Schody. Grupa wejściowa. Materiały. Drzwi. Zamki. Projekt

Zwykłe równania różniczkowe nazywane są takimi równaniami, które zawierają jedną lub więcej pochodnych pożądanej funkcji y=y(x)

F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0, gdzie x jest zmienną niezależną.

Rozwiązanie równania różniczkowego to funkcja, która po podstawieniu do równania zamienia je w triumf.

Niektóre metody rozwiązywania są znane z równań różniczkowych. Dla wielu równań pierwszego rzędu (o zmiennych rozłącznych, jednorodnych, liniowych itp.) możliwe jest uzyskanie rozwiązania w postaci wzorów poprzez przekształcenia analityczne.

W większości przypadków do rozwiązywania równań różniczkowych stosuje się metody przybliżone, które można podzielić na dwie grupy:

1) metody analityczne dające rozwiązanie w postaci wyrażenia analitycznego;

2) metody numeryczne dające przybliżone rozwiązanie w postaci tabeli.

Rozważ te metody w postaci poniższych przykładów.

8.1 Metoda sukcesywnego różnicowania.

Rozważ równanie:

z warunkami początkowymi , gdzie są podane liczby.

Załóżmy, że pożądane rozwiązanie y=f(x) można rozwiązać w szeregu Taylora w potęgach różnicy (x-x 0):

2 n+….

Warunki początkowe (8.2) dają nam wartości y(k)(x0) dla k=0,1,2,...,(n-1). Znajdujemy wartości y (n) (x 0) z równania (8.1), podstawiając (x-x 0) i korzystając z warunków początkowych (8.2):

y (n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))

Wartości y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... są kolejno wyznaczane przez równanie różniczkowe (8.1) i podstawienie x=x 0 , y (k) (x 0)=y 0k (k - 0.1.2).

PRZYKŁAD: Znajdź pierwsze siedem wyrazów rozwinięcia szeregów potęgowych rozwiązania y=y(x) równania y "" +0,1(y") 2 +(1+0,1x)y=0 z warunkami początkowymi y(0)= 1; y "(0)=2.

ROZWIĄZANIE: Szukamy rozwiązania równania w postaci szeregu:

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

Z warunków początkowych mamy y(0)=1, y " (0) = 2. Aby wyznaczyć y "" (0), rozwiązujemy to równanie dla y"":

y""(0)= - 0,1(y ") 2 - (1+0,1x)y (8,3)

Korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy

y""(0)= -0,1*4 - 1*1= -1,4

Różniczkowanie względem x lewej i prawej strony równania (8.3)

y"""= - 0.2y"y"" - 0.1(xy"+y) - y",

y (4) = - 0,2(y"y"""+y"" 2) - 0,1(xy""+2y") - y"",

y (5) = - 0,2(y"y (4) +3y""y""") - 0,1(xy"""+3y"") - y""",

y (6) \u003d - 0,2 (y "y (5) + 4y" "y (4) + 3y """ 2) - 0,1 (xy (4) + 4y """ - y (4) )

Podstawiając warunki początkowe i wartość y""(0), znajdujemy y"""(0)= – 1,54;

y (4) (0)= – 1,224; y(5)(0)=0,176; y (6) (0)= – 0,7308. Zatem pożądane przybliżone rozwiązanie zostanie zapisane jako: y(x) ≈ 1 + 2x - 0,7x 2 - 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 - 0,00101x 6 .

8.2 Metoda Eulera

Najprostszą z numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych jest metoda Eulera, która polega na zastąpieniu pożądanej funkcji wielomianem pierwszego stopnia, tj. ekstrapolacja liniowa. Mówimy o znalezieniu wartości funkcji w sąsiednich punktach argumentu x, a nie między nimi.

