Kui teil on vaja teatud arv astmeni tõsta, võite kasutada . Vaatame nüüd lähemalt jõudude omadused.
Eksponentarvud avavad suurepäraseid võimalusi, võimaldavad meil teisendada korrutamise liitmiseks ja liitmine on palju lihtsam kui korrutamine.
Näiteks peame korrutama 16 64-ga. Nende kahe arvu korrutis on 1024. Kuid 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. Seega 16 korda 64=4x4x4x4x4, mis on samuti 1024.
Arvu 16 saab esitada ka kui 2x2x2x2 ja 64 kui 2x2x2x2x2x2 ja kui me korrutame, saame jälle 1024.
Nüüd kasutame reeglit. 16 = 4 2 või 2 4, 64 = 4 3 või 2 6, samas kui 1024 = 6 4 = 4 5 või 2 10 .
Seetõttu saab meie ülesande kirjutada teistmoodi: 4 2 x4 3 =4 5 või 2 4 x2 6 =2 10 ja iga kord saame 1024.
Saame lahendada mitmeid sarnaseid näiteid ja näha, et arvude korrutamine astmetega taandub eksponentide lisamine, või eksponent, muidugi eeldusel, et tegurite alused on võrdsed.
Seega võime ilma korrutamata kohe öelda, et 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.
See reegel kehtib ka arvude astmetega jagamisel, kuid sel juhul on nt jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist. Seega 2 5:2 3 =2 2 , mis tavaarvudes võrdub 32:8=4 ehk 2 2 . Teeme kokkuvõtte:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kus m ja n on täisarvud.
Esmapilgul võib see nii tunduda arvude korrutamine ja jagamine astmetega pole eriti mugav, sest kõigepealt peate arvu esitama eksponentsiaalsel kujul. Numbrite 8 ja 16 kujutamine sellisel kujul, see tähendab 2 3 ja 2 4, pole keeruline, kuid kuidas seda teha numbritega 7 ja 17? Või mida teha neil juhtudel, kui arvu saab esitada eksponentsiaalsel kujul, kuid arvude eksponentsiaalsete avaldiste alused on väga erinevad. Näiteks 8×9 on 2 3 x 3 2, sel juhul ei saa me eksponente summeerida. Ei 2 5 ega 3 5 ei ole vastus ega ka vastus nende kahe vahel.
Kas siis tasub selle meetodiga üldse vaeva näha? Kindlasti seda väärt. See annab tohutuid eeliseid, eriti keeruliste ja aeganõudvate arvutuste puhul.
Ilmselgelt saab astmetega numbreid liita nagu teisigi suurusi , lisades need ükshaaval koos nende märkidega.
Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2 .
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.
Koefitsiendid samade muutujate samad astmed saab liita või lahutada.
Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2 .
Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.
Aga kraadid erinevaid muutujaid ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb lisada, lisades need nende märkidele.
Seega on 2 ja 3 summa 2 + a 3 summa.
On ilmne, et ruut a ja kuup a ei ole kaks korda a ruut, vaid kaks korda suurem kuup a.
A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, ainult et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.
Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Pädevustega arve saab korrutada nagu teisigi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.
Seega on a 3 korrutamise tulemus b 2-ga a 3 b 2 või aaabb.
Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a
Viimase näite tulemuse saab järjestada samade muutujate lisamisega.
Avaldis on järgmisel kujul: a 5 b 5 y 3 .
Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.
Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.
Niisiis, a n .a m = a m+n .
A n korral võetakse a teguriks nii mitu korda, kui palju on n võimsus;
Ja a m , võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;
Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada eksponentide liitmise teel.
Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on − negatiivne.
1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on
Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne summaga või nende ruutude erinevus.
Kui kahe arvu summa ja vahe tõstetakse väärtuseni ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadi.
Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades jagajast või paigutades need murru kujul.
Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga a 3 .
5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.
Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse nende eksponendid..
Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . See tähendab, $\frac = y$.
Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.
Või:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadi väärtused.
A -5 jagamisel -3-ga saadakse -2 .
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Võimude korrutamist ja jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.
1. Vähenda eksponente väärtuses $\frac $ Vastus: $\frac $.
2. Vähendage eksponente väärtuses $\frac$. Vastus: $\frac $ või 2x.
3. Vähendage eksponendid a 2 / a 3 ja a -3 / a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .
4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 / 5a 7 ja 5a 5 / 5a 7 või 2a 3 / 5a 2 ja 5/5a 2.
5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.
6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).
7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .
8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.
Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadi omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete näitajatega kraadidest ja nende omadustest räägitakse 8. klassi õppetundides.
Naturaalse astendajaga eksponendil on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astendajanäidetes arvutusi lihtsustada.
Kui korrutada astmed sama alusega, jääb alus muutumatuks ja astendajad liidetakse.
a m a n \u003d a m + n, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.
See võimsuste omadus mõjutab ka kolme või enama võimsuse korrutist.
Pange tähele, et näidatud vara puhul oli tegemist ainult võimsuste korrutamisega samade alustega.. See ei kehti nende lisamise kohta.
Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243
Jagades astmeid sama alusega, jääb alus muutumatuks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame osakraadide omadust.
3 8: t = 3 4
Vastus: t = 3 4 = 81
Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.
Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Näide. Leidke avaldise väärtus kraadiomaduste abil.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pange tähele, et vara 2 käsitles ainult volituste jaotamist samadel alustel.
Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4
Kui tõstetakse aste astmeks, jääb astme baas muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.
(a n) m \u003d a n m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.
Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.
Kuidas võimeid korrutada? Milliseid jõude saab korrutada ja milliseid mitte? Kuidas korrutada arvu astmega?
Algebras leiate astmete korrutise kahel juhul:
1) kui kraadidel on sama alus;
2) kui kraadidel on samad näitajad.
Kui korrutada astmeid sama alusega, peab alus jääma samaks ja astendajad tuleb liita:
Kraadide korrutamisel samade näitajatega saab kogunäidiku sulgudest välja võtta:
Vaatame, kuidas eksponendid korrutada konkreetseid näiteid.
Astendaja ühikut ei kirjutata, kuid kraadide korrutamisel võtavad nad arvesse:
Korrutamisel võib kraadide arv olla ükskõik milline. Tuleb meeles pidada, et tähe ette ei saa kirjutada korrutusmärki:
Avaldistes tehakse esimesena eksponentsiatsioon.
Kui teil on vaja arvu korrutada astmega, peate esmalt sooritama astenduse ja alles seejärel korrutama:
Kas teil on juba tellimus? Tulla sisse
Selles õppetükis õpime, kuidas korrutada võimsusi sama alusega. Esiteks tuletame meelde astme definitsiooni ja sõnastame teoreemi võrdsuse kehtivuse kohta . Seejärel toome näiteid selle rakendamisest konkreetsetele numbritele ja tõestame seda. Lahendamisel rakendame ka teoreemi erinevaid ülesandeid.
Teema: Loodusnäitaja ja selle omadustega kraad
Õppetund: astmete korrutamine samade alustega (valem)
Põhimääratlused:
n- eksponent,
— n-arvu aste.
1. teoreem. Iga numbri jaoks a ja mis tahes loomulik n ja k võrdsus on tõsi:
Teisisõnu: kui a- mis tahes arv; n ja k naturaalarvud, siis:
Seega reegel 1:
Järeldus: erijuhud kinnitasid teoreemi nr 1 õigsust. Tõestagem seda üldjuhul, see tähendab mis tahes puhul a ja mis tahes loomulik n ja k.
Antud number a- mis tahes; numbrid n ja k- loomulik. Tõesta:
Tõestus põhineb kraadi määratlusel.
Näide 1: Esitada kraadina.
Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 1.
ja) 
Siin on üldistus:
Näide 2: Arvutage (saate kasutada põhikraadide tabelit).
a) 
(tabeli järgi)
b) 
Näide 3: Kirjutage astmena alusega 2.
a) 
Näide 4: Määrake numbri märk:
, a - negatiivne, sest eksponent –13 juures on paaritu.
Näide 5: Asendage ( ) alusega võimsusega r:
Meil on, see tähendab.
1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. jt Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta
1. Kooli assistent (Allikas).
1. Väljendage kraadina:
a B C D E) 
3. Kirjutage astmena 2. alusega:
4. Määrake numbri märk:
a) 
5. Asendage ( ) arvu astmega alusega r:
a) r 4 ( ) = r 15; b) ( ) r 5 = r 6
Selles õppetükis uurime astmete korrutamist samade astendajatega. Kõigepealt tuletame meelde põhimääratlusi ja teoreeme samade alustega astmete korrutamise ja jagamise ning astme astmeks tõstmise kohta. Seejärel formuleerime ja tõestame teoreemid astmete korrutamise ja jagamise kohta samade astendajatega. Ja siis lahendame nende abiga mitmeid tüüpilisi probleeme.
Siin a- kraadi alus
— n-arvu aste.
1. teoreem. Iga numbri jaoks a ja mis tahes loomulik n ja k võrdsus on tõsi:
Sama alusega astmete korrutamisel liidetakse eksponendid, alus jääb muutumatuks.
2. teoreem. Iga numbri jaoks a ja mis tahes loomulik n ja k, selline, et n > k võrdsus on tõsi:
Jagades astmeid sama alusega, lahutatakse eksponendid ja alus jääb muutumatuks.
3. teoreem. Iga numbri jaoks a ja mis tahes loomulik n ja k võrdsus on tõsi:
Kõik ülaltoodud teoreemid puudutasid samasuguseid võimsusi põhjustel, selles õppetükis vaadeldakse kraade samaga näitajad.
Mõelge järgmistele näidetele.
Kirjutame välja astme määramise avaldised.
Järeldus: Näidetest näete seda 
, kuid see vajab veel tõestamist. Sõnastame teoreemi ja tõestame selle üldjuhul, see tähendab mis tahes puhul a ja b ja mis tahes loomulik n.
Mis tahes numbrite jaoks a ja b ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:
Tõestus 4. teoreem .
Kraadi määratluse järgi:
Seega oleme seda tõestanud .
Et korrutada astmed sama astendajaga, piisab aluste korrutamisest ja eksponendi muutmata jätmisest.
Sõnastame teoreemi astmete jagamiseks samade astendajatega.
Iga numbri jaoks a ja b() ja mis tahes loomulik n võrdsus on tõsi:
Tõestus 5. teoreem .
Kirjutame üles ja kraadi määratluse järgi:
Nii et me oleme seda tõestanud.
Samade astendajatega kraadide üksteiseks jagamiseks piisab, kui jagada üks alus teisega ja jätta eksponent muutmata.
