Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või mõõtmetest. Valemid on toodud pildi kujul, siin on selgitused nende rakendamiseks või nende õigsuse põhjendus. Samuti on eraldi joonisel näidatud tähemärkide vastavus valemites ja graafilised sümbolid joonisel.
Märge . Kui kolmnurgal on erilised omadused(võrdhaarne, ristkülikukujuline, võrdkülgne), võite kasutada allolevaid valemeid, aga ka spetsiaalseid valemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade jaoks:
Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- kolmnurga ümber oleva ringjoone raadius
h- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α
- kolmnurga a vastaskülje nurk
β
- kolmnurga vastaskülje b nurk
γ
- kolmnurga vastaskülje c nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele a, b, c
Pange tähele, et antud märge vastab ülaltoodud joonisele, nii et lahendamisel tõeline ülesanne geomeetrias oli teil visuaalselt lihtsam asendada õiged kohad valemid õiged väärtused.
Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetria probleemide lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mille sarnast siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes sümboli "" asemel Ruutjuur" saab kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Mõnikord saab sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √
Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm Nende vaheline nurk on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.
Lahendus.
Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala on võimalik leida läbi kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ
Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemis asendada ainult ülesande tingimuse väärtused:
S=1/2*5*6*sin60
Väärtuste tabelis trigonomeetrilised funktsioonid leida ja asendada avaldises siinuse väärtus 60 kraadi. See võrdub kolme kahega juurega.
S = 15 √3/2
Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest on ilmselt võimalik jätta 15 √3/2)
Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.
Lahendus.
Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:
S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
Kuna a \u003d b \u003d c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:
S = √3 / 4 * a2
S = √3 / 4 * 3 2
Vastus: 9 √3 / 4.
Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui küljed neljakordistada?
Lahendus.
Kuna me ei tea kolmnurga külgede mõõtmeid, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel, et probleemi küsimusele vastata, leiame selle piirkonna antud kolmnurk ja seejärel leidke kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.
Järgmisena anname ülesande lahenduse tekstilise selgituse sammude kaupa. Päris lõpus esitatakse aga sama lahendus graafilisel kujul, mis on tajumiseks mugavam. Soovijad saavad lahenduse kohe alla panna.
Lahendamiseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:
S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)
Suvalise kolmnurga külgede pikkused on antud muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:
S 2 = 1/4 ruutmeetrit((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)
Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta vastavalt üldreeglid matemaatika.
Siis
S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida
Numbrist 256 on ruutjuur suurepäraselt välja võetud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva joonise viiendat rida)
Ülesandes püstitatud küsimusele vastamiseks piisab, kui jagame saadud kolmnurga pindala esialgse kolmnurga pindalaga.
Pindala suhted määrame, jagades avaldised üksteiseks ja vähendades saadud murdosa.
Vastupidisest tipust) ja jagage saadud korrutis kahega. Vormis näeb see välja selline:
S = ½ * a * h,
kus:
S on kolmnurga pindala,
a on selle külje pikkus,
h on sellele küljele langetatud kõrgus.
Külje pikkus ja kõrgus tuleb esitada samades ühikutes. Sel juhul osutub kolmnurga pindala vastavates "" ühikutes.
Näide.
20 cm pikkuse skaala kolmnurga ühel küljel on langetatud 10 cm pikkune risti vastupidisest tipust.
Kolmnurga pindala on nõutav.
Lahendus.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Kui teate skaala kolmnurga mis tahes kahe külje pikkust ja nende vahelist nurka, kasutage valemit:
S = ½ * a * b * sinγ,
kus: a, b on kahe suvalise külje pikkused ja γ on nendevaheline nurk.
Praktikas on näiteks maa mõõtmisel ülaltoodud valemite kasutamine mõnikord keeruline, kuna see nõuab täiendavaid konstruktsioone ja nurkade mõõtmist.
Kui teate skaala kolmnurga kõigi kolme külje pikkust, kasutage Heroni valemit:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
a, b, c on kolmnurga külgede pikkused,
р – poolperimeeter: p = (a+b+c)/2.
Kui lisaks kõigi külgede pikkustele on teada ka kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius, kasutage järgmist kompaktset valemit:
kus: r on sisse kirjutatud ringi raadius (p on poolperimeeter).
