दो रेखाओं की समानता के लक्षण
प्रमेय 1. यदि एक छेदक की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर:
तिरछे कोण बराबर होते हैं, या
संगत कोण बराबर हैं, या
एक तरफा कोणों का योग 180° होता है, तो
रेखाएँ समानांतर हैं(चित्र एक)।
प्रमाण। हम खुद को केस 1 के सबूत तक सीमित रखते हैं।
मान लीजिए कि रेखा a और b के प्रतिच्छेदन AB द्वारा कोणों पर स्थित कोण बराबर हैं। उदाहरण के लिए, 4 = 6. आइए हम सिद्ध करें कि a || बी।
मान लें कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं और फलस्वरूप, कोण 4 या 6 में से एक त्रिभुज ABM का बाहरी कोण होगा। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, 4 त्रिभुज ABM का बाहरी कोना है, और ∠ 6 भीतरी कोने है। प्रमेय से बाहरी कोनात्रिभुज यह इस प्रकार है कि 4 ∠ 6 से बड़ा है, और यह स्थिति का खंडन करता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं a और 6 प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।
कोरोलरी 1. एक ही रेखा के लंबवत समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं(रेखा चित्र नम्बर 2)।
टिप्पणी। जिस तरह से हमने प्रमेय 1 के मामले 1 को अभी-अभी सिद्ध किया है, उसे विरोधाभास या गैरबराबरी में कमी द्वारा प्रमाण की विधि कहा जाता है। इस पद्धति को इसका पहला नाम मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में, एक धारणा बनाई जाती है जो साबित करने के लिए आवश्यक विपरीत (विपरीत) है। इसे गैरबराबरी में कमी कहा जाता है क्योंकि, की गई धारणा के आधार पर बहस करते हुए, हम एक बेतुके निष्कर्ष (बेतुकापन) पर आते हैं। इस तरह के निष्कर्ष को प्राप्त करना हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने के लिए मजबूर करता है और जिसे साबित करना आवश्यक था उसे स्वीकार करना।
कार्य 1।किसी दिए गए बिंदु M से होकर जाने वाली और किसी दी गई रेखा a के समानांतर, बिंदु M से न होकर जाने वाली एक रेखा की रचना कीजिए।
समाधान। हम बिंदु M से होकर रेखा a पर लंबवत एक रेखा p खींचते हैं (चित्र 3)।
फिर हम बिंदु M से होकर रेखा p पर लंबवत एक रेखा b खींचते हैं। प्रमेय 1 के उपफल के अनुसार रेखा b, रेखा a के समानांतर है।
विचाराधीन समस्या से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:
एक बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा पर नहीं, कोई हमेशा दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींच सकता है।.
समांतर रेखाओं का मुख्य गुण इस प्रकार है।
समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा पर नहीं, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा होती है।
समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें जो इस अभिगृहीत से अनुसरण करते हैं।
1) यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को काटती है (चित्र 4)।
2) यदि दो अलग-अलग रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।
निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।
प्रमेय 2. यदि दो समांतर रेखाओं को एक छेदक द्वारा पार किया जाता है, तो:
झूठ बोलने वाले कोण बराबर हैं;
संगत कोण बराबर हैं;
एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।
परिणाम 2. यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत है।(चित्र 2 देखें)।
टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1 का विलोम कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की शर्त है। और प्रमेय 1 की शर्त प्रमेय 2 का निष्कर्ष है। प्रत्येक प्रमेय का व्युत्क्रम नहीं होता है, अर्थात यदि यह प्रमेय सत्य है, तो विलोम प्रमेयगलत हो सकता है।
आइए हम इसे ऊर्ध्वाधर कोणों पर प्रमेय के उदाहरण के साथ समझाते हैं। इस प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण लंबवत हैं, तो वे बराबर हैं। व्युत्क्रम प्रमेय यह होगा: यदि दो कोण बराबर हैं, तो वे लंबवत हैं। और यह, ज़ाहिर है, सच नहीं है। दो समान कोणों का लंबवत होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।
उदाहरण 1दो समानांतर रेखाओं को एक तिहाई से पार किया जाता है। यह ज्ञात है कि दो आंतरिक एकतरफा कोणों के बीच का अंतर 30° है। उन कोणों को खोजें।
समाधान। मान लीजिए कि आकृति 6 इस शर्त को पूरा करती है।
प्रश्न 1।किन कोणों को आसन्न कहा जाता है?