Näide 1: Väljenda kui jõudude korrutis.
Järgmiste näidete lahendamiseks kasutame teoreemi 4.
Järgmise näite lahendamiseks tuletage meelde valemid:
4. teoreemi üldistus:
Näide 2: Kirjutage toote kraadina.
Näide 3: Kirjutage astmena, mille astendaja on 2.
Näide 4: Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja teised Algebra 7 .M .: Haridus. 2006
2. Kooli abiline (Allikas).
1. Esitage võimsuste korrutisena:
a) ; b) ; sisse) ; G) ;
2. Kirjutage toote määr:
3. Kirjutage kraadi kujul indikaatoriga 2:
4. Arvutage kõige ratsionaalsemal viisil.
Sektsioonid: Matemaatika
Pedagoogiline eesmärk:
Ülesanded:
Õpetuse tegevusühikud: astme määramine loomuliku indikaatoriga; kraadi komponendid; eraelu määratlus; korrutamise assotsiatiivne seadus.
a) teadmiste värskendamine:
2) Sõnasta astme määratlus loomuliku näitajaga.
a n \u003d a a a a ... a (n korda)
b k \u003d b b b b a ... b (k korda) Põhjenda oma vastust.
Enesetest :( individuaalne töö kahes versioonis.)
A1) Väljendage korrutist 7 7 7 7 x x x võimsusena:
A2) Väljendage korrutisena kraadi (-3) 3 x 2
A3) Arvutage: -2 3 2 + 4 5 3
Testis valin ülesannete arvu vastavalt klassitaseme ettevalmistusele.
Testi jaoks annan enesetestimise võtme. Kriteerium: läbitud-ebaõnnestunud.
Ülesannete 1) ja 2) lahendamise käigus pakuvad õpilased välja lahenduse ning mina õpetajana korraldan tunni, et leida võimalus samade alustega korrutamisel volituste lihtsustamiseks.
Õpetaja: leidke viis, kuidas sama alusega korrutamisel volitusi lihtsustada.
Klastris kuvatakse kirje:
Tunni teema on sõnastatud. Võimude korrutamine.
Õpetaja: pakkuge välja reegel kraadide jagamiseks samade alustega.
Põhjendus: milline tegevus kontrollib jagunemist? a 5: a 3 = ? et a 2 a 3 = a 5
Naasen skeemi - klastri juurde ja täiendan kirjet - ..jagamisel lahutage ja lisage tunni teema. ...ja kraadide jagamine.
Õpetaja: tänase tunni miinimumi ülesanne on õppida rakendama astmete korrutamise ja jagamise omadusi samade alustega ning maksimumi: korrutamist ja jagamist koos rakendada.
Kirjuta tahvlile : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
a) Õpiku järgi: nr 403 (a, c, e) erineva sõnastusega ülesanded
Nr 404 (a, e, f) iseseisev töö, siis korraldan vastastikuse kontrolli, annan võtmed.
b) Millise m väärtuse korral kehtib võrdsus? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Ülesanne: leidke sarnaseid näiteid jagamiseks.
c) nr 417(a), nr 418(a) Lõksud õpilastele: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = 2.
diagnostiline töö.
Test(pane võtmed pähe tagakülg test).
Ülesande valikud: esitada kraadina jagatis x 15: x 3; esindama astmena korrutist (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; mille m on võrdus a 16 a m = a 32 tõene; leida avaldise h 0: h 2 väärtus, kus h = 0,2; arvuta avaldise väärtus (5 2 5 0) : 5 2 .
Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus. Jagan klassi kahte rühma.
Leidke I rühma argumendid: astme omaduste tundmise kasuks ja II rühma argumendid, mis ütlevad, et saate ilma omadusteta hakkama. Kuulame kõik vastused, teeme järeldused. Järgmistes tundides saate pakkuda statistilisi andmeid ja nimetada rubriiki "See ei mahu mulle pähe!"
Ajaloo viide. Milliseid numbreid nimetatakse Fermat' numbriteks.
P.19. #403, #408, #417
Kasutatud raamatud:
Pärast arvu astme määramist on loogiline sellest rääkida kraadi omadused. Selles artiklis anname arvu astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin anname tõestused kõigi astme omaduste kohta ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel rakendatakse.
Leheküljel navigeerimine.
Loodusliku astendajaga astme definitsiooni järgi on a n astme n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a . Selle määratluse põhjal ja kasutades reaalarvude korrutamise omadused, saame saada ja põhjendada järgmist astme omadused naturaalse astendajaga:
Märgime kohe, et kõik kirjalikud võrdsused on identsed kindlaksmääratud tingimustel ning nende paremat ja vasakpoolset osa saab vahetada. Näiteks murdosa a m a n = a m + n põhiomadus koos väljendite lihtsustamine kasutatakse sageli kujul a m+n = a m a n .
Nüüd vaatame igaüks neist üksikasjalikumalt.
Alustame kahe samade alustega astme korrutise omadusega, mida nimetatakse kraadi peamine omadus: iga reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral on võrdus a m ·a n =a m+n tõene.
Tõestame kraadi peamist omadust. Loodusliku astendajaga astme määratluse järgi saab korrutisena kirjutada astmete korrutise vormi a m a n samade alustega 
. Tänu korrutamise omadustele saab saadud avaldise kirjutada kujul 
, ja see korrutis on a aste naturaalse astendajaga m+n , st a m+n . See lõpetab tõestuse.
