Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täiesti kõik ülesanded 1-13 profiilieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, siis tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.
Kogu vajalik teooria. Kiired viisid eksami lahendused, lõksud ja saladused. Analüüsitud on kõik FIPI ülesannete panga 1. osa asjakohased ülesanded. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus väljakutseid pakkuvad ülesanded 2 osa eksamit.
Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.
Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusena, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi vahekorra piiriks, ilmus tuletisi tabel ja täpselt määratletud diferentseerimisreeglid. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olid esimesed, kes töötasid tuletiste leidmise alal.
Seetõttu ei ole meie ajal vaja mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutada ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid tuleb kasutada ainult tabelit. tuletistest ja diferentseerimisreeglitest. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.
Tuletise leidmiseks, vajate löögimärgi alla väljendit lagundama lihtsaid funktsioone ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasi leiame elementaarfunktsioonide tuletised tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid diferentseerimisreeglitest. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel on toodud pärast kahte esimest näidet.
Näide 1 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.
Tuletiste tabelist saame teada, et "X" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on koosinus. Asendame need väärtused tuletiste summas ja leiame tuletise, mida nõuab ülesande tingimus:
Näide 2 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Diferentseerime summa tuletisena, milles teise konstantse teguriga liikme saab tuletise märgist välja võtta:
Kui ikka tekib küsimusi, kust miski pärineb, selguvad need reeglina pärast tuletiste tabeli ja lihtsaimate diferentseerimisreeglite lugemist. Me läheme kohe nende juurde.
1. reegel Kui funktsioonid
on mingil hetkel diferentseeruvad , siis samas punktis funktsioonid
need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga.
Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstandi poolest, siis on nende tuletised, st.
2. reegel Kui funktsioonid
on mingil hetkel eristatavad, siis on ka nende toode samas punktis eristatav
need. kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.
Tagajärg 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:
Tagajärg 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.
Näiteks kolme kordaja jaoks:
3. reegel Kui funktsioonid
mingil hetkel eristuvad Ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritav. u/v ja
need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugeja on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on eelmise lugeja ruut .
Kust teistelt lehtedelt vaadata
Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel sisse tõelisi ülesandeid alati on vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit, seega on artiklis rohkem näiteid nende tuletiste kohta "Korrutise tuletis ja funktsioonide jagatis".
kommenteerida. Konstanti (ehk arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva liikmena ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja konstantse teguri korral võetakse see tuletisi märgist välja. See tüüpiline viga, mis toimub esialgne etapp tuletisi õppides, kuid kuna need lahendavad mitu ühe-kahekomponendilist näidet, siis keskmine õpilane seda viga enam ei tee.
Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u‘v, milles u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (sellist juhtumit analüüsitakse näites 10) .
muud levinud viga— kompleksfunktsiooni tuletise mehaaniline lahendamine lihtfunktsiooni tuletis. Sellepärast kompleksfunktsiooni tuletis pühendatud eraldi artiklile. Kuid kõigepealt õpime leidma lihtsate funktsioonide tuletisi.
Teel ei saa te ilma väljendite teisendusteta. Selleks peate võib-olla avama uutes Windowsi juhendites Võimude ja juurtega teod Ja Tegevused murdarvudega.
Kui otsite lahendusi võimsuste ja juurtega tuletistele, st millal funktsioon välja näeb 
, seejärel järgige õppetundi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis."
Kui teil on ülesanne nagu 
, siis on teil õppetund „Lihtsate tuletised trigonomeetrilised funktsioonid».
Näide 3 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Defineerime funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise eristamise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni korrutiste summaga ja teise funktsiooni tuletisega:
Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul igas summas teine liige miinusmärgiga. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "X" muutub üheks ja miinus 5 muutub nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisinstrumentide väärtused:
Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimuse poolt nõutava funktsiooni tuletise:
Näide 4 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Peame leidma jagatise tuletise. Jagatise eristamiseks rakendame valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on endise lugeja ruut. Saame:
Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis on lugejas teine tegur, võetakse praeguses näites miinusmärgiga:
Kui otsite lahendusi sellistele probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks, 
siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis".
Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja muude trigonomeetriliste funktsioonide tuletisi, st kui funktsioon näeb välja selline , siis on teil õppetund "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised".
Näide 5 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Selles funktsioonis näeme toodet, mille üheks teguriks on Ruutjuur sõltumatust muutujast, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Korrutise eristamise reegli ja ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:
Näide 6 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividendiks on sõltumatu muutuja ruutjuur. Vastavalt jagatise diferentseerimise reeglile, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:
Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja järgmisega:
Näide 7 Leia funktsiooni tuletis
Näide 8 Leia funktsiooni tuletis
.
Näide 9 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Rakendades funktsioonide algebralise summa tuletise arvutamise reegleid, võttes tuletise märgist välja konstantse teguri ja tuletise astme valemist (tuletiste tabelis - numbril 3), saame
.
