Objętość daje nam wyobrażenie o tym, ile miejsca zajmuje przedmiot, który nas interesuje, i pozwala znaleźć objętość prostokątny równoległościan musisz pomnożyć jego powierzchnię bazową przez jego wysokość.
W życie codzienne, najczęściej do pomiaru objętości cieczy używa się z reguły jednostki miary takiej jak litr = 1 dm3.
Oprócz tej jednostki miary do określenia objętości stosuje się:
Równoległościan jest jedną z najprostszych figur trójwymiarowych, dlatego znalezienie jego objętości nie jest trudne.
Objętość równoległościanu równy produktowi jego długość, szerokość i wysokość. Te. Aby znaleźć objętość prostokątnego równoległościanu, wystarczy pomnożyć wszystkie trzy jego wymiary.
Aby obliczyć objętość sześcianu, należy zmierzyć jego długość i podnieść do trzeciej potęgi.
Przypomnijmy sobie teraz, czym jest równoległościan i czym różni się od sześcianu.
Równoległościan to trójwymiarowa figura, której podstawą jest wielokąt. Powierzchnia prostokątnego równoległościanu składa się z sześciu prostokątów, które są ścianami tego równoległościanu. Dlatego logiczne jest, że równoległościan ma sześć ścian, które składają się z równoległoboków. Wszystkie ściany tego wielokąta, które znajdują się naprzeciw siebie, mają te same wymiary.
Wszystkie krawędzie równoległościanu są bokami ścian. Ale punkty styku twarzy są wierzchołkami tej figury.
Ćwiczenia:
1. Przyjrzyj się uważnie rysunkowi i powiedz, co Ci przypomina?
2. Zastanów się i odpowiedz, gdzie na co dzień możesz spotkać taką postać?
3. Ile krawędzi ma równoległościan?
Równoległościany dzielą się na kilka odmian, takich jak:
Prostokątny;
Skłonny;
Sześcian
Do równoległościanów prostokątnych zaliczają się figury, których ściany składają się z prostokątów.
Jeśli boczne twarze nie są prostopadłe do jego podstawy, to przed tobą znajduje się nachylony równoległościan.
Figura taka jak sześcian jest również równoległościanem. Wszystkie jego ściany bez wyjątku mają kształt kwadratów.
Badana liczba ma wiele właściwości, o których teraz się dowiemy:
Po pierwsze, przeciwne strony tej figury są równe i równoległe do siebie;
Po drugie, jest symetryczny tylko względem środka dowolnej i wszystkich swoich przekątnych;
Po trzecie, jeśli weźmiesz i narysujesz przekątne między wszystkimi przeciwległymi wierzchołkami równoległoboku, wówczas będą one miały tylko jeden punkt przecięcia.
Po czwarte, kwadrat to długość jego przekątnej, równa sumie kwadraty jego 3 wymiarów.
W różnym okresie epoki historyczne V różne kraje używany różne systemy pomiary masy, długości i innych wielkości. Ponieważ jednak komplikowało to stosunki handlowe między krajami, a także utrudniało rozwój nauki, zaistniała potrzeba posiadania jednego systemie międzynarodowymśrodków, które byłyby dogodne dla wszystkich krajów.
Metryczny system miar SI, który odpowiadał większości krajów, został opracowany we Francji. Dzięki Mendelejewowi w Rosji wprowadzono metryczny system miar.
Ale wiele zawodów do dziś posługuje się własnymi, specyficznymi metrykami, czasem jest to hołd dla tradycji, czasem kwestia wygody. Na przykład żeglarze nadal wolą mierzyć prędkość w węzłach, a odległość w milach – jest to dla nich tradycja. Ale jubilerzy na całym świecie preferują taką jednostkę miary jak karat - w ich przypadku jest to zarówno tradycja, jak i wygoda.
Pytania:
1. Kto wie, ile metrów mieści się w jednej mili? Co to jest jeden węzeł?
2. Dlaczego jednostką miary diamentów jest „karat”? Dlaczego w przeszłości jubilerom wygodnie było mierzyć masę w takich jednostkach?