Toome näite, mis kinnitab kraadi peamist omadust. Võtame astmed samade alustega 2 ning loomulike astmetega 2 ja 3, vastavalt astme põhiomadusele saame kirjutada võrrandi 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Kontrollime selle kehtivust, mille jaoks arvutame avaldiste 2 2 · 2 3 ja 2 5 väärtused. Astendamisel saame 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ja 2 5 =2 2 2 2 2=32, kuna saame võrdsed väärtused, siis võrdus 2 2 2 3 = 2 5 on tõene ja see kinnitab kraadi peamist omadust.
Korrutamise omadustel põhineva astme põhiomaduse saab üldistada kolme ja korrutiseks rohkem kraadid samade aluste ja naturaalastendajatega. Seega on naturaalarvude n 1 , n 2 , …, n k mis tahes arvu k korral tõene võrdus a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Näiteks (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Järgmise kraadi omaduse juurde saate liikuda loomuliku indikaatoriga - samade alustega osavõimude omand: mis tahes nullist erineva reaalarvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral, mis vastavad tingimusele m>n, on võrdus a m:a n =a m−n tõene.
Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme avalduses olevate lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0 n =0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Tõepoolest, m>n korral on eksponent a m-n naturaalarv, vastasel juhul on see kas null (mis juhtub, kui m-n) või negatiivne arv (mis juhtub, kui m m-n a n =a (m-n) + n = a m Saadud võrrandist a m−n a n = a m ja korrutamise ja jagamise seosest järeldub, et a m−n on a m ja a n osavõimsus See tõestab samade alustega osavõimsuste omadust.
Võtame näite. Võtame kaks astet samade alustega π ja naturaalastendajatega 5 ja 2, astme vaadeldav omadus vastab võrdusele π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Nüüd kaaluge tootekraadi omadus: mistahes kahe reaalarvu a ja b korrutise loomulik aste n on võrdne astmete a n ja b n korrutisega, st (a b) n =a n b n .
Tõepoolest, naturaalse astendajaga kraadi määratluse järgi on see meil olemas 
. Viimane tükk korrutamise omaduste põhjal saab ümber kirjutada kui 
, mis on võrdne a n b n .
Siin on näide: 
.
See omadus ulatub kolme ja korrutise astmeni rohkem kordajad. See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastmeomadus n on kirjas kujul (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Kolme teguri korrutis astmega 7 on meil .
Järgmine vara on loodusvara: reaalarvude a ja b, b≠0 jagatis loomuliku astmega n on võrdne astmete a n ja b n jagatisega, ehk (a:b) n =a n:b n .
Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Seega (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ja võrrandist (a:b) n b n =a n järeldub, et (a:b) n on a n ja b n jagatis.
Kirjutame selle omaduse konkreetsete numbrite näitel: 
.
Nüüd anname hääle astendamise omadus: mis tahes reaalarvu a ja naturaalarvude m ja n korral võrdub a m astme aste n astmega a astmega a astendajaga m·n, st (a m) n =a m·n .
Näiteks (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Võimuomaduse tõestuseks kraadis on järgmine võrdsuste ahel: 
.
Vaadeldavat omadust saab laiendada kraadi piires kraadi sees jne. Näiteks naturaalarvude p, q, r ja s korral võrdsus 
. Suurema selguse huvides toome näite konkreetsete arvudega: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Jääb veel peatuda astmete ja naturaalastendajate võrdlemise omadustel.
Alustame nulli ja astme võrdlusomaduse tõestamisest naturaalastendajaga.
Esiteks põhjendame, et a n >0 iga a>0 korral.
Kahe positiivse arvu korrutis on positiivne arv, nagu tuleneb korrutamise definitsioonist. See fakt ja korrutamise omadused võimaldavad meil väita, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. Ja a aste naturaalse astendajaga n on definitsiooni järgi n teguri korrutis, millest igaüks on võrdne a-ga. Need argumendid võimaldavad meil väita, et iga positiivse aluse a korral on a n aste positiivne arv. Tõestatud omaduse alusel 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 ja 
.
On üsna ilmne, et iga loomuliku n puhul, mille a=0, on a n aste null. Tõepoolest, 0 n =0·0·…·0=0. Näiteks 0 3 =0 ja 0 762 =0 .
Liigume edasi negatiivsete aluste juurde.
Alustame juhtumist, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda kui 2 m , kus m on naturaalarv. Siis 
. Negatiivsete arvude korrutamise reegli kohaselt on iga vormi a a korrutis võrdne arvu a ja a moodulite korrutisega, mis tähendab, et tegemist on positiivse arvuga. Seetõttu on toode ka positiivne. 
ja aste a 2 m . Siin on näited: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .
Lõpuks, kui a alus on negatiivne arv ja astendaja on paaritu arv 2 m−1, siis 
. Kõik korrutised a·a on positiivsed arvud, nende positiivsete arvude korrutis on samuti positiivne ja selle korrutamine ülejäänud negatiivse arvuga a annab tulemuseks negatiivse arvu. Selle omaduse tõttu on (−5) 3 17 n n tõelise ebavõrdsuse a vasaku ja parema osa korrutis. võrratuste omadused, tõestatav ebavõrdsus on kujul a n n . Näiteks sellest omadusest tulenevalt ebavõrdsused 3 7 7 ja 
.