Wybieramy krok h mały tak, aby dla wszystkich x pomiędzy x 0 i x 1 =x 0 +h wartość funkcji y niewiele różniła się od funkcji liniowej. Następnie we wskazanym przedziale y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –

Kontynuując wyznaczanie wartości funkcji w ten sam sposób, upewniamy się, że metoda Eulera jest reprezentowana jako sekwencyjne wykonywanie formuł:

y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

PRZYKŁAD

Rozwiązujemy równania Eulera y "= x - y z warunkiem początkowym x 0 = 0, y 0 = 0 na odcinku o kroku h = 0,1.

Obliczenia przedstawiono w tabeli.

Pierwsza linia w kolumnach 1 i 2 jest wypełniona zgodnie z danymi początkowymi. Następnie y” oblicza się zgodnie z podanym równaniem (w kolumnie 4), a następnie ∆y \u003d y „h - w kolumnie (4).

Kolumna (5) zawiera tabelę wartości dla dokładnego rozwiązania danego równania.

RAFINOWANA METODA EULER

Przy tej samej ilości pracy obliczeniowej daje większą dokładność.

Wcześniej uważaliśmy, że całka jest stała, równa jej wartości f(x k ,y k) na lewym końcu sekcji. Bardziej dokładna wartość zostanie uzyskana, jeśli założymy, że f(x,y(x)) jest równe wartości w środku wykresu. Aby to zrobić, musisz wziąć podwójną sekcję (x k-1, x k+1), zastępując formułę

y k+1 =y k +∆y k na y k+1 =y k-1 +2hy" k (8.5)

Ta formuła wyraża wyrafinowaną metodę Eulera. Ale w tym przypadku musisz przestrzegać następującej sekwencji działań:

Twierdzenie.

Dany:

Jeśli prawa strona DE, czyli funkcjonować , jest funkcją analityczną jego argumentów w pewnym sąsiedztwie punktu , to dla wartości wystarczająco bliskich , istnieje unikalne rozwiązanie problemu Cauchy'ego, które można przedstawić jako szereg potęgowy (szereg Taylora).

Rozważ powyższy problem Cauchy'ego. Poszukamy rozwiązania problemu Cauchy'ego dla n-tego rzędu DE w postaci szeregu Taylora w potęgach w pobliżu punktu .

Współczynniki szeregu są pochodnymi funkcji obliczonej w punkcie .

Znajdźmy je:

1) Z warunków początkowych wyznaczamy pierwsze n współczynników rozszerzalności:

;

2) Wartość (n + 1) współczynnika określa się przez podstawienie wartości w DE:

3) Aby znaleźć wszystkie kolejne współczynniki, sekwencyjnie rozróżnimy lewą i prawą część oryginalnego DE i obliczymy wartości współczynników przy użyciu warunków początkowych i wszystkich już uzyskanych współczynników.

Komentarz. Jeżeli spełnione są warunki twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, to suma cząstkowa otrzymanego szeregu Taylora będzie przybliżonym rozwiązaniem postawionego problemu Cauchy'ego.

Algorytm metody sukcesywnego różniczkowania

1. Zapisz rozwiązanie y(x) jako nieskończony szereg potęgowy w potęgach :

, gdzie

2. Określ wartości pierwszych n współczynników (tutaj n to rząd pierwotnego równania), korzystając z warunków początkowych.

3. Wyraź najwyższą pochodną z DE. Oblicz jego wartość w punkcie początkowym, korzystając z warunków początkowych. Oblicz współczynnik .

4. Różniczkując względem x wyrażenie na najwyższą pochodną z pozycji 3, znajdź pochodną n+1 funkcji . Oblicz jego wartość w punkcie początkowym, korzystając z warunków początkowych oraz wartości największej pochodnej obliczonej w kroku 3. Oblicz współczynnik .

5. Pozostałe współczynniki oblicza się analogicznie do procedury opisanej w ust. 4.

Jeśli równanie ma postać Mamy różnicę w szeregu Taylora Badamy zbieżność szeregu wynikowego, do którego podstawiamy warunki początkowe Szereg może być użyty do rozwiązywania równań algebraicznych. Vida. Rozwiązanie takich równań przeprowadza się metodą nieokreślonego współczynnika i po zróżnicowaniu.