3. Kto pamięta w jakich jednostkach mierzy się olej?
UUD poznawczy:
Wyraź strukturę problemu na różne sposoby.
Wybierz, porównaj i uzasadnij metody rozwiązania problemu.
UUD regulacyjny:
porównać sposób i wynik swoich działań z zadanym standardem,
Wykrywaj odchylenia i różnice od normy.
UUD komunikacji:
Wyrażaj swoje myśli z wystarczającą kompletnością i dokładnością, zgodnie z zadaniami i warunkami komunikacji
Wynik tematu:
Określ rodzaj figur przestrzennych. Oblicz objętości sześcianu i równoległościanu prostokątnego, korzystając ze wzorów na objętość sześcianu i równoległościanu prostokątnego.
POSTĘP LEKCJI:
Moment organizacyjny (sprawdzenie gotowości klasy i uczniów do zajęć)(slajd 1-2). (1 minuta)
Motywacja do lekcji (slajd 3)(1 minuta)
Wstali cicho, zamilkli,
Masz wszystko, czego potrzebujesz.
Przygotowany do lekcji
Inaczej nie ma z tego pożytku.
Witam, usiądź,
Nie odwracaj się więcej.
Zaczniemy teraz lekcję
On jest dla ciebie interesujący.
Słuchaj uważnie
Na pewno wszystko zrozumiesz.
Formułowanie tematu lekcji: (3 min)
Cieszę się, że cię widzę. Rozpoczynamy naszą lekcję.Chcę, aby ta lekcja przyniosła Ci nowe odkrycia i mam nadzieję, że z powodzeniem zastosujesz swoją istniejącą wiedzę do rozwiązywania praktycznych problemów. Zapraszam do odgadnięcia słowa, które mam na myśli, które będzie słowem kluczowym naszej lekcji.
Aktualizacja podstawowej wiedzy: (slajd 4)
Aby nazwać słowo, będziesz musiał wykonać trochę matematyki i ułożyć wartości w kolejności rosnącej:
250+433 – 600=(83)
(80)
Znajdź odległość, korzystając z danych:
(12)
(10)
Znajdź obszar figury:
(24)
Dobrze zrobiony. Temat naszej dzisiejszej lekcji brzmi: „Objętość. Objętość prostokątnego równoległościanu.”
Otwórzcie zeszyty i zapiszcie dzisiejszą datę, temat lekcji i słowa fajna praca.
Praca domowa: (slajd 6)(1 minuta)
№ 843, nr 844, nr 848 (b)
Otwórz podręcznik za pomocą. 125-126, przygotuj się do odpowiedzi na moje pytania: (slajd 7-8)(3 minuty)
Jak rozumiesz słowo „objętość”?
Jakie znasz jednostki objętości? (mm 3 , dm 3 , cm 3 , M 3 , km 3 )
Jak inaczej nazywa się decymetr sześcienny? (litr)
Jak obliczyć objętość prostokątnego równoległościanu? (Aby znaleźć objętość prostokątnego równoległościanu, potrzebujeszdługość pomnożyć przezszerokość i dalejwysokość ).
Jaki jest wzór na obliczenie objętości równoległościanu prostokątnego? (GdzieV – tom, a, b, c - pomiary).
Jak myślisz, co oznacza ta praca?A IB, w tej formule? (powierzchnia bazowa) ()
Co możesz powiedzieć o objętości sześcianu? ()
Brawo, pomyślnie odpowiedziałeś na pytania.
Wykonywanie ćwiczeń: (slajd 9-11)(8 minut)
№ 822
Objętość pomieszczenia wynosi 60 m 2 . Wysokość pokoju wynosi 3 m, szerokość 4 m. Znajdź długość pokoju oraz powierzchnię podłogi, sufitu i ścian.
Co mówi problem?
Jaki kształt ma pokój?
V =60 m 2 , Z =3 m,B =4 m. Aby znaleźć długość pomieszczenia, potrzebujesz:
Długość pokoju;
Aby obliczyć powierzchnię podłogi, należy pomnożyć długość przez szerokość: . Powierzchnia sufitu będzie równa powierzchni podłogi, ponieważ są przeciwne, tj. powierzchnia sufitu jest równa.