Jääb üle tõestada viimane loetletud võimsuste omadustest looduslike astendajatega. Sõnastame selle. Kahest naturaalnäitajatega ja samade positiivsete alustega kraadist, alla ühe, on aste suurem, mille näitaja on väiksem; ja kahe kraadi puhul, mille loomulikud näitajad ja samad alused on suuremad kui üks, on suurem kraad, mille näitaja on suurem. Pöördume selle vara tõendi poole.
Tõestame, et m>n ja 0m n korral. Selleks kirjutame erinevuse a m − a n ja võrdleme seda nulliga. Kirjalik erinevus pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . Saadud korrutis on negatiivne positiivse arvu a n ja negatiivse arvu a m−n −1 korrutisena (a n on positiivne positiivse arvu loomuliku astmena ja erinevus a m−n −1 on negatiivne, kuna m−n >0 algtingimuse m>n tõttu, millest järeldub, et 0m−n korral on see väiksem kui üks). Seetõttu a m − a n m n , mida tuli tõestada. Näiteks anname õige ebavõrdsuse.
Tõendada jääb vara teine osa. Tõestame, et m>n ja a>1 korral on a m >a n tõene. Erinevus a m −a n pärast n väljavõtmist sulgudest saab kujul a n ·(a m−n −1) . See korrutis on positiivne, kuna a>1 korral on a n aste positiivne arv ja erinevus a m-n -1 on positiivne arv, kuna m-n>0 algtingimuse tõttu ja a>1 korral, a m−n aste on suurem kui üks . Seetõttu a m − a n >0 ja a m >a n , mida tuli tõestada. Seda omadust illustreerib ebavõrdsus 3 7 >3 2 .
Kuna positiivsed täisarvud on naturaalarvud, langevad kõik positiivsete täisarvuliste astendajatega astmete omadused täpselt kokku eelmises lõigus loetletud ja tõestatud naturaalaste astmete omadustega.
Defineerisime nii negatiivse täisarvulise astendajaga astme kui ka nullastendajaga astme, nii et kõik võrdustega väljendatud naturaalastendajatega kraadide omadused jäävad kehtima. Seetõttu kehtivad kõik need omadused nii nullastendajate kui ka negatiivsete eksponentide puhul, samas kui kraadide alused on loomulikult nullist erinevad.
Seega kehtivad mis tahes reaal- ja nullist erineva arvu a ja b, aga ka täisarvude m ja n puhul järgmised Täisarvuliste astendajatega kraadide omadused:
Kui a=0 on astmetel a m ja a n mõtet ainult siis, kui nii m kui ka n on positiivsed täisarvud, st naturaalarvud. Seega kehtivad just kirjutatud omadused ka juhtudel, kui a=0 ning arvud m ja n on positiivsed täisarvud.
Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, selleks piisab, kui kasutada astme määratlusi naturaal- ja täisarvuga astendajaga, aga ka reaalarvudega toimingute omadusi. Näitena tõestame, et võimsusomadus kehtib nii positiivsete kui ka mittepositiivsete täisarvude puhul. Selleks peame näitama, et kui p on null või naturaalarv ja q on null või naturaalarv, siis võrrandid (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) ja (a −p) −q =a (−p) (−q) . Teeme seda.
Positiivsete p ja q korral tõestati eelmises alapeatükis võrdsus (a p) q =a p·q. Kui p=0 , siis on meil (a 0) q =1 q =1 ja a 0 q =a 0 =1, kust (a 0) q =a 0 q . Samamoodi, kui q=0, siis (a p) 0 =1 ja a p 0 =a 0 =1, kust (a p) 0 =a p 0 . Kui nii p=0 kui ka q=0, siis (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0 0 =a 0 =1, kust (a 0) 0 =a 0 0.
Tõestame nüüd, et (a −p) q =a (−p) q . Negatiivse täisarvu eksponendiga astme määratluse järgi siis 
. Jagatise omaduse järgi astmes on meil 
. Kuna 1 p =1·1·…·1=1 ja , siis . Viimane väljend on definitsiooni järgi kujul a −(p q) , mille saab korrutusreeglite kohaselt kirjutada kujul (−p) q .
Samamoodi 
.
Ja 
.
Samal põhimõttel saab astme kõiki teisi omadusi tõestada täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul.
Salvestatud omaduste eelviimases tasub peatuda ebavõrdsuse a −n >b −n tõestusel, mis kehtib iga negatiivse täisarvu −n ja iga positiivse a ja b korral, mille tingimus a . Kirjutame ja teisendame selle ebavõrdsuse vasaku ja parema osa erinevuse: 
. Kuna tingimusel a n n seega b n − a n >0 . Korrutis a n ·b n on positiivne ka positiivsete arvude a n ja b n korrutisena. Siis on saadud murd positiivne positiivsete arvude b n − a n ja a n b n jagatisena. Siit ka a −n >b −n , mida tuli tõestada.
Täisarvuliste astendajatega kraadide viimane omadus tõestatakse samamoodi nagu naturaalsete astendajatega kraadide analoogne omadus.
