Moldova Vabariigi Insari rajooni MBOU "Mordovsko-Paevskaya keskkool".
Lõpetanud: Pantileikina Nadezhda,
11. klassi õpilane
Juht: Kadõškina N.V.,
matemaatika õpetaja
Sisukord
Sissejuhatus…………………………………………………………………………….
I peatükk. Trigonomeetrilistest võrranditest………………………………………..…5
1) Trigonomeetriliste võrrandite peamised tüübid ja nende lahendamise meetodid:
1. Lihtsaima taandamise võrrandid. ………………………………………..5
2. Võrrandid, mis taanduvad ruutudeks………………………………………….5
3. Homogeensed võrrandid acosx + b sin x = 0……………………………………6
4. Võrrandid kujul acosx + b sin x \u003d c, c≠ 0………………………………………7
5. Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid………………………….7
6. Mittestandardsed võrrandid…………………………………………………….8
II peatükk. Trigonomeetria põhimõisted ja valemid……………………….8-10
II peatükk ma Möödunud aastate ühtsel riigieksamil pakutud võrrandid……………………10-14
Järeldus………………………………………………………………………………….14
Kandideerimine……………………………………………..………………………….15-17
Kirjandus………………………………………………………………………………..18
Sissejuhatus
"Ainus viis teadmisteni on tegevus..."
Bernardi näitus
Töö asjakohasus.
Lõpetan kooli mõne kuu pärast.
Et vältida probleeme edasine valik elutee, vajalik hankige koolitunnistus ja koolitunnistuse saamiseks peate sooritama kaks kohustuslikku eksamit ühtse riigieksami vormis - ja üks neistmatemaatika. Mis ma oskan öelda, lõpueksamid on iga õpilase elus ülioluline periood, millest ei sõltu mitte ainult tunnistuse lõpphinne, vaid ka tema tööalane tulevik, sissetulek ja karjäär.
Ühtne riigieksam on oluline test enne edasiliikumist uus elu ja vastuvõtt ülikooli või kolledžisse. Eriti oluline on see heade punktidega läbida.KASUTAMINE matemaatikas on tõsine proovikivi ja ilma hea baasita ei saa õpilane korralikku tulemust taotleda.
Kuidas vältida eksamil läbi kukkumist ja häid hindeid? Selleks tuleb probleemid hästi lahendada. Ma ei pretendeeri maksimumskoorile, sellest hoolimata valmistun hoolega. Ja ma märkasin, et isegi C osa esimeses ülesandes, nimelt trigonomeetriliste võrrandite ja nende süsteemide lahendamisel, teen vigu.Esmapilgul on ülesanne C1 suhteliselt lihtne võrrand või võrrandisüsteem, mis võib sisaldada trigonomeetrilisi funktsioone,üks peamisi lahendusviise, mis seisneb nende järjestikuses lihtsustamises, et taandada need üheks või mitmeks lihtsaks.Miks ma siis eksin?
Teema asjakohasus määrab asjaolu, et õpilased peavad mõistma teatud trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid.
Seetõttu panin enda ette järgmiseeesmärk:
Süstematiseerida, laiendada trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite kasutamisega seotud teadmisi ja oskusi.
Õppeobjekt on trigonomeetriliste võrrandite uurimine eksami ülesannetes.
Õppeaine- on trigonomeetriliste võrrandite lahendus
Seega peamine eesmärk seda kirjutades referaat on trigonomeetriliste võrrandite ja nende süsteemide uurimine, nende lahendamise viisid.
Vastavalt õppetöö eesmärkidele, objektile ja subjektile järgmine ülesanded:
üks). Õppige läbi kõik ülesanded, mis on seotud trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega KASUTAMINE töötab eelmistel aastatel ja esinemisel diagnostiline töö;
2) Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise õppemeetodid.
3). Avalda peamine võimalikud vead selliste võrrandite lahendamisel;
4). Uurige selliste vigade põhjuseid.
6). Järeldusi tegema.
Oma töös lahendan mitmeid trigonomeetrilisi võrrandeid, näitan võimalikke vigu nende lahendamisel ja püüan vastata järgnevale küsimused:
üks). Kas C1 tüüpi ülesannete täitmisel on võimalik vigu vältida?
