Ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκεται στην πραγματικότητα σχεδόν σε κάθε γωνία. Η γνώση των ιδιοτήτων ενός δεδομένου σχήματος, καθώς και η ικανότητα υπολογισμού του εμβαδού του, θα σας είναι αναμφίβολα χρήσιμη όχι μόνο για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας, αλλά και σε καταστάσεις ζωής.
Στη στοιχειώδη γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία συνδεδεμένα τμήματα που σχηματίζουν τρεις γωνίες (δύο οξείες και μία ευθεία). Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα αρχικό σχήμα που χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό σημαντικές ιδιότητες, που αποτελούν το θεμέλιο της τριγωνομετρίας. Σε αντίθεση με ένα κανονικό τρίγωνο, οι πλευρές ενός ορθογώνιου σχήματος έχουν τα δικά τους ονόματα:
Είναι η αναλογία των ποδιών και της υποτείνουσας που αποτελεί τη βάση της τριγωνομετρίας: τα ημίτονο, οι εφαπτόμενες και οι τομές ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ορθογώνιο τρίγωνο.
Αυτός ο αριθμός έχει γίνει ευρέως διαδεδομένος στην πραγματικότητα. Τα τρίγωνα χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό και την τεχνολογία, επομένως ο υπολογισμός του εμβαδού μιας φιγούρας πρέπει να γίνεται από μηχανικούς, αρχιτέκτονες και σχεδιαστές. Οι βάσεις των τετραέδρων ή των πρισμάτων - τρισδιάστατες φιγούρες που είναι εύκολο να συναντηθούν στην καθημερινή ζωή - έχουν σχήμα τριγώνου. Επιπλέον, ένα τετράγωνο είναι η απλούστερη αναπαράσταση ενός «επίπεδου» ορθογωνίου τριγώνου στην πραγματικότητα. Το τετράγωνο είναι ένα εργαλείο μεταλλουργίας, σχεδίασης, κατασκευής και ξυλουργικής που χρησιμοποιείται για την κατασκευή γωνιών τόσο από μαθητές όσο και από μηχανικούς.
τετράγωνο γεωμετρικό σχήμαείναι μια ποσοτική εκτίμηση του πόσο από το επίπεδο οριοθετείται από τις πλευρές του τριγώνου. Το εμβαδόν ενός συνηθισμένου τριγώνου μπορεί να βρεθεί με πέντε τρόπους, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron ή χρησιμοποιώντας μεταβλητές όπως η βάση, η πλευρά, η γωνία και η ακτίνα του εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου. Το περισσότερο απλή φόρμουλαΗ περιοχή εκφράζεται ως:
όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου, h το ύψος του.
Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ακόμα πιο απλός:
όπου α και β είναι τα πόδια.
Δουλεύοντας με την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τρία ζεύγη παραμέτρων:
Σε προβλήματα ή καθημερινές καταστάσεις θα σας δοθούν διαφορετικοί συνδυασμοί μεταβλητών, επομένως αυτή η μορφή της αριθμομηχανής σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου με διάφορους τρόπους. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να τακτοποιήσετε τους τοίχους της κουζίνας. κεραμικά πλακάκια, που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου. Για να προσδιορίσετε την κατανάλωση πλακιδίων, πρέπει να μάθετε την περιοχή ενός στοιχείου επένδυσης και συνολική έκτασηεπεξεργασμένη επιφάνεια. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επεξεργαστείτε το 7 τετραγωνικά μέτρα. Το μήκος των ποδιών ενός στοιχείου είναι 19 cm, τότε η περιοχή του πλακιδίου θα είναι ίση με:
Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή ενός στοιχείου είναι 24,5 τετραγωνικά εκατοστά ή 0,01805 τετραγωνικά μέτρα. Γνωρίζοντας αυτές τις παραμέτρους, μπορείτε να υπολογίσετε ότι για να τελειώσετε 7 τετραγωνικά μέτρα τοίχου θα χρειαστείτε 7/0,01805 = 387 στοιχεία από πλακάκια πρόσοψης.
