На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как , и т.д. выделены в отдельные темы - читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника.
Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории).
Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке - это слово «внутренних».
Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают. У треугольника ещё бывают внешние углы . И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна, касается как раз внешнего треугольника. Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.
Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем) продолжаем.
Конечно, мы бы могли оставить сторону, а продолжить сторону. Вот так:
А вот про угол такого сказать ни в коем случае нельзя !
Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.
Так что же мы должны знать про внешний угол?
Смотри, на нашем рисунке это означает, что.
Как же это связано с суммой углов треугольника?
Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна
но - потому, что и - смежные.
Ну вот и получается: .
Видишь как просто?! Но очень важно . Так что запоминай:
Сумма внутренних углов треугольника равна, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.
Это означает, что
Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?
Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?
А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто - то из вас говорит неправду!»
Почему? Да потому что если от Коли до Пети м, а от Пети до Сергея м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше () метров - иначе и нарушается то самое неравенство треугольника. Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой () должен быть короче, чем путь с заходом в точку. (). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:
Бывает ли треугольник со сторонами?
Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: , значит, треугольника со сторонами и не бывает! А вот со сторонами - бывает, потому что
Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:
Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников , которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.
Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много - много - много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил - треугольники совпадают при наложении» - тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.
Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.
В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки - их легче запомнить и применять.
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Основные понятия.
Основные свойства:
Признаки равенства треугольников.
1. Первый признак
- по двум сторонам и углу между ними.
2. Второй признак
- по двум углам и прилежащей стороне.
3. Третий признак
- по трём сторонам.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
О том, что такое треугольник, квадрат, куб, нам рассказывает наука геометрия. В современном мире ее изучают в школах все без исключения. Также наукой, которая изучает непосредственно то, что такое треугольник и какие у него свойства, является тригонометрия. Она исследует подробно все явления, связанные с данными О том, что такое треугольник, мы и поговорим сегодня в нашей статье. Ниже будут описаны их виды, а также некоторые теоремы, связанные с ними.
Это плоский многоугольник. Углов он имеет три, что понятно из его названия. Также он имеет три стороны и три вершины, первые из них — это отрезки, вторые — точки. Зная, чему равны два угла, можно найти третий, отняв сумму первых двух от числа 180.
Их можно классифицировать по различным критериям.
В первую очередь они делятся на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Первые обладают острыми углами, то есть такими, которые равны менее чем 90 градусам. У тупоугольных один из углов — тупой, то есть такой, который равен более 90 градусам, остальные два — острые. К остроугольным треугольникам относятся также и равносторонние. У таких треугольников все стороны и углы равны. Все они равны 60 градусам, это можно легко вычислить, разделив сумму всех углов (180) на три.
Невозможно не поговорить о том, что такое прямоугольный треугольник.
У такой фигуры один угол равен 90 градусам (прямой), то есть две из его сторон расположены перпендикулярно. Остальные два угла являются острыми. Они могут быть равными, тогда он будет равнобедренным. С прямоугольным треугольником связана теорема Пифагора. При помощи ее можно найти третью сторону, зная две первые. Согласно данной теореме, если прибавить квадрат одного катета к квадрату другого, можно получить квадрат гипотенузы. Квадрат же катета можно подсчитать, отняв от квадрата гипотенузы квадрат известного катета. Говоря о том, что такое треугольник, можно вспомнить и о равнобедренном. Это такой, у которого две из сторон равны, также равны и два угла.
Катет — это одна из сторон треугольника, которые образуют угол в 90 градусов. Гипотенуза — это оставшаяся сторона, которая расположена напротив прямого угла. Из него на катет можно опустить перпендикуляр. Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется не иначе как косинус, а противоположного — синус.
Он прямоугольный. Его катеты равны трем и четырем, а гипотенуза — пяти. Если вы увидели, что катеты данного треугольника равны трем и четырем, можете не сомневаться, что гипотенуза будет равна пяти. Также по такому принципу можно легко определить, что катет будет равен трем, если второй равен четырем, а гипотенуза - пяти. Чтобы доказать данное утверждение, можно применить теорему Пифагора. Если два катета равны 3 и 4, то 9 + 16 = 25, корень из 25 - это 5, то есть гипотенуза равна 5. Также египетским треугольником называется прямоугольный, стороны которого равны 6, 8 и 10; 9, 12 и 15 и другим числам с соотношением 3:4:5.
Также треугольники могут быть вписанными и описанными. Фигура, вокруг которой описана окружность, называется вписанной, все ее вершины являются точками, лежащими на окружности. Описанный треугольник — тот, в который вписана окружность. Все его стороны соприкасаются с ней в определенных точках.
Площадь любой фигуры измеряется в квадратных единицах (кв. метрах, кв. миллиметрах, кв. сантиметрах, кв. дециметрах и т. д.) Данную величину можно рассчитать разнообразными способами, в зависимости от вида треугольника. Площадь какой угодно фигуры с углами можно найти, если умножить ее сторону на перпендикуляр, опущенный на нее из противоположного угла, и разделив данную цифру на два. Также можно найти эту величину, если умножить две стороны. Потом умножить это число на синус угла, расположенного между данными сторонами, и разделить это получившееся на два. Зная все стороны треугольника, но не зная его углов, можно найти площадь еще и другим способом. Для этого нужно найти половину периметра. Затем поочередно отнять от данного числа разные стороны и перемножить полученные четыре значения. Далее найти из числа, которое вышло. Площадь вписанного треугольника можно отыскать, перемножив все стороны и разделив полученное число на которая описана вокруг него, умноженный на четыре.
Площадь описанного треугольника находится таким образом: половину периметра умножаем на радиус окружности, которая в него вписана. Если то его площадь можно найти следующим образом: сторону возводим в квадрат, умножаем полученную цифру на корень из трех, далее делим это число на четыре. Похожим образом можно вычислить высоту треугольника, у которого все стороны равны, для этого одну из них нужно умножить на корень из трех, а потом разделить данное число на два.
Основными теоремами, которые связаны с данной фигурой, являются теорема Пифагора, описанная выше, и косинусов. Вторая (синусов) заключается в том, что, если разделить любую сторону на синус противоположного ей угла, то можно получить радиус окружности, которая описана вокруг него, умноженный на два. Третья (косинусов) заключается в том, что, если от суммы квадратов двух сторон отнять их же произведение, умноженное на два и на косинус угла, расположенного между ними, то получится квадрат третьей стороны.
Многие, столкнувшись с этим понятием, сначала думают, что это какое-то определение в геометрии, но это совсем не так. Треугольник Дали — это общее название трех мест, которые тесно связаны с жизнью знаменитого художника. «Вершинами» его являются дом, в котором Сальвадор Дали жил, замок, который он подарил своей жене, а также музей сюрреалистических картин. Во время экскурсии по этим местам можно узнать много интереснейших фактов об этом своеобразном креативном художнике, известном во всем мире.
Самый простой многоугольник, который изучается в школе — это треугольник. Он более понятен для учащихся и встречает меньше трудностей. Несмотря на то что существуют различные виды треугольников, у которых имеются особенные свойства.
Образованная тремя точками и отрезками. Первые называются вершинами, вторые — сторонами. Причем все три отрезка должны быть соединены, чтобы между ними образовывались углы. Отсюда и название фигуры «треугольник».
Поскольку они могут быть острыми, тупыми и прямыми, то и виды треугольников определяются по этим названиям. Соответственно, групп таких фигур три.
В зависимости от особенностей сторон выделяют такие виды треугольников:
общий случай — разносторонний, в котором все стороны имеют произвольную длину;
равнобедренный, у двух сторон которого имеются одинаковые числовые значения;
равносторонний, длины всех его сторон одинаковые.
Если в задаче не указан конкретный вид треугольника, то нужно чертить произвольный. У которого все углы острые, а стороны имеют разную длину.
Эти свойства справедливы всегда, какие бы виды треугольников ни рассматривались в задачах. Все остальные вытекают из конкретных особенностей.
Если имеется такая фигура, то будут верны все свойства, описанные немного выше. Потому что равносторонний всегда будет равнобедренным. Но не наоборот, равнобедренный треугольник не обязательно будет равносторонним.
№1. Дан равнобедренный треугольник. Его периметр известен и равен 90 см. Требуется узнать его стороны. В качестве дополнительного условия: боковая сторона меньше основания в 1,2 раза.
Значение периметра напрямую зависит от тех величин, которые нужно найти. Сумма всех трех сторон и даст 90 см. Теперь нужно вспомнить признак треугольника, по которому он является равнобедренным. То есть две стороны равны. Можно составить уравнение с двумя неизвестными: 2а + в = 90. Здесь а — боковая сторона, в — основание.
Настала очередь дополнительного условия. Следуя ему, получается второе уравнение: в = 1,2а. Можно выполнить подстановку этого выражения в первое. Получится: 2а + 1,2а = 90. После преобразований: 3,2а = 90. Отсюда а = 28,125 (см). Теперь несложно узнать основание. Лучше всего это сделать из второго условия: в = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).
Для проверки можно сложить три значения: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (см). Все верно.
Ответ: стороны треугольника равны 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.
№2. Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Нужно вычислить его высоту.
Решение. Для поиска ответа достаточно вернуться к тому моменту, где были описаны свойства треугольника. Так указана формула для нахождения высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника.
н = а * √3 / 2, где н — высота, а — сторона.
Подстановка и вычисление дают такой результат: н = 6 √3 (см).
Эту формулу необязательно запоминать. Достаточно вспомнить, что высота делит треугольник на два прямоугольных. Причем она оказывается катетом, а гипотенуза в нем — это сторона исходного, второй катет — половина известной стороны. Теперь нужно записать теорему Пифагора и вывести формулу для высоты.
Ответ: высота равна 6 √3 см.
№3. Дан МКР — треугольник, 90 градусов в котором составляет угол К. Известны стороны МР и КР, они равны соответственно 30 и 15 см. Нужно узнать значение угла Р.
Решение. Если сделать чертеж, то становится ясно, что МР — гипотенуза. Причем она в два раза больше катета КР. Снова нужно обратиться к свойствам. Одно из них как раз связано с углами. Из него понятно, что угол КМР равен 30º. Значит искомый угол Р будет равен 60º. Это следует из другого свойства, которое утверждает, что сумма двух острых углов должна равняться 90º.
Ответ: угол Р равен 60º.
№4. Нужно найти все углы равнобедренного треугольника. Про него известно, что внешний угол от угла при основании равен 110º.
Решение. Поскольку дан только внешний угол, то этим и нужно воспользоваться. Он образует с внутренним углом развернутый. Значит в сумме они дадут 180º. То есть угол при основании треугольника будет равен 70º. Так как он равнобедренный, то второй угол имеет такое же значение. Осталось вычислить третий угол. По свойству, общему для всех треугольников, сумма углов равна 180º. Значит, третий определится как 180º - 70º - 70º = 40º.
Ответ: углы равны 70º, 70º, 40º.
№5. Известно, что в равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен 90º. На основании отмечена точка. Отрезок, соединяющий ее с прямым углом, делит его в отношении 1 к 4. Нужно узнать все углы меньшего треугольника.
Решение. Один из углов можно определить сразу. Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, то те, что лежат у его основания, будут по 45º, то есть по 90º/2.
Второй из них поможет найти известное в условии отношение. Поскольку оно равно 1 к 4, то частей, на которые он делится получается всего 5. Значит, чтобы узнать меньший угол треугольника нужно 90º/5 = 18º. Осталось узнать третий. Для этого из 180º (суммы всех углов треугольника) нужно вычесть 45º и 18º. Вычисления несложные, и получится: 117º.