Piiratud ringi skaala kolmnurga pindala ja selle külgede pikkuse arvutamiseks kasutage valemit:
kus: R on piiritletud ringi raadius.
Kui kolmnurga ühe külje ja kolme nurga pikkus on teada (põhimõtteliselt piisab kahest - kolmanda väärtus arvutatakse kolmnurga kolme nurga summa võrdusest - 180º), siis kasutage valem:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
kus α on külje a vastasnurga väärtus;
β, γ on kolmnurga ülejäänud kahe nurga väärtused.
Vajadus leida erinevaid elemente, sealhulgas piirkond kolmnurk, ilmus astronoomide seas palju sajandeid enne meie ajastut Vana-Kreeka. Ruut kolmnurk saab arvutada erinevaid viise kasutades erinevaid valemeid. Arvutusmeetod sõltub sellest, millistest elementidest kolmnurk teatud.
Juhend
Kui tingimusest teame kahe külje b, c väärtused ja nende poolt moodustatud nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = (bcsin?)/2.
Kui tingimusest teame kahe külje a, b väärtused ja nende poolt moodustamata nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmiselt:
Nurga leidmine?, patt? = bsin? / a, määrame tabelis edasi nurga enda.
Nurga leidmine? = 180°-?-?.
Leia ala ise S = (absin?)/2.
Kui tingimusest teame ainult kolme külje väärtusi kolmnurk a, b ja c, seejärel pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , kus p on poolperimeeter p = (a+b+c)/2
Kui probleemi seisukorra järgi teame kõrgust kolmnurk h ja külg, kuhu see kõrgus on langetatud, seejärel ala kolmnurk ABC valemi järgi:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
Kui me teame külgede väärtusi kolmnurk a, b, c ja piiritletava raadius antud lähedal kolmnurk R, siis selle pindala kolmnurk ABC määratakse järgmise valemiga:
S = abc/4R.
Kui on teada kolm külge a, b, c ja sisse kirjutatud raadius, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = pr, kus p on poolperimeeter, p = (a+b+c)/2.
Kui ABC on võrdkülgne, leitakse pindala valemiga:
S = (a^2v3)/4.
Kui kolmnurk ABC on võrdhaarne, määratakse pindala valemiga:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kus c on kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk, määratakse pindala valemiga:
S = ab/2, kus a ja b on jalad kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, määratakse pindala valemiga:
S = c^2/4 = a^2/2, kus c on hüpotenuus kolmnurk, a=b - jalg.
Seotud videod
Allikad:
Ainult ühe parameetri (nurga väärtuse) teadmisest pindala leidmiseks ei piisa tre ruut . Kui on lisamõõtmeid, siis pindala määramiseks saab valida ühe valemitest, milles ühe teadaoleva muutujana kasutatakse ka nurga väärtust. Allpool on loetletud mõned kõige sagedamini kasutatavad valemid.
Juhend
Kui lisaks kahe külje moodustatud nurgale (γ). tre ruut , siis on teada ka nende külgede (A ja B) pikkused ruut(S) arvud võib defineerida poolena külje pikkuste ja selle teadaoleva nurga siinuse korrutisest: S=½×A×B×sin(γ).
Kolmnurk on tuntud kujund. Ja seda hoolimata selle vormide rikkalikust mitmekesisusest. Ristkülikukujuline, võrdkülgne, terav, võrdhaarne, nürikujuline. Igaüks neist on mõnevõrra erinev. Kuid iga jaoks on vaja teada kolmnurga pindala.
Neis vastu võetud nimetused: küljed - a, b, c; kõrgused vastavatel külgedel kohtadel a, n in, n s.
1. Kolmnurga pindala arvutatakse ½, sellele langetatud külje ja kõrguse korrutisena. S = ½ * a * n a. Samamoodi tuleks kirjutada valemid kahe teise külje jaoks.
2. Heroni valem, milles esineb poolperimeeter (tavaliselt tähistatakse seda erinevalt täisperimeetrist väikese tähega p). Poolperimeeter tuleb arvutada järgmiselt: liidage kokku kõik küljed ja jagage need 2-ga. Poolperimeetri valem: p \u003d (a + b + c) / 2. Seejärel võrdus joonis näeb välja selline: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).