Määratlesime astme murdosalise astendajaga, laiendades astme omadusi sellele täisarvulise astendajaga. Teisisõnu, murdosaastendajatega kraadidel on samad omadused kui täisarvuliste astendajatega kraadidel. Nimelt:
kui a>0 , ja kui ja , siis kui a≥0 ;
a>0 jaoks;
a>0 ja b>0 korral ning kui ja , siis a≥0 ja (või) b≥0 korral;
a>0 ja b>0 korral ning kui , siis a≥0 ja b>0 korral;
kui a>0 , ja kui ja , siis kui a≥0 ;Astmete omaduste tõendamine murdeksponentidega põhineb astme definitsioonil murdeksponentiga, n-nda astme aritmeetilise juure omadustel ja täisarvulise astendajaga astme omadustel. Anname tõestuse.
Astme määratluse järgi murdosaastendajaga ja , siis 
. Aritmeetilise juure omadused võimaldavad meil kirjutada järgmised võrdsused. Lisaks, kasutades täisarvulise astendajaga astme omadust, saame , kust murdosalise astendajaga astme definitsiooniga saame 
, ja saadud kraadi eksponendi saab teisendada järgmiselt: . See lõpetab tõestuse.
Murdarvuliste astendajatega astmete teine omadus tõestatakse täpselt samal viisil: 
Ülejäänud võrdsused on tõestatud sarnaste põhimõtetega: 
Pöördume järgmise vara tõendi poole. Tõestame, et iga positiivse a ja b korral a 0 kehtib võrratus a p p ja p p >b p korral. Kirjutame ratsionaalarvu p kujul m/n , kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0. Kui m>0 ja am m . Sellest ebavõrdsusest juurte omaduse järgi on meil , ja kuna a ja b on positiivsed arvud, siis võib murdosaastendajaga astme definitsiooni põhjal saadud võrratuse ümber kirjutada kujule , see tähendab a p p .
Samamoodi, kui m m >b m , kust , see tähendab, ja a p > b p .
Jääb tõestada viimane loetletud omadustest. Tõestame, et ratsionaalarvude p ja q korral p>q 0p q korral ning a>0 korral ebavõrdsus a p >a q . Ratsionaalarvud p ja q saame alati taandada ühiseks nimetajaks, saame harilikud murrud ja , kus m 1 ja m 2 on täisarvud ning n on naturaalarv. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m 1 >m 2, mis tuleneb võrdlusreeglist tavalised murrud samade nimetajatega. Seejärel 0m 1 m 2 ja a>1 korral samade aluste ja naturaaleksponentidega astmete võrdlemise omaduse järgi ebavõrdsus a m 1 >a m 2 . Need ebavõrdsused juurte omaduste osas saab vastavalt ümber kirjutada kui 
ja 
. Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab minna üle võrratuste ja vastavalt. Siit teeme lõpliku järelduse: p>q ja 0p q korral ning a>0 korral võrratus a p >a q .
Sellest, kuidas on määratletud irratsionaalse astendajaga aste, võime järeldada, et sellel on kõik ratsionaalse astendajaga astme omadused. Seega on mis tahes a>0, b>0 ja irratsionaalarvude p ja q korral tõesed järgmised kraadide omadused irratsionaalsete astendajatega:
Sellest võime järeldada, et astmetel a>0 reaalastendajatega p ja q on samad omadused.
Kraad negatiivse astendajaga. Võimude jaotus sama alusega. 4. Vähendage eksponente 2a4/5a3 ja 2/a4 ning viige need ühise nimetajani. Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. See omadus ulatub kolme või enama teguri korrutise astmeni. Seetõttu am−an>0 ja am>an, mis tuli tõestada. Jääb üle tõestada viimane loetletud võimsuste omadustest looduslike astendajatega.
Pange tähele, et kinnistut nr 4, nagu ka teisi kraadiomadusi, kasutatakse ka vastupidises järjekorras. See tähendab, et kraadide korrutamiseks samade astendajatega saate korrutada alused ja jätta eksponendi muutmata. Võimsuse väärtuse arvutamist nimetatakse astendamise toiminguks. See tähendab, et avaldise väärtuse arvutamisel, mis ei sisalda sulgusid, sooritage esmalt kolmas samm, seejärel teine (korrutamine ja jagamine) ja lõpuks esimene (liitmine ja lahutamine).
Pärast arvu astme määramist on loogiline rääkida astme omadustest. Selles artiklis anname arvu astme põhiomadused, puudutades samal ajal kõiki võimalikke eksponente. Siin anname tõestused kõigi astme omaduste kohta ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel rakendatakse. Märgime kohe, et kõik kirjutatud võrdsused on määratud tingimustel identsed ning nende paremat ja vasakut osa saab omavahel vahetada.
Toome näite, mis kinnitab kraadi peamist omadust. Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme avalduses olevate lisatingimuste tähenduse üle. Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Murru põhiomadus võimaldab kirjutada võrrandi am−n·an=a(m−n)+n=am.
See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastme omadus n on kirjas kujul (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Tõestust saab läbi viia eelneva atribuudi abil. Näiteks kehtib võrdsus mis tahes naturaalarvude p, q, r ja s puhul. Suurema selguse huvides toome näite konkreetsete arvudega: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
See fakt ja korrutamise omadused võimaldavad meil väita, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. On üsna ilmne, et iga naturaalse n puhul, mille a=0, on an aste null. Tõepoolest, 0n=0·0·…·0=0. Näiteks 03=0 ja 0762=0. Liigume edasi negatiivsete aluste juurde. Alustame juhtumist, kui astendaja on paarisarv, tähistame seda kui 2·m, kus m on naturaalarv.