उत्तर।दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की अन्य भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।
आकृति 31 में, कोने (a 1 b) और (a 2 b) आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा b है, और भुजाएँ 1 और 2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।
प्रश्न 2।सिद्ध कीजिए कि योग आसन्न कोने 180° के बराबर होता है।
उत्तर। प्रमेय 2.1.आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
प्रमाण।मान लीजिए कोण (a 1 b) और कोण (a 2 b) को आसन्न कोण दिए गए हैं (देखिए आकृति 31)। बीम बी विकसित कोण के पक्षों ए 1 और ए 2 के बीच से गुजरता है। इसलिए, कोणों (ए 1 बी) और (ए 2 बी) का योग विकसित कोण के बराबर है, यानी 180 डिग्री। क्यू.ई.डी.
प्रश्न 3।सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
उत्तर।
प्रमेय से 2.1
इसका अर्थ यह है कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण बराबर होते हैं।
मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि कोण (a 2 b) और (c 2 d) भी बराबर हैं।
आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इससे यह पता चलता है कि a 1 b + a 2 b = 180° और c 1 d + c 2 d = 180°। इसलिए, ए 2 बी \u003d 180 डिग्री - ए 1 बी और सी 2 डी \u003d 180 डिग्री - सी 1 डी। चूँकि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं, हम पाते हैं कि a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d। समान चिह्न की सकर्मकता के गुण से, यह इस प्रकार है कि a 2 b = c 2 d। क्यू.ई.डी.
प्रश्न 4.कौन सा कोण समकोण (तीव्र, अधिक) कहलाता है?
उत्तर। 90° के बराबर कोण को समकोण कहते हैं।
90° से कम के कोण को न्यून कोण कहते हैं।
90° से अधिक और 180° से कम के कोण को अधिक कोण कहते हैं।
प्रश्न 5.सिद्ध कीजिए कि समकोण से लगा हुआ कोण समकोण होता है।
उत्तर।आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निम्नानुसार है कि एक समकोण से सटा कोण एक समकोण है: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°।
प्रश्न 6.ऊर्ध्वाधर कोण क्या हैं?
उत्तर।दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।
प्रश्न 7.साबित करें कि लंब कोणबराबर हैं।
उत्तर। प्रमेय 2.2. लंबवत कोण बराबर होते हैं।
प्रमाण।मान लीजिए (a 1 b 1) और (a 2 b 2) को ऊर्ध्वाधर कोण दिए गए हैं (चित्र 34)। कोना (a 1 b 2) कोने (a 1 b 1) और कोने (a 2 b 2) के निकट है। यहाँ से, आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय द्वारा, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) कोण (a 1 b 2) को 180 ° तक पूरक करता है, अर्थात। कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) बराबर हैं। क्यू.ई.डी.
प्रश्न 8.सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर इनमें से एक कोण समकोण है, तो अन्य तीन कोण भी समकोण हैं।
उत्तर।मान लीजिए कि रेखाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर काटती हैं। मान लें कि कोण AOD 90° है। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है, हम पाते हैं कि AOC = 180°-AOD = 180°- 90° = 90°। COB कोण AOD कोण के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात् कोण COB = 90°। COA BOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात् कोण BOD = 90°। इस प्रकार, सभी कोण 90 ° के बराबर होते हैं, अर्थात वे सभी समकोण होते हैं। क्यू.ई.डी.
प्रश्न 9.कौन सी रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं? रेखाओं के लम्बवत्ता को दर्शाने के लिए किस चिन्ह का प्रयोग किया जाता है?
