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रैखिक निर्भरता

C1u1+C2u2+... +Cnun?0 के रूप का संबंध, जहां C1, C2,..., Cn संख्याएं हैं, जिनमें से कम से कम एक है? उदाहरण के लिए, 0, और u1, u2,..., un कुछ गणितीय वस्तुएँ हैं। वैक्टर या फ़ंक्शन।

रैखिक निर्भरता

(गणित।), रूप का संबंध

C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)

जहाँ С1, C2, ..., Cn संख्याएँ, जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, और u1, u2, ..., un एक या कोई अन्य गणित। जिन वस्तुओं के लिए एक संख्या से जोड़ और गुणा के संचालन को परिभाषित किया गया है। संबंध (*) में, वस्तुएं u1, u2, ..., un पहली शक्ति में शामिल हैं, अर्थात रैखिक रूप से; इसलिए, इस संबंध द्वारा वर्णित उनके बीच निर्भरता को रैखिक कहा जाता है। सूत्र में समान चिह्न (*) के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं और प्रत्येक विशिष्ट मामले में इसकी व्याख्या की जानी चाहिए। एल एच की अवधारणा। गणित की कई शाखाओं में उपयोग किया जाता है। तो, हम L. z के बारे में बात कर सकते हैं। वैक्टर के बीच, एक या अधिक चर के कार्यों के बीच, एक रैखिक स्थान के तत्वों के बीच, और इसी तरह। अन्यथा उन्हें रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है। यदि वस्तुएं u1, u2, ..., un रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो उनमें से कम से कम एक अन्य का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात।

u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + एक नन।

एक चर के सतत कार्य

u1 = j 1(x), u2 = j 2(x), ..., un = j n(x) रैखिक रूप से आश्रित कहलाते हैं यदि उनके बीच रूप (*) का संबंध है, जिसमें समान चिह्न है x के संबंध में एक पहचान के रूप में समझा जाता है। कार्यों के क्रम में j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), कुछ अंतराल a £ x £ b पर परिभाषित, रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके ग्राम निर्धारक गायब हो जाती

मैं, के = 1,2, ..., एन।

यदि फलन j1 (x), j2(x), ..., jn(x) रैखिक के हल हैं अंतर समीकरण, तो एल एच के अस्तित्व के लिए। उनके बीच यह आवश्यक और पर्याप्त है कि व्रोनस्कियन कम से कम एक बिंदु पर गायब हो जाए।

══ m चर में रैखिक रूप

u1=ai1x1+ai2x2+...+aixm

(मैं = 1, 2, ..., एन)

रैखिक रूप से आश्रित कहलाते हैं यदि प्रपत्र (*) का एक संबंध मौजूद है जिसमें सभी चर x1, x2, ..., xm के संबंध में समान चिह्न को एक पहचान के रूप में समझा जाता है। n . के लिए रैखिक रूपरैखिक रूप से n चर पर निर्भर हैं, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सारणिक गायब हो जाए

काम। अग्रणी टुकड़ी एक अभियान पर शहर से रवाना हुई। अब वह में है

शहर से 5 किमी और 3 किमी प्रति घंटे की गति से जाता है। x घंटे में वह शहर से कितनी दूर होगा?

फेसला। x घंटों में, टुकड़ी किलोमीटर की दूरी तय करेगी, और पहले भी यह 5 किमी की यात्रा करती थी। तो x घंटे के बाद शहर से दूरी किलोमीटर के बराबर हो जाएगी। इस दूरी को y से निरूपित करने पर हमें प्राप्त होगा;

यह समानता समय पर पथ की निर्भरता को व्यक्त करती है, लेकिन यह अब सीधे आनुपातिक निर्भरता नहीं होगी, जैसा कि निम्न तालिका से देखना आसान है

यहाँ पथ और समय का अनुपात समान संख्या के बराबर नहीं है।

परिभाषा। दो राशियों x और y के बीच के संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है जहाँ k और संख्याएँ हैं, एक रैखिक संबंध कहलाता है।