2) Kui ma harjutan seda tüüpi võrrandite lahendamist, siis saan
Kas selliseid ülesandeid on võimalik vigadeta täita?
Sel eesmärgil õppisin läbi kõik meie juures läbiviidud näidis- ja koolitusülesanded, KASUTAGE materjale eelnevad aastad;
uuritud teatmeallikaid;
iseseisvalt lahendatud ülesandeid Internetist;
raskuste korral konsulteerinud oma õpetajaga;
Õppisin analüüsima ja tulemusi õigesti koostama.
Peatükk ma Trigonomeetriliste võrrandite kohta.
1) Definitsioon 1. Trigonomeetriline võrrand on võrrand, mis sisaldab tunnuse all muutujat trigonomeetrilised funktsioonid.
Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid kujul sin x = a,
cos x=a, tg x=a, ctg x = a.
Sellistes võrrandites on muutuja trigonomeetrilise funktsiooni märgi all ja on antud arv.
Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist: võrrandi teisendamine selle lihtsaima kuju saamiseks ja saadud lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi lahendus.
2) Trigonomeetriliste võrrandite põhitüübid.
Võrrandid on taandatud kõige lihtsamateks.
lahendage võrrand
Otsus:
Vastus:
Võrrandid, mis taandavad ruutarvuks.
1) Lahendage võrrand 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.
Vastus:
Homogeensed võrrandid: asinx + bcosx = 0
a sin 2 x + b sinxcosx + c sest 2x = 0.
Lahendage võrrand 2sinx - 3cosx = 0
Lahendus: olgu cosx = 0, siis 2sinx = 0 ja sinx = 0 – vastuolu
et sin 2 x + cos 2 x = 1. Seega cosx ≠ 0 ja saame võrrandi jagada cosx-ga.
Hangi
Vastus:
Näide: lahendage võrrand
Otsus: 
Vastus:
Faktoringuga lahendatud võrrandid.
Pryper: Lahendage võrrand sin2x - sinx = 0.
Lahendus: kasutades valemit sin2x = 2sinxcosx, saame
2sinxcosx – sinx = 0,
sinx(2cosx - 1) = 0.
Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Vastus:
Mittestandardsed võrrandid.
Lahendage võrrand cosx = X 2 + 1.
Otsus:
Mõelge funktsioonidele
Peatükk II. Trigonomeetria põhimõisted ja valemid.
Trigonomeetrilised võrrandid on iga matemaatikaeksami jaoks kohustuslik teema.
Ox, kui palju piina annab trigonomeetria õppimine õpilastele.
Teatud raskused tekivad isegi siis, kui läheduses on õpetajamatemaatika ja selgitab iga pisiasja. See on arusaadav, ainuüksi põhivalemeid on üle kahekümne. Ja kui arvestada nende tuletisi ... Õpilane satub arvutustes segadusse ega mäleta mehhanisme, mille abil need valemid võimaldavad leida nt. .
Teate valemeid – teil on lihtne otsustada. Kui te ei tea, ei saa te aru, isegi kui nad teile valemi annavad.Peate teadma valemit mitte lihtsalt rumalalt, vaid teadma, kus seda saab rakendada, kuidas paljastada ja mis on valemi olemus, ning selleks peate lahendama näiteid just nende ülesannete jaoks, mis on keerulised.
Alguses mulle tundustrigonomeetria on igav valemite ja graafikute komplekt. Uute trigonomeetria kontseptsioonide ja trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetoditega tutvudes veendusin aga iga kord, kui huvitav ja paeluv on trigonomeetria maailm.
