens?

Jak podnieść liczbę $2\sqrt(3)-3$ do potęgi? Lub $3-2\sqrt(2)$? Autorzy problemu najwyraźniej wypili za dużo Hawthorn, zanim zabrali się do pracy :)

Tak naprawdę nie ma nic strasznego w tych zadaniach. Przypomnę: funkcja wykładnicza jest wyrażeniem w postaci $((a)^(x))$, gdzie podstawą $a$ jest dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jedności. Liczba π jest dodatnia – to już wiemy. Liczby $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ są również dodatnie - łatwo to sprawdzić, jeśli porównasz je z zerem.

Okazuje się, że wszystkie te „przerażające” nierówności rozwiązuje się tak samo jak proste omówione powyżej? I czy są one rozwiązywane w ten sam sposób? Tak, to całkowicie słuszne. Jednak na ich przykładzie chciałbym rozważyć jedną technikę, która znacznie oszczędza czas na samodzielnej pracy i egzaminach. Porozmawiamy o metodzie racjonalizacji. Zatem uwaga:

Dowolna nierówność wykładnicza postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ po prawej) \gt 0 $.

To jest cała metoda. :) Myślałeś, że będzie jakaś inna gra? Nic takiego! Ale ten prosty fakt, zapisany dosłownie w jednym wierszu, znacznie uprości naszą pracę. Spójrz:

\[\begin(macierz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Zatem nie ma już funkcji wykładniczych! I nie musisz pamiętać, czy znak się zmienia, czy nie. Ale powstaje nowy problem: co zrobić z pieprzonym mnożnikiem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nie wiemy o co w tym wszystkim chodzi dokładna wartość liczby π. Jednak kapitan wydaje się wskazywać na oczywistość:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\około 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ogólnie rzecz biorąc, dokładna wartość π tak naprawdę nas nie dotyczy - ważne jest, abyśmy zrozumieli, że w każdym razie $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. jest to stała dodatnia i możemy przez nią podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w pewnym momencie musieliśmy podzielić przez minus jeden - i zmienił się znak nierówności. Na koniec rozwinąłem trójmian kwadratowy korzystając z twierdzenia Viety - oczywiste jest, że pierwiastki są równe $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Wtedy wszystko zostanie ustalone metoda klasyczna interwały:

Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową

Wszystkie punkty są usuwane, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. Nas interesuje region o wartościach ujemnych, więc odpowiedź brzmi $x\in \left(-1;5 \right)$. To jest rozwiązanie.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\lewo(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Wszystko tutaj jest ogólnie proste, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka. I pamiętamy, że jeden to dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej. Nawet jeśli ta liczba jest wyrażeniem irracjonalnym u podstawy po lewej stronie:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(0)); \\\end(align)\]

Cóż, racjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Pozostaje tylko znaleźć znaki. Współczynnik $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nie zawiera zmiennej $x$ - jest to po prostu stała i musimy znaleźć jej znak. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(macierz)\]

Okazuje się, że drugi czynnik nie jest tylko stałą, ale stałą ujemną! A przy dzieleniu przez nią znak pierwotnej nierówności zmienia się na przeciwny:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Teraz wszystko staje się zupełnie oczywiste. Korzenie trójmian kwadratowy, stojąc po prawej stronie: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Zaznaczamy je na osi liczbowej i patrzymy na znaki funkcji $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Przypadek, gdy interesują nas przedziały boczne

Nas interesują interwały oznaczone znakiem plus. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź:

Przejdźmy do następnego przykładu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ prawo))^(16-x))\]

Cóż, tutaj wszystko jest zupełnie oczywiste: w podstawach znajdują się potęgi tej samej liczby. Dlatego napiszę wszystko krótko:

\[\begin(macierz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lewo(((3)^(-2)) \prawo))^(16-x)) \\\end(macierz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lewo(16-x \prawo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać w procesie transformacji musieliśmy pomnożyć przez liczbę ujemną, więc zmienił się znak nierówności. Na sam koniec ponownie zastosowałem twierdzenie Viety do rozłożenia na czynniki trójmianu kwadratowego. W rezultacie odpowiedź będzie następująca: $x\in \left(-8;4 \right)$ - każdy może to sprawdzić rysując oś liczbową, zaznaczając punkty i licząc znaki. Tymczasem przejdziemy do ostatniej nierówności z naszego „zbioru”:

\[((\lewo(3-2\sqrt(2) \prawo))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak widać, u podstawy znów znajduje się liczba niewymierna, a po prawej stronie znowu jednostka. Dlatego przepisujemy naszą nierówność wykładniczą w następujący sposób:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ prawo))^(0))\]

Stosujemy racjonalizację:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Jednakże jest całkiem oczywiste, że $1-\sqrt(2) \lt 0$, ponieważ $\sqrt(2)\około 1,4... \gt 1$. Dlatego drugi czynnik jest ponownie stałą ujemną, przez którą można podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(macierz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(macierz)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Przenieś się do innej bazy

Osobnym problemem przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych jest poszukiwanie „właściwej” bazy. Niestety, nie zawsze na pierwszy rzut oka przy zadaniu jest oczywiste, co przyjąć za podstawę i co zrobić w zależności od stopnia tej podstawy.