Näide 10 Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Rakendame korrutisdiferentseerimise reeglit ja seejärel leiame tegurite tuletised, nagu ka eelmises ülesandes, kasutades tuletisi tabelist valemit 3. Siis saame
Näide 11. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Nagu näidetes 4 ja 6, rakendame jagatise diferentseerimise reeglit:
Nüüd arvutame lugejas tuletised ja saame vajaliku tulemuse:
Näide 12. Leia funktsiooni tuletis
Samm 1. Rakendame summa diferentseerimise reeglit:
2. samm. Leidke esimese liikme tuletis. See on ruutjuure tabelituletis (tuletiste tabelis number 5):
3. samm. Eraviisis on nimetajaks samuti juur, kuid mitte ruut. Seetõttu teisendame selle juure astmeks:
Konstandi juur, nagu võite arvata, on samuti konstant ja konstandi tuletis, nagu tuletiste tabelist teame, on võrdne nulliga:
ja probleemi tingimustes nõutav tuletis:
Tuletame teile seda veel veidi meelde keerulised näited korrutise ja jagatise tuletise kohta - artiklites "Korrutise tuletis ja funktsioonide jagatis" ja "Tasuste ja juurtega murdude summa tuletis."
Eristumine- ühe muutuja funktsiooni ja osatuletisi ja diferentsiaalide kõigi järkude tuletiste ja diferentsiaalide määratlemine, lisaks enamiku muutujate funktsioonide summaarsed diferentsiaalid.
Kahe funktsiooni korrutise eristamise reegli tõestus:
Kirjutame üles funktsioonide korrutise ja argumendi juurdekasvu suhte piiri. Arvestame sellega, et:
(funktsiooni suurendamine kipub argumendi suurendamisel 0-ni, mis kipub 0-ni).
Vaatame nüüd mõnda näidet ülaltoodud reeglist.
.
Selles näites. Rakendame tuletisprodukti reeglit:
Vaatame põhiliste elementaarfunktsioonide tuletiste tabelit ja leiame lahenduse:
Leiame funktsiooni tuletise:
Selles näites 
. Tähendab:
Vaatame nüüd 3 funktsiooni korrutise tuletise määramise varianti. Sellise süsteemi järgi eristatakse 4, 5 ja 25 funktsiooni korrutist.
Lähtume 2 funktsiooni korrutise diferentseerimise reeglist. Funktsioon f(x) arvestame tööga (1+x) sinx, vaid funktsioon g(x) võtame lnx:
Teha kindlaks 
Rakendame taas tuletisprodukti reeglit:
Kasutame tuletissumma reeglit ja tuletise tabelit:
Asendame saadud tulemuse:
Eeltoodust on näha, et mõnikord on vaja ühes näites rakendada rohkem kui ühte eristamisreeglit. Oluline on teha kõike järjepidevalt ja hoolikalt.
Funktsioon on erinevus avaldiste ja vahel, mis tähendab:
Esimeses avaldises võtame tuletise märgiks välja 2. ja 2. avaldises kasutame korrutise eristamise reeglit:
Tuletis on üks kõrgema matemaatika põhimõisteid. Selles õppetükis tutvustame seda mõistet. Saame tuttavaks, ilma rangete matemaatiliste sõnastuste ja tõestusteta.
See sissejuhatus võimaldab teil:
- mõistab tuletise abil lihtsate ülesannete olemust;
- lahendab edukalt just need probleemid raskeid ülesandeid;
— valmistuda tõsisemateks õppetundideks tuletise kohta.
Esiteks meeldiv üllatus.
Tuletise range määratlus põhineb piiride teoorial ja asi on üsna keeruline. See on häiriv. Kuid tuletise praktiline rakendamine reeglina nii ulatuslikke ja sügavaid teadmisi ei nõua!
Enamiku ülesannete edukaks täitmiseks koolis ja ülikoolis piisab teadmisest vaid paar terminit- ülesande mõistmiseks ja vaid mõned reeglid- selle lahendamiseks. Ja see ongi kõik. See teeb mind õnnelikuks.
Kas me saame tuttavaks?)
Elementaarmatemaatikas on palju matemaatilisi tehteid. Liitmine, lahutamine, korrutamine, astendamine, logaritm jne. Kui nendele tehtele lisada veel üks tehte, tõuseb elementaarne matemaatika kõrgemaks. Seda uut operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu määratlust ja tähendust arutatakse eraldi õppetundides.
Siin on oluline mõista, et diferentseerimine on lihtsalt funktsiooni matemaatiline tehe. Me võtame mis tahes funktsiooni ja vastavalt teatud reeglitele teisendame selle. Tulemuseks on uus funktsioon. Seda uut funktsiooni nimetatakse: tuletis.
Eristumine— toiming funktsioonile.
Tuletis on selle tegevuse tulemus.