51. Funkcje okresowe. Trygonometryczny. Wyznaczanie współczynników metodą Eulera-Fouriera.

Funkcja okresowa o okresie 2P spełniająca warunki Dirichleta na przedziale (-P, P) może być reprezentowana przez szereg Fouriera:

których współczynniki znajdują się we wzorach

W punktach ciągłości funkcji f(x) szereg Fouriera zbiega się do f(), aw punktach nieciągłości do . Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji okresowej f(x) o okresie 2l ma postać gdzie

53 Ortogonalne układy funkcji. Szeregi Fouriera względem dowolnego ortogonalnego układu funkcji. Definicja 1. Nieskończony układ funkcji f 1 (x), f 2 (x)..f n (x) (1) nazywamy ortogonalnym na odcinku [а, b] jeśli dla dowolnego n≠k równość (x) ϕ k ( x)dx=0(2) Zakłada się, że dx≠0 działa na [a, b]: f(x)=(x) (6). Wyznaczmy współczynniki z n. Załóżmy, że szereg otrzymany po pomnożeniu szeregu (6) przez dowolne ϕ k (x) dopuszcza całkowanie człon po członie. Pomnóżmy obie części równości (6) przez ϕ k (x) i całkujmy od a do b. Uwzględniając równości (2) otrzymujemy (x)ϕ k (x)dx=c k skąd (7) Współczynniki z k obliczone ze wzorów (7) nazywamy 5 współczynnikami Fouriera funkcji f (x) zgodnie układ funkcji ortogonalnych (1). Szereg (6) nazywamy szeregiem Fouriera zgodnie z układem funkcji (1).

54. Warunki Dirichleta. Warunek wystarczający do przedstawienia funkcji w szeregu Fouriera. Funkcja f(x) jest zdefiniowana i ciągła w pewnym zakresie wartości x, nazywana jest niemalejącą (nierosnącą) jeżeli z warunku x 2 >x 1 ; f (x 2) ≥ f (x 1) - niemalejąca f (x 2) ≤ f (x 1) - nierosnąca Funkcja f (x) nazywana jest odcinkowo monotoniczną na odcinku, jeśli ten odcinek można podzielić na skończoną liczbę punktów x 1, x 2, x 3 ..... x n -1 na przedziały tak, aby na każdym z przedziałów funkcja była monotoniczna, to znaczy albo nie maleje, albo nie rośnie, wynika z tego, że jeśli funkcja f(x) jest odcinkowo monotonna i ograniczona do odcinków, to może mieć punkty nieciągłości pierwszego rodzaju. x \u003d c \u003d f (c-0) \u003d f (c + 0); f (c-0) f (c + 0). T. Dirichlet. przedział x [-π; π], a następnie Fourier szereg zbudowany na tej funkcji jest zbieżny we wszystkich punktach; granica średniej arytmetycznej funkcji f(x) po prawej i lewej stronie. S(c)=(f(c-0)+f(c+0))/2. Warunki tego twierdzenia nazywane są warunkami Dirichleta.

55. Rozkład funkcji parzystych/nieparzystych w szeregu Fouriera.

Z definicji funkcji parzystej i nieparzystej wynika, że ​​jeśli ψ(х) jest funkcją parzystą, to Indeed

Ponieważ z definicji funkcji parzystej ψ(-x)= ψ(x).

Podobnie można udowodnić, że jeśli φ(x) jest funkcją nieparzystą, to jeśli funkcja nieparzysta f(x) jest rozwinięta w szereg Fouriera, to iloczyn f(x)cos(kx) również jest funkcją nieparzystą, a f(x)sin(kx) -parzyste; stąd, tj. szereg Fouriera funkcji nieparzystej zawiera „tylko sinusy”

Jeśli funkcja parzysta jest rozwinięta do szeregu Fouriera, to iloczyn f(x)sin(kx) jest funkcją nieparzystą, a f(x)cos(kx) jest funkcją parzystą, stąd

Oznacza to, że szereg Fouriera funkcji parzystej zawiera „tylko cosinusy”. Otrzymane wzory pozwalają na uproszczenie obliczeń przy wyszukiwaniu współczynników Fouriera w przypadkach, gdy dana funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Oczywiście nie każda funkcja okresowa jest parzysta lub nieparzysta.

