Rozważmy dwie równości:
1. za 12 * za 3 = za 7 * za 8
Ta równość będzie obowiązywać dla dowolnych wartości zmiennej a. Zakresem dopuszczalnych wartości dla tej równości będzie cały zbiór liczb rzeczywistych.
2. za 12: za 3 = za 2 * za 7 .
Ta nierówność będzie prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennej a, z wyjątkiem równej zero. Zakresem dopuszczalnych wartości dla tej nierówności będzie cały zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera.
Dla każdej z tych równości można argumentować, że będzie ona prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych a. Takie równości w matematyce nazywane są tożsamości.
Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych. Jeśli zamiast zmiennych podstawisz do tej równości jakiekolwiek prawidłowe wartości, powinieneś otrzymać poprawną równość liczbową.
Warto zauważyć, że prawdziwe równości liczbowe są także tożsamościami. Tożsamościami będą na przykład właściwości działań na liczbach.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + do;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Jeśli dwa wyrażenia dla dowolnych dopuszczalnych zmiennych są odpowiednio równe, wówczas wywoływane są takie wyrażenia identycznie równe. Poniżej znajduje się kilka przykładów identycznie równych wyrażeń:
1. (a 2) 4 i a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) i -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 * x 8)/x) i x 10.
Zawsze możemy zastąpić jedno wyrażenie dowolnym innym wyrażeniem identycznym z pierwszym. Taka wymiana będzie transformacją tożsamości.
Przykład 1: czy następujące równości są identyczne:
1. za + 5 = 5 + za;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Nie wszystkie wyrażenia przedstawione powyżej będą tożsamościami. Spośród tych równości tylko 1, 2 i 3 równości są tożsamościami. Bez względu na to, jakie liczby w nich podstawimy, zamiast zmiennych a i b i tak otrzymamy prawidłowe równości liczbowe.
Ale 4 równość nie jest już tożsamością. Ponieważ ta równość nie będzie obowiązywać dla wszystkich prawidłowych wartości. Na przykład przy wartościach a = 5 i b = 2 uzyskany zostanie następujący wynik:
Ta równość nie jest prawdziwa, ponieważ liczba 3 nie jest równa liczbie -3.
Po zdobyciu pojęcia o tożsamości logiczne jest przejście do zapoznania się z nią. W tym artykule odpowiemy na pytanie, czym są wyrażenia identycznie równe, a także posłużymy się przykładami, aby zrozumieć, które wyrażenia są identycznie równe, a które nie.
Nawigacja strony.
Definicja identycznie równych wyrażeń podana jest równolegle z definicją tożsamości. Dzieje się to na zajęciach z algebry w siódmej klasie. W podręczniku algebry dla 7. klasy autora Yu N. Makarycheva podano następujące sformułowanie:
Definicja.
– są to wyrażenia, których wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych w nich zawartych. Wyrażenia numeryczne na które odpowiadają te same wartości, zwane także identycznie równymi.
Ta definicja jest używana do klasy 8; dotyczy wyrażeń całkowitych, ponieważ ma sens dla dowolnych wartości zawartych w nich zmiennych. A w klasie 8 wyjaśniono definicję identycznie równych wyrażeń. Wyjaśnijmy z czym to się wiąże.
W ósmej klasie rozpoczyna się nauka innych typów wyrażeń, które w przeciwieństwie do całych wyrażeń mogą nie mieć sensu w przypadku niektórych wartości zmiennych. Zmusza to do wprowadzenia definicji dopuszczalnych i niedopuszczalnych wartości zmiennych, a także zakresu dopuszczalnych wartości wartości zmiennej zmiennej i w konsekwencji doprecyzowania definicji identycznie równych wyrażeń.
Definicja.
Wywoływane są dwa wyrażenia, których wartości są równe dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w nich zmiennych identycznie równe wyrażenia. Dwa wyrażenia liczbowe o tych samych wartościach nazywane są również identycznie równymi.
W tej definicji identycznie równych wyrażeń warto wyjaśnić znaczenie wyrażenia „dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w nich zmiennych”. Oznacza wszystkie takie wartości zmiennych, dla których oba identyczne wyrażenia mają sens jednocześnie. Wyjaśnimy tę ideę w następnym akapicie, patrząc na przykłady.