Αφήνω μέσα σχολική εργασίαστη γεωμετρία, πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός ορθογωνίου τριγώνου, γνωρίζοντας μόνο ότι η πλευρά ενός ποδιού είναι 5 cm και η αντίθετη γωνία είναι 30 μοίρες. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή μας συνοδεύεται από μια εικόνα που δείχνει τις πλευρές και τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αν πλευρά α = 5 cm, τότε η αντίθετη γωνία της είναι γωνία άλφα, ίση με 30 μοίρες. Εισαγάγετε αυτά τα δεδομένα στη φόρμα αριθμομηχανής και λάβετε το αποτέλεσμα:
Έτσι, η αριθμομηχανή όχι μόνο υπολογίζει την περιοχή ενός δεδομένου τριγώνου, αλλά καθορίζει και το μήκος διπλανό πόδικαι την υποτείνουσα, καθώς και την τιμή της δεύτερης γωνίας.
Τα ορθογώνια τρίγωνα βρίσκονται στη ζωή μας κυριολεκτικά σε κάθε γωνία. Ο προσδιορισμός της περιοχής τέτοιων αριθμών θα σας είναι χρήσιμος όχι μόνο κατά την επίλυση σχολικές εργασίεςστη γεωμετρία, αλλά και στις καθημερινές και επαγγελματικές δραστηριότητες.
Η επίλυση ενός τριγώνου είναι η εύρεση και των έξι στοιχείων του (δηλαδή των τριών πλευρών και των τριών γωνιών) από οποιαδήποτε τρία δεδομένα στοιχεία που ορίζουν το τρίγωνο.
Αυτό το μαθηματικό πρόγραμμα βρίσκει την πλευρά \(c\), τις γωνίες \(\άλφα \) και \(\beta \) από τις πλευρές που καθορίζονται από τον χρήστη \(a, b\) και τη γωνία μεταξύ τους \(\γάμα \)
Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά εμφανίζει και τη διαδικασία εύρεσης λύσης.
Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορεί να είναι χρήσιμη για μαθητές γυμνασίου σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςσε προετοιμασία για δοκιμέςκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται; εργασία για το σπίτιστα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.
Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες εισαγωγής αριθμών, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.
Κανόνες για την εισαγωγή αριθμών
Οι αριθμοί μπορούν να προσδιοριστούν όχι μόνο ως ακέραιοι αριθμοί, αλλά και ως κλάσματα.
Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη στα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να διαχωριστούν είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα, μπορείτε να εισάγετε δεκαδικάάρα 2,5 ή κάτι τέτοιο 2,5
Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...
Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.
Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:
Θεώρημα
Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τα ημίτονο των απέναντι γωνιών:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$
Θεώρημα
Έστω AB = c, BC = a, CA = b στο τρίγωνο ABC. Επειτα
Τετράγωνη πλευρά τριγώνου ίσο με το άθροισματετράγωνα των άλλων δύο πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Η επίλυση ενός τριγώνου είναι η εύρεση και των έξι στοιχείων του (δηλ. τρεις πλευρέςκαι τρεις γωνίες) από οποιαδήποτε τρία δεδομένα στοιχεία που ορίζουν ένα τρίγωνο.
Ας δούμε τρία προβλήματα που αφορούν την επίλυση ενός τριγώνου. Σε αυτή την περίπτωση, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τις πλευρές του τριγώνου ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Λύνοντας ένα τρίγωνο χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και τη μεταξύ τους γωνία
Δίνεται: \(a, b, \γωνία C\). Εύρεση \(c, \γωνία Α, \γωνία Β\)
Λύση
1. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου βρίσκουμε \(c\):
3. \(\γωνία Β = 180^\κύκλος -\γωνία Α -\γωνία Γ\)
Επίλυση τριγώνου δίπλα και παρακείμενων γωνιών
Δίνονται: \(a, \γωνία B, \γωνία C\). Βρείτε \(\γωνία A, b, c\)
Λύση
1. \(\γωνία A = 180^\circ -\γωνία B -\γωνία C\)
Επίλυση τριγώνου με τρεις πλευρές
Δίνονται: \(a, b, c\). Βρείτε \(\γωνία A, \γωνία B, \γωνία C\)
Λύση
1. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου παίρνουμε:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$
2. Ομοίως, βρίσκουμε τη γωνία Β.