Esiteks, trigonomeetriliste võrrandite edukaks lahendamiseks peate hästi tundma trigonomeetrilisi valemeid, mitte ainult põhi-, vaid ka täiendavaid valemeid (trigonomeetriliste funktsioonide summa teisendamine korrutiseks ja korrutised summaks, astmete alandamise valemid ja muud),kuna petulehtede kasutamine eksamil ja Mobiiltelefonid keelatud
(1. lisa)
Teiseks , me peame selgelt teadma standardvalemid kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite juured (kasulik on meeles pidada või saada trigonomeetrilise ringi abil võrrandite juurte jaoks lihtsustatud valemeid)
Kõik need võrrandid on lahendatud valemitega, mida peaksite teadma. Siin on valemid:
a) Funktsioony= pattx. Piiratud funktsioon: [-1; üks]. See tähendab, et võrrandite lahendamisel tüüpisinx=2 võisinxsinx
1) sinx \u003d a,x= (-1) n kaarsin a +n,n 
Z
2) sinx = - a,x= (-1) n+1 kaarsin a +n,n Z
Samuti peate teadma erijuhtumeid: 1)
sinx =- 1, 
2)sinx =0,
3)sinx =
a,
Samuti tuleb osata lahendadakahe seeria juurte kujul
2. Funktsioon y = cos x . Piiratud funktsioon: [-1; üks]. See tähendab, et võrrandite lahendamisel tüüpicosx=2 võicosx=-5 vastuses selgub: juured puuduvad. Funktsiooni y= valemidcosx:
1. cosx=a, X=± arccos a+2n,n Z
2.cosx=-a, X=±( - arccos a)+2n,n Z
Erijuhtumid: 1.
cosx =-1,
X=
+2
n,
n Z
2.
cox=0,
3. cosx=1, X= 2n,n Z
3. Funktsioony= tgx.
On ainult üks valem, ilma erijuhtudeta:tgx = ± a .
X = ±
arctg a+n,n Z
Kolmandaks tuleb teada trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi;
(2. lisa)
Neljandaks Kui võrrandis on trigonomeetriline funktsioon radikaali märgi all, siis on selline trigonomeetriline võrrand irratsionaalne. Sellistes võrrandites tuleks järgida kõiki tavaliste irratsionaalvõrrandite lahendamisel kasutatavaid reegleid (arvestatakse nii võrrandi enda kui ka paarisastme juurest vabastamise lubatud väärtuste vahemikku).
V. Möödunud aastate ühtsel riigieksamil pakutud võrrandid.
"Lahendusmeetod on hea, kui suudame algusest peale ette näha – ja hiljem seda kinnitada –, et seda meetodit järgides jõuame eesmärgini."
Leibniz
1. Ruutarvuks taandavad võrrandid.
C1. Lahenda võrrand: 
Lahendus: kasutades põhilist trigonomeetrilist identiteeti,kirjutage võrrand ümber kujul
asendaminecos=
tvõrrand taandatakse ruutarvuks:2t 2
+ 9
t-5 =0, millel on juuredt 1
= ½ jat 2
= -5. Tulles tagasi muutuja x juurde, saame 
,
Teisel võrrandil puuduvad juured alates |cosx |≥1 ja esimesest x =± 
+6k , k Z
Vastus: =± +6k , k Z
Järeldus: uue muutuja sisestamisel peate arvestama, et sin x ja cos x väärtused on piiratud intervalliga 
, muidu tekivad kõrvalised juured.
2. Faktoringuga lahendatud võrrandid
Ülesanne C1 (2011)
a) Lahenda võrrand
b) Märkige lõigu juurde kuuluva võrrandi juured 
Lahendus: a) lahendage vasakpoolne külg:
rühma ja paneme ühisteguri sulgudest välja, saame
Võrrandil 1) pole lahendusi.
Teine võrrand on homogeenne, see lahendatakse jagades liikme liikmega cosx ≠0, saame 
, kus 
b) 
Vastus: a) 
b) 
Järeldus:
1. Seda tüüpi võrrandi lahendamisel tuleb esiteks teada, et |sin x|≤1 ja |cosx |≤1 ning võrrandil sinx =-2 pole lahendeid;
2. Teiseks põhjendage jagamist cosx ≠o (sest kui cosx = 0, siis sin x = 0 ja see on võimatu;
kolmandaks on mõistlik teha valik sellesse intervalli kuuluvatest juurtest
3
.Taandusvalemite rakendamise võrrand
C1 (2010) Antud võrrand
a) lahendage võrrand;
b 
) Määrake segmenti kuuluvad juured
Lahendus: redutseerimisvalemeid kasutades saame:
sin 2 x - cos x \u003d 0,
2 sinx cosx - cosx = 0,
koos osx (2 sinx -1) = 0, millest cosx = 0 või sinx = ½,
b) Leidke k väärtused, mille juured kuuluvad
määratud intervall. Juurte korjamiseks. kui see kuulub antud intervalli, võib lahenduse esitada järgmiselt:
b 
) Leidke k väärtused, mille juured kuuluvad määratud intervalli.
