Definicja jednomianu: Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które używa tylko mnożenia.
Jaka jest standardowa forma jednomianu? Jednomian jest napisany w formie standardowej, jeśli na pierwszym miejscu ma współczynnik liczbowy i ten czynnik nazywa się współczynnikiem jednomianu, tylko jeden w jednomianu, litery jednomianu znajdują się w kolejność alfabetyczna a każda litera występuje tylko raz.
Przykład jednomianu w postaci standardowej:
tutaj na pierwszym miejscu jest liczba, współczynnik jednomianu, a ta liczba jest tylko jeden w naszym jednomianu, każda litera występuje tylko raz, a litery są ułożone w kolejności alfabetycznej, w ta sprawa to alfabet łaciński.
Inny przykład jednomianu w postaci standardowej:
każda litera występuje tylko raz, są ułożone w porządku alfabetycznym łacińskim, ale gdzie jest współczynnik jednomianu, tj. czynnik liczbowy, który powinien być pierwszy? Tutaj jest równy jeden: 1adm.
Czy współczynnik jednomianu może być ujemny? Tak, może, przykład: -5a.
Czy współczynnik jednomianowy może być ułamkowy? Tak, może, przykład: 5.2a.
Jeśli jednomian składa się tylko z liczby, tj. nie ma liter, jak doprowadzić to do standardowej postaci? Dowolny jednomian będący liczbą jest już w postaci standardowej, na przykład: liczba 5 jest jednomianem w postaci standardowej.
Jak sprowadzić jednomian do standardowej postaci? Rozważ przykłady.
Niech zostanie podany jednomian 2a4b, musimy sprowadzić go do postaci standardowej. Mnożymy dwa z jego współczynników liczbowych i otrzymujemy 8ab. Teraz jednomian jest napisany w standardowej formie, tj. ma tylko jeden czynnik liczbowy, zapisany na pierwszym miejscu, każda litera w jednomianu występuje tylko raz, a litery te są ułożone w kolejności alfabetycznej. Więc 2a4b = 8ab.
Biorąc pod uwagę: jednomian 2a4a, sprowadź jednomian do postaci standardowej. Mnożymy liczby 2 i 4, iloczyn aa zastępujemy drugą potęgą a 2 . Otrzymujemy: 8a 2 . To jest standardowa forma tego jednomianu. Zatem 2a4a = 8a 2 .
Jakie są podobne jednomiany? Jeśli jednomiany różnią się tylko współczynnikami lub są równe, nazywa się je podobnymi.
Przykład podobnych jednomianów: 5a i 2a. Te jednomiany różnią się tylko współczynnikami, co oznacza, że są podobne.
Czy jednomiany 5abc i 10cba są podobne? Sprowadzamy drugi jednomian do postaci standardowej, otrzymujemy 10abc. Teraz jest jasne, że jednomiany 5abc i 10abc różnią się tylko współczynnikami, co oznacza, że są podobne.
Jaka jest suma jednomianów? Możemy tylko zsumować podobne jednomiany. Rozważmy przykład dodawania jednomianów. Jaka jest suma jednomianów 5a i 2a? Suma tych jednomianów będzie jednomianem podobnym do nich, którego współczynnik jest równa sumie współczynniki terminów. Zatem suma jednomianów wynosi 5a + 2a = 7a.
Więcej przykładów dodawania jednomianów:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Ponownie. Możesz dodać tylko podobne jednomiany; dodawanie sprowadza się do dodania ich współczynników.
Jaka jest różnica jednomianów? Możemy tylko odjąć podobne jednomiany. Rozważ przykład odejmowania jednomianów. Jaka jest różnica między jednomianami 5a i 2a? Różnica tych jednomianów będzie jednomianem do nich podobnym, którego współczynnik jest równy różnicy współczynników tych jednomianów. Tak więc różnica jednomianów jest równa 5a - 2a = 3a.
Więcej przykładów odejmowania jednomianów:
10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Jaki jest iloczyn jednomianów? Rozważ przykład:
tych. iloczyn jednomianów jest równy jednomianowi, którego czynniki składają się z czynników pierwotnych jednomianów.
Inny przykład:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Jak doszło do tego wyniku? Każdy czynnik ma „a” w stopniu: w pierwszym – „a” w stopniu 2, a w drugim – „a” w stopniu 5. Oznacza to, że iloczyn będzie miał „a” w stopniu 7, ponieważ mnożąc identyczne litery, ich wykładniki sumują się:
2 * 5 = 7 .
To samo dotyczy współczynnika „b”.
Współczynnik pierwszego czynnika jest równy dwóm, a drugi - jeden, więc w rezultacie otrzymujemy 2 * 1 = 2.
Tak obliczono wynik 2a 7 b 12 .
Z tych przykładów widać, że mnoży się współczynniki jednomianów, a te same litery zastępuje sumą ich stopni w iloczynie.
Wstecz do przodu
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Rodzaj lekcji: zintegrowane (z ICT), lekcja wprowadzania nowej wiedzy.
Cele i zadania (algebra): wprowadzić pojęcie jednomianu; stopień jednomianowy; standardowa forma jednomianu. Naucz uczniów, jak doprowadzić jednomiany do standardowej formy. Kontynuuj formowanie umiejętności wykonywania działań ze stopniami. Popraw umiejętności komputerowe uczniów. Rozwijaj uważność, dokładność.
Cele i zadania (ICT): nauczyć praktycznego korzystania z wbudowanego edytora formuł w MS Office Word; rozwijać umiejętność niezależna praca.
Materiały użyte na lekcji: prezentacja, zajęcia komputerowe z zainstalowanym pakietem MS Office (Word), notatki referencyjne praktyczna praca, karty z zadaniami do samodzielnej pracy, instalacja multimedialna.
Powitanie studentów.
(slajd na ekranie 2).
Zgłaszanie tematu lekcji oraz celów i zadań lekcji (slajd 3.4).
6*x2*y; 2*x3; mn 7 ; ab; -8 (slajd 5)
Wyrażenia tego rodzaju nazywane są jednomianami.
DEFINICJA: Jednomian jest iloczynem liczb i zmiennych, potęg zmiennych lub liczby, zmiennej, potęgi zmiennej.
Przyjrzyj się uważnie ekranowi (slajd 7). Które z poniższych wyrażeń to jednomiany? Czemu?
nr 463 - samodzielnie. Kontrola z przodu. (slajd 8).
Pozwól mi mieć jednomiany
2x 2 y * 9y 2 i 8x * 9xy (slajd 9)
Używamy przemiennych i asocjacyjnych praw mnożenia. Otrzymujemy:
2 * 9 * x 2 * y * y 2 \u003d 18x 2 y 3 i 8 * 9 * x * x * y \u003d 72 x 2 y.
W pierwszej kolejności przedstawiliśmy jednomian jako iloczyn czynnika liczbowego i potęg różnych zmiennych. Ten rodzaj jednomianu nazywa się formą standardową.
DEFINICJA: jednomian nazywamy jednomianem postaci standardowej, jeśli na pierwszym miejscu ma 1 czynnik liczbowy (współczynnik), iloczyn identycznych zmiennych w nim zapisywany jest jako stopień.
Przeczytaj te jednomiany, które są zapisane w standardowej formie. Nazwij ich współczynniki.
nr 464 - ustnie, nr 465 - pod kierunkiem nauczyciela.
Program MS Word. Wbudowany edytor formuł. Używanie wbudowanego edytora formuł do pisania jednomianów. Plik "Standardowy widok jednomianu" na pulpicie. Wypełnij przygotowaną tabelę za pomocą wbudowanego edytora formuł.
Wypełnij tabelę. (slajd 15)
Sprawdzanie - na ekranie (slajd 16) i zapisanych plikach uczniów.
Na stronie 84 podręcznika znajdź definicję stopnia jednomianu. Przeczytaj to.
nr 473 - ustnie;
nr 467 (a; d) - skomentował przy tablicy.
Na ekranie według opcji (slajd 19). (Każdy uczeń na biurku ma kartkę z zadaniem do wykonania pracy - Załącznik 2)
Sprawdź - samokontrola z zapisem (na ekranie slajd 20).
str.19, nr 466, 468, 476, 470.
Dziękuję za lekcję! (slajd 23)
Lista wykorzystanej literatury:
W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu, rozważymy różne przykłady z podręcznika. Przypomnij sobie zasady mnożenia potęg przez te same podstawy. Podajmy definicję standardowej postaci jednomianu, współczynnika jednomianu i jego dosłownej części. Rozważmy dwie podstawowe typowe operacje na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla podanych wartości zawartych w nim zmiennych dosłownych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Nauczmy się decydować typowe zadania z dowolnymi jednomianami.
Podmiot:jednomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach
Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowa forma jednomianu
Rozważ kilka przykładów:
3. 
;
Znajdźmy wspólne cechy dla podanych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianu : jednomian to wyrażenie algebraiczne, które składa się z iloczynu potęg i liczb.
Teraz podajemy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:
Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega ona na tym, że w przykładach 4-7 występują operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, podczas gdy w przykładach 1-3, które są jednomianami, operacje te nie występują.
Oto kilka innych przykładów:
Wyrażenie numer 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi i liczby, podczas gdy przykład 9 nie jest jednomianem.
Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .
1. Uproszczenie. Rozważ przykład nr 3 ;i przykład #2 /
W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik - , każda zmienna występuje tylko raz, czyli zmienna " a” jest reprezentowane w jednym wystąpieniu, jako „”, podobnie zmienne „” i „” występują tylko raz.
W przykładzie nr 3, przeciwnie, są dwa różne współczynniki - i widzimy zmienną "" dwukrotnie - jako "" i jako "", podobnie zmienna "" występuje dwa razy. Oznacza to, że wyrażenie to powinno być uproszczone, więc dochodzimy do pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest doprowadzenie jednomianu do postaci standardowej . W tym celu przenosimy wyrażenie z przykładu 3 do postaci standardowej, następnie definiujemy tę operację i uczymy się, jak sprowadzić dowolny jednomian do postaci standardowej.
Rozważmy więc przykład:
Pierwszym krokiem w operacji normalizacji jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:
;
Wynik tej akcji zostanie nazwany współczynnik jednomianowy .
Następnie musisz pomnożyć stopnie. Mnożymy stopnie zmiennej " X„zgodnie z zasadą mnożenia potęg przy tej samej podstawie, która mówi, że po mnożeniu wykładniki sumują się:
Teraz pomnóżmy moce w»:
;
Oto uproszczone wyrażenie:
;
Każdy jednomian można zredukować do postaci standardowej. Sformułujmy reguła standaryzacji :
Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;
Umieść wynikowy współczynnik na pierwszym miejscu;
Pomnóż wszystkie stopnie, czyli zdobądź część literową;
Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany mające tę samą część literową nazywamy podobnymi.
Teraz musisz zarobić technika redukcji jednomianów do postaci standardowej . Rozważ przykłady z podręcznika:
Zadanie: sprowadzić jednomian do postaci standardowej, podać współczynnik i część literową.
Do wykonania zadania posługujemy się zasadą doprowadzenia jednomianu do postaci standardowej oraz własności stopni.
1. 
;
3. 
;
Komentarze do pierwszego przykładu: Na początek określmy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem, w tym celu sprawdzamy, czy zawiera operacje mnożenia liczb i potęg oraz czy zawiera operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianowe, ponieważ powyższy warunek jest spełniony. Dalej, zgodnie z zasadą sprowadzania jednomianu do postaci standardowej, mnożymy współczynniki liczbowe:
- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;
; ; ; oznacza to, że odbierana jest dosłowna część wyrażenia:;
zapisz odpowiedź: ;
Komentarze do drugiego przykładu: Zgodnie z regułą wykonujemy:
1) pomnóż współczynniki liczbowe:
2) pomnożyć uprawnienia:
Zmienne i są prezentowane w jednym egzemplarzu, to znaczy nie mogą być przez nic mnożone, są przepisywane bez zmian, stopień jest mnożony:
zapisz odpowiedź:
;
W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część dosłowna to .
Komentarze do trzeciego przykładu: a podobnie jak w poprzednich przykładach wykonujemy następujące czynności:
1) pomnóż współczynniki liczbowe:
;
2) pomnożyć uprawnienia:
;
napisz odpowiedź: ;
W tym przypadku współczynnik jednomianu jest równy „”, a część dosłowna 
.
Teraz rozważ druga standardowa operacja na jednomianach . Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych dosłownych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy arytmetykę wyrażenie liczbowe, który należy obliczyć. Tj, następna operacja nad wielomianami to obliczanie ich określonej wartości liczbowej .
Rozważ przykład. Jednomian jest podany:
ten jednomian został już sprowadzony do postaci standardowej, jego współczynnik jest równy jeden, a część dosłowna
Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenie algebraiczne nie zawsze może być obliczone, to znaczy zmienne, które je wprowadzają, mogą nie przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zmienne w nim zawarte mogą być dowolne, jest to cecha jednomianu.
Tak więc w podanym przykładzie należy obliczyć wartość jednomianu dla , , , .
Jednomiany są iloczynami liczb, zmiennych i ich potęg. Liczby, zmienne i ich stopnie są również uważane za jednomiany. Na przykład: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednomian 5aa2b2b można sprowadzić do postaci 20a^2b^2. Ta postać jest nazywana standardową postacią jednomianu. Oznacza to, że standardowa postać jednomianu jest iloczynem współczynnika (który występuje jako pierwszy) i potęgi zmienne. Współczynniki 1 i -1 nie są zapisywane, ale zachowują minus od -1. Jednomian i jego standardowa forma
Wyrażenia 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x są iloczynami liczb, zmiennych i ich potęg. Takie wyrażenia nazywane są jednomianami. Jednomiany są również uważane za liczby, zmienne i ich stopnie.
Na przykład wyrażenia - 8, 35, y i y2 są jednomianami.
Standardowa forma jednomianu jest jednomianem w postaci przede wszystkim iloczynu czynnika liczbowego i potęg różnych zmiennych. Dowolny jednomian można sprowadzić do postaci standardowej, mnożąc wszystkie zawarte w nim zmienne i liczby. Oto przykład sprowadzenia jednomianu do postaci standardowej:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Współczynnik liczbowy jednomianu zapisanego w postaci standardowej nazywany jest współczynnikiem jednomianu. Na przykład współczynnik jednomianu -7x2y2 wynosi -7. Współczynniki jednomianów x3 i -xy są uważane za równe 1 i -1, ponieważ x3 = 1x3 i -xy = -1xy
Stopień jednomianu jest sumą wykładników wszystkich zawartych w nim zmiennych. Jeśli jednomian nie zawiera zmiennych, to znaczy jest liczbą, to jego stopień uważa się za równy zero.
Na przykład stopień jednomianu 8x3yz2 to 6, jednomian 6x to 1, a jednomian -10 to 0.
Mnożenie jednomianów. Podnoszenie jednomianów do potęgi
Przy mnożeniu jednomianu i podnoszeniu jednomianu do potęgi stosuje się zasadę mnożenia potęgi o tej samej podstawie oraz zasadę podniesienia potęgi do potęgi. W tym przypadku uzyskuje się jednomian, który zwykle jest reprezentowany w standardowej formie.
na przykład
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Zauważyliśmy, że każdy jednomian może być doprowadzić do standardowej formy. W tym artykule zrozumiemy, co nazywa się redukcją jednomianu do postaci standardowej, jakie działania pozwalają na przeprowadzenie tego procesu i rozważymy rozwiązania przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.
Nawigacja po stronach.
Wygodnie jest pracować z jednomianami, gdy są zapisane w standardowej formie. Jednak jednomiany są dość często podawane w innej formie niż standardowa. W takich przypadkach zawsze można przejść od pierwotnego jednomianu do standardowej postaci jednomianu, wykonując identyczne przekształcenia. Proces przeprowadzania takich przekształceń nazywa się doprowadzeniem jednomianu do postaci standardowej.
Uogólnijmy powyższe rozumowanie. Doprowadź jednomian do standardowej formy- to znaczy grać z nim takie identyczne przekształcenia aby wyglądał standardowo.
Czas zastanowić się, jak sprowadzić jednomiany do postaci standardowej.
Jak wiadomo z definicji, jednomiany o postaci niestandardowej są iloczynami liczb, zmiennych i ich potęg, ewentualnie powtarzających się. A jednomian postaci standardowej może zawierać w swoim zapisie tylko jedną liczbę i zmienne niepowtarzające się lub ich stopnie. Teraz pozostaje zrozumieć, w jaki sposób produkty pierwszego typu można zredukować do postaci drugiego?
Aby to zrobić, musisz użyć następującego reguła redukcji jednomianu do postaci standardowej składający się z dwóch kroków:
W wyniku zastosowania wskazanej zasady, wszelkie jednomiany zostaną zredukowane do postaci standardowej.
Pozostaje nauczyć się stosować zasadę z poprzedniego akapitu podczas rozwiązywania przykładów.
Przykład.
Doprowadź jednomian 3·x·2·x 2 do standardowej postaci.
Decyzja.
Pogrupujmy czynniki liczbowe i czynniki ze zmienną x . Po zgrupowaniu pierwotny jednomian przyjmie postać (3 2) (x x 2) . Iloczyn liczb z pierwszych nawiasów wynosi 6, a reguła mnożenia potęg o tych samych podstawach pozwala na przedstawienie wyrażenia w drugim nawiasie jako x 1 +2=x 3. W rezultacie otrzymujemy wielomian o postaci standardowej 6·x 3 .
Oto podsumowanie rozwiązania: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.
Odpowiedź:
3x2x2 =6x3.
Tak więc, aby sprowadzić jednomian do standardowej postaci, konieczna jest umiejętność grupowania czynników, mnożenia liczb i pracy z potęgami.
Aby skonsolidować materiał, rozwiążmy jeszcze jeden przykład.
Przykład.
Wyraź jednomian w formie standardowej i podaj jego współczynnik.
Decyzja.
Pierwotny jednomian ma w swoim zapisie pojedynczy współczynnik -1, przenieśmy go na początek. Następnie grupujemy czynniki osobno ze zmienną a , osobno - ze zmienną b , a nie ma z czym grupować zmiennej m, zostaw tak jak jest, mamy 
. Po wykonaniu operacji ze stopniami w nawiasach, jednomian przyjmie standardową postać, której potrzebujemy, skąd widać współczynnik jednomianu równy −1. Minus można zastąpić znakiem minus: .