Definicja identycznie równych wyrażeń w podręczniku A. G. Mordkovicha jest podana nieco inaczej:
Definicja.
Identycznie równe wyrażenia– są to wyrażenia znajdujące się po lewej i prawej stronie tożsamości.
Znaczenie tej i poprzednich definicji jest zbieżne.
Definicje wprowadzone w poprzednim akapicie pozwalają nam podawać przykłady identycznie równych wyrażeń.
Zacznijmy od identycznie równych wyrażeń liczbowych. Wyrażenia liczbowe 1+2 i 2+1 są identycznie równe, ponieważ odpowiadają równym wartościom 3 i 3. Wyrażenia 5 i 30:6 są również identycznie równe, podobnie jak wyrażenia (2 2) 3 i 2 6 (wartości tych ostatnich wyrażeń są równe na mocy ). Ale wyrażenia liczbowe 3+2 i 3-2 nie są identycznie równe, ponieważ odpowiadają odpowiednio wartościom 5 i 1 i nie są równe.
Podajmy teraz przykłady identycznie równych wyrażeń ze zmiennymi. Są to wyrażenia a+b i b+a. Rzeczywiście, dla dowolnych wartości zmiennych a i b zapisane wyrażenia przyjmują te same wartości (jak wynika z liczb). Na przykład, gdy a=1 i b=2 mamy a+b=1+2=3 i b+a=2+1=3 . Dla dowolnych innych wartości zmiennych a i b otrzymamy również równe wartości tych wyrażeń. Wyrażenia 0·x·y·z i 0 są również identycznie równe dla dowolnych wartości zmiennych x, yiz. Ale wyrażenia 2 x i 3 x nie są jednakowo równe, ponieważ na przykład, gdy x=1, ich wartości nie są równe. Rzeczywiście, dla x=1 wyrażenie 2·x jest równe 2,1=2, a wyrażenie 3·x jest równe 3,1=3.
Gdy zakresy dopuszczalnych wartości zmiennych w wyrażeniach pokrywają się, jak na przykład w wyrażeniach a+1 i 1+a, lub a·b·0 i 0, lub i, oraz wartości tych wyrażeń są równe dla wszystkich wartości zmiennych z tych obszarów, to tutaj wszystko jest jasne - wyrażenia te są jednakowo równe dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych w nich zawartych. Zatem a+1≡1+a dla dowolnego a, wyrażenia a·b·0 i 0 są identycznie równe dla dowolnych wartości zmiennych a i b, a wyrażenia i są identycznie równe dla wszystkich x z ; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Po tym jak uporaliśmy się z pojęciem tożsamości, możemy przejść do badania identycznie równych wyrażeń. Celem tego artykułu jest wyjaśnienie, na czym polega i pokazanie na przykładach, które wyrażenia będą identycznie równe innym.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pojęcie identycznie równych wyrażeń jest zwykle studiowane łącznie z samą koncepcją tożsamości w ramach szkolnego kursu algebry. Oto podstawowa definicja zaczerpnięta z jednego podręcznika:
Definicja 1
Identycznie równe między sobą będą takie wyrażenia, których wartości będą takie same dla wszelkich możliwych wartości zmiennych wchodzących w ich skład.
Również te wyrażenia liczbowe, którym będą odpowiadać te same wartości, są uważane za identyczne.
Jest to dość szeroka definicja, która będzie prawdziwa dla wszystkich wyrażeń całkowitych, których znaczenie nie zmienia się wraz ze zmianą wartości zmiennych. Jednak później trzeba to wyjaśnić tę definicję, ponieważ oprócz liczb całkowitych istnieją inne typy wyrażeń, które nie będą miały sensu, biorąc pod uwagę pewne zmienne. Rodzi to pojęcie dopuszczalności i niedopuszczalności pewnych wartości zmiennych, a także konieczność określenia zakresu wartości dopuszczalnych. Sformułujmy wyrafinowaną definicję.
Definicja 2
Identycznie równe wyrażenia– są to wyrażenia, których wartości są sobie równe dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych wchodzących w ich skład. Wyrażenia liczbowe będą sobie jednakowo równe pod warunkiem, że będą miały te same wartości.