Ale nie martw się: nie ma tu żadnej magii ani „tajnej” technologii. W matematyce każdą umiejętność, której nie można poddać algorytmizacji, można łatwo rozwinąć poprzez praktykę. Ale w tym celu będziesz musiał rozwiązać problemy o różnych poziomach złożoności. Na przykład tak:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(wyrównaj)\]

Trudny? Straszny? To łatwiejsze niż uderzenie kurczaka w asfalt! Spróbujmy. Pierwsza nierówność:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Cóż, myślę, że tutaj wszystko jest jasne:

Przepisujemy pierwotną nierówność, redukując wszystko do podstawy dwa:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Tak, tak, dobrze słyszałeś: właśnie zastosowałem opisaną powyżej metodę racjonalizacji. Teraz musimy pracować ostrożnie: mamy nierówność ułamkowo-wymierną (to taka, która ma zmienną w mianowniku), więc zanim zrównamy cokolwiek do zera, musimy sprowadzić wszystko do wspólnego mianownika i pozbyć się stałego czynnika .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Teraz używamy standardowej metody interwałowej. Zera licznika: $x=\pm 4$. Mianownik dąży do zera tylko wtedy, gdy $x=0$. Na osi liczbowej należy zaznaczyć w sumie trzy punkty (wszystkie punkty są zaznaczone, ponieważ znak nierówności jest ścisły). Otrzymujemy:


Więcej trudny przypadek: trzy korzenie

Jak można się domyślić, cieniowanie oznacza te przedziały, w których wyrażenie po lewej stronie przyjmuje wartości ujemne. Dlatego ostateczna odpowiedź będzie obejmować dwa przedziały jednocześnie:

Końce przedziałów nie są uwzględnione w odpowiedzi, ponieważ pierwotna nierówność była ścisła. Nie jest wymagana dalsza weryfikacja tej odpowiedzi. Pod tym względem nierówności wykładnicze są znacznie prostsze niż nierówności logarytmiczne: bez ODZ, bez ograniczeń itp.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tutaj też nie ma żadnych problemów, skoro wiemy już, że $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, więc całą nierówność można przepisać następująco:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lewo(-2 \prawo) \prawo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Uwaga: w trzeciej linii postanowiłem nie tracić czasu na drobiazgi i od razu podzielić wszystko przez (-2). Minul wszedł do pierwszego nawiasu (teraz wszędzie są plusy), a dwa zmniejszono o stały współczynnik. Dokładnie tak należy postępować przygotowując realne obliczenia do pracy samodzielnej i testowej - nie trzeba opisywać każdej akcji i transformacji.

Następnie w grę wchodzi znana metoda interwałów. Zera licznikowe: ale ich nie ma. Ponieważ dyskryminator będzie ujemny. Z kolei mianownik jest resetowany dopiero wtedy, gdy $x=0$ - tak jak ostatnim razem. Otóż ​​jasne jest, że na prawo od $x=0$ ułamek będzie przyjmować wartości dodatnie, a na lewo - ujemne. Ponieważ interesują nas wartości ujemne, ostateczna odpowiedź brzmi: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Co należy zrobić z ułamkami dziesiętnymi w nierównościach wykładniczych? Zgadza się: pozbądź się ich, zamieniając je w zwykłe. Tutaj przetłumaczymy:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\prawo))^(x)). \\\end(align)\]

Co więc otrzymaliśmy z podstaw funkcji wykładniczych? I otrzymaliśmy dwie wzajemnie odwrotne liczby:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ prawo))^(x))=((\lewo(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-1)) \prawo))^(x))=((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-x))\]

Zatem pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \prawo))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Oczywiście przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wykładniki sumują się, co miało miejsce w drugim wierszu. Dodatkowo reprezentowaliśmy jednostkę po prawej stronie, również jako potęgę w podstawie 4/25. Pozostaje tylko racjonalizować:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Zauważ, że $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi czynnik jest stałą ujemną i przy dzieleniu przez niego znak nierówności ulegnie zmianie:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strzałka w prawo x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Na koniec ostatnia nierówność z bieżącego „zbioru”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