3. Kui te ei soovi poolperimeetrit kasutada, tuleb kasuks selline valem, milles on ainult külgede pikkused: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). See on mõnevõrra pikem kui eelmine, kuid see aitab, kui unustasite poolperimeetri leidmise.
Valemite lugemiseks vajalik märge: α, β, γ - nurgad. Need asuvad vastavalt vastaskülgedel a, b, c.
1. Selle järgi on pool kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest võrdne kolmnurga pindalaga. See tähendab: S = ½ a * b * sin γ. Ülejäänud kahe juhtumi valemid tuleks kirjutada sarnaselt.
2. Kolmnurga pindala saab arvutada ühe külje ja kolme teadaoleva nurga järgi. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Ühega on veel üks valem tuntud pidu ja kaks külgnevat nurka. See näeb välja selline: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Kaks viimast valemit ei ole kõige lihtsamad. Neid on päris raske meeles pidada.
Lisatähistused: r, R — raadiused. Esimest kasutatakse sisse kirjutatud ringi raadiuse jaoks. Teine on kirjeldatud jaoks.
1. Esimene valem, mille abil arvutatakse kolmnurga pindala, on seotud poolperimeetriga. S = r * r. Teisel viisil saab selle kirjutada järgmiselt: S \u003d ½ r * (a + b + c).
2. Teisel juhul peate korrutama kolmnurga kõik küljed ja jagama need piiritletud ringi neljakordse raadiusega. AT sõnasõnaline väljendus see näeb välja selline: S = (a * b * c) / (4R).
3. Kolmas olukord võimaldab teil teha külgi teadmata, kuid teil on vaja kõigi kolme nurga väärtusi. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
See on kõige lihtsam olukord, kuna nõutakse ainult mõlema jala pikkust. Neid tähistatakse ladina tähtedega a ja b. Täisnurkse kolmnurga pindala on võrdne poolega sellele lisatud ristküliku pindalast.
Matemaatiliselt näeb see välja järgmine: S = ½ a * b. Teda on kõige lihtsam meeles pidada. Kuna see näeb välja nagu ristküliku pindala valem, kuvatakse ainult murdosa, mis tähistab poolt.
Kuna selle kaks külge on võrdsed, näivad mõned selle ala valemid mõnevõrra lihtsustatud. Näiteks Heroni valem, mis arvutab võrdhaarse kolmnurga pindala, on järgmisel kujul:
S = ½ tolli √((a + ½ tolli)*(a - ½ tolli)).
Kui teisendate selle, muutub see lühemaks. Sel juhul kirjutatakse Heroni valem võrdhaarse kolmnurga jaoks järgmiselt:
S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).
Pindala valem tundub mõnevõrra lihtsam kui suvalise kolmnurga puhul, kui küljed ja nendevaheline nurk on teada. S \u003d ½ a 2 * sin β.
Tavaliselt on temaga seotud probleemides pool teada või seda saab kuidagi ära tunda. Siis on sellise kolmnurga pindala leidmise valem järgmine:
S = (a 2 √3) / 4.
Lihtsaim olukord on siis, kui joonistatakse täisnurkne kolmnurk nii, et selle jalad langevad kokku paberi joontega. Siis peate lihtsalt loendama jalgadesse mahtuvate rakkude arvu. Seejärel korrutage need ja jagage kahega.
Kui kolmnurk on terav või nüri, tuleb see tõmmata ristkülikuks. Siis on saadud joonisel 3 kolmnurka. Üks on ülesandes antud. Ja ülejäänud kaks on abi- ja ristkülikukujulised. Kahe viimase pindalad tuleb määrata ülalkirjeldatud meetodil. Seejärel arvutage ristküliku pindala ja lahutage sellest abipindade jaoks arvutatud väärtus. Kolmnurga pindala määratakse.
Palju keerulisem on olukord, kus kolmnurga ükski külg ei lange kokku paberi joontega. Seejärel tuleb see kirjutada ristkülikusse nii, et algkuju tipud jääksid selle külgedele. Sel juhul on kolm täiendavat täisnurkset kolmnurka.
Seisund. Mõnel kolmnurgal on küljed. Need on võrdsed 3, 5 ja 6 cm. Peate teadma selle pindala.
