Kahe sirge paralleelsuse märgid
Teoreem 1. Kui sekandi kahe sirge ristumiskohas:
diagonaalselt asetsevad nurgad on võrdsed või
vastavad nurgad on võrdsed või
ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis
jooned on paralleelsed(joonis 1).
Tõestus. Piirdume 1. juhtumi tõestusega.
Oletame, et sirgete a ja b lõikepunktis lõikega AB on nurgad võrdsed. Näiteks ∠ 4 = ∠ 6. Tõestame, et a || b.
Oletame, et sirged a ja b ei ole paralleelsed. Seejärel lõikuvad nad mingis punktis M ja järelikult on üks nurkadest 4 või 6 kolmnurga ABM välisnurgaks. Olgu täpsuse huvides ∠ 4 kolmnurga ABM välimine nurk ja ∠ 6 sisenurk. Teoreemist edasi välisnurk kolmnurgast järeldub, et ∠ 4 on suurem kui ∠ 6 ja see on vastuolus tingimusega, mis tähendab, et sirged a ja 6 ei saa ristuda, seega on nad paralleelsed.
Järeldus 1. Kaks erinevat sirget tasapinnal, mis on sama sirgega risti, on paralleelsed(Joonis 2).
kommenteerida. Seda, kuidas me äsja tõestasime teoreemi 1 juhtumit 1, nimetatakse tõestusmeetodiks vastuolu või absurdsuseni taandamisega. See meetod sai oma eesnime, kuna arutluse alguses tehakse eeldus, mis on vastupidine (vastupidine) tõestamisnõutavale. Seda nimetatakse absurdiks taandamiseks, mis tuleneb sellest, et tehtud oletuse põhjal vaieldes jõuame absurdse järelduseni (absurdsus). Sellise järelduse saamine sunnib meid tagasi lükkama alguses tehtud oletuse ja nõustuma sellega, mida nõuti tõestama.
1. ülesanne. Ehitage sirge, mis läbib antud punkti M ja on paralleelne antud sirgega a, mis ei läbi punkti M.
Otsus. Joonistame sirge p läbi punkti M risti sirgega a (joonis 3).
Seejärel joonestame sirge b läbi punkti M risti sirgega p. Sirge b on paralleelne sirgega a vastavalt teoreemi 1 järeldusele.
Vaadeldavast probleemist järeldub oluline järeldus:
Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab alati tõmmata antud sirgega paralleelse sirge..
Paralleelsete joonte peamine omadus on järgmine.
Paralleelsete sirgete aksioom. Läbi antud punkti, mis ei asu antud sirgel, on antud sirgega paralleelne ainult üks sirge.
Vaatleme mõningaid sellest aksioomist tulenevaid paralleelsirgete omadusi.
1) Kui sirge lõikub ühega kahest paralleelsest sirgest, siis see lõikub ka teisega (joonis 4).
2) Kui kaks erinevat sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed (joonis 5).
Õige on ka järgmine teoreem.
Teoreem 2. Kui kahte paralleelset sirget ristub sekant, siis:
lamamisnurgad on võrdsed;
vastavad nurgad on võrdsed;
ühepoolsete nurkade summa on 180°.
Tagajärg 2. Kui sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega.(vt joonis 2).
kommenteerida. Teoreemi 2 nimetatakse 1. teoreemi pöördväärtuseks. 1. teoreemi järeldus on teoreemi 2 tingimus. 1. teoreemi tingimus on teoreemi 2 järeldus. Igal teoreemil ei ole pöördväärtust, st kui see teoreem on tõene, siis vastupidine teoreem võib olla vale.
Selgitame seda vertikaalnurkade teoreemi näitel. Selle teoreemi saab sõnastada järgmiselt: kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed. Pöördteoreem oleks järgmine: kui kaks nurka on võrdsed, siis on nad vertikaalsed. Ja see pole muidugi tõsi. Kaks võrdset nurka ei pea olema üldse vertikaalsed.
Näide 1 Kaks paralleelset joont ristuvad kolmandikuga. Teatavasti on kahe sisemise ühepoolse nurga erinevus 30°. Leidke need nurgad.
Otsus. Las joonis 6 vastab tingimusele.
Küsimus 1. Milliseid nurki nimetatakse külgnevateks?
Vastus. Kaht nurka nimetatakse külgnevateks, kui neil on üks külg ühine ja nende nurkade teised küljed on üksteist täiendavad pooljooned.
Joonisel 31 on nurgad (a 1 b) ja (a 2 b) kõrvuti. Neil on ühine külg b ning küljed a 1 ja a 2 on täiendavad pooljooned.
2. küsimus. Tõesta, et summa külgnevad nurgad võrdub 180°.