W zasadzie idea rozwiązania tutaj również jest jasna: wszystko funkcje wykładnicze, zawarte w nierówności, należy sprowadzić do podstawy „3”. Ale w tym celu będziesz musiał trochę majstrować przy korzeniach i mocach:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Biorąc te fakty pod uwagę, pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Zwróć uwagę na drugą i trzecią linię obliczeń: zanim zrobisz cokolwiek z nierównością, pamiętaj o doprowadzeniu jej do postaci, o której mówiliśmy na samym początku lekcji: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tak długo, jak masz pewne lewoskrętne czynniki, dodatkowe stałe itp. po lewej lub prawej stronie, nie można dokonywać racjonalizacji ani „przekreślania” podstaw! Niezliczone zadania zostały wykonane niepoprawnie z powodu niezrozumienia tego prostego faktu. Sam stale obserwuję ten problem u moich uczniów, kiedy dopiero zaczynamy analizować nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wróćmy jednak do naszego zadania. Spróbujmy obejść się tym razem bez racjonalizacji. Pamiętajmy: podstawa stopnia jest większa od jedności, więc trójki można po prostu skreślić – znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

To wszystko. Ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolowanie stabilnego wyrażenia i zastępowanie zmiennej

Podsumowując, proponuję rozwiązać jeszcze cztery nierówności wykładnicze, które są już dość trudne dla nieprzygotowanych studentów. Aby sobie z nimi poradzić, należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami. W szczególności wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasów.

Ale najważniejsze jest, aby nauczyć się rozumieć, co dokładnie można wyjąć z nawiasów. Takie wyrażenie nazywamy stabilnym - można je oznaczyć nową zmienną i w ten sposób pozbyć się funkcji wykładniczej. Spójrzmy więc na zadania:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zacznijmy od pierwszej linijki. Zapiszmy tę nierówność osobno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Zauważ, że $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, więc prawa ręka stronę można przepisać:

Zauważ, że w nierówności nie ma innych funkcji wykładniczych poza $((5)^(x+1))$. I ogólnie zmienna $x$ nie występuje nigdzie indziej, więc wprowadźmy nową zmienną: $((5)^(x+1))=t$. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\wiek 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Wracamy do pierwotnej zmiennej ($t=((5)^(x+1))$), pamiętając jednocześnie, że 1=5 0 . Mamy:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Odpowiedź: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Przejdźmy do drugiej nierówności:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutaj wszystko jest takie samo. Zauważ, że $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Następnie lewą stronę można przepisać:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \prawo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strzałka w prawo x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

W przybliżeniu tak trzeba sporządzić rozwiązanie do prawdziwych testów i samodzielnej pracy.

Cóż, spróbujmy czegoś bardziej skomplikowanego. Oto na przykład nierówność:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Jaki jest tutaj problem? Przede wszystkim podstawy funkcji wykładniczych po lewej stronie są różne: 5 i 25. Jednak 25 = 5 · 2, więc pierwszy wyraz można przekształcić:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Jak widać, najpierw wszystko sprowadziliśmy ta sama podstawa, a potem zauważyłem, że pierwszy wyraz można łatwo sprowadzić do drugiego - wystarczy rozwinąć wykładnik. Teraz możesz już bezpiecznie wprowadzić nową zmienną: $((5)^(2x+2))=t$, a cała nierówność zostanie przepisana następująco:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I znowu żadnych trudności! Ostateczna odpowiedź: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Przejdźmy do ostatniej nierówności na dzisiejszej lekcji:

\[((\lewo(0,5 \prawo))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest oczywiście to, że dziesiętny u podstawy pierwszego stopnia. Trzeba się go pozbyć, a jednocześnie doprowadzić wszystkie funkcje wykładnicze do tej samej podstawy - liczby „2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lewo(((2)^(-1)) \prawo))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strzałka w prawo ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Świetnie, zrobiliśmy pierwszy krok – wszystko doprowadziło do tego samego fundamentu. Teraz musisz wybrać stabilna ekspresja. Zauważ, że $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jeśli wprowadzimy nową zmienną $((2)^(4x+6))=t$, to pierwotną nierówność można zapisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturalnie może pojawić się pytanie: jak odkryliśmy, że 256 = 2 · 8? Niestety, tutaj wystarczy znać potęgę dwójki (a jednocześnie potęgę trójki i piątki). Cóż, albo podziel 256 przez 2 (możesz podzielić, ponieważ 256 to liczba parzysta), aż otrzymamy wynik. Będzie to wyglądać mniej więcej tak:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

To samo dotyczy trójki (liczby 9, 27, 81 i 243 to jej stopnie) i siódemki (liczby 49 i 343 też warto zapamiętać). Cóż, ta piątka ma również „piękne” stopnie naukowe, które musisz znać:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Oczywiście, jeśli chcesz, wszystkie te liczby można przywrócić w umyśle, po prostu mnożąc je sukcesywnie przez siebie. Kiedy jednak musisz rozwiązać kilka nierówności wykładniczych, a każda kolejna jest trudniejsza od poprzedniej, ostatnią rzeczą, o której chcesz myśleć, są potęgi niektórych liczb. I w tym sensie problemy te są bardziej złożone niż „klasyczne” nierówności rozwiązywane metodą przedziałową.