Nüüd saate ülaltoodud valemi abil arvutada kolmnurga pindala. Ruutjuure all on nelja arvu korrutis: 7, 4, 2 ja 1. See tähendab, et pindala on √ (4 * 14) = 2 √ (14).
Kui te ei vaja suuremat täpsust, võite võtta ruutjuure 14-st. See on 3,74. Siis on pindala 7,48.
Vastus. S \u003d 2 √14 cm 2 või 7,48 cm 2.
Seisund. Täisnurkse kolmnurga üks jalg on teisest 31 cm pikem. Nende pikkused tuleb välja selgitada, kui kolmnurga pindala on 180 cm 2.
Lahendus. Peate lahendama kahe võrrandi süsteemi. Esimene on seotud alaga. Teine on jalgade suhtega, mis on antud ülesandes.
180 \u003d ½ a * b;
a \u003d b + 31.
Esiteks tuleb "a" väärtus asendada esimeses võrrandis. Selgub: 180 \u003d ½ (in + 31) * tolli. Sellel on ainult üks teadmata kogus, seega on seda lihtne lahendada. Pärast sulgude avamist saame ruutvõrrand: in 2 + 31 in - 360 = 0. See annab kaks väärtust "in" jaoks: 9 ja - 40. Teine arv ei sobi vastuseks, kuna kolmnurga külje pikkus ei saa olla negatiivne väärtus.
Jääb üle arvutada teine jalg: saadud arvule lisage 31. Selgub, et 40. Need on ülesandes otsitavad kogused.
Vastus. Kolmnurga jalad on 9 ja 40 cm.
Seisund. Mõne kolmnurga pindala on 60 cm2. On vaja arvutada üks selle külgedest, kui teine külg on 15 cm ja nende vaheline nurk on 30º.
Lahendus. Aktsepteeritud tähiste alusel on soovitud külg “a”, teada “b”, antud nurk “γ”. Seejärel saab pindala valemi ümber kirjutada järgmiselt:
60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Siin on 30 kraadi siinus 0,5.
Pärast teisendusi osutub "a" võrdseks 60 / (0,5 * 0,5 * 15). See on 16.
Vastus. Soovitud külg on 16 cm.
Seisund. 24 cm küljega ruudu tipp langeb kokku kolmnurga täisnurgaga. Ülejäänud kaks lebavad jalgadel. Kolmas kuulub hüpotenuusile. Ühe jala pikkus on 42 cm. Kui suur on täisnurkse kolmnurga pindala?
Lahendus. Mõelge kahele täisnurksele kolmnurgale. Esimene on ülesandes täpsustatud. Teine põhineb kuulus jalg algne kolmnurk. Need on sarnased, kuna neil on ühine nurk ja need on moodustatud paralleelsete joontega.
Siis on nende jalgade suhted võrdsed. Väiksema kolmnurga jalad on 24 cm (ruudu külg) ja 18 cm (antud jalg 42 cm miinus ruudu külg 24 cm). Suure kolmnurga vastavad jalad on 42 cm ja x cm. Just seda "x" on vaja kolmnurga pindala arvutamiseks.
18/42 \u003d 24 / x, see tähendab x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).
Siis võrdub pindala 56 ja 42 korrutisega, mis on jagatud kahega, see tähendab 1176 cm 2.
Vastus. Soovitud pindala on 1176 cm2.
Mõnikord tuleb elus ette olukordi, kus ammu unustatud kooliteadmiste otsimisel tuleb süveneda oma mällu. Näiteks peate määrama kolmnurkse maatüki pindala või korteris või eramajas on saabunud järgmise remondi käik ja peate arvutama, kui palju materjali alles jääb. pinna jaoks koos kolmnurkne kuju. Oli aeg, mil saite sellise probleemi mõne minutiga lahendada ja nüüd proovite meeleheitlikult meeles pidada, kuidas kolmnurga pindala määrata?
Sa ei pea selle pärast muretsema! On ju täiesti normaalne, kui inimaju otsustab pikalt kasutamata teadmised kuhugi kaugemasse nurka nihutada, millest vahel polegi nii lihtne ammutada. Selleks, et te ei peaks sellise probleemi lahendamiseks unustatud kooliteadmiste otsimisega kannatama, sisaldab see artikkel erinevaid meetodeid, mis muudavad kolmnurga soovitud ala leidmise lihtsaks.
