Wiedza o tym, jak zmierzyć Ziemię, pojawiła się już w starożytności i stopniowo nabierała kształtu w nauce geometrii. Z język grecki Słowo to jest tłumaczone jako „geodezja”.
Miarą wielkości płaskiego odcinka Ziemi pod względem długości i szerokości jest powierzchnia. W matematyce jest zwykle oznaczany łacińską literą S (od angielskiego „kwadrat” - „obszar”, „kwadrat”) lub grecką literą σ (sigma). S oznacza obszar figury na płaszczyźnie lub powierzchnię ciała, a σ jest obszarem Przekrój przewody w fizyce. Są to główne symbole, chociaż mogą istnieć inne, na przykład w zakresie wytrzymałości materiałów, A jest polem przekroju poprzecznego profilu.
Znając okolicę proste figury, można znaleźć parametry bardziej złożone. Starożytni matematycy opracowali wzory, za pomocą których można je łatwo obliczyć. Takie figury to trójkąt, czworokąt, wielokąt, okrąg.
Aby znaleźć pole złożonej figury płaskiej, dzieli się ją na wiele prostych figur, takich jak trójkąty, trapezy lub prostokąty. Następnie za pomocą metod matematycznych wyprowadza się wzór na pole tej figury. Podobną metodę stosuje się nie tylko w geometrii, ale także w Analiza matematyczna do obliczania pól figur ograniczonych krzywymi.
Zacznijmy od najprostszej figury - trójkąta. Są prostokątne, równoramienne i równoboczne. Weź dowolny trójkąt ABC o bokach AB=a, BC=b i AC=c (∆ ABC). Aby znaleźć jego pole, przypomnijmy sobie twierdzenia o sinusach i cosinusach znane ze szkolnych zajęć z matematyki. Porzucając wszelkie obliczenia, dochodzimy do następujących wzorów:
Niech istnieje czworokąt ABCD z AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Aby znaleźć pole S dowolnego czterokąta, należy podzielić go przez przekątną na dwa trójkąty, których pola S1 i S2 na ogół nie są równe.
Następnie skorzystaj ze wzorów, aby je obliczyć i dodać, czyli S=S1+S2. Jeśli jednak 4-kąt należy do określonej klasy, to jego pole można wyznaczyć korzystając ze znanych wcześniej wzorów:
Aby znaleźć pole n-gonu, matematycy rozkładają go na najprostsze równe figury - trójkąty, znajdują pole każdego z nich, a następnie je dodają. Ale jeśli wielokąt należy do klasy regularnej, użyj wzoru:
S=a n h/2=a² n/=P²/, gdzie n to liczba wierzchołków (lub boków) wielokąta, a to bok n-kąta, P to jego obwód, h to apotem, czyli a odcinek poprowadzony ze środka wielokąta na jeden z jego boków pod kątem 90°.
Okrąg to doskonały wielokąt o nieskończonej liczbie boków. Musimy obliczyć granicę wyrażenia po prawej stronie we wzorze na pole wielokąta o liczbie boków n zmierzającej do nieskończoności. W tym przypadku obwód wielokąta zamieni się w długość okręgu o promieniu R, który będzie granicą naszego okręgu i będzie równy P=2 π R. Podstaw to wyrażenie do powyższego wzoru. Dostaniemy:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Znajdźmy granicę tego wyrażenia jako n → ∞. Aby to zrobić, bierzemy pod uwagę, że lim (cos (180°/n)) dla n → ∞ jest równe cos 0° = 1 (lim jest znakiem granicy), a lim = lim dla n → ∞ wynosi równy 1/π (przeliczyliśmy miarę stopnia na radian, korzystając z relacji π rad=180° i zastosowaliśmy pierwszą niezwykłą granicę graniczną (sin x)/x=1 przy x → ∞). Zastępowanie w ostatnie wyrażenie dla S otrzymane wartości dochodzimy do dobrze znana formuła:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Stosuje się systemowe i niesystemowe jednostki miary. Jednostki systemowe należą do SI (System International). Jest to metr kwadratowy (metr kwadratowy, m²) i wywodzące się z niego jednostki: mm², cm², km².
Na przykład w milimetrach kwadratowych (mm²) mierzona jest powierzchnia przekroju drutów w elektrotechnice, w centymetrach kwadratowych (cm²) - przekrój belki w mechanika konstrukcji, w metrach kwadratowych (m²) - mieszkania lub domy, w kilometrach kwadratowych (km²) - terytoria w geografii.
Czasami jednak stosuje się niesystemowe jednostki miary, takie jak: splot, ar (a), hektar (ha) i akr (ac). Przedstawmy następujące zależności:
Ważne notatki!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, zwróć uwagę przede wszystkim na nasz nawigator przydatne źródło Dla
Zilustrujmy pierwszy sposób.
Załóżmy, że musisz znaleźć obszar takiego trapezu, zbudowanego na kartce papieru w klatce
Po prostu liczymy komórki i widzimy to w naszym przypadku, i. Podstaw do wzoru:
Wydaje się nawet prostokątny i, ale co to jest i co jest równe? Jak się dowiedzieć? Dla pełnej przejrzystości zastosujmy obie metody.
Metoda I
Metoda II (powiem Ci sekret – ta metoda jest lepsza!)
Musimy otoczyć naszą figurę prostokątem. Lubię to:
Rezultatem był jeden (potrzebny) trójkąt wewnątrz i trzy niepotrzebne trójkąty na zewnątrz. Ale obszary tych niepotrzebnych trójkątów można łatwo obliczyć na kartce papieru w kratkę!
Więc je policzymy, a potem po prostu odejmiemy od całego prostokąta.
Dlaczego ta metoda jest lepsza? Ponieważ działa nawet na najbardziej przebiegłe postacie.
Otaczamy go prostokątem i ponownie dostajemy ten, którego potrzebujemy, ale złożony obszar i wiele niepotrzebnych, ale prostych.
Teraz, aby znaleźć obszar, po prostu znajdujemy obszar prostokąta i odejmujemy od niego pozostałą powierzchnię figur na papierze w kratkę.
Algorytm znajdowania obszaru cyfr na papierze w kratkę:
Metoda 1: (wygodna dla standardowych kształtów: trójkąt, trapez itp.)
Metoda 2: (bardzo wygodna w przypadku skomplikowanych figur, ale też niezła w przypadku prostych)
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Aby odnieść sukces zdanie jednolitego egzaminu państwowego, o przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co najważniejsze, na całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Osoby, które otrzymały Dobra edukacja, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.
Podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 5
Symulator do podręcznika I.I. Zubarevy i A.G. Mordkovicha
Symulator do podręcznika G.V. Dorofeeva i L.G. Petersona
Następnie powierzchnia figury wynosi 12 centymetrów kwadratowych. W matematyce obszar oznacza się łacińską literą S.
Oznacza to, że obszar naszej figury wynosi: Kształt S = 12 cm 2.
Pole figury jest równe powierzchni wszystkich małych kwadratów, które ją tworzą!
Chłopaki, pamiętajcie!
Powierzchnię mierzy się w kwadratowych jednostkach długości. Jednostki powierzchni:
1. Kilometr kwadratowy- km 2 (gdy obszary są bardzo duże, np. kraj lub morze).
2. Metr kwadratowy- m2 (całkiem odpowiedni do pomiaru powierzchni działki lub mieszkania).
3. Centymetr kwadratowy - cm 2 (zwykle używany na lekcjach matematyki podczas rysowania cyfr w zeszycie).
4. Milimetr kwadratowy-mm2.
Aby znaleźć obszar trójkąt prostokątny musisz znać długość i wysokość podstawy. W trójkącie prostokątnym wysokość jest zastępowana przez jeden z boków. Dlatego we wzorze na pole trójkąta zamiast wysokości podstawiamy jeden z boków. 
W naszym przykładzie boki mają długość 7 cm i 4 cm. Wzór na obliczenie pola trójkąta jest zapisany w następujący sposób:
S trójkąta prostokątnego ABC = BC * CA: 2
S trójkąta prostokątnego ABC = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2
Rozważmy teraz dowolny trójkąt. 
W przypadku takiego trójkąta musisz narysować wysokość do podstawy.
W naszym przykładzie wysokość wynosi 6 cm, a podstawa 8 cm. Podobnie jak w poprzednim przykładzie obliczamy pole ze wzoru:
S dowolnego trójkąta ABC = BC * h: 2.
Podstawiamy nasze dane do wzoru i otrzymujemy:
S dowolnego trójkąta ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.
Wzór na obliczenie pola prostokąta jest zapisany w następujący sposób:
S prostokąt ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.
Teraz obliczmy pole kwadratu. W przeciwieństwie do prostokąta i trójkąta, aby obliczyć pole kwadratu, wystarczy znać tylko jeden bok. W naszym przykładzie bok kwadratu ABCD wynosi 9 cm. 
S kwadrat ABCD = AB * BC = AB 2.
Podstawiamy nasze dane do wzoru i otrzymujemy:
S kwadrat ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.
Instrukcje
Wygodnie jest działać, jeśli twoja figura jest wielokątem. Zawsze możesz to rozbić na skończoną liczbę, a wystarczy pamiętać tylko o jednym wzorze – polu trójkąta. Zatem trójkąt jest połową iloczynu długości jego boku i długości wysokości poprowadzonej na ten bok. Sumując obszary poszczególnych trójkątów, w które twoją wolą przekształcił się bardziej złożony trójkąt, dowiesz się, jaki jest pożądany wynik.
Trudniej jest rozwiązać problem określenia pola dowolnej figury. Taka figura może mieć nie tylko zakrzywione granice. Istnieją sposoby na wykonanie przybliżonych obliczeń. Prosty.
Najpierw możesz użyć palety. To jest narzędzie z przezroczysty materiał z siatką kwadratów lub trójkątów naniesioną na jego powierzchnię znany obszar. Umieszczając paletę na kształcie, dla którego szukasz obszaru, ponownie obliczasz liczbę jednostek miary, które nakładają się na obraz. Łącz ze sobą niezupełnie zamknięte jednostki miary, uzupełniając je w myślach, aby je uzupełnić. Następnie, mnożąc obszar jednego kształtu palety przez obliczoną liczbę, poznasz przybliżoną powierzchnię dowolnego kształtu. Oczywiste jest, że im gęstsza siatka zostanie nałożona na paletę, tym dokładniejszy będzie wynik.
Po drugie, możesz wyznaczyć maksymalną liczbę trójkątów w granicach dowolnej figury, dla której wyznaczasz obszar. Określ obszar każdego z nich i dodaj ich obszary. To będzie bardzo przybliżony wynik. Jeśli chcesz, możesz także osobno określić obszar segmentów ograniczonych łukami. Aby to zrobić, wyobraź sobie, że segment jest częścią . Skonstruuj ten okrąg, a następnie od jego środka narysuj promienie do krawędzi łuku. Odcinki tworzą między sobą kąt α. Powierzchnię wszystkiego wyznacza π*R^2*α/360. Dla każdej mniejszej części figury określasz obszar i otrzymujesz łączny wynik, dodając otrzymane wartości.
Trzecia metoda jest trudniejsza, ale dokładniejsza i dla niektórych łatwiejsza. Pole dowolnej figury można określić za pomocą całki. Zdefiniowana funkcja pokazuje pole od wykresu funkcji do odciętej. Pole zawarte pomiędzy dwoma wykresami można wyznaczyć, odejmując pewną całkę o mniejszej wartości od całki w tych samych granicach, ale z Świetna cena. Aby skorzystać z tej metody, wygodnie jest przenieść dowolną figurę do układu współrzędnych, a następnie określić ich funkcje i działać metodami wyższej matematyki, w które nie będziemy się tu i teraz zagłębiać.
Istnieje nieskończona liczba figur płaskich różne kształty, zarówno dobre, jak i złe. Własność ogólna wszystkie figury - każda z nich ma pole. Polem figur są wymiary części płaszczyzny zajmowanej przez te figury, wyrażone w określonych jednostkach. Wartość ta jest zawsze wyrażana jako liczba dodatnia. Jednostką miary jest powierzchnia kwadratu, którego bok jest równy jednostce długości (na przykład jeden metr lub jeden centymetr). Przybliżony obszar dowolnej figury można obliczyć, mnożąc liczbę kwadratów jednostkowych, na które jest ona podzielona, przez powierzchnię jednego kwadratu.
Inne definicje tę koncepcję wygląda jak to:
1. Pola figur prostych są wielkościami dodatnimi skalarnymi, które spełniają warunki:
W równych liczbach - równe wartości obszary;
Jeśli figura jest podzielona na części (figury proste), to jej pole jest sumą pól tych figur;
Kwadrat o boku jednostki miary służy jako jednostka powierzchni.
2. Pola figur o skomplikowanych kształtach (wielokąty) są wielkościami dodatnimi o następujących właściwościach:
Równe wielokąty mają te same rozmiary powierzchni;
Jeżeli wielokąt składa się z kilku innych wielokątów, jego pole jest równe sumie pól tego ostatniego. Ta zasada obowiązuje w przypadku niezachodzących na siebie wielokątów.
Jako aksjomat przyjmuje się, że pola figur (wielokątów) są wielkościami dodatnimi.
Definicja pola koła podana jest osobno jako wartość, do której dąży pole danego koła wpisanego w okrąg – mimo że liczba jego boków dąży do nieskończoności.
Obszary figur nieregularny kształt(liczby dowolne) nie mają definicji; określono jedynie metody ich obliczania.
Już w starożytności obliczanie powierzchni było ważnym zadaniem praktycznym przy ustalaniu wielkości działek. Zasady obliczania powierzchni na przestrzeni kilkuset lat zostały sformułowane przez greckich naukowców i przedstawione w Elementach Euklidesa w formie twierdzeń. Co ciekawe, zasady wyznaczania w nich pól figur prostych są takie same jak obecnie. Obliczono obszary o zakrzywionym konturze wykorzystując przejście do granicy.
Obliczanie pól prostego prostokąta lub kwadratu), znane każdemu ze szkoły, jest dość proste. Nie jest nawet konieczne zapamiętywanie treści oznaczenia literowe wzory na pola figur. Wystarczy kilka zapamiętać proste zasady:
2. Pole prostokąta oblicza się, mnożąc jego długość przez szerokość. Konieczne jest, aby długość i szerokość były wyrażone w tych samych jednostkach miary.
3. Obliczamy pole złożonej figury, dzieląc ją na kilka prostych i dodając powstałe obszary.
4. Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty, których pola są równe i równe połowie jego pola.
5. Pole trójkąta oblicza się jako połowę iloczynu jego wysokości i podstawy.
6. Pole koła jest równe iloczynowi kwadratu promienia i dobrze znanej liczby „π”.
7. Pole równoległoboku obliczamy jako iloczyn sąsiednich boków i sinusa kąta leżącego między nimi.
8. Pole rombu to ½ wyniku pomnożenia przekątnych przez sinus kącik wewnętrzny.
9. Znajdź pole trapezu, mnożąc jego wysokość przez długość linia środkowa, która jest równa średniej arytmetycznej podstaw. Inną opcją określenia pola trapezu jest pomnożenie jego przekątnych i sinusa kąta leżącego między nimi.
Dzieci w Szkoła Podstawowa Dla przejrzystości często podaje się zadania: znajdź obszar figury narysowanej na papierze za pomocą palety lub arkusza przezroczystego papieru podzielonego na kwadraty. Taką kartkę papieru kładzie się na mierzonej figurze, liczy się liczbę pełnych komórek (jednostek powierzchni), które mieszczą się w jej obrysie, a następnie liczbę niekompletnych, którą dzieli się na pół.