Wyrażenie „dla dowolnych prawidłowych wartości zmiennych” wskazuje wszystkie te wartości zmiennych, dla których oba wyrażenia będą miały sens. Wyjaśnimy tę kwestię później, gdy podamy przykłady identycznie równych wyrażeń.
Możesz także podać następującą definicję:
Definicja 3
Identycznie równe wyrażenia to wyrażenia znajdujące się w tej samej tożsamości po lewej i prawej stronie.
Korzystając z definicji podanych powyżej, spójrzmy na kilka przykładów takich wyrażeń.
Zacznijmy od wyrażeń numerycznych.
Przykład 1
Zatem 2 + 4 i 4 + 2 będą sobie identyczne, ponieważ ich wyniki będą równe (6 i 6).
Przykład 2
W ten sam sposób wyrażenia 3 i 30 są identyczne: 10, (2 2) 3 i 2 6 (aby obliczyć wartość ostatnie wyrażenia musisz znać właściwości stopnia).
Przykład 3
Ale wyrażenia 4 - 2 i 9 - 1 nie będą równe, ponieważ ich wartości są różne.
Przejdźmy do przykładów wyrażenia dosłowne. a + b i b + a będą identycznie równe i nie zależy to od wartości zmiennych (równość wyrażeń w w tym przypadku określona przez przemienną właściwość dodawania).
Przykład 4
Na przykład, jeśli a jest równe 4, a b jest równe 5, wówczas wyniki będą nadal takie same.
Innym przykładem identycznie równych wyrażeń z literami jest 0 · x · y · z i 0 . Niezależnie od wartości zmiennych w tym przypadku, pomnożone przez 0, dadzą 0. Nierówne wyrażenia to 6 · x i 8 · x, ponieważ nie będą one równe dla żadnego x.
W przypadku, gdy obszary dopuszczalnych wartości zmiennych pokrywają się na przykład w wyrażeniach a + 6 i 6 + a lub a · b · 0 i 0 lub x 4 i x, a wartości same wyrażenia są równe dla dowolnych zmiennych, wówczas takie wyrażenia uważa się za identycznie równe. Zatem a + 8 = 8 + a dla dowolnej wartości a oraz a · b · 0 = 0, ponieważ pomnożenie dowolnej liczby przez 0 daje 0. Wyrażenia x 4 i x będą jednakowo równe dla dowolnego x z przedziału [ 0 , + ∞) .
Ale zakres prawidłowych wartości w jednym wyrażeniu może różnić się od zakresu innego.
Przykład 5
Weźmy na przykład dwa wyrażenia: x − 1 i x - 1 · x x. Dla pierwszego z nich zakresem dopuszczalnych wartości x będzie cały zbiór liczb rzeczywistych, a dla drugiego - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, bo wtedy otrzymamy 0 w mianownik, a taki podział nie jest zdefiniowany. Te dwa wyrażenia mają wspólny zakres wartości utworzony przez przecięcie dwóch oddzielnych zakresów. Możemy stwierdzić, że oba wyrażenia x - 1 x x i x - 1 będą miały sens dla dowolnego prawdziwe wartości zmienne oprócz 0 .
Podstawowa właściwość ułamka pozwala nam również stwierdzić, że x - 1 · x x i x - 1 będą równe dla każdego x, które nie jest równe 0. Oznacza to, że na ogólnym zakresie wartości dopuszczalnych wyrażenia te będą sobie jednakowo równe, jednak dla żadnego rzeczywistego x nie możemy mówić o identycznej równości.
Jeśli zastąpimy jedno wyrażenie innym, które jest mu identyczne, wówczas proces ten nazywa się transformacją tożsamości. Ta koncepcja jest bardzo ważna i omówimy ją szczegółowo w osobnym materiale.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Temat”Dowody tożsamości» klasa 7 (KRO)
Podręcznik Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Cele lekcji
Edukacyjny:
wprowadzić i wstępnie utrwalić pojęcia „identycznie równych wyrażeń”, „tożsamości”, „identycznych przekształceń”;
rozważyć sposoby potwierdzania tożsamości, promować rozwój umiejętności potwierdzania tożsamości;
sprawdzenie przyswojenia przez uczniów przerabianego materiału, rozwinięcie umiejętności wykorzystania zdobytej wiedzy do postrzegania nowych rzeczy.