2)
Selle ebavõrdsuse lahendamine, tervik
me ei saa k väärtust.
Vastus: a)
b) 
Järeldus:
Seda laadi võrrandi lahendamisel on vaja teada ülaltoodud võrrandi valemeid ja seda õigesti rakendada; oskama lahendust esitada 
kaheks juurte seeriaks; õigesti valida antud segmenti kuuluvad juured.
4. Trigonomeetriliste võrrandite süsteemid
C1 (2010).
Lahenda võrrandisüsteem 
Lahendus: O.D.Z 
Murd on null, kui lugeja on 0 ja nimetaja ei ole 0.
Võrrandist 2sin 2 x - 3 sinx +1 \u003d 0, lahendades uue muutuja sisestamise meetodil, leiame
või sinx=1.
1) Lase , siis 
ja y = cos x = 
›0 (kasutades trigonomeetrilist põhiidentiteeti)
või 
ja 
- otsust pole.
2) Lase sinx \u003d 1, siis y \u003d cos x \u003d 0 - lahendust pole.
Vastus: ja y =
Järeldus: 1) tuleb arvestada trigonomeetrilise piiratusega
funktsioonid
2) Salvestage ja arvestage O.D.Z.
5. C1 (USE 2011) Lahendage võrrand:
O.D.Z. - cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.
4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 või cos x =0
sinx=t 
4 t 2 + 12 t + 5 = 0, kust t 1 \u003d -½, t 2 \u003d -
sinx = -½ sinx=- - pole lahendust
x = 
x = 
võttes arvesse O.D.Z. x =
Vastus: x =
Järeldus: kirjutage vastus üles, võttes arvesse O.D.Z.
KOKKUVÕTE
Oma töös uuriti trigonomeetriliste võrrandite lahendusi, käsitleti soovitusi trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid ning nende lahendamisel võimalikke vigu.
Jõudsin järgmistele järeldustele:
1. C1 tüüpi ülesannetega kontrollitakse trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskust. Need ülesanded on tõesti lihtsad, mis annab lisa enesekindlust ja summutab tähelepanelikkust. Nende ülesannete ainsaks raskuseks on see, et pärast võrrandi või võrrandisüsteemi lahendamist on vaja kõrvale heita juured.
2.
Ülesanne C1 on rühma C lihtsaim ülesanne. Selle lahendamisel ei tohiks tekkida tülikaid teisendusi ja keerulisi arvutusi. Kui need ilmuvad, peate kohe lõpetama, kontrollima lahendust ja proovima aru saada, mis siin valesti on.
3. Lõppkokkuvõttespõhinõue on, et lahendus peab olema matemaatiliselt kirjaoskaja, sellest peab arutluskäik selge olema.Peate püüdma oma otsust lühidalt ja selgelt kirja panna, kuid mis kõige tähtsam - õigesti!
4. Ja mis kõige tähtsam - et õppida võrrandeid vigadeta lahendama, peate need lahendama! Lõppude lõpuks, nagu Poya ütles, "Kui soovite õppida ujuma, sukelduge julgelt vette ja kui soovite õppida probleeme lahendama, peate need lahendama!"
1. liide (trigonomeetria põhivalemid)
1) põhiline trigonomeetriline identiteetpatt 2 α + cos 2 α = 1,
Jagades selle võrrandi vastavalt koosinuse ja siinuse ruuduga, saame
2) topeltargumendi valemidpatt2α =2pattα cos α,
cos 2α = cos 2 α - patt 2 α ,
Cos 2α = 1-2sin 2 α,
3) langetamise valemid: 
4) kahe argumendi summa ja erinevuse valemid:
patt(α+ β )= pattα cosβ + cos α pattβ
patt(α- β )= pattα cos β - cos α patt β
cos(α+ β )= cosα cos β + patt α patt β
cos(α- β )= pattα cos β + pattα patt β
5) Valemid
Valemeid nimetatakse redutseerimisvalemiteks. järgmist tüüpi:
Trigonomeetriliste võrrandite summad ja erinevused
koosinus-paaris, siinus, puutuja ja kotangensst:
Siinus ja koosinus -
. Tangent ja on
,kootangens 0; ±π; ±2π;…
Funktsioonidy = cosx, y = pattx -
Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.
Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.