Vastus. Teoreem 2.1. Külgnevate nurkade summa on 180°.
Tõestus. Olgu nurgale (a 1 b) ja nurgale (a 2 b) antud külgnevad nurgad (vt joonis 31). Tala b läbib arendatud nurga külgede a 1 ja a 2 vahelt. Seetõttu on nurkade (a 1 b) ja (a 2 b) summa võrdne väljatöötatud nurgaga, st 180 °. Q.E.D.
3. küsimus. Tõesta, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on ka nendega külgnevad nurgad võrdsed.
Vastus.
Teoreemist 2.1
Sellest järeldub, et kui kaks nurka on võrdsed, siis on nendega külgnevad nurgad võrdsed.
Oletame, et nurgad (a 1 b) ja (c 1 d) on võrdsed. Peame tõestama, et nurgad (a 2 b) ja (c 2 d) on samuti võrdsed.
Külgnevate nurkade summa on 180°. Sellest järeldub, et a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Seega a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b ja c 2 d = 180 ° - c 1 d. Kuna nurgad (a 1 b) ja (c 1 d) on võrdsed, saame, et a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Võrdsusmärgi transitiivsuse omadusest järeldub, et a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
4. küsimus. Millist nurka nimetatakse õigeks (ägeks, nüriks)?
Vastus. Nurka, mis võrdub 90°, nimetatakse täisnurgaks.
Nurka, mis on väiksem kui 90°, nimetatakse teravnurgaks.
Nurka, mis on suurem kui 90° ja väiksem kui 180°, nimetatakse nürinurgaks.
5. küsimus. Tõesta, et täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk.
Vastus. Külgnevate nurkade summa teoreemist järeldub, et täisnurgaga külgnev nurk on täisnurk: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.
6. küsimus. Mis on vertikaalsed nurgad?
Vastus. Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks, kui ühe nurga küljed on teise nurga külgede täiendavad pooljooned.
7. küsimus. Tõesta seda vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Vastus. Teoreem 2.2. Vertikaalsed nurgad on võrdsed.
Tõestus. Olgu (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) antud vertikaalnurgad (joonis 34). Nurk (a 1 b 2) külgneb nurgaga (a 1 b 1) ja nurgaga (a 2 b 2). Siit järeldame kõrvuti asetsevate nurkade summa teoreemiga, et kumbki nurkadest (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täiendab nurka (a 1 b 2) kuni 180 °, st. nurgad (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) on võrdsed. Q.E.D.
8. küsimus. Tõesta, et kui kahe sirge ristumiskohas on üks nurkadest täisnurk, siis on ka ülejäänud kolm nurka täisnurk.
Vastus. Oletame, et sirged AB ja CD lõikuvad üksteist punktis O. Oletame, et nurk AOD on 90°. Kuna külgnevate nurkade summa on 180°, saame, et AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. COB nurk on AOD nurga suhtes vertikaalne, seega on need võrdsed. See tähendab, et nurk COB = 90°. COA on BOD suhtes vertikaalne, seega on need võrdsed. See tähendab, et nurk BOD = 90°. Seega on kõik nurgad võrdsed 90 °, see tähendab, et need on kõik õiged. Q.E.D.
9. küsimus. Milliseid sirgeid nimetatakse risti? Millist märki kasutatakse joonte perpendikulaarsuse tähistamiseks?
Vastus. Kaht sirget nimetatakse risti, kui need ristuvad täisnurga all.
Joonte perpendikulaarsust tähistatakse \(\perp\). Kirje \(a\perp b\) on järgmine: "Sirge a on risti joonega b".
10. küsimus. Tõesta, et läbi sirge mis tahes punkti saab tõmmata sellega risti oleva sirge ja ainult ühe.
Vastus. Teoreem 2.3. Iga joone kaudu saate tõmmata sellega risti oleva joone ja ainult ühe.
Tõestus. Olgu a antud sirge ja A antud punkt sellel. Tähistame 1-ga üht pooljoont sirgjoonega a, mille alguspunkt on A (joonis 38). Jätke pooljoonest a 1 kõrvale nurk (a 1 b 1), mis on võrdne 90°-ga. Siis on kiirt b 1 sisaldav joon sirgega a risti.
Oletame, et on veel üks sirge, mis samuti läbib punkti A ja on risti sirgega a. Tähistame c 1-ga selle sirge pooljoont, mis asub kiirega b 1 samal pooltasandil.
Nurgad (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumbki 90°, on paigutatud pooljoonest a 1 ühel pooltasandil. Kuid pooljoonest a 1 saab sellel pooltasandil kõrvale jätta ainult ühe 90 ° nurga. Seetõttu ei saa olla teist sirget, mis läbib punkti A ja on risti sirgega a. Teoreem on tõestatud.