On hästi teada, et kolmnurk on teatud tüüpi hulknurk, mis on piiratud minimaalse võimaliku külgede arvuga. Põhimõtteliselt saab iga hulknurga jagada mitmeks kolmnurgaks, ühendades selle tipud segmentidega, mis ei ristu selle külgi. Seetõttu saate kolmnurka teades arvutada peaaegu iga kujundi pindala.
Kõigi võimalike elus esinevate kolmnurkade hulgast saab eristada järgmisi konkreetseid tüüpe: ja ristkülikukujulised.
Lihtsaim viis kolmnurga pindala arvutamiseks on siis, kui selle üks nurk on õige, st täisnurkse kolmnurga puhul. On lihtne näha, et see on pool ristkülikut. Seetõttu on selle pindala võrdne poolega nende külgede korrutisest, mis moodustavad nende vahel täisnurga.
Kui me teame kolmnurga kõrgust, mis on langetatud selle ühest tipust vastasküljele, ja selle külje pikkust, mida nimetatakse aluseks, siis arvutatakse pindala poolena kõrguse ja aluse korrutisest. See on kirjutatud järgmise valemi abil:
S = 1/2*b*h, milles
S on kolmnurga soovitud pindala;
b, h - vastavalt kolmnurga kõrgus ja alus.
Võrdhaarse kolmnurga pindala on nii lihtne arvutada, kuna kõrgus poolitab vastaskülje ja seda saab hõlpsasti mõõta. Kui pindala on määratud, siis on mugav võtta kõrguseks ühe täisnurga moodustava külje pikkus.
See kõik on kindlasti hea, aga kuidas teha kindlaks, kas kolmnurga üks nurkadest on õige või mitte? Kui meie figuuri suurus on väike, saate kasutada ehitusnurka, joonistuskolmnurka, postkaarti või muud objekti ristkülikukujuline.
Aga mis siis, kui meil on kolmnurk maatükk? Sel juhul toimige järgmiselt: loendage pakutud ülaosast täisnurkühel küljel mõõdetakse kauguse kordne 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) ja teisel pool kauguse kordne 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) samas proportsioonis. Nüüd peate mõõtma nende kahe segmendi lõpp-punktide vahelist kaugust. Kui väärtus on 5-kordne (50 cm, 250 cm, 5 m), siis võib väita, et nurk on õige.
Kui meie joonise iga kolme külje pikkuse väärtus on teada, saab kolmnurga pindala määrata Heroni valemi abil. Et sellel oleks lihtsam vorm, kasutatakse uut väärtust, mida nimetatakse poolperimeetriks. See on meie kolmnurga kõigi külgede summa, jagatud pooleks. Pärast poolperimeetri arvutamist saate ala määrata järgmise valemi abil:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus
sqrt - ruutjuur;
p on poolperimeetri väärtus (p =(a+b+c)/2);
a, b, c - kolmnurga servad (küljed).
Aga mis siis, kui kolmnurgal on ebakorrapärane kuju? Siin on kaks võimalikku viisi. Esimene neist on püüda selline kujund jagada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindalade summa arvutatakse eraldi välja ja seejärel liidetakse. Või kui kahe külje vaheline nurk ja nende külgede suurus on teada, rakendage valemit:
S = 0,5 * ab * sinC, kus
a,b - kolmnurga küljed;
c on nende külgede vaheline nurk.
Viimane juhtum on praktikas haruldane, kuid sellegipoolest on elus kõik võimalik, nii et ülaltoodud valem ei ole üleliigne. Edu teile arvutustes!
Kolmnurk on lihtsaim geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest tipust. Kolmnurka on oma lihtsuse tõttu kasutatud juba iidsetest aegadest erinevate mõõtmiste tegemiseks ning tänapäeval võib kujundist kasu olla praktiliste ja igapäevaste probleemide lahendamisel.
Joonist on arvutusteks kasutatud juba iidsetest aegadest, näiteks maamõõtjad ja astronoomid opereerivad pindalade ja kauguste arvutamiseks kolmnurkade omadusi. Selle joonise pindala kaudu on lihtne väljendada mis tahes n-nurga pindala ja seda omadust kasutasid iidsed teadlased hulknurkade pindalade valemite tuletamiseks. Püsiv töökoht kolmnurkadega, eriti täisnurkse kolmnurgaga, on saanud aluseks tervele matemaatika lõigule - trigonomeetriale.