विशेष रूप से, यदि तब

इसलिए, सीधे आनुपातिक निर्भरता एक रैखिक निर्भरता का एक विशेष मामला है।

2. रैखिक निर्भरता का ग्राफ।

आइए किसी दिए गए रैखिक संबंध का एक ग्राफ बनाएं; आइए डालते हैं, उदाहरण के लिए,

आइए निम्नानुसार आगे बढ़ें। आइए पहले एक निर्भरता ग्राफ बनाएं।

यह मूल बिन्दु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी (चित्र 26)।

आइए देखें कि वे रैखिक निर्भरता ग्राफ के इस सीधे बिंदु के सापेक्ष कैसे स्थित होंगे:

उदाहरण के लिए, आइए x और y मानों की एक तालिका बनाएं:

हम देखते हैं कि किसी भुज के लिए दूसरे ग्राफ के बिंदु की कोटि पहले ग्राफ के बिंदु की कोटि से 3 इकाई अधिक होती है। इसका मतलब है कि दूसरे ग्राफ का संगत बिंदु पहले वाले के बिंदु से 3 इकाई अधिक होगा।

इन बिंदुओं का निर्माण करने के बाद, हम पहली सीधी रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा प्राप्त करते हैं (चित्र 26)।

रैखिक ग्राफ एक सीधी रेखा है।

यह इस प्रकार है कि एक रैखिक निर्भरता ग्राफ बनाने के लिए, इसके दो बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है।

आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

लगाने से हमें मिलता है। तो, हमें एक बिंदु मिला। अधिक डालने पर हमें दूसरा बिंदु (2; 7) मिलता है। इन बिंदुओं की रचना करके और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचकर, हम वांछित ग्राफ प्राप्त करते हैं, अर्थात, सूत्र द्वारा व्यक्त रैखिक निर्भरता का एक ग्राफ

आमतौर पर, एक रैखिक निर्भरता ग्राफ बनाने के लिए, दो बिंदु लिए जाते हैं, जिन पर सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों को काटती है। इसलिए, मान लीजिए कि हम प्राप्त करते हैं, मान लीजिए कि हम प्राप्त करते हैं, बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचकर हमें वांछित ग्राफ प्राप्त होता है (चित्र 27)।

आइए हम रैखिक रिक्त स्थान के गुणों के विवरण के लिए आगे बढ़ें। सबसे पहले, वे इसके तत्वों के बीच संबंधों को शामिल करते हैं।

रैखिक संयोजन वास्तविक संख्या के क्षेत्र में तत्व आरतत्व कहा जाता है

परिभाषा।तत्वों के एक समुच्चय को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है, यदि समानता से

यह अनिवार्य रूप से इसका अनुसरण करता है। यह स्पष्ट है कि तत्वों का कोई भी भाग रैखिक रूप से स्वतंत्र भी है। यदि इनमें से कम से कम एक है, तो समुच्चय को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है।

उदाहरणतृतीय.6. मान लीजिए कि एक वेक्टर सेट दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि वैक्टर में से एक है, तो वैक्टर की ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। दरअसल, समुच्चय,,…,,,…, रैखिक रूप से स्वतंत्र होने दें, तो यह समानता से अनुसरण करता है।

इस सेट में वेक्टर को गुणा करने पर, हमारे पास अभी भी समानता है

इसलिए, सदिशों का समुच्चय, साथ ही साथ कोई भी अन्य तत्व जिसमें एक शून्य तत्व होता है, हमेशा रैखिक रूप से पर निर्भर होता है।

टिप्पणी।यदि वैक्टर का सेट खाली है, तो यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वास्तव में, यदि कोई सूचकांक नहीं हैं, तो उनके लिए संबंधित गैर-शून्य संख्याओं को चुनना असंभव है ताकि फॉर्म का योग (III.2) 0 के बराबर हो। रैखिक स्वतंत्रता की इस तरह की व्याख्या को एक के रूप में लिया जा सकता है सबूत, खासकर जब से ऐसा परिणाम 11 सिद्धांत के साथ अच्छी तरह से सहमत है।