NOWOŚCI

ZARZĄDU TOMSKIEGO REWOLUCJI PAŹDZIERNIKOWEJ I PORZĄDKU CZERWONEGO SZTANCU PRACY INSTYTUTU POLITECHNICZNEGO IM. S. M. KIROWA

ZASTOSOWANIE METODY SEKWENCYJNEJ

RÓŻNICOWANIE W OBLICZANIU PRZEJŚCIOWYCH PROCESÓW ŹRÓDEŁ ELEKTROMECHANICZNYCH

IMPULSY

A. V. LOOS

(przedstawiony przez seminarium naukowe wydziałów maszyn elektrycznych i elektrotechniki ogólnej)

Przejściowe procesy elektromaszynowych źródeł impulsów, na przykład jednofazowych generatorów wstrząsów, generatorów impulsów zaworów itp., są opisane układami równań różniczkowych o współczynnikach okresowych, których nie można wyeliminować żadnymi przekształceniami. Badania procesów przejściowych maszyn elektrycznych w ogólnym przypadku asymetrii opierają się na wykorzystaniu zasady stałego powiązania strumienia, wykorzystaniu równań całkowych, przybliżonych metod rozwiązywania itp. d. .

W niektórych przypadkach równania przebiegów nieustalonych impulsowych źródeł energii elektryczno-maszynowej można sprowadzić do równań o stałych współczynnikach, jednak konieczność rozważenia przypadku dwóch lub więcej układów uzwojeń na wirniku wymaga rozwiązania równania sześciennego lub charakterystyczne równania wyższych stopni ze złożonymi współczynnikami, co jest niemożliwe w postaci algebraicznej. Konieczność uwzględnienia nasycenia obwodu magnetycznego i zmiany prędkości obrotowej wirnika dodatkowo komplikuje rozwiązanie takich problemów. W takich przypadkach najbardziej akceptowalne jest zastosowanie analitycznych metod przybliżonego rozwiązania.

Wśród analitycznych metod całkowania przybliżonego układów równań różniczkowych bardzo powszechne jest całkowanie szeregami potęgowymi metodą różniczkowania sukcesywnego. Metoda ta ma zastosowanie zarówno do rozwiązywania układów równań różniczkowych liniowych o stałych i zmiennych współczynnikach, jak i do rozwiązywania problemów nieliniowych. Pożądane rozwiązanie szczególne jest reprezentowane jako rozwinięcie w szereg Taylora. Skuteczność zastosowania metody zależy w dużej mierze od umiejętności wykorzystania przez badacza informacji a priori o fizycznym charakterze rozwiązywanego problemu.

Rzeczywiście, jeśli skomponujemy układ równań różniczkowych dla elektromaszynowego źródła impulsów, przyjmując prądy jako nieznane funkcje, to z góry wiadomo, że rozwiązania będą reprezentowały funkcje szybko oscylujące. Oczywiście, aby przedstawić je w postaci szeregu Taylora, potrzebna będzie duża liczba terminów, czyli rozwiązanie będzie niezwykle kłopotliwe. Równania różniczkowe procesów przejściowych są korzystniejsze przy komponowaniu nie dla prądów, ale dla połączeń strumieni. Wynika to z faktu, że zmienia się połączenie strumienia uzwojeń

są znacznie mniejsze w czasie, ponieważ są to z reguły funkcje monotonicznie zmienne, do wystarczająco dokładnego przedstawienia ich w postaci rozwinięcia w szereg Taylora wystarczy kilka wyrazów. Po określeniu połączeń strumieni prądy są znajdowane przez rozwiązywanie zwykłych równań algebraicznych.

Jako przykład rozważ zastosowanie metody sukcesywnego różniczkowania do obliczenia stanów nieustalonych generatora impulsów zaworu.