Nii nagu näiteks summa on lisamise tulemus. Või privaatne on jagamise tulemus.
Teades termineid, saate vähemalt ülesannetest aru.) Sõnastus on järgmine: leida funktsiooni tuletis; võta tuletis; eristada funktsiooni; tuletise arvutamine jne. See on kõik sama. Muidugi on keerulisemaid ülesandeid, kus tuletise leidmine (diferentseerimine) on vaid üks etappidest ülesande lahendamisel.
Tuletist tähistatakse funktsiooni kohal paremas ülanurgas kriipsuga. Nagu nii: y' või f"(x) või S"(t) jne.
lugeda y löök, ef löök x-st, es löök te-st, noh, saate aru.)
Algväärtus võib tähistada ka konkreetse funktsiooni tuletist, näiteks: (2x+3)", (x 3 )’ , (sinx)" jne. Sageli tähistatakse tuletist diferentsiaalide abil, kuid me selles õppetükis sellist tähistust ei käsitle.
Oletame, et oleme õppinud ülesandeid mõistma. Ei jää muud üle – õppida neid lahendama.) Tuletan veel kord meelde: tuletise leidmine on funktsiooni teisendamine teatud reeglite järgi. Neid reegleid on üllatavalt vähe.
Funktsiooni tuletise leidmiseks pead teadma vaid kolme asja. Kolm sammast, millel toetub kogu eristamine. Siin on kolm vaala:
1. Tuletiste tabel (diferentseerimisvalemid).
3. Kompleksfunktsiooni tuletis.
Alustame järjekorras. Selles õppetükis käsitleme tuletiste tabelit.
Maailmal on lõpmatu arv funktsioone. Selle komplekti hulgas on funktsioone, mis on kõige olulisemad praktilise rakendamise. Need funktsioonid asuvad kõigis loodusseadustes. Nendest funktsioonidest, nagu ka tellistest, saate konstrueerida kõik teised. Seda funktsioonide klassi nimetatakse elementaarsed funktsioonid. Just neid funktsioone koolis õpitakse - lineaarne, ruut, hüperbool jne.
Funktsioonide diferentseerimine "nullist", st. tuletise definitsiooni ja piiride teooria põhjal - üsna aeganõudev asi. Ja matemaatikud on ka inimesed, jah, jah!) Nii nad lihtsustasid oma elu (ja meid). Nad arvutasid enne meid elementaarfunktsioonide tuletised. Tulemuseks on tuletiste tabel, kus kõik on valmis.)
Siin see on, see plaat kõige populaarsemate funktsioonide jaoks. Vasak - elementaarne funktsioon, paremal on selle tuletis.
Tuletise arvutamist nimetatakse eristamist.
Tähistage tuletist $y'$ või $\frac $.
Funktsiooni tuletise leidmiseks muudetakse see teatud reeglite kohaselt teiseks funktsiooniks.
Kaaluge tuletise tabel. Pöörame tähelepanu asjaolule, et funktsioonid pärast nende tuletiste leidmist muudetakse muudeks funktsioonideks.
Ainus erand on $y=e^x$, mis muutub iseendaks.
Kõige sagedamini tuleb tuletise leidmisel mitte ainult uurida tuletisi tabelit, vaid kõigepealt rakendada diferentseerimisreegleid ja alles seejärel kasutada elementaarfunktsioonide tuletisi tabelit.
1. Konstant võetakse tuletise märgist välja
Eristage funktsiooni $y=7x^4$.
Leidke $y'=(7x^4)'$. Võtame tuletise märgiks välja arvu $7$, saame:
kasutage tabelit ja leidke võimsusfunktsiooni tuletise väärtus:
teisendame tulemuse matemaatikas aktsepteeritud kujule:
2. Summa (erinevuse) tuletis võrdub tuletiste summaga (vahega):
Eristage funktsioon $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt +\frac -11\cot x$.
pane tähele, et eristamisel tuleb kõik astmed ja juured teisendada kujule $x^>$;
võtame tuletise märgist välja kõik konstandid:
olles reeglitega tegelenud, rakendatakse mõnda neist (näiteks nagu kaks viimast) üheaegselt, et vältida pika väljendi ümberkirjutamist;
tuletise märgi alla oleme saanud avaldise elementaarfunktsioonidest; Kasutame tuletiste tabelit:
teisenda matemaatikas aktsepteeritud vormile:
$=1–25x^4+4 \cos x-\frac >+\frac +\frac $ . Pange tähele, et tulemuse leidmisel on tavaks teisendada murdarvuga terminid juurteks ja negatiivsed murdudeks.
Proovige õpetajatelt abi küsida.
3. Funktsioonide korrutise tuletise valem:
Eristage funktsiooni $y=x^ \lnx$.