Aby obliczyć powierzchnię ścian, należy pomnożyć długość przez wysokość i pomnożyć szerokość przez wysokość: wtedy pamiętajmy, że ściany są naprzeciwko siebie, czyli 2 ściany po 15 każdaM 2 i 2 ściany po 12M 2 . Następnie powierzchnia ścian:
№ 825 (a, b)
a) wyrazić w centymetrach sześciennych:
b) wyrazić w decymetrach sześciennych:
Zadanie. Oblicz objętość sześcianu o boku 15 cm. Wyraź odpowiedź w decymetrach sześciennych.
Tło historyczne: (1 minuta 30 sekund)
Słowa nauczyciela.
Problem z pomiarem objętości ciała stałe od dawna interesuje ludzkość. Wykorzystując fakt, że cieczy w normalnych warunkach nie da się sprężyć, można zmierzyć objętość ciał stałych umieszczając je w cieczy.
Archimedes jako pierwszy odkrył tę metodę ważenia.
(Slajd 12 – wideo.)
Rozwijając tę myśl, Archimedes odkrył prawo unoszenia się ciał: ciało zanurzone w cieczy traci na wadze tyle, ile waży wypierana przez nie ciecz. Dlatego jeśli ciężar wypartej cieczy jest większy niż ciężar samego ciała, wówczas unosi się ona w górę.
i trochę się rozgrzejemy:
Minuta wychowania fizycznego (slajd 13)(1 minuta)
Niezależna praca nad opcjami, a następnie wzajemna poprzez sprawdzenie). (10 minut) (slajd 14)
1. opcja.
A) S=vt;
B) V=abc;
V) P=2 (a+b);
d) V= 4a
2. Jaka jest objętość sześcianu, jeśli jego krawędź wynosi 5 cm?(125cm 3 )
3. Jaka jest długość boku kwadratu, jeśli jego pole wynosi 100 cm 2 ? (10 cm)
Opcja II
1. Podaj wzór na obliczenie objętości równoległościanu prostokątnego
A) S=vt;
B) V=ab;
V) P=2 (a+b);
d) V = S podstawowy Z.
2. Jaka jest objętość prostokątnego równoległościanu, jeśli jego wymiary wynoszą 5 cm, 12 cm i 4 cm?(240cm 3 )
3. Jakie jest pole kwadratu o boku 6 cm?(36cm 2 )
Aby to sprawdzić, uczniowie wymieniają się zeszytami z sąsiadem, który sprawdza i ocenia, sprawdzając ekran
Refleksja: (3 min)
Każdy uczeń wpisuje oceny do swojej wykresówki:
Nazwisko, imię ______________________________________
Zanim przejdziemy do praktycznej części artykułu, w której będziemy szukać objętości równoległościanu, przypomnijmy sobie, co to za figura i dowiedzmy się, dlaczego mogą nam być potrzebne te obliczenia.
Istnieją trzy definicje i wszystkie są równoważne. Zatem równoległościan to:
1. Wielościan o sześciu ścianach, z których każda jest równoległobokiem.
2. Sześciokąt, który ma trzy pary ścian równoległych do siebie.
3. Pryzmat z równoległobokiem u podstawy.
Być może najczęstszy w naszym prawdziwe życie typy figura geometryczna jest prostokątnym równoległościanem i sześcianem. Ponadto rozróżnia się równoległościany nachylone i proste.
Prostokątny równoległościan: objętość
Prostokątny równoległościan wyróżnia się tym, że każda ściana jest prostokątem. Można podać codzienny przykład tej liczby zwykłe pudełko(buty, prezenty, poczta).
Najpierw musisz znaleźć wartości dwóch boków podstawy równoległościanu, które są względem siebie prostopadłe (na płaszczyźnie nazywałyby się szerokością i długością).
P = A*B, gdzie A to długość, B to szerokość.
Teraz dokonujemy jeszcze jednego pomiaru - wysokości danej figury, którą nazwiemy H.
