Do tej pory rozważaliśmy równania prostych na płaszczyźnie, które bezpośrednio odnoszą się do aktualnych współrzędnych punktów tych prostych. Jednak często stosuje się inny sposób określania linii, w którym aktualne współrzędne są traktowane jako funkcje trzeciej zmiennej.
Niech będą dane dwie funkcje zmiennej
rozważane dla tych samych wartości t. Wtedy każda z tych wartości t odpowiada pewnej wartości i pewnej wartości y, a co za tym idzie, do pewnego punktu. Gdy zmienna t przebiega przez wszystkie wartości z dziedziny funkcji (73), punkt opisuje na płaszczyźnie pewną prostą C. Równania (73) nazywane są równaniami parametrycznymi tej prostej, a zmienną parametrem.
Załóżmy, że funkcja ma funkcję odwrotną Podstawiając tę funkcję do drugiego z równań (73), otrzymujemy równanie
wyrażając y jako funkcję
Przyjmijmy, że funkcja ta jest dana parametrycznie przez równania (73). Przejście od tych równań do równania (74) nazywamy eliminacją parametru. W przypadku funkcji zdefiniowanych parametrycznie wykluczenie parametru nie tylko nie jest konieczne, ale również nie zawsze jest praktycznie możliwe.
W wielu przypadkach o wiele wygodniej jest zapytać różne znaczenia parametr, a następnie za pomocą wzorów (73) obliczyć odpowiednie wartości argumentu i funkcji y.
Rozważ przykłady.
Przykład 1. Niech będzie dowolnym punktem okręgu o środku w początku i promieniu R. Współrzędne kartezjańskie x i y tego punktu są wyrażone jako jego promień biegunowy i kąt biegunowy, które oznaczamy tutaj przez t, jak następuje ( patrz rozdz. I, § 3, pkt 3):
Równania (75) nazywane są parametrycznymi równaniami okręgu. Parametrem w nich jest kąt biegunowy, który zmienia się od 0 do.
Jeżeli równania (75) podniesiemy do kwadratu i dodamy wyraz po wyrazie, to ze względu na identyczność parametr zostanie wyeliminowany i otrzymamy równanie okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych, które wyznacza dwie podstawowe funkcje:
Każda z tych funkcji jest określona parametrycznie za pomocą równań (75), ale zakresy zmienności parametrów dla tych funkcji są różne. Dla pierwszego; wykresem tej funkcji jest górne półkole. Dla drugiej funkcji jej wykresem jest dolne półkole.
Przykład 2. Rozważmy jednocześnie elipsę
oraz okrąg wyśrodkowany w początku i promieniu a (ryc. 138).
Do każdego punktu M elipsy przypisujemy punkt N okręgu, który ma taką samą odciętą jak punkt M i znajduje się z nim po tej samej stronie osi Ox. Położenie punktu N, a tym samym punktu M, jest całkowicie określone przez kąt biegunowy punktu t. W tym przypadku dla ich wspólnej odciętej otrzymujemy następujące wyrażenie: x \u003d a. Znajdujemy rzędną w punkcie M z równania elipsy:
Znak jest wybrany, ponieważ rzędna w punkcie M i rzędna w punkcie N muszą mieć te same znaki.
W ten sposób otrzymuje się następujące równania parametryczne dla elipsy:
Tutaj parametr t zmienia się z 0 na .
Przykład 3. Rozważmy okrąg ze środkiem w punkcie a) i promieniem a, który oczywiście dotyka osi x w początku (ryc. 139). Załóżmy, że to koło toczy się bez poślizgu wzdłuż osi x. Wtedy punkt M okręgu, który pokrywał się w początkowej chwili z początkiem, opisuje linię, którą nazywamy cykloidą.
Wyprowadzamy równania parametryczne cykloidy, przyjmując jako parametr t kąt obrotu koła MSW podczas przemieszczania jego punktu stałego z położenia O do położenia M. Wówczas dla współrzędnych i y punktu M otrzymujemy następujące wyrażenia:
Ponieważ okrąg toczy się po osi bez poślizgu, długość odcinka OB jest równa długości łuku VM. Ponieważ długość łuku VM jest równa iloczynowi promienia a i kąta środkowego t, to . Dlatego . ale dlatego
Te równania są równaniami parametrycznymi cykloidy. Przy zmianie parametru t z 0 na okrąg wykona jeden pełny obrót. Punkt M będzie opisywał jeden łuk cykloidy.