11. küsimus. Mis on sirge risti?
Vastus. Antud sirgega risti on antud sirgega risti olev lõik, mille üks otstest on nende lõikepunktis. Seda segmendi lõppu nimetatakse alus risti.
12. küsimus. Selgitage, mis on vastuoluga tõestamine.
Vastus. Tõestusmeetodit, mida kasutasime teoreemis 2.3, nimetatakse vastuoluga tõestamiseks. See tõestusviis seisneb selles, et esmalt teeme teoreemiga väidetule vastupidise oletuse. Seejärel arutledes, tuginedes aksioomidele ja tõestatud teoreemidele, jõuame järeldusele, mis on vastuolus kas teoreemi tingimusega või mõne aksioomiga või varem tõestatud teoreemiga. Selle põhjal järeldame, et meie eeldus oli vale, mis tähendab, et teoreemi väide on tõene.
13. küsimus. Mis on nurgapoolitaja?
Vastus. Nurga poolitaja on kiir, mis tuleb nurga tipust, läbib selle külgede vahelt ja jagab nurga pooleks.
Mis asuvad samal tasapinnal ja kas langevad kokku või ei ristu. Mõnes koolimääratluses ei loeta kokkulangevaid jooni paralleelseks, siin sellist määratlust ei käsitleta.
Lobatševski geomeetrias tasapinnas läbi punkti C väljaspool seda rida AB läbib lõpmatu arvu sirgeid, mis ei ristu AB. Nendest paralleelselt AB ainult kaks on nimetatud. Otse CE nimetatakse võrdhaarseks (paralleelseks) sirgeks AB alates A juurde B, kui:
Samamoodi sirge, võrdhaarne AB alates B juurde A .
Kutsutakse kõiki teisi sirgeid, mis antud sirget ei ristu üliparalleelsed või lahknev.
Wikimedia sihtasutus. 2010 .
See on paralleeljoonte teoreem. Läbimõõdul põhineva nurga kohta vaata teist teoreemi. Thalese teoreem on üks planimeetria teoreemidest. Kui ühel kahest sirgest lükkame mitu järjestikust edasi võrdsed segmendid ja läbivad nende otsad ... ... Wikipedia
Vene Püha Anna ordeni asutas suveräänne Holsteini Schleswigi hertsog Karl Frederick 1736. aastal oma printsessi Anna Petrovna (Peeter Suure tütre) naise auks ja keiser määras selle Vene ordude hulka. Peeter III. Püha Anna orden ...
Kõigis lääneriikides loodud jahipüssi torude katsetamiseks Euroopa riigid. Tuntuimad neist on Londonis, Birminghamis, Luttichis, Suhlis ja Saint Etienne’is. Hiljuti Inglismaal kehtestatud uute reeglite kohaselt on iga tünn ... ... entsüklopeediline sõnaraamat F. Brockhaus ja I.A. Efron
Nii nimetatakse ühte ainete sisalduse kvantitatiivse määramise meetodit lahustes; K. meetodid on rakendatavad kõigi nende ainete kvantitatiivseks määramiseks, mis annavad värvilisi lahuseid või võivad olla mis tahes reaktsiooni abil ... ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Eriteenete või eristuse eest kaebanud, kehtestatud vormiga märk, kantud lindil, ketil või muul viisil. On viiteid sellele, et Ida-Rooma impeeriumis lõid keisrid alates Konstantinus Suure ajast kavaleripartnerlussuhteid või ... ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Eriteenete või eristuse eest kaebanud, kehtestatud vormiga märk, kantud lindil, ketil või muul viisil. On märke, et sisse Rooma impeeriumis asutasid keisrid alates Constantinus Vel. ajast kavaleriühendusi või ordusid, ... ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Selle järgu teine perekond koosneb ühest morsa (Odobenus rosmarus) * perekonnast ja liigist, mis on suurim loivaliste seas. * Morsadel on anatoomiliselt sarnasusi kõrvahüljestega ja nad põlvnevad ka primitiivsest karulaadsest ... ... Loomade elust
- (muu kreeka παραλληλόγραμμον παράλληλος paralleel- ja γραμμή joonest) on neljatahuline ... Wikipedia
Sirgede lõikepunktid (animatsioon) Eukleidese paralleelsuse aksioom ehk viies postulaat on üks aksioomidest, mis asub ... Wikipedia
Sirgede lõikepunktid (animatsioon) Eukleidese parallelismiaksioom ehk viies postulaat on üks klassikalise planimeetria aluseks olevatest aksioomidest. Esmakordselt tsiteeritud Eukleidese elementides: Ja kui kahele reale langev joon moodustab sisemise ja ... Wikipedia