Cóż, wymaganą objętość ustalimy, jeśli pomnożymy wysokość przez powierzchnię podstawy, to znaczy:
Objętość prawego równoległościanu
Prosty równoległościan wyróżnia się tym, że jego ściany boczne są prostokątami ze względu na to, że są prostopadłe do podstaw figury.
Objętość oblicza się w podobny sposób, jedyną różnicą jest to, że wysokość tutaj nie jest krawędzią równoległościanu. W w tym przypadku jest to linia łącząca dwie przeciwległe ściany figury i jest prostopadła do jej podstawy.
Ponieważ podstawą twojego równoległościanu jest równoległobok, a nie prostokąt, wzór na obliczenie pola podstawy staje się nieco bardziej skomplikowany. Teraz będzie to wyglądać tak:
P = A * B * sin(a), gdzie A, B to długość i odpowiednio szerokość podstawy, a „a” to kąt, jaki tworzą, gdy się przecinają.
Jak znaleźć objętość nachylonego równoległościanu?
Każdy równoległościan, który nie jest prosty, jest uważany za nachylony.
Ze względu na to, że krawędzie tej figury nie są prostopadłe do podstawy, należy najpierw znaleźć wysokość. Mnożąc go przez pole podstawy (patrz wzór powyżej), otrzymujesz objętość:
V = P*H, gdzie P to powierzchnia podstawy, H to wysokość.
Objętość równoległościanu o kwadratowych ścianach
Sześcian to prostokątny równoległościan, którego każda z sześciu ścian jest kwadratem. Oznacza to właściwość tej figury - wszystkie jej krawędzie są sobie równe. Jako przykład wyobraźmy sobie zabawkę dla dzieci przypominającą kostki.
Cóż, znalezienie objętości sześcianu jest na ogół niezwykle proste. Aby to zrobić, wystarczy wykonać tylko jeden pomiar (krawędzie) i wynikową wartość podnieść do trzeciej potęgi. Tak:
V = A³.
W jaki sposób objętość równoległościanu może nam się przydać w życiu?
Powiedzmy, że zastanawia Cię taki problem, jak liczba pudełek, które zmieszczą się w bagażniku Twojego samochodu. Aby to zrobić, musisz uzbroić się w linijkę lub taśmę mierniczą, długopis, kartkę papieru, a także powyższe wzory na prostokątny równoległościan.
Mierząc objętość jednego pudełka i mnożąc wartość przez liczbę posiadanych pudełek, dowiesz się, ile centymetrów sześciennych potrzeba, aby zmieścić je w bagażniku Twojego samochodu.
I tak, pamiętaj, że w niektórych przypadkach wskazane będzie przeliczenie centymetrów sześciennych na metry. Jeśli więc w rezultacie otrzymasz objętość pudełka równą 50 cm do sześcianu, to w celu przeliczenia wystarczy pomnożyć tę liczbę przez 0,001. To da ci metry sześcienne. A jeśli chcesz sprawdzić objętość w litrach, pomnóż wynik w metrach sześciennych przez 1000.
Z punkt naukowy Z punktu widzenia prostokątnego równoległościanu jest to trójwymiarowa figura składająca się z 6 ścian - prostokątów. Mówiąc prościej, cegła, prostokątny zbiornik basenowy lub ogrodowy, cegła, pudełko zapałek - to wszystko są prostokątne równoległościany.
Jak widać, liczba ta występuje dość często w życiu. I nie rzadziej istnieje potrzeba znalezienia objętości takiej figury. Na przykład, aby wiedzieć, jakiego rozmiaru zrobić basen, aby mógł pomieścić określoną ilość wody lub jak zrobić zbiornik na letni domek. Dlatego właśnie stworzyliśmy nasz kalkulator, który pozwoli Ci błyskawicznie obliczyć objętość prostopadłościanu online. Wystarczy znać długość, szerokość i wysokość obiektu, wpisać je w pola kalkulatora i otrzymać wynik.
Prostokątny równoległościan
Właściwie to bardzo proste. Jeśli znamy długość, szerokość i wysokość, wystarczy je pomnożyć. Wynikowa liczba to wymagana objętość. Ważne - objętość mierzona jest w metrów sześciennych, centymetry, decymetry itp. W rezultacie, jeśli oznaczymy długość jako a, szerokość jako b, wysokość jako c, a objętość w ogólnie przyjęty sposób jako V, to wzór na obliczenie objętości prostokąta równoległościan będzie wyglądał następująco:
V=a x b x w
Jak widać bardzo łatwo to zapamiętać.