Pöördume selle vara tõendi poole. Tõestame, et m>n ja 0 korral on samal põhimõttel võimalik tõestada ka kõiki teisi astme omadusi täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrdusena. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0. Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m1>m2, mis tuleneb samade nimetajatega harilike murdude võrdlemise reeglist.
Operatsioonid juurtega. Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme arvestanud ainult naturaalsete astendajatega, kuid astendajate ja juurtega toimingud võivad viia ka negatiivsete, null- ja murdosaastenditeni. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust. Kui tahame, et valem a m: a n=a m - n kehtiks m = n korral, peame defineerima null kraadi. Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada.
Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta! Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.
Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustamisel logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused. Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid. Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina.
Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus. Seda nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks. Nagu baasteisendusvalemid, on ka logaritmiline põhiidentiteet mõnikord unikaalne võimalik lahendus. Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed.
Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega. 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik milline, aga kui argument on üks - logaritm on null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg. See on kõik omadused. Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja – ja lahendage probleemid.
2.a-4 on a-2 esimene lugeja. Sel juhul soovitame teil teha järgmist. See on kolmanda etapi tegevus. Näiteks murru am·an=am+n põhiomadust kasutatakse avaldiste lihtsustamisel sageli kujul am+n=am·an. Tingimus a≠0 on vajalik selleks, et vältida nulliga jagamist, kuna 0n=0 ja jagamisega tutvudes leppisime kokku, et nulliga jagada ei saa. Saadud võrrandist am−n·an=am ning korrutamise ja jagamise seosest järeldub, et am−n on am ja an jagatis. See tõestab samadel alustel osavõimude omadust.
Samamoodi, kui q=0, siis (ap)0=1 ja ap 0=a0=1, kust (ap)0=ap 0. Rohkem raskeid näiteid võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate aluste ja erinevate astendajatega astmetel. Neid ebavõrdsusi juurte omadustes saab ümber kirjutada kui ja vastavalt. Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab minna üle võrratuste ja vastavalt.
Võimude jaotus sama alusega. Korrutamise omadustel põhineva astme põhiomaduse saab üldistada kolme või enama astme korrutisele samade aluste ja naturaalastendajatega.
3.a-3 on a0 = 1, teine lugeja. Keerulisemate näidete puhul võib ette tulla juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate aluste ja erinevate astendajatega astmetel. Nüüd kaaluge neid konkreetsetel näidetel ja proovige tõestada.
Seega tõestasime, et kahe samade alustega astme jagamisel tuleb nende näitajad lahutada. Pärast arvu astme määramist on loogiline rääkida astme omadustest.
Siin anname tõestused kõigi astme omaduste kohta ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel rakendatakse. Näiteks murru am·an=am+n põhiomadust kasutatakse avaldiste lihtsustamisel sageli kujul am+n=am·an. Toome näite, mis kinnitab kraadi peamist omadust. Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme avalduses olevate lisatingimuste tähenduse üle.
Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Saadud võrrandist am−n·an=am ning korrutamise ja jagamise seosest järeldub, et am−n on am ja an jagatis. See tõestab samadel alustel osavõimude omadust. Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Näiteks kehtib võrdsus mis tahes naturaalarvude p, q, r ja s puhul. Suurema selguse huvides toome näite konkreetsete arvudega: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
See fakt ja korrutamise omadused võimaldavad meil väita, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. On üsna ilmne, et iga naturaalse n puhul, mille a=0, on an aste null. Tõepoolest, 0n=0·0·…·0=0. Näiteks 03=0 ja 0762=0. Liigume edasi negatiivsete aluste juurde. Alustame juhtumist, kui astendaja on paarisarv, tähistame seda kui 2·m, kus m on naturaalarv.
Pöördume selle vara tõendi poole. Tõestame, et m>n ja 0 korral Jääb tõestada omaduse teine osa. Seetõttu am−an>0 ja am>an, mis tuli tõestada. Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, selleks piisab, kui kasutada astme määratlusi naturaal- ja täisarvuga astendajaga, aga ka reaalarvudega toimingute omadusi.
Kui p=0, siis on meil (a0)q=1q=1 ja a0 q=a0=1, kust (a0)q=a0 q. Samal põhimõttel saab astme kõiki teisi omadusi tõestada täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0.
Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m1>m2, mis tuleneb samade nimetajatega harilike murdude võrdlemise reeglist. Neid ebavõrdsusi juurte omadustes saab ümber kirjutada kui ja vastavalt. Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab minna üle võrratuste ja vastavalt.
Võimsuse väärtuse arvutamist nimetatakse astendamise toiminguks. See tähendab, et avaldise väärtuse arvutamisel, mis ei sisalda sulgusid, sooritage esmalt kolmas samm, seejärel teine (korrutamine ja jagamine) ja lõpuks esimene (liitmine ja lahutamine). Operatsioonid juurtega.
Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme arvestanud ainult naturaalsete astendajatega, kuid astendajate ja juurtega toimingud võivad viia ka negatiivsete, null- ja murdosaastenditeni. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust. Kui tahame, et valem a m: a n=a m - n kehtiks m = n korral, peame defineerima null kraadi.
Arvude astmete korrutamine samade astendajatega. Järgmisena formuleerime teoreemi võimude jaotuse kohta võrdsetel alustel, lahendame seletusülesandeid ja tõestame teoreemi üldjuhul. Nüüd pöördume negatiivsete jõudude määratluse juurde. Saate seda hõlpsasti kontrollida, asendades definitsiooni valemi ülejäänud omadustega. Selle probleemi lahendamiseks pidage meeles, et 49 = 7^2 ja 147 = 7^2 * 3^1. Kui kasutate nüüd hoolikalt kraadide omadusi (kraadi tõstmisel astmeni, eksponendid ...