Wyłączenie parametru t prowadzi tutaj do kłopotliwych wyrażeń i jest praktycznie niepraktyczne.
Parametryczna definicja linii jest szczególnie często stosowana w mechanice, a czas pełni rolę parametru.
Przykład 4. Wyznacz trajektorię pocisku wystrzelonego z działa prędkość początkowa pod kątem a do horyzontu. Opór powietrza i rozmiar pocisku, z uwzględnieniem tego materialny punkt, zaniedbujemy.
Wybierzmy układ współrzędnych. Jako początek współrzędnych przyjmujemy punkt wyjścia pocisku z lufy. Skierujmy oś Ox poziomo, a oś Oy pionowo, ustawiając je w tej samej płaszczyźnie co lufa pistoletu. Gdyby nie było mocy powaga, to pocisk poruszałby się po linii prostej tworzącej kąt a z osią Ox i do czasu t przebyłby tor.. Współrzędne pocisku w chwili t byłyby odpowiednio równe: . Ze względu na grawitację ziemi pocisk musi w tym momencie opaść pionowo o pewną wartość, dlatego w rzeczywistości w chwili t współrzędne pocisku określają wzory:
Te równania są stałymi. Gdy zmienia się t, zmieniają się również współrzędne punktu trajektorii pocisku. Równania te są równaniami parametrycznymi trajektorii pocisku, w których parametrem jest czas
Wyrażanie z pierwszego równania i podstawienie go do
z drugiego równania otrzymujemy równanie trajektorii pocisku w postaci To jest równanie paraboli.
Nie przeciążaj się, w tym akapicie też wszystko jest dość proste. Można napisać ogólna formuła parametrycznie zdefiniowaną funkcję, ale dla jasności zaraz zapiszę konkretny przykład. W postaci parametrycznej funkcja jest dana dwoma równaniami: . Często równania są zapisywane nie w nawiasach klamrowych, ale sekwencyjnie:,.
Zmienna nazywana jest parametrem i może przyjmować wartości od „minus nieskończoność” do „plus nieskończoność”. Rozważmy na przykład wartość i podstawmy ją do obu równań: 
. Lub po ludzku: „jeśli x jest równe cztery, to y jest równe jeden”. Możesz zaznaczyć punkt na płaszczyźnie współrzędnych, a ten punkt będzie odpowiadał wartości parametru. Podobnie można znaleźć punkt dla dowolnej wartości parametru „te”. Jeśli chodzi o funkcję „zwykłą”, to dla Indian amerykańskich o funkcji danej parametrycznie wszystkie prawa są również przestrzegane: można wykreślić wykres, znaleźć pochodne i tak dalej. Nawiasem mówiąc, jeśli istnieje potrzeba zbudowania wykresu funkcji danej parametrycznie, pobierz mój program geometryczny na stronie Wzory i tablice matematyczne.
W najprostszych przypadkach możliwe jest jawne przedstawienie funkcji. Wyrażamy parametr z pierwszego równania: 
i podstawiamy to do drugiego równania: 
. Wynikiem jest zwykła funkcja sześcienna.
W bardziej „poważnych” przypadkach taka sztuczka nie działa. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ istnieje wzór na znalezienie pochodnej funkcji parametrycznej:
Znajdujemy pochodną „gracza względem zmiennej te”:
Wszystkie reguły różniczkowania i tablica pochodnych obowiązują oczywiście dla litery , stąd nie ma nowości w procesie znajdowania pochodnych. Po prostu mentalnie zastąp wszystkie „x” w tabeli literą „te”.
Znajdujemy pochodną „x względem zmiennej te”: 
Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione pochodne do naszego wzoru: 
Gotowy. Pochodna, podobnie jak sama funkcja, zależy również od parametru .
Co do zapisu, to zamiast pisać we wzorze, można by go po prostu zapisać bez indeksu dolnego, bo to jest „zwykła” pochodna „po x”. Ale w literaturze zawsze jest wariant, więc nie będę odbiegać od standardu.
Przykład 6
Korzystamy ze wzoru
W ta sprawa:
Zatem: 
Cechą znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej jest fakt, że na każdym etapie korzystne jest maksymalne uproszczenie wyniku. Tak więc w rozważanym przykładzie podczas wyszukiwania otworzyłem nawiasy pod korzeniem (chociaż mogłem tego nie zrobić). Istnieje duża szansa, że podstawiając i wprowadzając do wzoru, wiele rzeczy zostanie dobrze zredukowanych. Chociaż są oczywiście przykłady z niezdarnymi odpowiedziami.