Spójrzmy na przykład.
Jaką objętość wody zawiera basen, jeśli ma 10 metrów długości, 3 metry szerokości i 1,5 metra głębokości?
Mnożąc, otrzymujemy 10 x 3 x 1,5 = 45 m 3 lub innymi słowy 45 metrów sześciennych.
Prostokąt- jedna z najprostszych figur płaskich i prostokątny równoległościan jest taki sam prosta figura, ale w przestrzeni (ryc. 1). Są bardzo podobni.
Równie podobne jak okrąg i piłka.
Ryż. 1. Prostokąt i równoległościan
Rozmowa o obszarach zaczyna się od obszaru prostokąta, a o objętościach - od objętości prostokątnego równoległościanu.
Jeśli wiemy, jak znaleźć obszar prostokąta, pozwala nam to znaleźć obszar dowolnej figury.
Możemy podzielić tę figurę na 3 prostokąty i znaleźć pole każdego z nich, a co za tym idzie całej figury. (ryc. 2.)
Ryż. 2. Rysunek
Ryż. 3. Figura, której pole jest równe siedmiu prostokątom
Nawet jeśli figura nie jest podzielona dokładnie na prostokąty, można to zrobić z dowolną dokładnością, a powierzchnię można obliczyć w przybliżeniu.
Pole tej figury (ryc. 3) jest w przybliżeniu równe sumie pól siedmiu prostokątów. Niedokładność wynika z małych, górnych cyfr. Jeśli zwiększysz liczbę prostokątów, niedokładność zmniejszy się.
To jest prostokąt to narzędzie do obliczania pól dowolnych kształtów.
Ta sama sytuacja, gdy o czym mówimy o tomach.
Dowolną figurę można ułożyć za pomocą prostokątnych równoległościanów lub cegieł. Im mniejsze są te cegły, tym dokładniej możemy obliczyć objętość (ryc. 4, ryc. 5).
Ryż. 4. Obliczanie powierzchni za pomocą prostopadłościanów
Prostokątny równoległościan jest narzędziem do obliczania objętości dowolnych kształtów.
Ryż. 5. Obliczanie pola za pomocą małych równoległościanów
Przypomnijmy sobie trochę.
Kwadrat o boku 1 jednostki (ryc. 6) ma powierzchnię 1 jednostki kwadratowej. Oryginalną jednostką liniową może być dowolna: centymetr, metr, kilometr, mila.
Na przykład 1 cm2 to powierzchnia kwadratu o boku 1 cm.
Ryż. 6. Kwadrat i prostokąt
Pole prostokąta- jest to liczba takich kwadratów, które się w nim zmieszczą. (ryc. 6.)
Umieść kwadraty jednostkowe o długości prostokąta w jednym rzędzie. Okazało się, że było 5 sztuk.
Wysokość pasuje do 3 kwadratów. Oznacza to, że w sumie są trzy rzędy, każdy po pięć kwadratów.
Całkowita powierzchnia to .
Oczywiste jest, że nie ma potrzeby każdorazowego umieszczania pojedynczych kwadratów wewnątrz prostokąta.
Wystarczy pomnożyć długość jednego boku przez długość drugiego.
Albo w widok ogólny:
Bardzo podobna sytuacja jest z objętością równoległościanu prostokątnego.
Objętość sześcianu o boku 1 jednostki wynosi 1 jednostka sześcienna. Ponownie, początkowe wielkości liniowe mogą być dowolne: milimetry, centymetry, cale.
Na przykład 1 cm 3 to objętość sześcianu o boku 1 cm, a 1 km 3 to objętość sześcianu o boku 1 km.
Znajdźmy objętość prostokątnego równoległościanu o bokach 7 cm, 5 cm, 4 cm (ryc. 7.)