उपरोक्त के संबंध में, रैखिक स्वतंत्रता की परिभाषा निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: तत्वों का एक समूह रैखिक रूप से स्वतंत्र है यदि कोई सूचकांक नहीं है जिसके लिए। विशेष रूप से, यह सेट खाली भी हो सकता है।

उदाहरणतृतीय.7. कोई भी दो स्लाइडिंग वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं। याद रखें कि स्लाइडिंग सदिश वे सदिश होते हैं जो एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। एक इकाई वेक्टर लेते हुए, आप संबंधित वास्तविक संख्या से गुणा करके कोई अन्य वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं, यानी, या। इसलिए, पहले से ही एक-आयामी अंतरिक्ष में कोई भी दो वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं।

उदाहरणतृतीय.8. बहुपदों के स्थान पर विचार करें, जहाँ ,,,। आइए लिखते हैं

मान लीजिए ,,, हम समान रूप से प्राप्त करते हैं टी

अर्थात् समुच्चय रैखिकतः आश्रित है। ध्यान दें कि फॉर्म का कोई भी परिमित सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है। सबूत के लिए मामले पर विचार करें, फिर समानता से

इसकी रैखिक निर्भरता की धारणा के मामले में, यह अनुसरण करेगा कि सभी संख्याएँ शून्य के बराबर नहीं हैं  1 ,  2 ,  3 , जो किसी भी (III.3) के लिए समान है, लेकिन यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का खंडन करता है: कोई भी बहुपद एन-th डिग्री से अधिक नहीं है एनअसली जड़ें। हमारे मामले में, इस समीकरण के केवल दो मूल हैं, और उनकी अनंत संख्या नहीं है। हमें एक विरोधाभास मिला।

§ 2. रैखिक संयोजन। अड्डों

रहने दो । हम कहेंगे कि वहाँ रैखिक संयोजन तत्व।

प्रमेयतृतीय.1 (मुख्य)।शून्येतर तत्वों का समुच्चय रैखिक रूप से निर्भर होता है यदि और केवल यदि कुछ तत्व पूर्ववर्ती तत्वों का एक रैखिक संयोजन है।

प्रमाण. जरुरत. मान लीजिए कि तत्व, ..., रैखिक रूप से निर्भर हैं और मान लीजिए कि पहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व, ..., रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो

सभी के लिए शून्य के बराबर और जरूरी नहीं (अन्यथा यह गुणांक होगा, जो कहा गया खंडन करेगा)। इसलिए हमारे पास एक रैखिक संयोजन है

पर्याप्ततास्पष्ट है क्योंकि रैखिक रूप से आश्रित समुच्चय वाला प्रत्येक समुच्चय स्वयं रैखिक रूप से आश्रित होता है।

परिभाषा।एक रैखिक स्थान का आधार (समन्वय प्रणाली) लीएक सेट कहा जाता है एरैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व, जैसे कि प्रत्येक तत्व लीसे तत्वों का एक रैखिक संयोजन है ए, 11.

हम परिमित-आयामी रैखिक रिक्त स्थान पर विचार करेंगे।

उदाहरणतृतीय.9. एक त्रि-आयामी वेक्टर स्थान पर विचार करें। इकाई वैक्टर लें,। वे आधार बनाते हैं

आइए हम दिखाते हैं कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। दरअसल, हमारे पास

या । यहाँ से, किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने और सदिशों के योग के नियमों के अनुसार (उदाहरण III.2), हम प्राप्त करते हैं

इसलिए,,,▼.