Rozwojowy:
Rozwijanie kompetentnej mowy matematycznej uczniów (wzbogacanie i komplikowanie słownictwo przy użyciu specjalnych terminów matematycznych),
rozwijać myślenie,
Edukacyjne: kultywowanie ciężkiej pracy, dokładności i prawidłowego zapisywania rozwiązań ćwiczeń.
Typ lekcji: nauka nowego materiału
Postęp lekcji
1 . Moment organizacyjny.
Sprawdzanie pracy domowej.
Pytania dotyczące pracy domowej.
Analiza rozwiązania na płytce.
Matematyka jest potrzebna
Bez niej to niemożliwe
Uczymy, uczymy, przyjaciele,
Co pamiętamy o poranku?
2 . Zróbmy rozgrzewkę.
Wynik dodania. (Suma)
Ile liczb znasz? (Dziesięć)
Jedna setna liczby. (Procent)
Wynik podziału? (Prywatny)
Najmniejsza liczba naturalna? (1)
Czy można otrzymać zero dzieląc liczby naturalne? (NIE)
Podaj największą ujemną liczbę całkowitą. (-1)
Przez jaką liczbę nie można podzielić? (0)
Wynik mnożenia? (Praca)
Wynik odejmowania. (Różnica)
Przemienna własność dodawania. (Suma nie zmienia się poprzez zmianę miejsca wyrazów)
Właściwość przemienna mnożenia. (Iloczyn nie zmienia się po przestawieniu miejsc czynników)
Uczenie się nowy temat(definicja z wpisem w notatniku)
Znajdźmy wartość wyrażeń dla x=5 i y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3x+3y=3*5+3*4=27
Otrzymaliśmy ten sam wynik. Z właściwości rozkładu wynika, że ogólnie dla dowolnych wartości wartości zmienne wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y są równe.
Rozważmy teraz wyrażenia 2x+y i 2xy. Gdy x=1 i y=2 przyjmują one równe wartości:
Można jednak określić wartości x i y tak, aby wartości tych wyrażeń nie były równe. Na przykład, jeśli x=3, y=4, to
Definicja: Dwa wyrażenia, których wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, nazywane są identycznie równymi.
Wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y są identycznie równe, ale wyrażenia 2x+y i 2xy nie są identycznie równe.
Równość 3(x+y) i 3x+3y jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y. Takie równości nazywane są tożsamościami.
Definicja: Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywa się tożsamością.
Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości. Spotkaliśmy już tożsamości. Tożsamości to równości wyrażające podstawowe właściwości działań na liczbach (Uczniowie komentują każdą właściwość, wymawiając ją).
za + b = b + a
ab = ba
(a + b) + do = za + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Podaj inne przykłady tożsamości
Definicja: Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się identyczną transformacją lub po prostu transformacją wyrażenia.
Transformacje tożsamości wyrażenia ze zmiennymi wykonywane są w oparciu o właściwości operacji na liczbach.
Identyczne przekształcenia wyrażeń są szeroko stosowane przy obliczaniu wartości wyrażeń i rozwiązywaniu innych problemów. Musiałeś już wykonać kilka identycznych przekształceń, na przykład wprowadzenie podobnych terminów, otwarcie nawiasów.
5 . nr 691, nr 692 (z wymawianiem zasad otwierania nawiasów, mnożenia liczb ujemnych i dodatnich)
Tożsamości wyboru racjonalnego rozwiązania:(praca z przodu)
6 . Podsumowanie lekcji.
Nauczyciel zadaje pytania, a uczniowie odpowiadają na nie według własnego uznania.
Które dwa wyrażenia są uważane za identyczne? Podaj przykłady.
Jaki rodzaj równości nazywa się tożsamością? Podaj przykład.
Jakie znasz przemiany tożsamości?
7. Praca domowa. Naucz się definicji, podaj przykłady identycznych wyrażeń (co najmniej 5), zapisz je w zeszycie