Obliczenie prądu obciążenia generatora zaworowego można, ale można przeprowadzić zgodnie z krzywą obwiedni prądów fazowych otrzymaną, gdy generator synchroniczny zostanie nagle włączony do symetrycznego trójfazowego obciążenia czynnego. Wartość równoważnego symetrycznego obciążenia czynnego jest określona przez stosunek R3 - 2/sRh . Tak więc, aby obliczyć krzywą prądu obciążenia i prądów fazowych, konieczne jest rozwiązanie pełnego układu równań różniczkowych generatora synchronicznego podłączonego do symetrycznego obciążenia czynnego.

Przy określaniu prądu twornika można dodać zewnętrzną rezystancję czynną do rezystancji czynnej stojana r = R3 + rc. Równania procesów przejściowych generatora synchronicznego w osiach d, q mają postać:

pYd= - Ud - (ü^q -rld, (1)

р - - Uq + с W6 riq , (2)

P^f = Uf - rfif , (3)

P^Dd - - rodidcb (4)

PXVD:( = - rDq ioq , (5)

XfXDd - X2ag| m Xad(XDd-XaH) Tf. xad (Xj - Хпн) w

D „dri” d Tsd 9

,* _ x°q w „ xaq /7)

q ~ "Ę7™ q q "

XdXDd ~~ x"ad ig xad (xDd "~"xad) m Xad(xd Xad) -CG f ^ -D- 1 ~~ "-~D- d" ---- d" * "

XdXf X2ad yy xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w /n\ iDd = -~d- ^ Dd--D- Td --d--M" w)

D - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad(xd + xr -f X[)d) , (11)

A" = XqXDq - X2aq. (12)

Nie istnieje rozwiązanie analityczne układu równań (1-^12) w postaci ogólnej. Podjęto próbę uzyskania współczynników obliczeniowych prądów generatora synchronicznego w obecności rezystancji czynnych w obwodzie stojana. Autor popełnił jednak błąd, fizycznie związany z niedopuszczalnością założenia stałości połączeń strumienia wzdłuż osi podłużnej i poprzecznej w maszynie wirującej w obecności rezystancji czynnej w obwodzie stojana. Błąd ten wskazano w , gdzie uzyskano dokładne rozwiązanie dla przypadku jednego układu uzwojenia na wirniku i pokazano niemożność zastosowania konwencjonalnych metod rozwiązania przy rozważaniu dwóch lub więcej układów uzwojeń na wirniku. Dlatego rozważany tutaj przykład jest bardzo interesujący.

Podstawiając (6-10) do (1-5) i biorąc pod uwagę, że Ud = Uq=:0, otrzymujemy równania procesów przejściowych zapisane w odniesieniu do wiązań strumieni w postaci normalnej Kosh oraz:

[(x(x1)c1 - x.^x^ - xa(1(x0(1 - x^x^ _

3 q7~ (x00(x^ x,1(] x^)

P^ = bmr - ^ [(xc]x0c1 - x2aa) X*( - Xa(1 (XO(1 - xa)<1№

Ha<1 (хс! - Х^Ч^] ,

P \u003d--- X2a (1) ¥ 141 - hi (x ( - x ^ H ^

Hayo(Xc1 - xac1)¥(] ,

p ChTs = ^ -¿g (xh Ch^ - xach Ch^) .

Załóżmy, że przed włączeniem do obciążenia generator synchroniczny pracował na biegu jałowym z prądem wzbudzenia, wtedy warunki początkowe są na poziomie 1 = 0.

N ^ o \u003d * Gohas \u003d Mb ^ H "o \u003d 1 Goha (b ChTs0 - O, ¥C (0 \u003d 0.