3. \(\γωνία C = 180^\circ -\γωνία A -\γωνία B\)
Επίλυση τριγώνου με δύο πλευρές και γωνία απέναντι από γνωστή πλευρά
Δίνεται: \(a, b, \γωνία A\). Εύρεση \(c, \γωνία B, \γωνία C\)
Λύση
1. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των ημιτόνων, βρίσκουμε \(\sin B\) παίρνουμε:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$
Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Ανάλογα με τον αριθμό D, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:
Αν D > 1, τέτοιο τρίγωνο δεν υπάρχει, γιατί Το \(\sin B\) δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από 1
Εάν D = 1, υπάρχει μια μοναδική \(\γωνία B: \quad \sin B = 1 \Δεξί βέλος \γωνία B = 90^\circ \)
Αν D Εάν D 2. \(\γωνία C = 180^\circ -\γωνία A -\γωνία B\)
3. Χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα, υπολογίζουμε την πλευρά c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Στη γεωμετρία, γωνία είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ακτίνες που προέρχονται από ένα σημείο (την κορυφή της γωνίας). Οι γωνίες συνήθως μετρώνται σε μοίρες, με μια πλήρη γωνία ή περιστροφή να είναι 360 μοίρες. Μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία ενός πολυγώνου εάν γνωρίζετε τον τύπο του πολυγώνου και το μέγεθος των άλλων γωνιών του ή, στην περίπτωση ενός ορθογωνίου τριγώνου, το μήκος δύο από τις πλευρές του.
Μετρήστε τον αριθμό των γωνιών στο πολύγωνο.
Να βρείτε το άθροισμα όλων των γωνιών του πολυγώνου.Τύπος για την εύρεση του αθροίσματος όλων εσωτερικές γωνίεςενός πολυγώνου μοιάζει με (n - 2) x 180, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών καθώς και οι γωνίες του πολυγώνου. Ακολουθούν τα αθροίσματα γωνιών ορισμένων πολυγώνων που συναντώνται συχνά:
Προσδιορίστε αν το πολύγωνο είναι κανονικό.Κανονικό πολύγωνο είναι αυτό στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες. Παραδείγματα κανονικών πολυγώνων περιλαμβάνουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο, ενώ το Πεντάγωνο στην Ουάσιγκτον είναι χτισμένο σε σχήμα κανονικού πενταγώνου και ένα σημάδι στάσης έχει σχήμα κανονικού οκτάγωνου.
Προσθέστε τις γνωστές γωνίες ενός πολυγώνου και στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό το άθροισμα από το συνολικό άθροισμα όλων των γωνιών του.Στα περισσότερα γεωμετρικά προβλήματα αυτού του είδους μιλάμε γιασχετικά με τρίγωνα ή τετράπλευρα, αφού απαιτούν λιγότερα δεδομένα εισόδου, οπότε θα κάνουμε το ίδιο.
Προσδιορίστε ποια δεδομένα γνωρίζετε.Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται έτσι επειδή μια από τις γωνίες του είναι ορθή. Μπορείτε να βρείτε το μέγεθος μιας από τις δύο υπόλοιπες γωνίες εάν γνωρίζετε ένα από τα ακόλουθα:
Προσδιορίστε ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιήσετε.Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εκφράζουν τις σχέσεις μεταξύ δύο από τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου. Υπάρχουν έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αλλά οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες είναι:
Ο κύκλος που εγγράφεται σε αυτό (r). Για να το κάνετε αυτό, αυξήστε το κατά έξι φορές και διαιρέστε με Τετραγωνική ρίζααπό τα τρία: A = r*6/√3.
Γνωρίζοντας την ακτίνα (R), μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το μήκος πλευρές(Α) σωστό τρίγωνο. Αυτή η ακτίνα είναι διπλάσια από αυτή που χρησιμοποιήθηκε στον προηγούμενο τύπο, άρα τριπλασιάστε την και διαιρέστε την επίσης με την τετραγωνική ρίζα των τριών: A = R*3/√3.
Κατά (Ρ) ισόπλευρο τρίγωνουπολογίστε το μήκος του πλευρέςΤο (Α) είναι ακόμα πιο απλό, αφού τα μήκη των πλευρών σε αυτό το σχήμα είναι τα ίδια. Απλώς διαιρέστε την περίμετρο με τρία: A = P/3.