आज्ञा देना एक मनमाना अंतरिक्ष सदिश हो; फिर, रैखिक अंतरिक्ष स्वयंसिद्धों के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

इसी तरह का तर्क एक आधार के साथ एक स्थान के लिए मान्य है, . यह मुख्य प्रमेय से इस प्रकार है कि एक मनमाना परिमित-आयामी रैखिक स्थान में लीकिसी भी तत्व को उसके मूल तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में निरूपित किया जा सकता है, ...,, अर्थात।

इसके अलावा, ऐसा अपघटन अद्वितीय है। दरअसल, आइए हम

तो घटाने के बाद हमें मिलता है

इसलिए, तत्वों की स्वतंत्रता के कारण,

यानी .

प्रमेयतृतीय.2 (आधार के अतिरिक्त)।आज्ञा देना एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान हो और रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों का कुछ सेट हो। यदि वे आधार नहीं बनाते हैं, तो ऐसे तत्वों को खोजना संभव है, ...,, जिनमें तत्वों का समूह आधार बनाता है। यही है, एक रैखिक अंतरिक्ष के तत्वों के प्रत्येक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट को एक आधार पर पूरा किया जा सकता है।

प्रमाण. चूंकि अंतरिक्ष परिमित-आयामी है, इसका एक आधार है, उदाहरण के लिए, का एनतत्वों, इन तत्वों को होने दें। तत्वों के एक सेट पर विचार करें।

आइए मुख्य प्रमेय को लागू करें। तत्वों के क्रम में, सेट पर विचार करें ए. यह स्पष्ट रूप से रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि कोई भी तत्व एक रैखिक संयोजन है,। चूंकि तत्व, ..., रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, फिर इसमें तत्वों को क्रमिक रूप से तब तक जोड़ना जब तक कि पहला तत्व प्रकट न हो जाए, उदाहरण के लिए, जैसे कि यह इस सेट के पिछले वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात। इस तत्व को सेट से हटा रहा है ए, हम पाते हैं । हम इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि इस सेट में शामिल न हो एनरैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व, जिनमें से सभी तत्व ,,…, तथा एन-एमतत्वों से। परिणामी सेट आधार होगा।

उदाहरणतृतीय.10. सिद्ध कीजिए कि सदिश, और एक रैखिक रूप से आश्रित समुच्चय बनाते हैं, और उनमें से कोई भी तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

आइए हम दिखाते हैं कि ऐसी सभी शून्य संख्याएँ नहीं हैं जिनके लिए

दरअसल, हमारे पास

रैखिक निर्भरता सिद्ध होती है। आइए हम दिखाते हैं कि सदिशों का एक तिहाई, उदाहरण के लिए, एक आधार बनाता है। आइए एक समानता करें

वैक्टर के साथ क्रिया करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम समानता के दाएं और बाएं हिस्सों में संबंधित निर्देशांक की बराबरी करते हुए, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं, इसे हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

एक समान तर्क सदिश , या ,, के शेष त्रिगुणों के लिए मान्य है।

प्रमेयतृतीय.3 (अंतरिक्ष के आयाम पर)।एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान के सभी आधार लीसे बना हुआ वही नंबरबुनियादी तत्व।

प्रमाण. दो सेट दिए जाने दें, जहां;,। हम उनमें से प्रत्येक को दो गुणों में से एक प्रदान करते हैं जो आधार निर्धारित करते हैं: 1) सेट के तत्वों के माध्यम से एसे कोई तत्व ली, 2) सेट के तत्व बीएक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे सभी हों। ली. हम मान लेंगे कि तत्व एऔर बीआदेश दिया।

सेट पर विचार करें एऔर इसके तत्वों पर लागू करें एमबार मुख्य प्रमेय से विधि। चूंकि के तत्व बीरैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो हम पहले की तरह, एक रैखिक रूप से निर्भर सेट प्राप्त करते हैं

वास्तव में, यदि , तो हमें एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय प्राप्त होगा, और शेष एनतत्वों को सेट करें बीउनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाएगा, जो असंभव है, जिसका अर्थ है। लेकिन यह भी नहीं हो सकता, क्योंकि निर्माण द्वारा सेट (III.4) में सेट के आधार का गुण होता है ए. क्योंकि अंतरिक्ष लीपरिमित-आयामी, तब केवल , यानी अंतरिक्ष के दो अलग-अलग आधार लीतत्वों की समान संख्या से मिलकर बनता है ।