See tähendab, et astendajad lahutatakse, kuid kuna astendaja on astendaja nimetajas negatiivne, siis miinuse miinusest lahutamisel annab see plussi ja astendajad liidetakse. Tuletagem meelde, mida nimetatakse monomiaaliks ja milliseid toiminguid saab teha monomialidega. Tuletage meelde, et vähendada monoomi standardvorm peate esmalt saama arvulise koefitsiendi, korrutades kõik arvulised tegurid, ja seejärel korrutama vastavad astmed.
See tähendab, et me peame õppima eristama sarnaseid ja mittesarnaseid monomiaale. Järeldame: sarnastel monomiaalidel on sama täheosa ning selliseid monomiale saab liita ja lahutada.
Aitäh tagasiside eest. Kui teile meeldib meie projekt ja olete valmis selles kaasa aitama või selles osalema, saatke projekti kohta infot oma sõpradele ja kolleegidele. Eelmises videos öeldi, et monomiaalidega näidetes saab olla ainult korrutamine: “Leiame nende avaldiste erinevuse eelmistest.
Monoomi kui matemaatilise ühiku kontseptsioon eeldab ainult arvude ja muutujate korrutamist, kui on muid tehteid, pole avaldis enam monoom. Kuid samal ajal saab monomiide liita, lahutada, omavahel jagada ... Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid ei ole täpselt tavalised numbrid, sellel on oma reeglid, mida nimetatakse põhiomadusteks.
Märge: võtmehetk siin on samad alused. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta! Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.
See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastme omadus n on kirjas kujul (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Sama alusega astmete liitmise ja lahutamise reeglid puuduvad. Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. 4. Vähendage eksponente 2a4/5a3 ja 2/a4 ning viige need ühise nimetajani.
Viimases videoõpetuses saime teada, et teatud baasi aste on avaldis, mis on aluse ja enda korrutis, mis on võetud eksponendiga võrdses koguses. Uurime nüüd mõnda kõige olulisemad omadused ja kraadide operatsioonid.
Näiteks korrutame kaks erinevat võimsust sama baasiga:
Vaatame seda tükki tervikuna:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Arvutades selle avaldise väärtuse, saame arvu 32. Teisest küljest, nagu samast näitest näha, võib 32 esitada sama aluse (kahe) korrutisena, võttes 5 korda. Ja tõepoolest, kui arvestada, siis:
Seega võib julgelt järeldada, et:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
See reegel töötab edukalt kõigi näitajate ja põhjuste puhul. See astme korrutamise omadus tuleneb väljendite tähenduse säilimise reeglist korrutise teisenduste ajal. Iga aluse a korral on kahe avaldise (a) x ja (a) y korrutis võrdne a (x + y). Teisisõnu, kui luuakse mis tahes sama alusega avaldisi, on lõppmonoomil summaarne aste, mis moodustatakse esimese ja teise avaldise astme liitmisel.
Esitatud reegel töötab suurepäraselt ka mitme avaldise korrutamisel. Peamine tingimus on, et alused oleksid kõigil ühesugused. Näiteks:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Kahe avaldise elemendiga on võimatu astmeid lisada ja üldiselt mingeid jõulisi ühistegevusi läbi viia, kui nende alused on erinevad.
Nagu meie video näitab, on korrutamise ja jagamise protsesside sarnasuse tõttu korrutise ajal võimsuste lisamise reeglid suurepäraselt üle kantud jagamisprotseduurile. Mõelge sellele näitele:
Teisendame avaldise terminikaupa täiskujuks ja vähendame dividendis ja jagajas samu elemente:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Selle näite lõpptulemus pole nii huvitav, sest juba selle lahendamise käigus on selge, et avaldise väärtus võrdub kahe ruuduga. Ja see on kahend, mis saadakse, lahutades teise avaldise astme esimese astmest.
Jagatise astme määramiseks on vaja dividendi astmest lahutada jagaja aste. Reegel töötab samadel alustel kõigi oma väärtuste ja kõigi looduslike jõudude jaoks. Abstraktsel kujul on meil:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Jagamisreeglist samad alused volitustega järgib nullkraadi määratlust. Ilmselgelt on järgmine väljend:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Teisest küljest, kui jagame visuaalsemalt, saame:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Murru kõigi nähtavate elementide vähendamisel saadakse alati avaldis 1/1, st üks. Seetõttu on üldiselt aktsepteeritud, et iga nullvõimsuseni tõstetud baas võrdub ühega:
Sõltumata a väärtusest.
Oleks aga absurdne, kui 0 (mis annab ikkagi iga korrutamise korral 0) on kuidagi võrdne ühega, nii et avaldis nagu (0) 0 (null kuni null kraadini) pole lihtsalt mõttekas ja valemile (a) 0 = 1 lisage tingimus: "kui a ei ole 0".
Teeme harjutust. Leiame avaldise väärtuse:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Kuna baas on kõikjal sama ja võrdub 34-ga, on lõppväärtusel sama baas kraadiga (vastavalt ülaltoodud reeglitele):
Teisisõnu:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Vastus: Avaldis võrdub ühega.