W przyjętych warunkach początkowych rozwiązanie dla tf, tb, t, t, t można przedstawić jako rozwinięcie w szereg Maclaurina

Podobnie dla wiązań strumieniowych Ch^, Ch^, Tsh, Ch^. Początkowe wartości pochodnych połączeń strumieni w równaniach postaci (18) są łatwe do znalezienia w znanych warunkach początkowych przez kolejne różniczkowanie równań (13-17). Po podstawieniu początkowych wartości wiązań strumieni i ich pochodnych do równań postaci (18) otrzymujemy:

(3 = 1 Gohas1

XrX^ - x^ \

^ = Cho xac1 H

1 GHop "+2 1 ^ - 4 G ---7- W X

2 A "(x2ochg + x2achGoch)

x? 1 g (xaN (Hoa - Chls1) ®2

sho ~ 1 bramka (1 .)

1__GR(1 хас1 (х( - хас!) с°2

L Х2ad rok

(20) (21) (22) (23)

Zbieżność rozwiązań dla Ch"d, Ch^, Ch"w, Chbh można wyznaczyć badając pozostałe człony rozwinięć w szereg Maclaurina (19-23)

Kn(n) = -^m P(n+1) ^ (U), (24)

gdzie 0

Podobnie dla „Rva, Zgodnie ze znalezionymi wartościami łańcucha przepływu

Korzystając z równań (6-10) nie jest trudno znaleźć przepływy 1r "a. Zgodnie ze wzorami przekształceń liniowych wyznaczamy prądy fazowe:

1a = ¡c) coe co 1 - ¡d przy co 1(25) 1b = 1. zdarzenie 1--- 1h e1p ^--> (26)

„-c \u003d - 1a -\u003e b- (27)

Prąd obciążenia generatora impulsów zaworu znajduje się jako suma chwilowych wartości prądów fazowych 1a, 1b, ¡c tego samego znaku.

Zgodnie z rozważaną metodą, obliczenia przebiegów nieustalonych generatora impulsów zaworu wykonano przy następujących parametrach:

X(1 = = Xos! = xvh = 1,05; x(1 = xac, = 1; x(= 1,2; gs = g.-!! = goa = = 0,02; Yn = 0,05).

Na ryc. 1 przedstawia obliczone krzywe prądów fazowych \b, ¡s i prądu obciążenia ¡c. Porównanie obliczeń analitycznych z wynikami uzyskanymi na AVM MN-14 w pracy z wykorzystaniem pełnego układu równań daje

Ryż. 1. Znamionowe krzywe tokos bez generatora i obciążenia

dobra konwergencja. Oszacowanie zbieżności rozwiązania poprzez badanie pozostałego członu rozwinięcia Maclaurina (24) również pokazuje, że maksymalny błąd obliczeniowy nie przekracza 5-7%.

Metodę sukcesywnego różniczkowania można zastosować do analizy procesów przejściowych elektromaszynowych źródeł impulsów, których równania zawierają zmienne współczynniki. Badanie procesów przejściowych opisanych nieliniowymi równaniami różniczkowymi również nie napotyka na zasadnicze trudności przy stosowaniu tej metody, ale jej zastosowanie w tym przypadku może prowadzić do kłopotliwych wyrażeń. Dla prawidłowego wyboru postaci wyjściowego układu równań różniczkowych konieczne jest we wszystkich przypadkach zastosowanie informacji a priori o fizycznym obrazie procesów, co znacznie upraszcza rozwiązanie.

LITERATURA

1. I. I. Treshchev. Metody badania maszyn prądu przemiennego. "Energia", 1969.

2. A. I. In agio v. Podstawy teorii procesów przejściowych maszyny synchronicznej. Gosenergoizdat, 1960.

3. Ch. K o n k o r d i a. maszyny synchroniczne. Gosenergoizdat, 1959.

4. E. Ja Kazowski. Procesy przejściowe w maszynach elektrycznych prądu przemiennego. Wydawnictwo Akademii Nauk ZSRR, 1962.

5. L.E. Elsgolts. Równania różniczkowe i rachunek wariacyjny. "Nauka", 1969.

6. G. A. Sipailov, A. V. Loos i Yu. I. Ryabchikov. Badanie przebiegów przejściowych generatora impulsów zaworu. Izv. TPI. Prawdziwa kolekcja.