Kõigepealt rakendame funktsioonide korrutise tuletise arvutamise reeglit ja seejärel tuletiste tabelit:
4. Erafunktsioonide tuletise valem:
Eristage funktsiooni $y=\frac $.
matemaatiliste tehtete ülimuslikkuse reeglite kohaselt teostame esmalt jagamise ning seejärel liitmise ja lahutamise, seega rakendame esmalt jagatise tuletise arvutamise reeglit:
rakendage summa ja vahe tuletiste reegleid, avage sulud ja lihtsustage avaldist:
Eristame funktsiooni $y=\frac $.
Funktsioon y on kahe funktsiooni jagatis, seega saame rakendada jagatise tuletise arvutamise reeglit, kuid sel juhul saame tülika funktsiooni. Selle funktsiooni lihtsustamiseks saate jagada lugeja nimetajaga terminiga:
Rakendame lihtsustatud funktsioonile funktsioonide summa ja erinevuse diferentseerimise reeglit.
Esimene tase
Kujutage ette sirget teed, mis läbib künklikku ala. See tähendab, et see läheb üles ja alla, kuid ei pööra paremale ega vasakule. Kui telg on suunatud horisontaalselt piki teed ja vertikaalselt, on teejoon väga sarnane mõne pideva funktsiooni graafikuga:
Telg on teatud nullkõrguse tase, elus kasutame sellena meretaset.
Sellist teed mööda edasi liikudes liigume ka meie üles või alla. Võime ka öelda: kui argument muutub (liikudes mööda abstsisstelge), muutub funktsiooni väärtus (liikudes mööda ordinaattelge). Mõelgem nüüd sellele, kuidas määrata meie tee "järsust"? Mis see väärtus võiks olla? Väga lihtne: kui palju muutub kõrgus teatud vahemaa edasi liikudes. Tõepoolest, erinevatel teelõikudel, liikudes edasi (mööda abstsisstellge) ühe kilomeetri, tõuseme või langeme erinev summa meetrit merepinna suhtes (piki y-telge).
Me tähistame edasiliikumist (loe "delta x").
Kreeka tähte (delta) kasutatakse matemaatikas tavaliselt eesliitena, mis tähendab "muutust". See tähendab - see on suurusjärgu muutus, - muutus; mis see siis on? See on õige, suuruse muutus.
Tähtis: avaldis on üks olem, üks muutuja. Ärge kunagi rebige maha "delta" tähelt "x" või mõnelt muult tähelt! See tähendab näiteks.
Niisiis, oleme liikunud edasi, horisontaalselt, edasi. Kui võrrelda tee joont funktsiooni graafikuga, siis kuidas tähistada tõusu? Kindlasti,. See tähendab, et edasi liikudes tõuseme kõrgemale.
Väärtust on lihtne arvutada: kui alguses olime kõrgusel ja peale liikumist kõrgusel, siis. Kui lõpp-punkt osutus alguspunktist madalamaks, on see negatiivne - see tähendab, et me ei tõuse, vaid laskume.
Tagasi "järsusele": see on väärtus, mis näitab, kui palju (järsult) kõrgus ühiku võrra edasi liikudes suureneb:
Oletame, et tee mõnel lõigul km võrra edasi liikudes tõuseb tee km võrra ülespoole. Siis on selle koha järsus võrdne. Ja kui tee m edasi liikudes km võrra vajuks? Siis on kalle võrdne.
Mõelge nüüd mäe tippu. Kui võtta lõigu algus pool kilomeetrit tippu ja lõpp - pool kilomeetrit peale seda, siis on näha, et kõrgus on peaaegu sama.
See tähendab, et meie loogika kohaselt selgub, et siinne järsk on peaaegu võrdne nulliga, mis ilmselgelt ei vasta tõele. Vaid mõne miili kaugusel võib palju muutuda. Järsu adekvaatsema ja täpsema hinnangu saamiseks tuleb arvestada väiksemate aladega. Näiteks kui mõõta kõrguse muutust ühe meetri liigutamisel, on tulemus palju täpsem. Kuid isegi sellest täpsusest ei pruugi meie jaoks piisata - kui tee keskel on post, võime ju sellest lihtsalt läbi lipsata. Millise vahemaa peaksime siis valima? Sentimeeter? Millimeeter? Vähem on parem!
IN päris elu kauguse mõõtmine lähima millimeetri täpsusega on enam kui piisav. Kuid matemaatikud püüdlevad alati täiuslikkuse poole. Seetõttu oli kontseptsioon lõpmatult väike, see tähendab, et mooduli väärtus on väiksem kui ükski number, mida saame nimetada. Näiteks ütlete: üks triljondik! Kui palju vähem? Ja jagate selle arvu - ja see on veelgi väiksem. Jne. Kui tahame kirjutada, et väärtus on lõpmatult väike, kirjutame nii: (loeme “x kipub nulli”). On väga oluline mõista et see arv ei võrdu nulliga! Aga sellele väga lähedal. See tähendab, et seda saab jagada.