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji podanej parametrycznie 
To jest przykład dla niezależne rozwiązanie.
W artykule pierwotniaki typowe zadania z pochodną rozważyliśmy przykłady, w których wymagane było znalezienie drugiej pochodnej funkcji. Dla funkcji danej parametrycznie można również znaleźć drugą pochodną, a można ją znaleźć za pomocą następującego wzoru: . Jest całkiem oczywiste, że aby znaleźć drugą pochodną, należy najpierw znaleźć pierwszą pochodną.
Przykład 8
Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie
Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną.
Korzystamy ze wzoru
W tym przypadku: 
Podstawia znalezione pochodne do wzoru. Dla uproszczenia używamy wzoru trygonometrycznego: 
Zauważyłem, że w problemie znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej dość często, aby uprościć, trzeba użyć wzory trygonometryczne . Zapamiętaj je lub miej je pod ręką i nie przegap okazji, aby uprościć każdy wynik pośredni i odpowiedzi. Po co? Teraz musimy wziąć pochodną z , a to jest wyraźnie lepsze niż znalezienie pochodnej z .
Znajdźmy drugą pochodną.
Korzystamy ze wzoru: .
Spójrzmy na naszą formułę. Mianownik został już znaleziony w poprzednim kroku. Pozostaje znaleźć licznik - pochodną pierwszej pochodnej względem zmiennej „te”:
Pozostaje skorzystać ze wzoru: 
Aby skonsolidować materiał, oferuję jeszcze kilka przykładów niezależnego rozwiązania.
Przykład 9
Przykład 10
Znajdź i dla funkcji zdefiniowanej parametrycznie 
Życzę Ci sukcesu!
Mam nadzieję, że ta lekcja była przydatna i teraz możesz łatwo znaleźć pochodne funkcji niejawnych i funkcji parametrycznych
Rozwiązania i odpowiedzi:
Przykład 3: Rozwiązanie:
Zatem:
Wzór na pochodną funkcji zdefiniowanej parametrycznie. Dowód i przykłady zastosowania tej formuły. Przykłady obliczania pochodnych pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu.
Niech funkcja będzie dana w sposób parametryczny:
(1)
gdzie jest jakaś zmienna zwana parametrem. I niech funkcje i mają pochodne przy pewnej wartości zmiennej . Ponadto funkcja ma również funkcję odwrotną w pewnym sąsiedztwie punktu . Wtedy funkcja (1) ma pochodną w punkcie, który w postaci parametrycznej wyznaczają wzory:
(2)
Tutaj i są pochodnymi funkcji i względem zmiennej (parametru). Często są one pisane w następującej formie:
;
.
Wówczas układ (2) można zapisać w następujący sposób:
Pod warunkiem, że funkcja ma funkcję odwrotną. Oznaczmy to jako
.
Wtedy pierwotną funkcję można przedstawić jako funkcję zespoloną:
.
Znajdźmy jej pochodną, stosując zasady różniczkowania funkcji zespolonych i odwrotnych:
.
Reguła została udowodniona.
Znajdźmy pochodną w drugi sposób, opierając się na definicji pochodnej funkcji w punkcie :
.
Wprowadźmy notację:
.
Wówczas poprzedni wzór przyjmuje postać:
.
Wykorzystajmy fakt, że funkcja ma funkcję odwrotną w pobliżu punktu.
Wprowadźmy notację:
;
;
;
.
Podziel licznik i mianownik ułamka przez:
.
Na , . Następnie
.
Reguła została udowodniona.
Aby znaleźć pochodne wyższych rzędów, konieczne jest kilkukrotne wykonanie różniczkowania. Załóżmy, że musimy znaleźć drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie, o postaci:
(1)
Zgodnie ze wzorem (2) znajdujemy pierwszą pochodną, która jest również wyznaczana parametrycznie:
(2)
Oznacz pierwszą pochodną za pomocą zmiennej:
.
Następnie, aby znaleźć drugą pochodną funkcji względem zmiennej , musisz znaleźć pierwszą pochodną funkcji względem zmiennej . Zależność zmiennej od zmiennej jest również określana w sposób parametryczny:
(3)
Porównując (3) ze wzorami (1) i (2), znajdujemy:
Teraz wyraźmy wynik w kategoriach funkcji i . Aby to zrobić, zastępujemy i stosujemy formuła ułamkowa :
.
Następnie
.