Omadused geomeetriline kujund on uuritud iidsetest aegadest: varaseimad andmed kolmnurga kohta leiti Egiptuse papüürustest, mis on 4000 aastat vanad. Seejärel uuriti figuuri Vana-Kreekas ja suurima panuse kolmnurga geomeetriasse andsid Eukleides, Pythagoras ja Heron. Kolmnurga uurimine ei lõppenud kunagi ning Leonhard Euler võttis 18. sajandil kasutusele kujundi ortotsentri ja Euleri ringi mõiste. 19. ja 20. sajandi vahetusel, kui tundus, et kolmnurgast teatakse absoluutselt kõike, sõnastas Frank Morley nurga trisektriksi teoreemi ja Vaclav Sierpinski pakkus välja fraktaalkolmnurga.
Meile on kooli geomeetria kursusest tuttavad mitut tüüpi lamedaid kolmnurki:
Pindala on hinnang selle kohta, kui suurt osa tasapinnast joonis piirab. Kolmnurga pindala saab leida kuuel viisil, kasutades külgi, kõrgust, nurki, sissekirjutatud või piiritletud ringi raadiust, aga ka Heroni valemit või topeltintegraali arvutamist tasapinda piiravate joonte kohal. Kõige lihtne valem kolmnurga pindala arvutamine näeb välja järgmine:
kus a on kolmnurga külg, h on selle kõrgus.
Kuid praktikas ei ole meil alati mugav geomeetrilise kujundi kõrgust leida. Meie kalkulaatori algoritm võimaldab teil pindala arvutada, teades:
Pindala määramiseks kolme külje järgi kasutame Heroni valemit:
S = ruut (p × (p-a) × (p–b) × (p–c)),
kus p on kolmnurga poolperimeeter.
Kahe külje pindala ja nurk arvutatakse klassikalise valemi järgi:
S = a × b × sin(alfa),
kus alfa on külgede a ja b vaheline nurk.
Ühe külje ja kahe nurga läbiva ala määramiseks kasutame seost:
a / sin(alfa) = b / sin(beeta) = c / sin(gamma)
Lihtsa proportsiooni abil määrame teise külje pikkuse, mille järel arvutame pindala valemiga S = a × b × sin(alfa). See algoritm on täielikult automatiseeritud ja teil on vaja ainult sisestada etteantud muutujad ja saada tulemus. Vaatame paari näidet.
Oletame, et soovite sillutada põranda kolmnurksete plaatidega ja määrata selle koguse vajalik materjal, peaksite välja selgitama ühe plaadi pindala ja põranda pindala. Oletame, et peate töötlema 6 ruutmeetrit pinda, kasutades plaate, mille mõõtmed on \u003d 20 cm, b \u003d 21 cm, c \u003d 29 cm. Ilmselgelt tuleb kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada kalkulaator kasutab Heroni valemit ja annab tulemuse:
Seega on ühe plaadielemendi pindala 0,021 ruutmeeter, ja põranda kaunistamiseks vajate 6/0,021 = 285 kolmnurka. Arvud 20, 21 ja 29 moodustavad Pythagorase kolmikarvud, mis rahuldavad . Ja see on õige, meie kalkulaator arvutas välja ka kolmnurga kõik nurgad ja gamma nurk on täpselt 90 kraadi.
AT kooli ülesanne on vaja leida kolmnurga pindala, teades, et külg a = 5 cm ning haava nurgad alfa ja beeta on vastavalt 30 ja 50 kraadi. Selle ülesande käsitsi lahendamiseks leiame esmalt külje b väärtuse, kasutades vastasnurkade külgede ja siinuste suhet ning seejärel pindala, kasutades lihtsat valemit S = a × b × sin(alfa). Hoiame aega kokku, sisestame andmed kalkulaatori vormi ja saame kohe vastuse
Kalkulaatori kasutamisel on oluline nurgad ja küljed õigesti määrata, vastasel juhul jääb tulemus vale.
Kolmnurk on ainulaadne kujund, mis esineb nii päriselus kui ka abstraktsetes arvutustes. Kasutage meie veebikalkulaatorit mis tahes tüüpi kolmnurkade pindala leidmiseks.