Lõpmatult väikesele vastandlik mõiste on lõpmata suur (). Tõenäoliselt olete seda juba kohanud, kui töötasite ebavõrdsuse kallal: see arv on mooduli poolest suurem kui ükski number, mida võite ette kujutada. Kui leiate suurima võimaliku arvu, korrutage see lihtsalt kahega ja saate veelgi rohkem. Ja lõpmatus on veelgi enam kui see, mis juhtub. Tegelikult on lõpmatult suur ja lõpmatult väike teineteise pöördväärtus, see tähendab at ja vastupidi: at.
Nüüd tagasi meie teele. Ideaalselt arvutatud kalle on tee lõpmatult väikese lõigu jaoks arvutatud kalle, see tähendab:
Märgin, et lõpmata väikese nihke korral on ka kõrguse muutus lõpmatult väike. Kuid tuletan meelde, et lõpmata väike ei tähenda nulliga võrdset. Kui jagate lõpmata väikesed arvud üksteisega, saate üsna ühine number, näiteks, . See tähendab, et üks väike väärtus võib olla täpselt kaks korda suurem kui teine.
Miks see kõik? Tee, järsk... Me ei lähe rallile, vaid õpime matemaatikat. Ja matemaatikas on kõik täpselt sama, ainult kutsutakse teisiti.
Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral.
Kasv matemaatikas nimetatakse muutuseks. Kui palju on argument () muutunud piki telge liikudes, kutsutakse argumentide juurdekasv ja tähistatakse Kui palju on funktsioon (kõrgus) muutunud piki telge kauguse võrra edasi liikudes funktsiooni juurdekasv ja on märgitud.
Seega on funktsiooni tuletis seos millal. Tuletist tähistame funktsiooniga sama tähega, ainult joonega ülalt paremalt: või lihtsalt. Niisiis, kirjutame tuletisvalemi, kasutades järgmisi märke:
Nagu analoogselt teega, on siin funktsiooni suurenemisel tuletis positiivne ja vähenedes negatiivne.
Kuid kas tuletis on võrdne nulliga? Kindlasti. Näiteks kui sõidame tasasel horisontaalsel teel, on järsus null. Tõepoolest, kõrgus ei muutu üldse. Nii ka tuletisega: konstantse funktsiooni tuletis (konstant) on võrdne nulliga:
kuna sellise funktsiooni juurdekasv on mis tahes puhul null.
Võtame näite mäe tipust. Selgus, et selliselt on võimalik segmendi otsad paigutada erinevad küljedülalt, et otste kõrgus on sama, see tähendab, et segment on paralleelne teljega:
Kuid suured segmendid on märk ebatäpsest mõõtmisest. Tõstame oma lõigu endaga paralleelselt üles, siis selle pikkus väheneb.
Lõpuks, kui oleme tipule lõpmatult lähedal, muutub lõigu pikkus lõpmatult väikeseks. Kuid samal ajal jäi see teljega paralleelseks, st kõrguste erinevus selle otstes on võrdne nulliga (ei kaldu, vaid võrdub). Seega tuletis
Seda võib mõista järgmiselt: kui seisame päris tipus, muudab väike nihe vasakule või paremale meie kõrgust tühiselt.
Sellel on ka puhtalt algebraline seletus: ülaosast vasakul funktsioon suureneb ja paremal väheneb. Nagu me juba varem teada saime, on funktsiooni suurenemisel tuletis positiivne ja kui see väheneb, siis negatiivne. Aga see muutub sujuvalt, ilma hüpeteta (sest tee ei muuda kuskil järsult oma kallet). Seetõttu peavad olema negatiivsed ja positiivsed väärtused. See on koht, kus funktsioon ei suurene ega vähene – tipupunktis.
Sama kehtib ka oru kohta (ala, kus funktsioon vasakul väheneb ja paremal suureneb):
Pisut lähemalt juurdekasvust.
Seega muudame argumendi väärtuseks. Millisest väärtusest me muudame? Mis temast (argumendist) nüüd on saanud? Saame valida mis tahes punkti ja nüüd tantsime sellest.
Vaatleme koordinaadiga punkti. Funktsiooni väärtus selles on võrdne. Seejärel teeme sama juurdekasvu: suurendame koordinaati võrra. Mis argument nüüd on? Väga lihtne: . Mis on funktsiooni väärtus praegu? Kuhu argument läheb, sinna läheb funktsioon: . Aga funktsiooni juurdekasv? Ei midagi uut: see on ikkagi summa, mille võrra funktsioon on muutunud:
Harjutage juurdekasvu leidmist:
Lahendused:
Erinevates punktides, kui argumendi kasv on sama, on funktsiooni juurdekasv erinev. See tähendab, et tuletis igas punktis on oma (seda arutasime kohe alguses - tee järskus erinevates punktides on erinev). Seetõttu peame tuletise kirjutamisel näitama, millisel hetkel:
Võimsusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, kus argument on mingil määral (loogiline, eks?).