परिणाम।किसी में एन-आयामी रैखिक स्थान () असीम रूप से कई आधार पा सकता है।

प्रमाणएक संख्या से एक रैखिक (वेक्टर) स्थान के तत्वों के गुणन के नियम का अनुसरण करता है।

परिभाषा।एक रैखिक स्थान का आयाम लीतत्वों की संख्या है जो इसका आधार बनाते हैं।

यह परिभाषा से निम्नानुसार है कि तत्वों का खाली सेट - एक तुच्छ रैखिक स्थान - का आयाम 0 है, जो, जैसा कि यह ध्यान दिया जाना चाहिए, रैखिक निर्भरता की शब्दावली को सही ठहराता है और हमें यह बताने की अनुमति देता है: एन-आयामी अंतरिक्ष का आयाम है एन, .

इस प्रकार, जो कहा गया है उसे संक्षेप में, हम प्राप्त करते हैं कि का प्रत्येक सेट एन+1 आइटम एन-आयामी रैखिक स्थान रैखिक रूप से निर्भर है; समुच्चय एनएक रैखिक अंतरिक्ष के तत्व एक आधार है यदि और केवल अगर यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है (या अंतरिक्ष का प्रत्येक तत्व इसके आधार के तत्वों का एक रैखिक संयोजन है); किसी भी रैखिक स्थान में, आधारों की संख्या अनंत होती है।

उदाहरणतृतीय.11 (क्रोनकर-कैपेली प्रमेय)।

आइए हमारे पास रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली है

कहाँ पे ए - प्रणाली के गुणांकों का मैट्रिक्स, प्रणाली के गुणांकों का विस्तारित मैट्रिक्स

कहाँ , (III.6)

यह संकेतन समीकरणों की प्रणाली (III.5) के बराबर है।

प्रमेयतृतीय.4 (क्रोनकर - कैपेली)।रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (III.5) की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स ए की रैंक मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, अर्थात।

प्रमाण.जरुरत. चलो प्रणाली (III.5) सुसंगत हो, तो इसका एक समाधान है: ,,। (III.6) को ध्यान में रखते हुए, लेकिन इस स्थिति में सदिशों का एक रैखिक संयोजन होता है,,…,। इसलिए, सदिशों के समुच्चय के माध्यम से, कोई भी सदिश को व्यक्त कर सकता है। इसका मतलब है कि।

पर्याप्तता. रहने दो । हम ,,…, में से कोई भी आधार चुनते हैं, फिर इसे आधार के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है (यह सभी वैक्टर और उनके हिस्से दोनों हो सकते हैं) और इस प्रकार, सभी वैक्टरों के माध्यम से। इसका मतलब है कि समीकरणों की प्रणाली संगत है ।

विचार करना एन-आयामी रैखिक स्थान ली. प्रत्येक वेक्टर को एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां सेट में आधार वैक्टर होते हैं। हम रैखिक संयोजन को फॉर्म में फिर से लिखते हैं और तत्वों और उनके निर्देशांक के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करते हैं

इसका मतलब है कि बीच एनसदिशों का -आयामी रैखिक सदिश स्थान एनवास्तविक संख्याओं के आयामी क्षेत्र ने एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया।

परिभाषा।दो रैखिक रिक्त स्थान और एक ही अदिश क्षेत्र के ऊपर समरूपी यदि उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करना संभव है एफ, ताकि

अर्थात्, एक समरूपता को एक-से-एक पत्राचार के रूप में समझा जाता है जो सभी रैखिक संबंधों को संरक्षित करता है। यह स्पष्ट है कि आइसोमॉर्फिक रिक्त स्थान का आयाम समान होता है।