उत्तर।दो रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं यदि वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखाओं की लंबवतता \(\perp\) द्वारा निरूपित की जाती है। प्रविष्टि \(a\perp b\) में लिखा है: "रेखा a, रेखा b के लंबवत है"।
प्रश्न 10.सिद्ध कीजिए कि रेखा के किसी भी बिंदु से होकर कोई उस पर लंब रेखा खींच सकता है, और केवल एक।
उत्तर। प्रमेय 2.3.प्रत्येक पंक्ति के माध्यम से, आप उस पर लंबवत रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
प्रमाण।मान लीजिए कि एक दी गई रेखा है और A उस पर एक दिया हुआ बिंदु है। प्रारंभिक बिंदु A (चित्र 38) के साथ सीधी रेखा a द्वारा अर्ध-रेखाओं में से 1 से निरूपित करें। अर्ध-पंक्ति a 1 कोण (a 1 b 1) से अलग सेट करें जो 90 ° के बराबर है। तब किरण b 1 वाली रेखा रेखा a के लंबवत होगी।
मान लीजिए कि एक अन्य रेखा भी है जो बिंदु A से होकर गुजरती है और रेखा a के लंबवत है। इस रेखा की अर्ध-रेखा को c 1 से निरूपित करें जो किरण b 1 के साथ समान अर्ध-तल में स्थित है।
कोण (a 1 b 1) और (a 1 c 1), प्रत्येक 90° के बराबर, अर्ध-पंक्ति a 1 से एक आधे तल में रखे गए हैं। लेकिन अर्ध-पंक्ति a 1 से, इस अर्ध-तल में 90 ° के बराबर केवल एक कोण अलग रखा जा सकता है। इसलिए, बिंदु A से होकर जाने वाली और रेखा a के लंबवत कोई दूसरी रेखा नहीं हो सकती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रश्न 11.एक रेखा के लंबवत क्या है?
उत्तर।किसी दी गई रेखा का लंब, दिए गए रेखाखंड के लम्बवत एक रेखाखंड होता है, जिसका एक सिरा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। खंड के इस छोर को कहा जाता है आधारलंबवत।
प्रश्न 12.बताएं कि विरोधाभास द्वारा क्या प्रमाण है।
उत्तर।प्रमेय 2.3 में हमने जिस उपपत्ति की विधि का प्रयोग किया है, वह विरोधाभास द्वारा उपपत्ति कहलाती है। सबूत के इस तरीके में यह शामिल है कि हम पहले प्रमेय द्वारा कही गई बातों के विपरीत एक धारणा बनाते हैं। फिर, तर्क द्वारा, स्वयंसिद्ध और सिद्ध प्रमेयों पर भरोसा करते हुए, हम एक निष्कर्ष पर आते हैं जो या तो प्रमेय की स्थिति, या स्वयंसिद्धों में से एक, या पहले सिद्ध प्रमेय के विपरीत है। इस आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारी धारणा गलत थी, जिसका अर्थ है कि प्रमेय का कथन सत्य है।
प्रश्न 13.कोण द्विभाजक क्या है?
उत्तर।कोण का समद्विभाजक एक किरण है जो कोण के शीर्ष से आती है, इसकी भुजाओं के बीच से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है।
जो एक ही तल में स्थित हैं और या तो संपाती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। कुछ स्कूल परिभाषाओं में, मेल खाने वाली रेखाओं को समानांतर नहीं माना जाता है, यहां ऐसी परिभाषा पर विचार नहीं किया गया है।
एक बिंदु के माध्यम से विमान में लोबचेव्स्की ज्यामिति में सीइस लाइन के बाहर एबीअनंत रेखाओं से होकर गुजरता है जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं एबी. इनमें से के समानांतर एबीकेवल दो के नाम हैं। सीधा सीइसमद्विबाहु (समानांतर) रेखा कहलाती है एबीसे दिशा में एप्रति बी, अगर:
इसी प्रकार, एक सीधी रेखा, समद्विबाहु एबीसे दिशा में बीप्रति ए .
अन्य सभी रेखाएँ जो दी गई रेखा को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं कहलाती हैं अति-समानांतरया विभिन्न.
विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.
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