Ja - mingil määral: .
Lihtsaim juhtum on siis, kui eksponendiks on:
Leiame selle tuletise ühest punktist. Pidage meeles tuletise määratlust:
Nii et argument muutub väärtusest kuni. Mis on funktsiooni juurdekasv?
Kasv on. Kuid funktsioon mis tahes punktis on võrdne selle argumendiga. Sellepärast:
Tuletis on:
Tuletis on:
b) Nüüd kaaluge ruutfunktsioon (): .
Nüüd meenutagem seda. See tähendab, et juurdekasvu väärtuse võib tähelepanuta jätta, kuna see on lõpmatult väike ja seetõttu teise termini taustal tähtsusetu:
Niisiis, meil on veel üks reegel:
c) Jätkame loogilist seeriat: .
Seda avaldist saab lihtsustada mitmel viisil: avage esimene sulg, kasutades summa kuubi lühendatud korrutamise valemit, või jagage kogu avaldis teguriteks, kasutades kuubikute erinevuse valemit. Proovige seda ise mõnel soovitatud viisil teha.
Niisiis, sain järgmise:
Ja meenutagem seda veel kord. See tähendab, et võime tähelepanuta jätta kõik terminid, mis sisaldavad:
Saame: .
d) Sarnased reeglid on saadaval suurte võimsuste jaoks:
e) Selgub, et seda reeglit saab üldistada suvalise astendajaga astmefunktsiooni jaoks, isegi mitte täisarvuga:
| (2) |
Reegli saate sõnastada sõnadega: "aste tuuakse koefitsiendina ette ja seejärel väheneb".
Tõestame seda reeglit hiljem (peaaegu päris lõpus). Vaatame nüüd mõnda näidet. Leidke funktsioonide tuletis:
Kui siinkohal jäi jälle selgusetuks, korrake teemat "" !!! (umbes kraad negatiivse indikaatoriga)
Ja nüüd läbi määratluse (kas olete juba unustanud?):
;
.
Nüüd, nagu tavaliselt, jätame tähelepanuta termini, mis sisaldab:
.
Siin kasutame ühte fakti kõrgemast matemaatikast:
Kui väljendus.
Tõestust õpid instituudi esimesel kursusel (ja sinna pääsemiseks pead eksami hästi sooritama). Nüüd näitan seda lihtsalt graafiliselt:
Näeme, et kui funktsiooni pole olemas, siis graafikul olev punkt on läbistatud. Kuid mida lähemal väärtusele, seda lähemal on funktsioon.
Lisaks saate seda reeglit kontrollida kalkulaatoriga. Jah, jah, ärge kartke, võtke kalkulaator, me pole veel eksamil.
Nii et proovime: ;
Ärge unustage lülitada kalkulaatorit radiaanirežiimile!
jne. Näeme, et mida väiksem, seda lähemal on suhtarvu väärtus.
a) Vaatleme funktsiooni. Nagu tavaliselt, leiame selle juurdekasvu:
Muudame siinuste erinevuse korrutiseks. Selleks kasutame valemit (pidage meeles teemat ""):.
Nüüd tuletis:
Teeme asendused: . Siis on lõpmata väikese jaoks ka lõpmata väike: . Avaldis jaoks on järgmine:
Ja nüüd meenutame seda väljendiga. Ja mis siis, kui lõpmata väike väärtus võib summas (st at) jätta tähelepanuta.
Nii et saame järgmine reegel:siinuse tuletis on võrdne koosinusega:
Need on põhituletised ("tabel"). Siin on need ühes loendis:
Hiljem lisame neile veel mõned, kuid need on kõige olulisemad, kuna neid kasutatakse kõige sagedamini.
Harjuta:
Lahendused:
Olgu, sul on õigus, me ei tea ikka veel, kuidas selliseid tuletisi leida. Siin on meil mitut tüüpi funktsioonide kombinatsioon. Nendega töötamiseks peate õppima veel mõned reeglid:
Matemaatikas on selline funktsioon, mille tuletis mis tahes jaoks on võrdne funktsiooni enda väärtusega sama jaoks. Seda nimetatakse eksponendiks ja see on eksponentsiaalne funktsioon
Selle funktsiooni alus on konstant – see on lõpmatu koma, see tähendab irratsionaalne arv (näiteks). Seda nimetatakse "Euleri numbriks", mistõttu on see tähistatud tähega.
Nii et reegel on:
Seda on väga lihtne meeles pidada.
Noh, me ei lähe kaugele, kaalume kohe pöördfunktsiooni. Milline funktsioon on pöördväärtus eksponentsiaalne funktsioon? Logaritm:
Meie puhul on aluseks number:
Sellist logaritmi (see tähendab logaritmi alusega) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.
Millega on võrdne? Muidugi, .
Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:
Näited:
Vastused: Eksponent ja naturaallogaritm- funktsioonid on tuletise poolest ainulaadselt lihtsad. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, pärast diferentseerimisreeglite läbimist.
Mis reeglid? Jällegi uus termin, jälle?!...
Eristumine on tuletise leidmise protsess.
Ainult ja kõike. Mis on selle protsessi teine sõna? Mitte proizvodnovanie... Matemaatika diferentsiaali nimetatakse funktsiooni juures väga suureks juurdekasvuks. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.
Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:
Kokku on 5 reeglit.
Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.
Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .
Tõestame seda. Las või lihtsam.
Näited.
Leia funktsioonide tuletised:
Lahendused:
Siin on kõik sama: tutvustame uus funktsioon ja leidke selle juurdekasv:
Tuletis:
Näited:
Lahendused:
Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponendit (kas olete juba unustanud, mis see on?).
Kus on siis mingi number.
Funktsiooni tuletist me juba teame, seega proovime oma funktsiooni viia uuele alusele:
Selleks kasutame lihtne reegel: . Seejärel:
Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.
Juhtus?
Siin kontrollige ennast:
Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisega: nii nagu see oli, see jääb, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.
Näited:
Leia funktsioonide tuletised:
Vastused:
See on lihtsalt arv, mida ei saa arvutada ilma kalkulaatorita, see tähendab, et seda pole võimalik rohkem kirjutada lihtne vorm. Seetõttu jäetakse see vastuses sellisele kujule.
Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:
Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:
Peame selle logaritmi baasi viima. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:
Alles nüüd kirjutame selle asemel:
Nimetajaks osutus lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis on väga lihtne:
Eksponent- ja logaritmifunktsioonide tuletisi ei leia eksamil peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.
Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega kaartangens. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui logaritm tundub sulle keeruline, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik saab korda), kuid matemaatikas ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".
Kujutage ette väikest konveierit: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine seob selle paelaga. Selgub selline komposiitobjekt: lindiga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidist vastupidises järjekorras.
Loome sarnase matemaatilise konveieri: kõigepealt leiame arvu koosinuse ja seejärel paneme saadud arvu ruutu. Niisiis, nad annavad meile numbri (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis sina ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks teeme esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise teise toimingu sellega, mis juhtus esimese tulemusel.
Võime teha samu samme vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust:. Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Oluline omadus keerulised funktsioonid: kui muudate toimingute järjekorda, muutub funktsioon.
Teisisõnu, Kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine funktsioon: .
Esimese näitena .
Teine näide: (sama). .
Viimane toiming, mida teeme, nimetatakse "väline" funktsioon ja vastavalt esimesena sooritatud toiming "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).
Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:
Vastused: Sisemise ja välimise funktsiooni eraldamine on väga sarnane muutuja asendamisega: näiteks funktsioonis
muudame muutujaid ja saame funktsiooni.
Noh, nüüd ekstraheerime oma šokolaadi - otsige tuletist. Protseduur on alati vastupidine: esiteks otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Algse näite puhul näeb see välja järgmine:
Veel üks näide:
Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:
Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:
Kõik tundub olevat lihtne, eks?
Kontrollime näidetega:
Lahendused:
1) Sisemine: ;
Väline: ;
2) Sisemine: ;
(Ära proovi nüüdseks vähendada! Koosinuse alt ei võeta midagi välja, mäletad?)
3) Sisemine: ;
Väline: ;
Kohe on selge, et siin on kolmetasandiline kompleksfunktsioon: see on ju juba iseenesest keeruline funktsioon ja me võtame sealt ikkagi juure välja ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbrisesse ja lindiga portfellis). Kuid karta pole põhjust: igatahes “pakkime” selle funktsiooni lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.
See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.
Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:
Mida hiljem toiming sooritatakse, seda "välisem" on vastav funktsioon. Toimingute jada - nagu varem:
Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Määrame tegevussuuna.
1. Radikaalne väljendus. .
2. Juur. .
3. Sinus. .
4. Ruut. .
5. Pane kõik kokku:
Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmata väikese juurdekasvuga:
Põhilised tuletised:
Eristamise reeglid:
Konstant võetakse tuletise märgist välja:
Summa tuletis:
Tuletistoode:
Jagatise tuletis:
Kompleksfunktsiooni tuletis:
Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:
Kõiki järku tuletisi ja diferentsiaalide määratlus ühe muutuja funktsioonist ja osatuletised ja diferentsiaalid, lisaks enamiku muutujate funktsioonide summaarsed diferentsiaalid.
Tõestame valemit. Tuletise definitsioonist saame:
Piiri ülemineku märgist (limiidi omadused) võetakse välja suvaline kordaja, mis tähendab, et saame:
Q.E.D.
Vaatame nüüd mitut näidet ülaltoodud reeglist.
Näide 1
Leiame funktsiooni tuletise.