यह उदाहरण और समरूपता की परिभाषा से इस प्रकार है कि रैखिकता की समस्याओं के अध्ययन के दृष्टिकोण से, समरूपी रिक्त स्थान समान हैं, इसलिए औपचारिक रूप से के बजायएन-आयामी रैखिक स्थानलीक्षेत्र के ऊपर, केवल क्षेत्र का अध्ययन किया जा सकता है।

वेक्टर बीजगणित के अध्ययन में रैखिक निर्भरता और वैक्टर की प्रणाली की स्वतंत्रता की अवधारणाएं बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि आयाम और अंतरिक्ष आधार की अवधारणाएं उन पर आधारित हैं। इस लेख में, हम परिभाषा देंगे, रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुणों पर विचार करेंगे, रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की एक प्रणाली का अध्ययन करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्राप्त करेंगे, और उदाहरणों के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता और रैखिक स्वतंत्रता का निर्धारण।

p n-विमीय सदिशों के समुच्चय पर विचार करें, उन्हें निम्न प्रकार से निरूपित करें। आइए इन वैक्टरों और मनमानी संख्याओं (वास्तविक या जटिल) का एक रैखिक संयोजन बनाएं: . n-आयामी वैक्टर पर संचालन की परिभाषा के साथ-साथ वैक्टर जोड़ने और एक संख्या से एक वेक्टर को गुणा करने के संचालन के गुणों के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि रिकॉर्ड किया गया रैखिक संयोजन कुछ n-आयामी वेक्टर है, अर्थात, .

तो हम वैक्टर की प्रणाली की रैखिक निर्भरता की परिभाषा पर आए।

परिभाषा।

यदि एक रैखिक संयोजन एक शून्य सदिश हो सकता है जब संख्याओं में से कम से कम एक गैर-शून्य हो, तो वैक्टर की प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से आश्रित.

परिभाषा।

यदि एक रैखिक संयोजन केवल एक शून्य वेक्टर है जब सभी संख्याएं शून्य होती हैं, तो वैक्टर की प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के गुण।

इन परिभाषाओं के आधार पर, हम सूत्र बनाते हैं और सिद्ध करते हैं रैखिक निर्भरता के गुण और वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता.

यदि सदिशों की एक रैखिक रूप से आश्रित प्रणाली में कई वैक्टर जोड़े जाते हैं, तो परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होगी।

प्रमाण।

चूँकि सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, इसलिए यदि संख्याओं में से कम से कम एक गैर-शून्य संख्या हो तो समानता संभव है। रहने दो ।

आइए वैक्टर की मूल प्रणाली में अधिक वैक्टर जोड़ें, और हम सिस्टम प्राप्त करेंगे। चूँकि तथा , तब इस प्रणाली के सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप

एक शून्य वेक्टर है, और . इसलिए, वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

यदि कई सदिशों को सदिशों की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली से बाहर रखा जाता है, तो परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होगी।

प्रमाण।

हम मानते हैं कि परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। सभी छोड़े गए वैक्टरों को वैक्टर की इस प्रणाली में जोड़ने पर, हमें वैक्टर की मूल प्रणाली मिलती है। शर्त के अनुसार, यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और रैखिक निर्भरता की पिछली संपत्ति के कारण, यह रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए। हम एक अंतर्विरोध पर पहुंच गए हैं, इसलिए हमारी धारणा गलत है।

यदि वेक्टर सिस्टम में कम से कम एक शून्य वेक्टर है, तो ऐसी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

प्रमाण।

मान लीजिए कि सदिशों की इस प्रणाली में सदिश शून्य है। मान लें कि वैक्टर की मूल प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। तब सदिश समानता तभी संभव है जब . हालांकि, अगर हम कोई गैर-शून्य लेते हैं, तो समानता अभी भी मान्य होगी, क्योंकि . इसलिए, हमारी धारणा गलत है, और वैक्टर की मूल प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