Ryż. 7. Prostokątny równoległościan
Objętość naszego prostokątnego równoległościanu to liczba sześcianów jednostkowych, które się w nim mieszczą.
Ułóż rząd pojedynczych kostek o boku 1 cm wzdłuż dłuższego boku na spodzie. Pasuje do 7 sztuk. Już z doświadczenia w pracy z prostokątem wiemy, że na dole zmieści się tylko 5 takich rzędów, po 7 sztuk w każdym. Czyli w sumie:
Nazwijmy tę warstwę. Ile takich warstw możemy ułożyć jedna na drugiej?
To zależy od wzrostu. Jest to 4 cm, co oznacza, że ułożone są 4 warstwy po 35 sztuk w każdej. Całkowity:
Skąd wzięła się liczba 35? To jest 75. Oznacza to, że liczbę sześcianów otrzymaliśmy, mnożąc długości wszystkich trzech boków.
Ale to jest objętość naszego prostokątnego równoległościanu.
Odpowiedź: 140
Teraz możemy zapisać wzór w postaci ogólnej. (ryc. 8.)
Ryż. 8. Objętość równoległościanu
Objętość prostokątnego równoległościanu o bokach , , jest równa iloczynowi wszystkich trzech boków.
Jeśli długości boków podane są w centymetrach, wówczas objętość będzie wyrażona w centymetrach sześciennych (cm 3).
Jeśli w metrach, objętość jest podawana w metrach sześciennych (m3).
Podobnie objętość można mierzyć w milimetrach sześciennych, kilometrach itp.
Szklany sześcian o boku 1 m jest całkowicie wypełniony wodą. Jaka jest masa wody? (ryc. 9.)
Ryż. 9. Kostka
Sześcian jest jednostką. Bok - 1 m. Objętość - 1 m 3.
Jeśli wiemy, ile waży 1 metr sześcienny wody (w skrócie metr sześcienny), to problem został rozwiązany.
Ale jeśli tego nie wiemy, nie jest to trudne do obliczenia.
Długość boku.
Obliczmy objętość w dm 3.
Ale 1 dm3 ma osobną nazwę, 1 litr. Oznacza to, że mamy 1000 litrów wody.
Wszyscy wiemy, że masa jednego litra wody wynosi 1 kg. Oznacza to, że mamy 1000 kg wody, czyli 1 tonę.
Oczywiste jest, że takiej kostki wypełnionej wodą nie może poruszyć żaden zwykły człowiek.
Odpowiedź: 1 t.
Ryż. 10. Lodówka
Lodówka ma 2 metry wysokości, 60 cm szerokości i 50 cm głębokości. Znajdź jej objętość.
Zanim skorzystamy ze wzoru na objętość - iloczynu długości wszystkich boków - należy przeliczyć długości na te same jednostki miary.
Wszystko możemy przeliczyć na centymetry.
W związku z tym otrzymamy objętość w centymetrach sześciennych.
Myślę, że zgodzisz się, że objętość w metrach sześciennych jest bardziej zrozumiała.
Osoba ma trudności z odróżnieniem liczby z pięcioma zerami od liczby z sześcioma zerami, ale jedna jest 10 razy większa od drugiej.
Często musimy przeliczyć jedną jednostkę objętości na inną. Na przykład metry sześcienne na decymetry sześcienne. Trudno zapamiętać te wszystkie proporcje. Ale to nie jest konieczne. Wystarczy zrozumieć ogólną zasadę.
Na przykład, ile centymetrów sześciennych mieści się w metrze sześciennym?
Zobaczmy, ile kostek o boku 1 centymetra zmieści się w sześcianie o boku 1 m (rys. 11).
Ryż. 11. Kostka
W jednym rzędzie układa się 100 sztuk (w końcu w jednym metrze jest 100 cm).
W jednej warstwie ułożono 100 rzędów lub kostek.
Łącznie można ułożyć 100 warstw.
Zatem,
Oznacza to, że jeśli wielkości liniowe są powiązane relacją „w jednym metrze jest 100 cm”, to aby uzyskać zależność dla ilości sześciennych, należy podnieść 100 do trzeciej potęgi (). I nie musisz za każdym razem rysować kostek.