Stąd otrzymujemy drugą pochodną funkcji względem zmiennej: 
Jest on również podany w postaci parametrycznej. Zauważ, że pierwszy wiersz można również zapisać w następujący sposób:
.
Kontynuując proces, możliwe jest uzyskanie pochodnych funkcji ze zmiennej trzeciego i wyższych rzędów.
Zauważ, że można nie wprowadzać oznaczenia pochodnej. Można to zapisać tak:
;
.
Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób parametryczny:
Znajdujemy pochodne i względem .
Z tablice pochodne znaleźliśmy:
;
.
Stosujemy:
.
Tutaj .
.
Tutaj .
Pożądana pochodna:
.
Znajdź pochodną funkcji wyrażoną przez parametr:
Rozwińmy nawiasy, używając wzorów na funkcje potęgowe i pierwiastki :
.
Znajdujemy pochodną:
.
Znajdujemy pochodną. W tym celu wprowadzamy zmienną i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.
Znajdujemy pożądaną pochodną:
.
Znajdź drugą i trzecią pochodną funkcji podanej parametrycznie w przykładzie 1:
W przykładzie 1 znaleźliśmy pochodną pierwszego rzędu:
Wprowadźmy notację . Wtedy funkcja jest pochodną względem . Jest on ustawiony parametrycznie:
Aby znaleźć drugą pochodną względem , musimy znaleźć pierwszą pochodną względem .
Rozróżniamy ze względu na.
.
Znaleźliśmy pochodną w przykładzie 1:
.
Pochodna drugiego rzędu względem jest równa pochodnej pierwszego rzędu względem:
.
Znaleźliśmy więc pochodną drugiego rzędu względem postaci parametrycznej:
Teraz znajdujemy pochodną trzeciego rzędu. Wprowadźmy notację . Następnie musimy znaleźć pierwszą pochodną funkcji , która jest dana w sposób parametryczny:
Znajdujemy pochodną względem . Aby to zrobić, przepisujemy w równoważnej formie:
.
Z
.
Pochodna trzeciego rzędu względem jest równa pochodnej pierwszego rzędu względem:
.
Można nie wprowadzać zmiennych i , które są odpowiednio pochodnymi i . Wtedy możesz napisać to tak:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
W reprezentacji parametrycznej pochodna drugiego rzędu ma następny widok:
Pochodna trzeciego rzędu:
W tym artykule rozważymy dwa bardziej typowe zadania, które często występują w praca kontrolna w wyższej matematyce. Do pomyślnego opanowania materiału niezbędna jest umiejętność znajdowania pochodnych przynajmniej na średnim poziomie. Możesz nauczyć się znajdować pochodne prawie od zera na dwóch podstawowe lekcje I Pochodna funkcji zespolonej. Jeśli wszystko jest w porządku z umiejętnościami różnicowania, to chodźmy.
Lub, w skrócie, pochodna funkcji domniemanej. Co to jest funkcja ukryta? Przypomnijmy sobie najpierw samą definicję funkcji jednej zmiennej:
Funkcja jednej zmiennej jest regułą, że każdej wartości zmiennej niezależnej odpowiada jedna i tylko jedna wartość funkcji.
Zmienna jest wywoływana zmienna niezależna Lub argument.
Zmienna jest wywoływana zmienna zależna Lub funkcjonować
.
Do tej pory rozważaliśmy funkcje zdefiniowane w wyraźny formularz. Co to znaczy? Umówmy się na odprawę na konkretnych przykładach.
Rozważ funkcję 
Widzimy, że po lewej stronie mamy samotne „y”, a po prawej - tylko x. Czyli funkcja wyraźnie wyrażone jako zmienna niezależna .
Rozważmy inną funkcję:
Tutaj zmienne i znajdują się „mieszane”. I niemożliwe w żaden sposób wyrazić „Y” tylko przez „X”. Jakie są te metody? Przenoszenie wyrazów z części na część ze zmianą znaku, braniem w nawiasy, rzucaniem czynników zgodnie z zasadą proporcji itp. Przepisz równość i spróbuj wyrazić „y” jawnie:. Możesz przekręcać i obracać równanie godzinami, ale nie odniesiesz sukcesu.
Pozwólcie, że przedstawię: - przykład funkcja niejawna.
W toku analizy matematycznej udowodniono, że funkcja ukryta istnieje(ale nie zawsze), ma wykres (tak jak „normalna” funkcja). To samo dotyczy funkcji niejawnej. istnieje pierwsza pochodna, druga pochodna itd. Jak mówią, wszystkie prawa mniejszości seksualnych są respektowane.