यदि वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, तो इसके कम से कम एक वैक्टर को अन्य के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। यदि सदिशों का निकाय रैखिकतः स्वतंत्र है, तो किसी भी सदिश को अन्य सदिशों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

प्रमाण।

आइए पहले पहले दावे को साबित करें।

मान लीजिए कि सदिशों का निकाय रैखिकतः आश्रित है, तो कम से कम एक शून्येतर संख्या होती है और समानता सत्य होती है। इस समानता के संबंध में हल किया जा सकता है, क्योंकि इस मामले में, हमारे पास है

नतीजतन, वेक्टर को सिस्टम के शेष वैक्टर के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

अब हम दूसरे अभिकथन को सिद्ध करते हैं।

चूँकि सदिशों का निकाय रैखिकतः स्वतंत्र है, समानता केवल के लिए संभव है।

मान लीजिए कि सिस्टम के कुछ वेक्टर दूसरों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। इस वेक्टर को तब होने दें। इस समानता को फिर से लिखा जा सकता है, इसके बाईं ओर सिस्टम के वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है, और वेक्टर के सामने गुणांक गैर-शून्य है, जो वैक्टर की मूल प्रणाली की रैखिक निर्भरता को इंगित करता है। तो हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, जिसका अर्थ है कि संपत्ति साबित होती है।

पिछले दो गुणों से एक महत्वपूर्ण कथन इस प्रकार है:
यदि सदिशों के निकाय में सदिश हैं और , जहां एक मनमाना संख्या है, तो यह रैखिक रूप से निर्भर है।

रैखिक निर्भरता के लिए वैक्टर की प्रणाली का अध्ययन।

आइए कार्य निर्धारित करें: हमें वैक्टर की प्रणाली की रैखिक निर्भरता या रैखिक स्वतंत्रता स्थापित करने की आवश्यकता है।

तार्किक प्रश्न है: "इसे कैसे हल करें?"

व्यावहारिक दृष्टिकोण से कुछ उपयोगी उपरोक्त परिभाषाओं और रैखिक निर्भरता और वैक्टर की एक प्रणाली की स्वतंत्रता के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। ये परिभाषाएँ और गुण हमें निम्नलिखित मामलों में वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता स्थापित करने की अनुमति देते हैं:

अन्य मामलों में क्या होगा, जो बहुमत में हैं?

आइए इससे निपटें।

मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय के सूत्रीकरण को याद करें, जिसे हमने लेख में उद्धृत किया था।

प्रमेय।

रहने दो r मैट्रिक्स A की कोटि p बटा n , की रैंक है। मान लीजिए M आव्यूह A का मूल अवयस्क है। मैट्रिक्स ए की सभी पंक्तियां (सभी कॉलम) जो मूल नाबालिग एम के गठन में भाग नहीं लेती हैं, मैट्रिक्स की पंक्तियों (कॉलम) के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त की जाती हैं जो मूल नाबालिग एम उत्पन्न करती हैं।

और अब हम एक रैखिक निर्भरता के लिए सदिशों की एक प्रणाली के अध्ययन के साथ एक मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय के संबंध की व्याख्या करते हैं।

आइए एक मैट्रिक्स ए बनाएं, जिसकी पंक्तियाँ अध्ययन के तहत सिस्टम के वैक्टर होंगी:

सदिशों के निकाय की रैखिक स्वतंत्रता का क्या अर्थ होगा?

वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता की चौथी संपत्ति से, हम जानते हैं कि सिस्टम के किसी भी वैक्टर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स A की कोई भी पंक्ति अन्य पंक्तियों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं की जाएगी, इसलिए, वैक्टर की प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता स्थिति के बराबर होगी रैंक (ए) = पी.

सदिशों के निकाय की रैखिक निर्भरता का क्या अर्थ होगा?

सब कुछ बहुत सरल है: मैट्रिक्स ए की कम से कम एक पंक्ति शेष के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त की जाएगी, इसलिए, वैक्टर की प्रणाली की रैखिक निर्भरता रैंक (ए) की स्थिति के बराबर होगी

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