Σε ισοσκελές τρίγωνο, υπολογίζοντας το μήκος πλευρέςκατά μήκος μιας γνωστής περιμέτρου είναι λίγο πιο περίπλοκο - πρέπει επίσης να γνωρίζετε το μήκος τουλάχιστον μιας από τις πλευρές. Αν το μήκος είναι γνωστό πλευρές A, που βρίσκεται στη βάση του σχήματος, βρείτε το μήκος οποιασδήποτε πλευράς (Β) στο μισό της διαφοράς μεταξύ της περιμέτρου (P) και του μεγέθους της βάσης: B = (P-A)/2. Και αν η πλευρά είναι γνωστή, τότε προσδιορίστε το μήκος της βάσης αφαιρώντας το διπλάσιο του μήκους της πλευράς από την περίμετρο: A = P-2*B.
Η γνώση της περιοχής (S) που καταλαμβάνει ένα κανονικό τρίγωνο σε ένα επίπεδο είναι επίσης αρκετή για να βρεθεί το μήκος του πλευρές(ΕΝΑ). Πάρτε την τετραγωνική ρίζα του λόγου του εμβαδού και της ρίζας του τρία και διπλασιάστε το αποτέλεσμα: A = 2*√(S/√3).
Σε , σε από οποιαδήποτε άλλη, για να υπολογίσουμε το μήκος μιας από τις πλευρές αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των άλλων δύο. Εάν η απαιτούμενη πλευρά είναι (C), για να το κάνετε αυτό, βρείτε την τετραγωνική ρίζα των μηκών των γνωστών πλευρών (Α και Β), στο τετράγωνο: C = √(A²+B²). Και αν πρέπει να υπολογίσετε το μήκος ενός από τα σκέλη, τότε η τετραγωνική ρίζα πρέπει να ληφθεί από τα μήκη της υποτείνουσας και το άλλο σκέλος: A = √(C²-B²).
Πηγές:
Στη γενική περίπτωση, δηλ. όταν δεν υπάρχουν πληροφορίες για το αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, ισοσκελές ή ορθό, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικές συναρτήσειςνα υπολογίσει τα μήκη των πλευρών του. Οι κανόνες για την εφαρμογή τους καθορίζονται από θεωρήματα, τα οποία ονομάζονται θεώρημα ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων.
Οδηγίες
Ένας τρόπος για να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τρίγωνουποθέτει τα ημιτονοειδή θεωρήματα. Σύμφωνα με αυτό, ο λόγος των μηκών των πλευρών των γωνιών που βρίσκονται απέναντι τους τρίγωνοείναι ίσα. Αυτό μας επιτρέπει να εξαγάγουμε έναν τύπο για το μήκος μιας πλευράς για εκείνες τις περιπτώσεις όπου τουλάχιστον μία πλευρά και δύο γωνίες στις κορυφές του σχήματος είναι γνωστές από τις συνθήκες του προβλήματος. Αν καμία από αυτές τις δύο γωνίες (α και β) δεν βρίσκεται μεταξύ γνωστή πλευράΑ και υπολογίστηκε η Β, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το μήκος της γνωστής πλευράς με το ημίτονο της γνωστής γωνίας β που βρίσκεται δίπλα της και διαιρέστε με το ημίτονο μιας άλλης γνωστής γωνίας a: B = A*sin(β)/sin(α).
Εάν μία (γ) από δύο (α και γ) γνωστές γωνίες σχηματίζεται από , το μήκος μιας από τις οποίες (Α) δίνεται σε , και η δεύτερη (Β) πρέπει να υπολογιστεί, τότε εφαρμόστε το ίδιο θεώρημα. Η λύση μπορεί να αναχθεί στον τύπο που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα, αν θυμηθούμε επίσης το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο - αυτή η τιμή είναι πάντα 180°. Η γωνία β είναι άγνωστη στον τύπο, ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα αφαιρώντας τις τιμές δύο γνωστών γωνιών από 180°. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην εξίσωση και θα λάβετε τον τύπο B = A*sin(180°-α-γ)/sin(α).