W tej lekcji nauczymy się, jak znaleźć pochodną funkcji podanej implicite. To nie jest takie trudne! Wszystkie reguły różniczkowania, tablica pochodnych funkcje elementarne pozostać w mocy. Różnica polega na jednym szczególnym punkcie, który rozważymy teraz.
Tak, dam ci znać dobre wieści- zadania omówione poniżej są wykonywane według dość sztywnego i przejrzystego algorytmu bez kamienia przed trzema torami.
Przykład 1
1) W pierwszym etapie zawieszamy pociągnięcia na obu częściach:
2) Korzystamy z zasad liniowości pochodnej (dwie pierwsze zasady lekcji Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań):
3) Bezpośrednie różniczkowanie.
Jak odróżnić i całkowicie zrozumiałe. Co robić tam, gdzie pod kreską są „gry”?
- tylko po to, żeby znieważyć, pochodna funkcji jest równa jej pochodnej: .
Jak odróżnić
Mamy tutaj złożona funkcja. Dlaczego? Wydaje się, że pod sinusem jest tylko jedna litera „Y”. Ale faktem jest, że tylko jedna litera "y" - JEST FUNKCJĄ SAMĄ SAMĄ(patrz definicja na początku lekcji). Więc sinus jest funkcja zewnętrzna, jest funkcją wewnętrzną. Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej 
:
Produkt jest różniczkowalny względem zwykła zasada 
:
Zauważ, że jest to również funkcja złożona, każda „przekręcana zabawka” jest złożoną funkcją:
Projekt samego rozwiązania powinien wyglądać mniej więcej tak:
Jeśli są nawiasy, otwórz je:
4) Po lewej stronie zbieramy terminy, w których występuje „y” z kreską. Po prawej stronie - przenosimy wszystko inne:
5) Po lewej stronie wyjmujemy pochodną z nawiasów:
6) I zgodnie z zasadą proporcji wrzucamy te nawiasy do mianownika po prawej stronie:
Pochodna została znaleziona. Gotowy.
Warto zauważyć, że każdą funkcję można przepisać niejawnie. Na przykład funkcja 
można przepisać tak: 
. I rozróżnij to zgodnie z właśnie rozważanym algorytmem. W rzeczywistości wyrażenia „funkcja ukryta” i „funkcja ukryta” różnią się jednym semantycznym niuansem. Wyrażenie „niejawnie zdefiniowana funkcja” jest bardziej ogólne i poprawne, 
- ta funkcja jest podana implicite, ale tutaj możesz wyrazić "y" i przedstawić funkcję jawnie. Wyrażenie „funkcja ukryta” oznacza „klasyczną” funkcję ukrytą, gdy nie można wyrazić „y”.
Drugi sposób rozwiązania
Uwaga! Możesz zapoznać się z drugą metodą tylko wtedy, gdy wiesz, jak pewnie znaleźć pochodne cząstkowe. Początkujący i maniacy rachunku różniczkowego nie czytaj i pomiń ten akapit, inaczej głowa będzie kompletnym bałaganem.
Znajdź pochodną funkcji uwikłanej w drugi sposób.
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
I rozważ funkcję dwóch zmiennych:
Wtedy naszą pochodną można znaleźć według wzoru
Znajdźmy pochodne cząstkowe:
Zatem:
Drugie rozwiązanie pozwala na wykonanie sprawdzenia. Ale niepożądane jest sporządzenie dla niego ostatecznej wersji zadania, ponieważ pochodne cząstkowe są opanowywane później, a student studiujący temat „Pochodna funkcji jednej zmiennej” nie powinien znać pochodnych cząstkowych.
Przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji podanej implicite
Zawieszamy pociągnięcia na obu częściach:
Korzystamy z reguł liniowości:
Znajdowanie pochodnych:
Rozwinięcie wszystkich nawiasów:
Przenosimy wszystkie terminy na lewą stronę, resztę na prawą stronę:
Ostatnia odpowiedź: 
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji podanej implicite 
Pełne rozwiązanie i próbka projektu na końcu lekcji.
Nierzadko zdarza się, że ułamki pojawiają się po zróżnicowaniu. W takich przypadkach ułamki należy odrzucić. Przyjrzyjmy się jeszcze dwóm przykładom.
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji podanej implicite 
Kończymy obie części kreskami i stosujemy zasadę liniowości: 
Różniczkujemy korzystając z zasady różniczkowania funkcji zespolonej 
i reguła różniczkowania ilorazu 
:
Rozszerzanie nawiasów: 
Teraz musimy pozbyć się ułamka. Można to zrobić później, ale bardziej racjonalnie jest zrobić to od razu. Mianownik ułamka to . Zwielokrotniać NA . W szczegółach będzie to wyglądać tak:
Czasami po zróżnicowaniu pojawiają się 2-3 frakcje. Gdybyśmy mieli np. jeszcze jeden ułamek, to operację trzeba by powtórzyć - pomnożyć każdy termin każdej części NA
Po lewej stronie umieszczamy to w nawiasach:
Ostatnia odpowiedź: 
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji podanej implicite
To jest przykład zrób to sam. Jedyna rzecz w nim, zanim pozbędziesz się frakcji, najpierw musisz pozbyć się trzypiętrowej struktury samej frakcji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Nie przeciążaj się, w tym akapicie też wszystko jest dość proste. Ogólny wzór funkcji danej parametrycznie można zapisać, ale żeby było to jasne, od razu zapiszę konkretny przykład. W postaci parametrycznej funkcja jest dana dwoma równaniami: . Często równania są zapisywane nie w nawiasach klamrowych, ale sekwencyjnie:,.
Zmienna nazywana jest parametrem i może przyjmować wartości od „minus nieskończoność” do „plus nieskończoność”. Rozważmy na przykład wartość i podstawmy ją do obu równań: 
. Lub po ludzku: „jeśli x jest równe cztery, to y jest równe jeden”. Możesz zaznaczyć punkt na płaszczyźnie współrzędnych, a ten punkt będzie odpowiadał wartości parametru. Podobnie można znaleźć punkt dla dowolnej wartości parametru „te”. Jeśli chodzi o funkcję „zwykłą”, to dla Indian amerykańskich o funkcji danej parametrycznie wszystkie prawa są również przestrzegane: można wykreślić wykres, znaleźć pochodne i tak dalej. Nawiasem mówiąc, jeśli istnieje potrzeba zbudowania wykresu funkcji danej parametrycznie, możesz skorzystać z mojego programu.
W najprostszych przypadkach możliwe jest jawne przedstawienie funkcji. Wyrażamy parametr z pierwszego równania: 
i podstawiamy to do drugiego równania: 
. Wynikiem jest zwykła funkcja sześcienna.
W bardziej „poważnych” przypadkach taka sztuczka nie działa. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ istnieje wzór na znalezienie pochodnej funkcji parametrycznej:
Znajdujemy pochodną „gracza względem zmiennej te”:
Wszystkie reguły różniczkowania i tablica pochodnych obowiązują oczywiście dla litery , stąd nie ma nowości w procesie znajdowania pochodnych. Po prostu mentalnie zastąp wszystkie „x” w tabeli literą „te”.
Znajdujemy pochodną „x względem zmiennej te”: 
Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione pochodne do naszego wzoru: 
Gotowy. Pochodna, podobnie jak sama funkcja, zależy również od parametru .
Co do zapisu, to zamiast pisać we wzorze, można by go po prostu zapisać bez indeksu dolnego, bo to jest „zwykła” pochodna „po x”. Ale w literaturze zawsze jest wariant, więc nie będę odbiegać od standardu.
Przykład 6
Korzystamy ze wzoru
W tym przypadku:
Zatem: 
Cechą znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej jest fakt, że na każdym etapie korzystne jest maksymalne uproszczenie wyniku. Tak więc w rozważanym przykładzie podczas wyszukiwania otworzyłem nawiasy pod korzeniem (chociaż mogłem tego nie zrobić). Istnieje duża szansa, że podstawiając i wprowadzając do wzoru, wiele rzeczy zostanie dobrze zredukowanych. Chociaż są oczywiście przykłady z niezdarnymi odpowiedziami.
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji podanej parametrycznie 
To jest przykład zrób to sam.
W artykule Najprostsze typowe problemy z pochodną rozważyliśmy przykłady, w których wymagane było znalezienie drugiej pochodnej funkcji. Dla funkcji danej parametrycznie można również znaleźć drugą pochodną, a można ją znaleźć za pomocą następującego wzoru: . Jest całkiem oczywiste, że aby znaleźć drugą pochodną, należy najpierw znaleźć pierwszą pochodną.
Przykład 8
Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie
Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną.
Korzystamy ze wzoru
W tym przypadku: 
Podstawiamy znalezione pochodne do wzoru. Dla uproszczenia używamy wzoru trygonometrycznego: 