Kasutades trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste tabelit, leiame 
. Kasutame tuletise märgist kordaja väljavõtmise reeglit ja leiame:
Väga sageli on esmalt vaja lihtsustada eristatava funktsiooni vormi, et saaks kasutada tuletiste tabelit ja tuletiste määramise reegleid. See on hästi näidatud järgmistes näidetes:
Näide 2
Eristage funktsiooni 
.
Logaritmifunktsiooni omadustest liigume lihtsalt vormile . Järgmisena võtame välja konstantse teguri, jättes meelde logaritmiliste funktsioonide tuletised:
Kui järgime definitsiooni, siis funktsiooni tuletis punktis on funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir y argumendi Δ juurdekasvuni x:
Kõik näib olevat selge. Kuid proovige arvutada selle valemiga, ütleme, funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.
Alustuseks märgime, et nn elementaarfunktsioone saab eristada kõigist funktsioonidest. Need on suhteliselt lihtsad avaldised, mille tuletised on juba ammu arvutatud ja tabelisse kantud. Selliseid funktsioone on koos nende tuletistega piisavalt lihtne meeles pidada.
Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid raske pähe õppida – seepärast on need elementaarsed.
Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:
| Nimi | Funktsioon | Tuletis |
| Püsiv | f(x) = C, C ∈ R | 0 (jah, jah, null!) |
| Kraad ratsionaalse astendajaga | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = patt x | cos x |
| Koosinus | f(x) = cos x | − patt x(miinus siinus) |
| Tangent | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangent | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| naturaallogaritm | f(x) = log x | 1/x |
| Suvaline logaritm | f(x) = log a x | 1/(x ln a) |
| Eksponentfunktsioon | f(x) = e x | e x(midagi ei muutunud) |
Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:
(C · f)’ = C · f ’.
Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Ilmselgelt saab elementaarfunktsioone omavahel liita, korrutada, jagada ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam väga elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi eristatavad. Neid reegleid käsitletakse allpool.
Laske funktsioonidel f(x) Ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:
Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem – summa tuletis.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:
f ’(x) = (x 2+ patt x)’ = (x 2)' + (patt x)’ = 2x+ cosx;
Me vaidleme funktsiooni kohta sarnaselt g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Vastus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima"\u003e võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga teile viigimarjad! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult koolilapsed, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.
Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .
Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)
Funktsioon g(x) esimene kordaja on natuke keerulisem, kuid üldine skeem see ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene kordaja g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:
g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)' · e x + (x 2 + 7x– 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole see vajalik, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, selgitatakse välja selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem, kui avaldis on jagatud teguriteks.
Kui on kaks funktsiooni f(x) Ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:
Pole nõrk, eks? Kust tuli miinus? Miks g 2? Niimoodi! See on üks kõige enam keerulised valemid Ilma pudelita ei saa sellest aru. Seetõttu on parem seda uurida konkreetseid näiteid.
Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:
Iga murru lugejas ja nimetajas on elementaarfunktsioonid, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:
Traditsiooniliselt arvestame lugeja tegurite hulka - see lihtsustab vastust oluliselt:
Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2+ln x. Selgub f(x) = patt ( x 2+ln x) on keeruline funktsioon. Tal on ka tuletis, kuid selle leidmine ülalkirjeldatud reeglite järgi ei tööta.
Kuidas olla? Sellistel juhtudel aitab muutuja asendamine ja kompleksfunktsiooni tuletise valem:
f ’(x) = f ’(t) · t', kui x asendatakse t(x).
Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem seda ka konkreetsete näidetega selgitada, koos Täpsem kirjeldus igal sammul.
Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2+ln x)
Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+3 saab olema lihtne x, siis saame elementaarfunktsiooni f(x) = e x. Seetõttu teeme asendused: olgu 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist valemiga:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Ja nüüd - tähelepanu! Pöördasenduse teostamine: t = 2x+ 3. Saame:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Vaatame nüüd funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb välja vahetada. x 2+ln x = t. Meil on:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (patt t)’ · t' = cos t · t ’
Vastupidine asendamine: t = x 2+ln x. Seejärel:
g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
See on kõik! Nagu näha alates viimane väljend, taandus kogu probleem summa tuletise arvutamisele.
Vastus:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).
Väga sageli kasutan ma oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "insult". Näiteks löök summast on võrdne summaga lööki. Kas see on selgem? See on hea.
Seega taandub tuletise arvutamine just nendest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:
(x n)’ = n · x n − 1
Seda teavad rollis vähesed n võib olla murdarv. Näiteks juur on x 0,5 . Aga mis siis, kui juure all on midagi keerulist? Jällegi selgub keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone edasi anda kontrolli töö ja eksamid.
Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:
Esiteks kirjutame juur ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Nüüd teeme asendus: las x 2 + 8x − 7 = t. Leiame tuletise valemiga:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Teeme pöördasenduse: t = x 2 + 8x− 7. Meil on:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Lõpuks tagasi juurte juurde:
