Jak już wiesz, ogólnym sposobem otrzymywania kwasów karboksylowych może być utlenianie odpowiedniego aldehydu zgodnie z równaniem
W przemyśle proces ten przeprowadza się przy użyciu tlenu atmosferycznego w obecności katalizatorów.
Analizowanie ogólna formuła kwasy karboksylowe, widać, że jego cząsteczka zawiera dwie części - rodnik węglowodorowy (alkil) i grupę funkcyjną
który nazywa się karboksylem. Nazwa grupy funkcyjnej pochodzi od nazw tworzących ją karbonylu >C=0 i hydroksylu -OH.
Klasa kwasów karboksylowych jest niezwykle zróżnicowana. Zawiera kwasy jedno-, dwu- i wielozasadowe, nienasycone i aromatyczne. Ale te podklasy kwasów karboksylowych są przedmiotem badań w szkołach i na lekcjach przedmiotów ścisłych. Wspomnimy tylko o dwóch nienasycone kwasy: C 17 H 33 COOH - kwas oleinowy (zawiera jedno podwójne wiązanie w cząsteczce) (ryc. 50) i C 17 H 31 COOH - kwas linolowy (zawiera dwa podwójne wiązania w cząsteczce). Kwasy te nazywane są kwasami tłuszczowymi i teraz oczywiście rozumiesz, dlaczego zwracamy Twoją uwagę na te kwasy - są one częścią płynnych tłuszczów.
Ryż. 50.
Model w skali cząsteczki kwasu oleinowego
Wróćmy jednak do ograniczających jednozasadowych kwasów karboksylowych. Seria homologiczna tych kwasów zaczyna się od związku nie do końca spełniającego powyższą definicję – kwasu mrówkowego, czyli kwasu metanowego.
Jak widać, karboksyl w swojej cząsteczce jest połączony nie z rodnikiem węglowodorowym, ale z atomem wodoru, podobnie jak karbonyl w aldehydzie mrówkowym (ryc. 51).
Ryż. 51.
Model cząsteczki kwasu mrówkowego (metanowego):
Oczywiście nazwy kwasów i odpowiadających im aldehydów są identyczne.
Fakt, że struktura kwasu mrówkowego różni się od struktury cząsteczek innych jednozasadowych kwasów karboksylowych, determinuje również osobliwości jego właściwości chemicznych. Poddaje się reakcji „srebrnego lustra” podobnie jak aldehydy, ponieważ jego cząsteczka jest syntezą dwóch grup funkcyjnych: karbonylowej i karboksylowej.
Kwas mrówkowy jest cieczą o ostrym zapachu (t. wrzenia = 100,8°C), dobrze rozpuszczalną w wodzie. Kwas mrówkowy jest trujący! W przypadku kontaktu ze skórą powoduje oparzenia. Kwas ten zawiera parzący płyn wydzielany przez mrówki, pokrzywy i niektóre rodzaje meduz (ryc. 52).
Ryż. 52.
Piekąca ciecz zawiera kwas mrówkowy:
1 - meduza; 2 - pokrzywy; 3 - mrówki
Kwas mrówkowy ma działanie dezynfekujące i dlatego jest stosowany w żywności, skórze i przemysł farmaceutyczny, a także w medycynie. Ponadto służy do barwienia tkanin i papieru (ryc. 53).
Ryż. 53.
Zastosowanie kwasu mrówkowego:
1 - przemysł skórzany; 2 - barwienie tkanin; 3 - medycyna
Kwas octowy lub etanowy
(ryc. 54) jest bezbarwną cieczą o charakterystycznym ostrym zapachu, mieszalną z wodą w dowolnym stosunku. Roztwory wodne kwas octowy trafiają do sprzedaży pod nazwami „ocet stołowy” (roztwór 3-5%), „esencja octowa” (roztwór 70-80%) i są szeroko stosowane w przemysł spożywczy.
Ryż. 54.
Model cząsteczki kwasu octowego (etanowego):
1 - kula i pręt; 2 - skala
Kwas octowy - dobry rozpuszczalnik wiele związki organiczne, stosowany w farbiarstwie, produkcji skór i przemyśle farb i lakierów (ryc. 55). Ponadto kwas octowy surowiec do produkcji wielu ważnych technicznie związków organicznych: włókien sztucznych, pestycydów, filmów i klisz fotograficznych itp. Kwas octowy jest niezwykle niebezpieczny w kontakcie ze skórą, dlatego podczas pracy z esencją octową należy zachować środki ostrożności.
Ryż. 55.
Zastosowanie kwasu octowego:
1 - konserwy; 2 - produkcja włókien i tkanin sztucznych; 3 - przyprawa do żywności; 4-8 - produkcja związków organicznych (4 pestycydy, 5 lakierów, 6 farb, 7 klisz fotograficznych, 8 klejów)
Wraz ze wzrostem krewnego masa cząsteczkowa w homologicznej serii nasyconych jednozasadowych kwasów karboksylowych wzrasta ich gęstość, temperatura wrzenia i topnienia, a rozpuszczalność w wodzie maleje.
Wyższy kwasy karboksylowe, zwane także pogrubionymi (zgadnij dlaczego), są ciała stałe. Są to np. kwasy palmitynowy C 15 H 31 COOH (ryc. 56, 1) i stearynowy C 17 H 35 COOH (ryc. 56, 2).
Ryż. 56.
Modele w skali cząsteczek:
1 - kwas palmitynowy; 2 - kwas stearynowy
Właściwości chemiczne kwasów karboksylowych zależą przede wszystkim od ich przynależności do rodzaju kwasu w ogóle. Podobnie jak kwasy nieorganiczne, kwasy karboksylowe są elektrolitami, choć bardzo słabymi, dlatego dysocjują odwracalnie:
Wodne roztwory kwasów karboksylowych zmieniają barwę wskaźników.
Wraz ze wzrostem rodnika węglowodorowego stopień dysocjacji elektrolitycznej maleje.
Podobnie jak kwasy nieorganiczne, kwasy karboksylowe oddziałują z metalami, zasadowymi i amfoterycznymi tlenkami, zasadami, amfoterycznymi wodorotlenkami i solami.
Zatem kwasy mrówkowy i octowy oddziałują z metalami w szeregu napięcia elektrochemicznego aż do wodoru:
Kwasy te reagują z tlenkami zasadowymi i amfoterycznymi tworząc sole – mrówczany i octany:
Podobnie kwasy mrówkowy i octowy oddziałują z zasadami i wodorotlenkami amfoterycznymi:
Kwasy te oddziałują z solami słabszych kwasów. Reakcje przebiegają do końca, jeśli wytrąci się osad lub gaz:
Kwasy organiczne, jak już wiadomo, reagują poprzez estryfikację z alkoholami, tworząc estry zgodnie z równaniem
Wstecz Naprzód
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele:
Sprzęt i odczynniki: kwas octowy, kwas mrówkowy, papierek lakmusowy uniwersalny, oranż metylowy, ekstrakt wodny z kaliny, drut miedziany, wodorotlenek żelaza(III), wodorowęglan sodu, azotan srebra, amoniak(do przygotowania amoniakalnego roztworu tlenku srebra), roztwór nadmanganianu potasu; uchwyt na probówki, zapałki, lampka alkoholowa, probówki; plakaty demonstracyjne, preparaty demonstracyjne (jaja Kinder Niespodzianka), multimedia, doświadczenia wideo (rozpuszczalność kwasów karboksylowych w wodzie, oddziaływanie kwasu octowego z metalami), przedmioty naturalne (lemoniada, ketchup), przednia karta pracy (FPR) ( Załącznik 1 ).
Metody: słowno-wizualny, eksperyment laboratoryjny, praca w grupach.
Metodologia: tradycyjna lekcja, uczenie się czegoś nowego.
POSTĘP LEKCJI
- Dzień dobry!
„Każda substancja – od najprostszej do najbardziej złożonej – ma trzy różne, ale powiązane ze sobą aspekty – właściwości, skład i strukturę”.
V.M. Kiedrow
Jedną z wiodących idei w nauce chemii jest zależność właściwości substancji od ich składu i struktury, którą musimy dziś zbadać i potwierdzić.
Dzisiejsza lekcja poświęcona jest specjalnej klasie związków organicznych. Jaki? Zanurzmy się w przeszłość.
Od czasów starożytnych ludzie uprawiali winogrona i przechowywali sok winogronowy do wykorzystania w przyszłości. Podczas przechowywania sok fermentował, w wyniku czego powstało wino. Jeśli wino skwaśniało, utworzył się ocet. To wyjaśnia pochodzenie słowa „ocet” - od greckiego „oxos” - kwaśny. (Pokaz rysunku „octu stołowego”).
Ludzie zaczęli używać octu prawie 3000 lat temu. W starożytności ocet był jedynym kwasem spożywczym. Później pojawił się ważny „dodatek” do różnych produktów kulinarnych - kwas cytrynowy... Po raz pierwszy wyizolowano go z soku z niedojrzałych cytryn.
Aby nadać potrawom kwaśny smak, używano liści szczawiu, łodyg rabarbaru, soku z cytryny i jagód szczawiu. (pokaz rysunków). Oczywiście wtedy nikt nie pomyślał, że kwaśny smak we wszystkich przypadkach wynika z obecności związków tej samej klasy. Jaki? (Kwasy) .
Kwasy organiczne, zwane kwasami karboksylowymi.
Żurawina, borówka, jagody i miód zawierają kwas benzoesowy. Jest szeroko stosowany w przemyśle spożywczym jako środek konserwujący (E210) przy produkcji napojów i keczupów. (pokaz lemoniady i ketchupu).
Wiele owadów tworzących rodziny lub po prostu „społeczności” (termity, mrówki, osy, pszczoły) wytwarza w swoich organizmach specjalne substancje chemiczne, za pomocą których powiadamiają współplemieńców o niebezpieczeństwie. Na przykład czerwone mrówki mają feromon alarmowy - kwas mrówkowy, który służy również jako ich broń.
Kwas mrówkowy występuje także w niektórych roślinach, szczególnie w pokrzywie.
- Chłopaki, sformułujcie temat lekcji. (Kwasy karboksylowe). Zapisz datę i temat lekcji.
Badając napary otrzymywane z korzeni i liści różnych roślin, pod koniec XVIII wieku Karl Scheele wyizolował kwas winowy, cytrynowy, jabłkowy, galusowy i szczawiowy.
– Dzisiejsza lekcja poświęcona jest jednej z klas związków organicznych – kwasom karboksylowym. Studiowałeś kwasy nieorganiczne.
– Jaki cel postawimy sobie na dzisiejszą lekcję? (Określ, czy kwasy karboksylowe mają właściwości nieorganiczne, badając ich skład i strukturę).
Pokazywanie wzorów niektórych kwasów karboksylowych(Dodatek 2 ).
– Co widzisz wspólnego w ich strukturze? (Jedna lub więcej grup).
– Mentalnie „podziel” nieznaną grupę funkcyjną na dwie.
– Która z badanych grup występuje w jej składzie? (Woda ksylen I węglowodany zero). Stąd nazwa – karboksylowy grupa.
– Spróbuj teraz sformułować definicję kwasów karboksylowych.
Kwasy karboksylowe– substancje organiczne, których cząsteczki zawierają jedną lub więcej grup karboksylowych połączonych z rodnikiem węglowodorowym.
Jest rzeczą oczywistą, że nie da się poznać wszystkich kwasów. Przejdźmy zatem do ich klasyfikacji.
– Patrząc na wzory kwasów, podziel je na grupy według różnych kryteriów.
– Według jakich kryteriów można je podzielić? (Z natury rodnika węglowodorowego, z zasadowości).
(Praca ucznia przy tablicy).
Kwasy karboksylowe (ze względu na charakter rodnika węglowodorowego) |
||
| Limit (nasycony) | Nienasycone (nienasycone) | Aromatyczny |
 |
||
Zapamiętaj klasyfikację kwasów nieorganicznych.
Co oznacza zasadowość kwasów nieorganicznych? (Liczba atomów wodoru, które można zastąpić metalem).
To samo dotyczy kwasów organicznych.
Kwasy karboksylowe (według zasadowości) |
||
| Monobazowa | Dwuzasadowy | Wielozasadowy |
  |
 |
 |
Zatem kwasy karboksylowe są nasycone, nienasycone i aromatyczne, a także jednozasadowe, dwuzasadowe i wielozasadowe.
Na dzisiejszej lekcji będziemy się uczyć jednozasadowe nasycone kwasy karboksylowe.
Różnorodność kwasów karboksylowych, podobnie jak wszystkich związków organicznych, wynika z dwóch ważnych zjawisk.
Jakie to zjawiska? (Izomeria i homologia).
Sformułuj definicję homologów. (Homologie to substancje, które mają ten sam skład jakościowy, ale inny skład ilościowy (różnią się jedną lub kilkoma grupami – CH 2), mają podobną budowę, a co za tym idzie podobne właściwości.
Na Waszych biurkach leżą kartki papieru, które wkleicie do zeszytów ( Dodatek 3
). Pierwsza kolumna zawiera pierwszych członków homologicznej serii kwasów karboksylowych i niektóre z najbardziej powszechnych innych. W drugim wpisujesz ich nazwę systematyczną (Niezależnie z późniejszą weryfikacją). Trzecia, czwarta i piąta kolumna są już wypełnione.
Nazwijmy teraz kwasy karboksylowe według systematycznej nomenklatury. Przypomnijmy zasady nazewnictwa związków organicznych na przykładzie:
W systematycznej nomenklaturze kwasów karboksylowych stosuje się końcówkę -kwas ojowy. Jeśli istnieje kilka grup karboksylowych, stosuje się przedrostki di-, trzy-, tetra- itp. Najczęściej dla kwasów karboksylowych używa się historycznie powstałych nazw, które w większości przypadków kojarzą się z nazwami ich naturalnych źródeł. Dlatego, aby w przyszłości lepiej poruszać się po nazewnictwie związków organicznych, należy pamiętać nazwy najprostszych kwasów jednozasadowych.
Pierwszym przedstawicielem jest kwas mrówkowy. Zawiera tylko jeden atom węgla. Jaki węglowodór mu odpowiada? (Metan) .
Jak więc będzie się nazywał kwas karboksylowy? (Kwas metanowy) .
Zapiszmy nazwę.
| Formuła kwasy | Nazwa |
Nazwa pozostałość kwasu | Formuła pozostałość kwasu | |
Systematyczny |
Trywialny | |||
| HCOOH | Metan kwas ojowy | Mrówka | mrówczan | HCOO |
| CH3COOH | Etan kwas ojowy | Ocet | octan | CH 3 COO – |
| C2H5COOH | Propan kwas ojowy | Propionowy | propionian | C2H5COO – |
| C3H7COOH | Butan kwas ojowy | Oleisty | maślan | C 3 H 7 COO – |
| C4H9COOH | Pentan kwas ojowy | Waleriana | walerować | C4H9COO – |
| C5H11COOH | Heksan kwas ojowy | Nylon | kaprat | C5H11COO – |
| CH2 =CH–COOH | Prosty kwas ojowy | Akryl | akrylan | CH 2 = CH–COO – |
| C15H31COOH | Heksadekan kwas ojowy | Palmitynowy | palmitynian | C 15 H 31 COO – |
| C17H35COOH | Oktadekan kwas ojowy | Stearynowy | stearynian | C 17 H 35 COO – |
Wymieniliśmy tylko jedno zjawisko, które zapewnia różnorodność aldehydów. Teraz spójrz . (Pokazuję dzieciom 3 czekoladowe jajka Kinder Niespodzianka). Zewnętrznie są absolutnie identyczne. Mamy również trzy absolutnie identyczne wzory cząsteczkowe substancji. (3 plakaty wiesza się wcześniej na tablicy zamkniętą stroną). Otwieram je(Dodatek 4
).
Wiadomo jednak, że są to 3 różne substancje. Jaki jest powód? Z jakim zjawiskiem jest to związane? (Ze zjawiskiem izomerii).
Tak jak czekoladowe jajka są takie same na zewnątrz, ale w środku zawierają zupełnie inne zabawki, tak substancje te mają ten sam wzór cząsteczkowy, ale inną strukturę.
Sformułuj definicję izomerów. (Izomery to substancje, które mają ten sam skład jakościowy i ilościowy, ale inną strukturę).
Skomponuj izomery dla substancji o wzorze cząsteczkowym C 4 H 8 O 2. (Praca przy desce).
Mogą tworzyć się inne izomery. Zatrzymajmy się na tym.
Napisz, jakie rodzaje izomerii są charakterystyczne dla kwasów karboksylowych. (Izomeria szkieletu węglowego (1 i 2) i izomeria międzyklasowa (np. 1 i 4)).
Z jaką klasą związków organicznych są izomery kwasów karboksylowych? (Z estrami).
Nazwijmy teraz związki 1 i 2 zgodnie z systematyczną nomenklaturą. (Praca przy tablicy).
Znając nazwę systematyczną, możesz utworzyć wzór strukturalny. Zapisz wzór na kwas 2-hydroksypropanowy. (Praca przy tablicy).
Kwas ten ma banalną nazwę - mleczarnia– bierze czynny udział w procesach życiowych .
W ubiegłym wieku I.I. Miecznikow zauważył, że spożywanie produktów kwasu mlekowego zakwasza jelita z gnilnej mikroflory i sprzyja długowieczności.
Przypomnę, że właściwości substancji zależą od jej struktury. Przejdźmy do konstrukcji.
W cząsteczce kwasu karboksylowego R-elektrony atomu O grupa –hydroksylowa oddziałuje z elektronami π
- wiązania grupy karbonylowej, powodując polarność Połączenia O-N, jest wzmocniony π
-wiązanie w grupie karbonylowej maleje δ+
ładunek na atomie Z i częściowe podwyżki δ+
na atomie N. Sprzyja to tworzeniu silnych wiązań wodorowych pomiędzy cząsteczkami kwasu karboksylowego.
W homologicznej serii kwasów karboksylowych ich siła maleje wraz ze wzrostem rodnika węglowodorowego, dlatego najsilniejszym z nich jest kwas mrówkowy. Wyjaśnia to wzrost dodatniego efektu indukcyjnego podstawnika alkilowego w szeregu –H > –CH3 > –C2H5. Dalsze wydłużenie łańcucha węglowego nie ma zauważalnego wpływu na wartość +ja-efekt, a co za tym idzie, moc kwasu:
Właściwości fizyczne kwasów karboksylowych opiszemy wykonując LPR nr 4. Dowiedzmy się, jak zmieniają się właściwości fizyczne kwasów karboksylowych w szeregu homologicznym. Obejrzyjmy eksperyment wideo - rozpuszczalność kwasów karboksylowych w wodzie.
Pamiętajmy o właściwościach kwasy nieorganiczne. (Odpowiedzi uczniów).
Właściwości kwasowe kwasów karboksylowych są podobne do właściwości słabych kwasów nieorganicznych. Kwasy nieorganiczne dysocjują (rozpuszczalne w wodzie), zmieniają kolor wskaźnika (rozpuszczalne w wodzie), oddziałują z metalami w szeregu elektrochemicznym napięć metali do H 2, z tlenkami amfoterycznymi i zasadowymi, z zasadami i solami słabszych kwasy.
Czy kwasy karboksylowe mają takie właściwości? Sprawdźmy.
Powtórzmy zasady bezpieczeństwa podczas pracy z kwasami.
W przypadku kontaktu ze skórą roztworów kwasów lub zasad należy strząśnij widoczne krople, a następnie zmyć szerokim strumieniem chłodnej wody; Nie traktuj dotkniętego obszaru zwilżonym wacikiem. Dlaczego?
Wybierz poprawną odpowiedź.
W przypadku oparzenia kwasem skórę należy leczyć następującym roztworem:
Neutralizacji kationów wodorowych nie można przeprowadzić za pomocą zasad żrących, ponieważ może to spowodować oparzenia chemiczne i termiczne. W tym celu użyj roztworu sody o środowisku zasadowym. Odpowiedź: 2.
Przeprowadźmy eksperymenty. (Praca w grupach zapisując na tablicy odpowiednie równania reakcji).
Spójrzmy na rebus. . Z jakim kwasem będziemy pracować?
Jedna z grup będzie badać specjalne właściwości kwas mrówkowy, po ukończeniu nr 7 LFR.
Przenosić praca praktyczna i oczekiwane reakcje uczniów – Dodatek 5 .
Oddziaływanie kwasu octowego z metalami - eksperyment wideo.
Czy alkohole będą wchodzić w interakcję z kwasami karboksylowymi? (Tak).
Takie reakcje nazywane są reakcjami estryfikacja.
Reakcja estryfikacji polega na tworzeniu estrów w wyniku oddziaływania kwasów i alkoholi w obecności środka usuwającego wodę.
Zgodnie z mechanizmem reakcji estryfikacji, podczas tworzenia estru od cząsteczki kwasu oddziela się grupa hydroksylowa, a od cząsteczki alkoholu hydroksylowy atom wodoru:
Zastosowanie kwasów karboksylowych (szkielety).
- Podsumujmy:
– Czego nowego dowiedzieliśmy się na lekcji? Czego się nauczyłeś? Co wiemy?
(Krótkie odpowiedzi uczniów).
– Formułować wniosek na temat właściwości kwasów karboksylowych. (Kwasy karboksylowe mają właściwości kwasów nieorganicznych i wykazują specyficzne właściwości).
Rozpuszczalne kwasy dysocjują i zmieniają kolor wskaźnika, z którymi oddziałują kwasy karboksylowe metale aktywne wraz z uwolnieniem wodoru reagują z zasadowymi i amfoterycznymi tlenkami, zasadami i solami słabszych kwasów.
– Dziś przeszliśmy od składu i struktury substancji do przewidywania ich właściwości.
Praca domowa: §30, LFR nr 13, 14, 15.
Referencje
Chemia w szkole, 2008, nr 5-80.
Chemia w szkole, 2010, nr 3-80.
Przekrój stożka przez płaszczyznę Biorąc pod uwagę zależność położenia siecznej płaszczyzny w przekroju stożka obrotowego, można otrzymać różne proste, zwane liniami przekrojów stożkowych. Jeśli płaszczyzna cięcia przechodzi przez wierzchołek stożka, z jej przekroju powstaje para linii prostych - generatory (trójkąt). W wyniku przecięcia stożka z płaszczyzną prostopadłą do osi stożka otrzymuje się okrąg. Jeżeli sieczna płaszczyzna jest nachylona do osi obrotu stożka i nie przechodzi przez jego wierzchołek, w przekroju stożka może pojawić się elipsa (sieczna płaszczyzna przecina wszystkie tworzące stożka); parabola (płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z tworzących stożka) lub hiperbola (w
w tym przypadku
płaszczyzna cięcia jest równoległa do dwóch tworzących stożka) w oparciu o kąt nachylenia płaszczyzny cięcia (ryc. 39). Ryż. 39 W przypadku stożka graficznie najprostszymi liniami są generatory i okręgi. W konsekwencji, jeśli zgodnie z warunkami zadania wymagane jest znalezienie rzutów poziomych punktów należących do powierzchni stożka, wówczas jedną z tych linii należy poprowadzić przez te punkty.
Rysunek 40 przedstawia przykład konstruowania rzutów linii przekroju stożka z wystającą czołowo płaszczyzną, gdy w przekroju uzyskana jest elipsa.
Aby skonstruować krzywą uzyskaną, gdy powierzchnia stożkowa przecina płaszczyznę, w ogólnym przypadku wyznacza się punkty przecięcia tworzących powierzchni stożkowej z płaszczyzną cięcia. Aby to zrobić, możesz podzielić podstawę stożka na równa liczba części (zwykle 12), narysuj rzuty poziome tworzących s1, s2,... s12 i skonstruuj ich rzuty czołowe. Na rzucie czołowym zaznaczono rzuty czołowe punktów przecięcia skonstruowanych generatorów ze śladem czołowym siecznej płaszczyzny Q. Rzuty poziome są zbudowane w połączeniu rzutowym na odpowiednich rzutach generatorów. Rzut profilu linii przekroju stożka, płaszczyzny Q, konstruowany jest z rzutów czołowych i poziomych punktów połączenia rzutu.
Gdy prawy stożek kołowy przecina płaszczyznę, można utworzyć krzywe drugiego rzędu: okrąg, elipsę, hiperbolę i parabolę. Wygląd tych krzywych zależy od kąta nachylenia płaszczyzny cięcia do osi powierzchni stożkowej.
Poniżej rozważymy problem, w którym wymagane jest skonstruowanie rzutów i naturalnego wymiaru przekroju stożka ω na płaszczyznę α. Wstępne dane przedstawiono na poniższym rysunku.
Konstrukcję linii przecięcia należy rozpocząć od znalezienia jej charakterystycznych punktów. Określają granice przekroju i jego widoczność w stosunku do obserwatora.
Przez oś powierzchni stożkowej rysujemy płaszczyznę pomocniczą γ, równoległą do P 2. Przecina stożek ω wzdłuż dwóch generatorów i płaszczyznę α wzdłuż czoła f γ . Punkty 1 i 2 przecięcia f γ z generatorami są punktami granicznymi. Dzielą sekcję na części widoczne i niewidoczne.
Określmy najwyższy i najniższy punkt linii przecięcia. W tym celu poprzez oś stożka prostopadłą do h 0 α wprowadzamy dodatkową płaszczyznę cięcia β. Przecina powierzchnię stożkową wzdłuż generatorów SL i SK oraz płaszczyznę α wzdłuż prostej MN. Wymagane punkty 3 = SL ∩ MN i 4 = SK ∩ MN wyznaczają główną oś elipsy. Jego środek znajduje się w punkcie O, który dzieli odcinek 3–4 na pół.
Aby jak najdokładniej skonstruować rzuty przekroju, znajdziemy szereg dodatkowych punktów. W przypadku elipsy wskazane jest określenie wartości jej małej średnicy. Aby to zrobić, narysuj pomocniczą poziomą płaszczyznę δ przechodzącą przez środek O. Przecina powierzchnię stożkową wzdłuż okręgu o średnicy AB, a płaszczyzna α przecina poziomo h δ. Konstruujemy rzuty poziome okręgu i prostej h δ. Ich przecięcie wyznacza punkty 5” i 6” małej średnicy elipsy.
Aby skonstruować punkty pośrednie 7 i 8, wprowadzamy pomocniczą płaszczyznę poziomą ε. Występy 7” i 8” definiuje się podobnie do 5” i 6”, jak pokazano na rysunku.
Łącząc znalezione punkty gładką krzywą otrzymaliśmy kontur przekroju eliptycznego. Na rysunku jest to zaznaczone na czerwono. Rzut czołowy konturu zmienia swoją widoczność w punktach 1 i 2, jak wspomniano powyżej.
Aby znaleźć naturalny rozmiar przekroju, obracamy płaszczyznę α, aż zrówna się z płaszczyzną poziomą. Jako oś obrotu użyjemy śladu h 0 α. Jej pozycja w procesie transformacji pozostanie niezmieniona.
Konstrukcję rozpoczyna się od określenia kierunku śladu czołowego f 1 α. Na linii prostej f 0 α bierzemy dowolny punkt E i wyznaczamy jego rzut E. Z E upuszczamy prostopadłą do h 0 α. Przecięcie tej prostopadłej z okręgiem o promieniu X α E”” wyznacza położenie punktu E” 1. Przez X α i E” 1 rysujemy f 1 α.
Konstruujemy rzut linii poziomej h" 1 δ ∥ h 0 α, jak pokazano na rysunku. Punkty O" 1 i 5" 1, 6" 1 leżą na przecięciu h" 1 δ z liniami poprowadzonymi prostopadle do h 0 α od O” i 5”, 6”. Podobnie na poziomie h” 1 ε znajdujemy 7” 1 i 8” 1.
Konstruujemy rzuty frontów f" 1 γ ∥ f 1 α, f" 3 ∥ f 1 α i f" 4 ∥ f 1 α. Punkty 1" 1, 2" 1, 3" 1 i 4" 1 leżą na przecięciu z tych frontów z prostopadłymi przywróconymi do h 0α odpowiednio z 1", 2", 3" i 4".
Wykład 16. Rzuty STOŻKOWE
Stożek jest ciałem obrotowym.
Prosty okrągły stożek należy do jednego z rodzajów ciał obrotowych.
Powierzchnię stożkową tworzy linia prosta przechodząca przez pewien stały punkt i kolejno przez wszystkie punkty niektórych
krzywa roju linia prowadząca. Punkt stały S nazywany jest wierzchołkiem. Podstawą stożka jest powierzchnia utworzona przez zamkniętą prowadnicę.
Stożek, którego podstawą jest okrąg, a wierzchołek S znajduje się na osi
prostopadła do podstawy przechodząca przez jej środek nazywa się kołem prawym
govy stożek. Ryż. 1.
Konstrukcję rzutów ortogonalnych stożka pokazano na rys. 2.
Rzut poziomy stożka to okrąg równy podstawie stożka, a wierzchołek stożka S pokrywa się z jego środkiem. Na występach czołowych i profilowych stożek rzutowany jest w formie trójkąta.
ka, szerokość podstawy jest równa średnicy podstawy. A wysokość jest równa wysokości stożka. Nachylone boki trójkąta są rzutami najbardziej zewnętrznych (zarysowych) tworzących stożka.
Konstruowanie stożka w prostokąt |
||
Widok izometryczny pokazano na ryc. 2. |
||
Budowę zaczynamy od lokalizacji |
||
osi aksonometrycznych OX, OY, OZ, |
||
trzymając je pod kątem 1200 względem siebie. Oś |
||
skieruj stożek wzdłuż osi OZ i odłóż go na bok |
||
wysokość stożka, uzyskując punkt S. Załóżmy |
||
przesunięcie punktu O poza środek podstawy stożka, |
||
zbuduj owal reprezentujący podstawę |
||
stożek Następnie rysujemy dwa pochyłe kable |
||
rzeczowniki od t. S do owalu, który będzie |
||
ekstremalne (konturowe) formowanie stożka |
||
sa. Niewidoczna część dolnej podstawy współosiowego |
||
narysujemy nus linią przerywaną. |
Konstruowanie punktów na powierzchni stożka w ortogonalnym i aksonometrycznym
projekcje nieba pokazano na ryc. 2, 3.
Jeśli na rzucie czołowym stożka Ryc. Podano 2 punkty A i B, następnie brakujące rzuty
Konstrukcje tych punktów można konstruować na dwa sposoby.
Metoda pierwsza: wykorzystanie rzutów tworzącej pomocniczej przechodzącej przez dany punkt.
Dane: rzut czołowy punktu A – punkt (a’) znajdujący się w widocznej części stożka.
Przez wierzchołek stożka i dany punkt (a’) rysujemy linię prostą do podstawy stożka i otrzymujemy punkt (e’) – podstawę tworzącej s’e’.
H. Znajdźmy rzut poziomy tj. w widocznej części okręgu podstawy stożka rysując wystającą linię prostą e’e i połącz uzyskany tj. z rzutem poziomym pionu
opony stożkowe s.
Ponieważ żądane t. A należy do obrazu
wołając s’e’, to powinien leżeć na swoim rzucie poziomym. Dlatego za pomocą linii komunikacyjnej przenosimy go na linię se i
otrzymujemy rzut poziomy t a. Rzut profilu a” t. A określa
utworzony jest przez przecięcie tej samej tworzącej s”e” na rzucie profilu z liniami komunikacyjnymi przenoszącymi t.a z poziomu i z przodu
projekcje Noaha.
Projekcja profilu a” t. I w tym
przypadku jest niewidoczny, ponieważ znajduje się za występem najbardziej zewnętrznej tworzącej s”4” i jest wskazany w nawiasach.
Ryż. 3 Metoda druga: konstruując rzuty odcinka powierzchni stożkowej z płaszczyzną poziomą Pv pa-
równolegle do podstawy stożka i przechodząc przez dany punkt B. Ryc. 3. Dane: rzut czołowy punktu B – punktu b’, znajdującego się wewnątrz
widoczna część stożka.
Przez punkt b' rysujemy linię prostą Pv równoległą do podstawy stożka, która
raj to rzut czołowy płaszczyzny cięcia P. Linia ta przecina się
Oś stożka leży w punkcie 01’, a skrajne tworzące w punktach k1’ i k3’. Odcinek prosty k1’k3’ jest rzutem czołowym przekroju stożka przechodzącego przez punkt b’.
Rzut poziomy tego przekroju będzie kołem, którego promień na rzucie czołowym jest określony jako odległość 01’k1’ od osi współosiowej
nous do skrajnego generatora.
Ponieważ punkt b’ leży w płaszczyźnie przekroju, za pomocą linii połączenia przenosimy go na rzut poziomy przekroju w widocznej części stożka.
Punkt rzutowania profilu b” definiuje się jako przecięcie profilu
rzut odcinka k2”k4” z linią komunikacyjną przenoszącą położenie punktu b z poziomu
projekcja zontalna.
Konstruowanie punktów na powierzchni stożka w aksonometrii.
Budujemy stożek w izometrii prostokątnej. Konstrukcja okręgu podstawy stożka w aksonometrii powtarza konstrukcję podstawy walca. (Patrz sekcja 8.2.1.) Pomijając wysokość stożka na osi pionowej, rysujemy dwie tworzące - styczne do owalu podstawy.
Pierwszy sposób. Ryż. 2.
Budujemy tworzącą SE: na osi X lub Y nanosimy współrzędne X lub Y
Y odpowiadające np. E na rzucie poziomym i narysuj przez nie linie równoległe odpowiednio do osi Y lub X. Ich przecięcie wyznacza położenie punktu E u podstawy stożka.
Połączmy t. E z wierzchołkiem stożka S i środkiem podstawy t. Rozważmy powstały trójkąt S0E: bok 0S to oś symetrii stożka pokrywająca się z osią Z. Strona SE to tworząca stożka, na którym znajduje się t. A. Bok 0E jest podstawą składowej trójkąta o kącie osi Z wynoszącym 900.
Wysokość m. A przyjmuje się w rzucie czołowym prostopadle do osi
zaginając stożek do punktu a’ i umieszczając go w aksonometrii na osi Z, czyli po stronie 0S.
Przez powstałe nacięcie rysujemy linię prostą w płaszczyźnie trójkąta
równolegle do podstawy trójkąta, aż przetnie się z tworzącą SE. W ten sposób przenosimy wysokość położenia m na powierzchnię stożka
Drugi sposób. Ryż. 3.
Konstruujemy odcinek stożka z płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez punkt B. Takim odcinkiem stożka jest okrąg o promieniu równym
odcinek OK położony na wysokości równej wysokości T.V. W aksonometrii okrąg ten jest zbudowany w formie elipsy (lub zastępującego ją owalu).
Następnie na osiach X i Y u podstawy stożka nanosimy odpowiednie wartości
współrzędne X i Y t. Pobrane z rzutu poziomego i z punktu ich przecięcia przywracamy prostopadłą do przecięcia z elipsą przekroju,
który określi pozycję t.V.
Sekcje stożkowe.
W w zależności od kierunku w przestrzeni płaszczyzny cięcia przechodzącej przez stożek, w przekroju prawego stożka kołowego można otrzymać
różne płaskie figury:
A – linie proste (generowanie) B – hiperbola
B – okrąg
G – parabola
D - elipsa Przekroje stożkowe - elipsa, parabola i hiperbola są wzorami
krzywe naturalne, które są zbudowane z punktów należących do krzywej przekroju.
A. Przekrój stożka przez płaszczyznę pionową przechodzącą przez jego wierzchołek jest linią prostą. Ryż. 4.
Na rzut poziomy stożka przez punkt S rysujemy linię Ph pod dowolnym kątem do osi X i Y, co stanowi rzut poziomy siecznej
płaszczyzna pionowa. Ta linia
przecina okrąg podstawy stożka w dwóch punktach a i b, a odcinek aob jest rzutem poziomym przekroju stożka.
Odrzućmy w myślach lewą część stożka z linii Ph i na prawo od niej otrzymamy rzut poziomy ściętego współ-
Segmenty SA i SB - poziome
rzuty tworzących stożka, wzdłuż których przechodzi płaszczyzna cięcia Ph.
Konstruujemy generatory SA i SB na
rzut czołowy, przenosząc do niego punkty A i B i łącząc powstałe punkty a’ i b’ z wierzchołkami s’. Trójkąt a’b’ będzie przednim rzutem przekroju
stożek, a linia s’3’ jest najbardziej zewnętrzną tworzącą stożka.
Podobnie, przesuwając, konstruujemy rzut profilu przekroju stożka
punkty a i b z rzutu poziomego na profilowy i łącząc powstałe punkty a” i b” z wierzchołkiem stożka s”. Trójkąt a”s”b” jest rzutem profilu przekroju stożka, a linia s”2” jest najbardziej zewnętrzną tworzącą stożka.
lub X. Ich przecięcie z linią podstawy stożka pozwala otrzymać punkty A i B w aksonometrii. Łącząc je ze sobą i każdego z nich
je z wierzchołkiem stożka S, otrzymujemy trójkąt ABS, który jest przekrojem stożka przez płaszczyznę pionową P.
B. Przekrój stożka przez płaszczyznę pionową, która nie przechodzi przez jego wierzchołek, to hiperbola. Ryż. 5.
Jeżeli pionowa płaszczyzna cięcia P nie przechodzi przez wierzchołek stożka, to nie pokrywa się już z tworzącymi jego powierzchni bocznej, ale wręcz przeciwnie, przecina się
Na rzucie poziomym stożka rysujemy sieczną płaszczyznę Ph w dowolnej odległości od wierzchołka S i równolegle
ogólnie rzecz biorąc, położenie
Płaszczyzna cięcia względem osi X i Y może być dowolna.
Linia Ph przecina okrąg podstawy stożka w dwóch punktach a i b. Odcinek ab tej linii jest rzutem poziomym
części stożkowej. Część koła po lewej stronie linii Ph dzielimy na dowolną część
liczbę równych części, w dolnym przypadku przez 12, a następnie każdą otrzymaną dokładnie
połącz ku na okręgu z wierzchołkiem stożka s. Te generatory skrzyżowań
przecinają płaszczyznę cięcia Ph i otrzymujemy jednocześnie pewną liczbę punktów należących do generatorów i rzutu przekroju stożka ab.
Powstałe generatory konstruujemy na przednim rzucie stożka
Przenosimy z rzutu poziomego wszystkie punkty na podstawie stożka (a, 1, ...,
5, b) i na rzucie czołowym uzyskujemy punkty (a’, 1’, ..., 5’, a’) i łączymy je z wierzchołkiem stożka s’. Na rzucie czołowym przez punkt b’ rysujemy sieczną płaszczyznę Pv prostopadłą do podstawy stożka. Linia Pv przecina się
wszystkie generatory i ich punkty przecięcia należą do rzutu przekroju stożka.
Powtórzmy konstrukcję wszystkich generatorów na rzucie profilowym stożka, przenosząc na niego punkty (a, 1, ..., 5, b) z rzutu poziomego. Powstałe punkty (a”, 1”, …, 5”, b”) łączymy z wierzchołkiem s”.
Przenosimy z rzutu czołowego punkty przecięcia odpowiednich generatorów z płaszczyzną cięcia Pv na powstałe generatory. Łączymy powstałe punkty zakrzywioną linią, która reprezentuje wzór
krzywa - hiperbola.
Budowa aksonometrii. Ryż. 5.
Budujemy stożek w aksonometrii, jak opisano powyżej.
Następnie z rzutu poziomego stożka pobieramy współrzędne wzdłuż osi X lub Y dla wszystkich punktów a, 1, ..., 5, b i przenosimy je na aksonometryczną oś X lub Y i znajdujemy ich położenie na podstawie stożka w aksonometrii. Złączony
je szeregowo z wierzchołkiem stożka S i otrzymujemy szereg generatorów na powierzchni stożka odpowiadający generatorom na rzutach ortogonalnych.
Na każdej tworzącej znajdujemy punkt jej przecięcia z płaszczyzną przecięcia P w taki sam sposób, jak opisano powyżej (patrz konstruowanie punktów na powierzchni stożka, metoda pierwsza).
Łącząc punkty krzywej wzorcowej uzyskane na generatorach oraz punkty A i B, otrzymujemy rzut aksonometryczny stożka ściętego.
B Przekrój stożka przez płaszczyznę poziomą. Ryż. 6.
Przekrój prawego stożka kołowego z płaszczyzną poziomą równoległą do podstawy jest kołem.
Jeśli przetniemy stożek na dowolnej wysokości h od podstawy stożka przez punkt a’
leżąc na swojej osi o z płaszczyzną równoległą do jej podstawy, wówczas na rzucie czołowym zobaczymy linię poziomą Pv, będącą rzutem czołowym płaszczyzny cięcia tworzącej przekrój
szyszki I’, II’, III’, IV’. Na projekcji profilu
Widok W płaszczyzny cięcia i przekrój stożka są podobne i odpowiadają linii Pw.
Na rzucie poziomym przekrój
stożek jest w naturze kołem
dowolna wartość, której promień okręgu jest rzutowany z rzutu czołowego jako odległość od osi stożka w punkcie a’ do punktu I’, leżącego na najbardziej zewnętrznej tworzącej 1’.
Budowa aksonometrii. Ryż. 6.
Budujemy stożek w aksonometrii, jak opisano
Sano powyżej.
Następnie na osi Z nanosimy wysokość h punktu A od podstawy stożka. Przez punkt A rysujemy linie równoległe do osi X i Y i konstruujemy okrąg w punkcie A
aksonometria o promieniu R=a’I’ wziętym z rzutu czołowego.
D Przekrój stożka przez nachyloną płaszczyznę równoległą do tworzącej. Ryż. 7.
Konstruujemy trzy rzuty stożka - poziomy, czołowy i profilowy. (patrz wyżej).
Na rzucie czołowym stożka rysujemy sieczną płaszczyznę Pv równoległą do tworzącej zarysu s’6’ w dowolnej odległości od jej początku.
la u podstawy stożka przechodzącego przez punkt a’(b’). Odcinek a’c’ jest rzutem czołowym przekroju stożka.
Na rzucie poziomym konstruujemy rzut podstawy płaszczyzny cięcia P przez punkty a, b. Odcinek ab jest rzutem podstawy przekroju stożka.
Następnie dzielimy obwód podstawy stożka na dowolną liczbę części i łączymy powstałe punkty z wierzchołkiem stożka s. Otrzymujemy szereg generatorów stożka, które sukcesywnie przenosimy na rzuty czołowe i profilowe. (patrz punkt B).
Na rzucie czołowym obraz przecina ślad płaszczyzny cięcia Pv
przecięcie i na przecięciu daje liczbę punktów, które należą jednocześnie do siecznej płaszczyzny i generatorów stożka.
Punkty te przekazujemy liniami komunikacyjnymi na projekcje generatorów na horyzoncie.
rzuty strefowe i profilowe.
Łączymy powstałe punkty zakrzywioną linią, która reprezentuje
krzywa wzorcowa - parabola.
Budowa aksonometrii. Ryż. 7.
Konstruujemy rzut aksonometryczny stożka, jak opisano powyżej.
wszystkie punkty (a, b, 1, ..., 6) i przenieść je odpowiednio na osie aksonometryczne X lub Y, wyznaczając w ten sposób ich położenie
ruch u podstawy stożka w aksonometrii. Łączymy je szeregowo z wierzchołkiem
stożek S i otrzymujemy szereg generatorów na powierzchni stożka odpowiadających generatorom na rzutach ortogonalnych.
Na każdej tworzącej znajdujemy punkt jej przecięcia z płaszczyzną cięcia P
podobnie jak opisano to powyżej (patrz konstruowanie punktów na powierzchni stożka).
D. Przekrój stożka przez nachyloną płaszczyznę umieszczoną pod dowolnym kątem do podstawy stożka jest elipsą. Ryż. 8.
Konstruujemy trzy rzuty stożka – poziomy, czołowy i pro-
Filin. (patrz wyżej).
Na rzucie czołowym stożka narysuj linię płaszczyzny cięcia Pv pod dowolnym kątem do podstawy stożka.
Na rzucie poziomym dzielimy obwód podstawy stożka na dowolną liczbę równych części (w tym przypadku 12) i otrzymujemy
Łączymy te punkty z wierzchołkiem stożka S. Otrzymujemy szereg generujących, które za pomocą linii komunikacyjnych są kolejno przenoszone na rzuty czołowe i profilowe.
Na rzucie czołowym płaszczyzna cięcia Pv przecina wszystkie tworzące, a powstałe punkty ich przecięcia należą jednocześnie do se-
płaszczyzna rzeczywista i powierzchnia boczna stożka, będąca rzutem czołowym żądanego przekroju.
Punkty te przenosimy na rzut poziomy stożka.
Następnie konstruujemy rzut profilu przekroju stożka (patrz wyżej), łącząc powstałe punkty krzywej wzorcowej, która jest elektrycznym
Budowa naturalnego rozmiaru przekroju.
Krzywe wzorcowe (elipsy) na rzutach poziomych i profilowych są zniekształconymi obrazami przekroju poprzecznego stożka.
Prawdziwą (naturalną) wartość przekroju uzyskuje się poprzez połączenie
siecznej P z poziomą płaszczyzną rzutów H. Wszystkie punkty przekroju stożkowego na rzucie czołowym przenosimy za pomocą kompasu na oś X, obracając je wokół punktu k”. Następnie na rzucie poziomym kontynuujemy je z liniami łączącymi równoległymi do osi Y, aż przetną się z czy-
linie połączeń pobrane z rzutu poziomego odpowiednich punktów. Pe-
przecięcie poziomych i pionowych linii połączenia odpowiednich punktów pozwala uzyskać punkty należące do naturalnej wielkości przekroju. Łącząc je krzywą wzorcową, otrzymujemy elipsę naturalny rozmiar sekcje stożkowe.
Konstrukcja aksonometrii stożka ściętego. Ryż. 8.
Konstruowanie aksonometrii stożka ściętego odbywa się poprzez znalezienie punktów należących do przekroju stożka dowolną z metod opisanych powyżej (patrz wyżej).
Konstrukcja rozwinięcia powierzchni stożka ściętego. Ryż. 8.
Skonstruujmy najpierw rozwinięcie powierzchni bocznej nieściętej
stożek Ustalamy położenie punktu S na arkuszu i rysujemy z niego łuk o promieniu równym naturalnej wartości długości tworzącej stożka (na przykład s’1’lub s’7’). Ustalamy położenie punktu 1 na tym łuku. Układamy z niego kolejno tyle identycznych odcinków (cięciw), ile części dzieli się na obwód podstawy stożka. Uzyskane na łuku punkty 1, 2, ..., 12, 1 łączymy z punktem S. Sektor 1S1 to rozwinięcie powierzchni bocznej nieobciętej
drobny stożek. Dołączywszy do niego w dolnej części (np. do punktu 2) naturalną wielkość podstawy stożka w postaci okręgu wziętego z rzutu poziomego,
uzyskujemy pełne rozwinięcie nieściętego stożka.
Aby skonstruować rozwinięcie powierzchni bocznej stożka ściętego, należy określić rzeczywistą wielkość wszystkich generatorów ściętych. NA
rzutu czołowego przenosimy wszystkie punkty przekroju na zarys tworzącej s’7’ liniami równoległymi do podstawy stożka. Następnie przenosimy każdy segment tworzącej z punktu 7’ do odpowiedniego punktu przekroju do odpowiedniej tworzącej na rozwinięciu. Łącząc te punkty na zabudowie otrzymujemy zakrzywioną linię odpowiadającą linii przekroju powierzchni bocznej
Następnie zastosuj się do linii przekroju na zabudowie (na przykład do tworzącej S1)
Konstruujemy elipsę w przekroju poprzecznym naturalnej wielkości otrzymaną na poziomej płaszczyźnie rzutowania H.
Rozwinięciami powierzchni ciał geometrycznych są rysunki
- wzory papierowe i służą do wykonania układu figury.
Stożek ścięty uzyskuje się, jeśli ze stożka odetnie się mniejszy stożek płaszczyzną równoległą do podstawy (ryc. 8.10). Stożek ścięty ma dwie podstawy: „dolną” - podstawę pierwotnego stożka - i „górną” - podstawę odciętego stożka. Zgodnie z twierdzeniem o przekroju stożka podstawy ściętego stożka są podobne .
Wysokość ściętego stożka to prostopadła poprowadzona z punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej. Wszystkie takie prostopadłe są równe (patrz sekcja 3.5). Wysokość nazywana jest także ich długością, czyli odległością pomiędzy płaszczyznami podstaw.
Ścięty stożek obrotowy otrzymuje się ze stożka obrotowego (ryc. 8.11). Dlatego jego podstawy i wszystkie równoległe do nich sekcje są okręgami o środkach na tej samej linii prostej - na osi. Ścięty stożek obrotowy uzyskuje się obracając prostokątny trapez wokół jego boku prostopadłego do podstaw lub obracając
trapez równoramienny wokół osi symetrii (ryc. 8.12).
Powierzchnia boczna ściętego stożka obrotowego
Jest to część powierzchni bocznej stożka obrotowego, z którego pochodzi. Powierzchnia ściętego stożka obrotowego (lub jego pełna powierzchnia) składa się z podstaw i powierzchni bocznej.
8,5. Obrazy stożków obrotowych i ściętych stożków obrotowych.
W ten sposób narysowany jest prosty okrągły stożek. Najpierw narysuj elipsę przedstawiającą okrąg podstawy (ryc. 8.13). Następnie znajdują środek podstawy - punkt O i rysują pionowy odcinek PO, który przedstawia wysokość stożka. Z punktu P narysuj linie styczne (odniesienia) do elipsy (praktycznie robi się to na oko, posługując się linijką) i zaznacz odcinki RA i PB tych prostych od punktu P do punktów styczności A i B. Zwróć uwagę, że odcinek AB nie jest średnicą stożka podstawy, a trójkąt ARV nie jest przekrojem osiowym stożka. Przekrój osiowy stożka to trójkąt APC: odcinek AC przechodzi przez punkt O. Niewidoczne linie rysujemy kreskami; Odcinka OP często nie rysuje się, a jedynie obrysowuje w myślach, aby zobrazować wierzchołek stożka P bezpośrednio nad środkiem podstawy – punkt O.
Przedstawiając ścięty stożek obrotowy, wygodnie jest najpierw narysować stożek, z którego pochodzi stożek ścięty (ryc. 8.14).
8.6. Przekroje stożkowe. Powiedzieliśmy już, że płaszczyzna przecina powierzchnię boczną cylindra obrotowego po elipsie (pkt 6.4). Również przekrój bocznej powierzchni stożka obrotu przez płaszczyznę, która nie przecina jego podstawy, jest elipsą (ryc. 8.15). Dlatego elipsę nazywa się przekrojem stożkowym.
Do przekrojów stożkowych zaliczają się także inne dobrze znane krzywe – hiperbole i parabole. Rozważmy stożek nieograniczony uzyskany przez przedłużenie powierzchni bocznej stożka obrotowego (ryc. 8.16). Przetnijmy go płaszczyzną a, która nie przechodzi przez wierzchołek. Jeśli a przecina wszystkie generatory stożka, to w przekroju, jak już powiedziano, otrzymujemy elipsę (ryc. 8.15).
Obracając płaszczyznę OS, możesz upewnić się, że przecina ona wszystkie tworzące stożka K, z wyjątkiem jednej (do której OS jest równoległy). Następnie w przekroju otrzymujemy parabolę (ryc. 8.17). Wreszcie, obracając dalej płaszczyznę OS, przeniesiemy ją do takiego położenia, że a, przecinająca część generatorów stożka K, nie przecina nieskończonej liczby pozostałych jego generatorów i jest równoległa do dwóch z nich (ryc. 8.18 ). Następnie na przekroju stożka K z płaszczyzną a otrzymujemy krzywą zwaną hiperbolą (a dokładniej jedną z jej „gałęzi”). Zatem hiperbola będąca wykresem funkcji jest szczególnym przypadkiem hiperboli – hiperboli równobocznej, tak jak okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy.
Dowolne hiperbole można uzyskać z hiperbol równobocznych za pomocą rzutowania, w taki sam sposób, w jaki elipsę uzyskuje się przez równoległe rzutowanie koła.
Aby otrzymać obie gałęzie hiperboli, należy wziąć odcinek stożka, który ma dwie „wnęki”, to znaczy stożek utworzony nie przez promienie, ale przez linie proste zawierające tworzące powierzchnie boczne stożka rewolucja (ryc. 8.19).
Przekroje stożkowe były badane przez starożytnych greckich geometrów, a ich teoria była jednym ze szczytów starożytnej geometrii. Najbardziej kompletne badania przekrojów stożkowych w starożytności przeprowadził Apoloniusz z Perge (III wiek p.n.e.).
Jest wiele ważne właściwości, łącząc elipsy, hiperbole i parabole w jedną klasę. Przykładowo wyczerpują „niezdegenerowane”, czyli krzywe, które nie dają się sprowadzić do punktu, prostej lub pary prostych, które są określone na płaszczyźnie we współrzędnych kartezjańskich równaniami postaci
Przekroje stożkowe odgrywają w przyrodzie ważną rolę: ciała poruszają się w polu grawitacyjnym po orbitach eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych (pamiętajcie prawa Keplera). Niezwykłe właściwości przekrojów stożkowych są często wykorzystywane w nauce i technologii, na przykład do produkcji niektórych przyrządy optyczne lub reflektory (powierzchnię lustra w świetle reflektora uzyskuje się poprzez obrót łuku paraboli wokół osi paraboli). Przekroje stożkowe można zaobserwować jako granice cienia okrągłych abażurów (ryc. 8.20).
W zależności od lokalizacji przekroju płaskiego R względem osi prostego okrągłego stożka uzyskuje się różne figury przekroju poprzecznego, ograniczone liniami zakrzywionymi.
Przekrój prawego stożka kołowego przez wystającą do przodu płaszczyznę R jest rozważane na ryc. 182. Podstawa stożka leży na płaszczyźnie N. Figura przekroju w tym przypadku będzie ograniczona do elipsy.
Rzut czołowy figury przekroju znajduje się na przednim śladzie płaszczyzny R(ryc. 182, A).
Aby skonstruować rzut poziomy konturu figury przekroju, rzut poziomy podstawy stożka (okręgu) dzieli się na przykład na 12 równych części. Generatory pomocnicze poprowadzono przez punkty podziału na rzutach poziomych i czołowych. Najpierw znajdź rzuty czołowe punktów przekroju 1′...12", leżąc w samolocie P1. Następnie za pomocą linii komunikacyjnej odnajduje się ich poziome rzuty. Na przykład rzut poziomy punktu 2 znajdującego się na tworzącej s2, jest rzutowany na rzut poziomy tej samej tworzącej w punkcie 2.
Znalezione rzuty poziome punktów konturu przekroju łączy się według wzoru. Rzeczywisty wygląd figury przekroju w tym przykładzie uzyskano poprzez zmianę płaszczyzny rzutowania. Płaszczyzna I zostaje zastąpiona nową płaszczyzną projekcji N 1.
Na przedniej płaszczyźnie projekcji V figura przekrojowa - elipsa jest przedstawiona jako linia prosta 1"7", pokrywa się z rzutem czołowym płaszczyzny cięcia R. Ta linia 1′7" jest główną osią elipsy. Mała oś elipsy a"b" prostopadle do głównej osi 1′ 7" i przechodzi
przez jego środek. Aby znaleźć małą oś przekroju, przechodzącą przez środek głównej osi 1′7" elipsa rysuje płaszczyznę poziomą N, co przetnie stożek po okręgu, którego średnica będzie równa małej osi elipsy (a 0 b 0).
Konstrukcja rozwinięcia powierzchni stożka (ryc. 182, b) rozpoczyna się od narysowania łuku kołowego o promieniu równa długości tworząca stożka z punktu S0. Długość łuku jest określona przez kąt α:
Gdzie D– średnica okręgu podstawy stożka; l– długość tworzącej stożka.
Łuk dzieli się na 12 części, a powstałe punkty łączy się z wierzchołkiem s 0. Z wierzchołka wykreślane są rzeczywiste długości segmentów tworzących od wierzchołka stożka do płaszczyzny cięcia R.
Znaleziono rzeczywiste długości tych odcinków,
jak w przykładzie z piramidą, w sposób zbliżony do osi pionowej przechodzącej przez szynę stożka. Na przykład, aby uzyskać rzeczywistą długość odcinka S2, należy narysować poziomą linię od 2′ do przecięcia w tym punkcie B" z tworzącą kontur stożka, która jest jego rzeczywistą długością.
Figury przekrojowe i podstawa stożka są dołączone do rozwinięcia powierzchni stożkowej.
Konstrukcja rzutu izometrycznego ściętego stożka (ryc. 182, V) zacznij od podstawy - elipsy. Rzut izometryczny dowolnego punktu na krzywej przekroju wyznacza się ze współrzędnych punktu trzeciego, jak pokazano na ryc. 182, V.
Na osi X połóż kropki I...VII, wzięte z rzutu poziomego stożka. Z uzyskanych punktów rysuje się pionowe linie proste, na które nanoszone są współrzędne z wzięte z rzutu czołowego. Przelot uzyskany na nachylonej osi
punkty elipsy rysują linie proste równoległe do osi y, oraz segmenty 6 0 8 0 i 4 0 10 0 , wzięte z rzeczywistego widoku przekroju.
Znalezione punkty łączymy według wzoru. Skrajne kontury rysowane są stycznie do konturu podstawy stożka i elipsy.
Przykładowy przekrój prostego stożka kołowego pokazano na ryc. 182, G. Pokrywa separatora jest konstrukcją spawaną wykonaną z cienkiej blachy stalowej i składa się z dwóch stożków.
