Kolmnurga pindala määramiseks võite kasutada erinevaid valemeid. Kõigist meetoditest on kõige lihtsam ja sagedamini kasutatav kõrguse korrutamine aluse pikkusega ja seejärel tulemuse jagamine kahega. See meetod pole aga kaugeltki ainus. Altpoolt saate lugeda, kuidas leida kolmnurga pindala erinevate valemite abil.
Eraldi käsitleme konkreetset tüüpi kolmnurga pindala arvutamise meetodeid - ristkülikukujuline, võrdhaarne ja võrdkülgne. Iga valemiga on kaasas lühike selgitus, mis aitab teil mõista selle olemust.
Alltoodud valemid kasutavad spetsiaalset tähistust. Me dešifreerime neist igaüks:
On loogiliselt selge, miks saate sel viisil kolmnurga pindala leida. Kolmnurga saab hõlpsasti täiendada rööpkülikuks, milles kolmnurga üks külg toimib diagonaalina. Rööpküliku pindala leitakse, korrutades selle ühe külje pikkust sellele tõmmatud kõrguse väärtusega. Diagonaal jagab selle tingimusliku rööpküliku kaheks identseks kolmnurgaks. Seetõttu on üsna ilmne, et meie algse kolmnurga pindala peaks olema võrdne poolega selle abi rööpküliku pindalast.
S=½ a b sin γ
Selle valemi kohaselt leitakse kolmnurga pindala, korrutades selle kahe külje, st a ja b, pikkused nende moodustatud nurga siinusega. See valem on loogiliselt tuletatud eelmisest. Kui alandame kõrgust nurgast β küljele b, siis vastavalt täisnurkse kolmnurga omadustele saame külje a pikkuse korrutamisel nurga γ siinusega kolmnurga kõrguseks ehk h.
Vaadeldava joonise pindala leitakse, korrutades poole ringi raadiusest, mille saab sellesse kirjutada, selle ümbermõõduga. Teisisõnu leiame mainitud ringi poolperimeetri ja raadiuse korrutise.
S = a b c/4R
Selle valemi järgi saab meile vajaliku väärtuse leida, jagades kujundi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega.
Need valemid on universaalsed, kuna need võimaldavad määrata mis tahes kolmnurga pindala (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne, täisnurkne). Seda saab teha keerukamate arvutuste abil, millel me täpsemalt ei peatu.
Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala? Selle figuuri eripäraks on see, et selle kaks külge on samaaegselt selle kõrgused. Kui a ja b on jalad ja c muutub hüpotenuusiks, leitakse ala järgmiselt:
Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala? Sellel on kaks külge pikkusega a ja üks külg pikkusega b. Seetõttu saab selle pindala määrata, jagades külje a ruudu korrutise nurga γ siinusega 2-ga.
Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala? Selles on kõigi külgede pikkus a ja kõigi nurkade väärtus α. Selle kõrgus on pool külje pikkuse korrutisest ruutjuurega 3. Tavalise kolmnurga pindala leidmiseks vajate külje a ruutu, mis on korrutatud ruutjuurega 3 ja jagatud 4-ga.
Mõnikord tuleb elus ette olukordi, kus ammu unustatud kooliteadmiste otsimisel tuleb süveneda oma mällu. Näiteks peate määrama kolmnurkse maatüki pindala või korteris või eramajas on saabunud järgmise remondi käik ja peate arvutama, kui palju materjali alles jääb. pinna jaoks koos kolmnurkne kuju. Oli aeg, mil saite sellise probleemi mõne minutiga lahendada ja nüüd proovite meeleheitlikult meeles pidada, kuidas kolmnurga pindala määrata?
Sa ei pea selle pärast muretsema! On ju täiesti normaalne, kui inimaju otsustab pikalt kasutamata teadmised kuhugi kaugemasse nurka nihutada, millest vahel polegi nii lihtne ammutada. Selleks, et te ei peaks sellise probleemi lahendamiseks unustatud kooliteadmiste otsimisega kannatama, sisaldab see artikkel erinevaid meetodeid, mis muudavad kolmnurga soovitud ala leidmise lihtsaks.
On hästi teada, et kolmnurk on teatud tüüpi hulknurk, mis on piiratud minimaalse võimaliku külgede arvuga. Põhimõtteliselt saab iga hulknurga jagada mitmeks kolmnurgaks, ühendades selle tipud segmentidega, mis ei ristu selle külgi. Seetõttu saate kolmnurka teades arvutada peaaegu iga kujundi pindala.
Kõigi võimalike elus esinevate kolmnurkade hulgast saab eristada järgmisi konkreetseid tüüpe: ja ristkülikukujulised.
Lihtsaim viis kolmnurga pindala arvutamiseks on siis, kui üks selle nurkadest on õige, st kui täisnurkne kolmnurk. On lihtne näha, et see on pool ristkülikut. Seetõttu on selle pindala võrdne poolega nende külgede korrutisest, mis moodustavad nende vahel täisnurga.
Kui teame kolmnurga kõrgust, mis on langetatud selle ühest tipust vastasküljele, ja selle külje pikkust, mida nimetatakse aluseks, siis arvutatakse pindala poolena kõrguse ja aluse korrutisest. See on kirjutatud järgmise valemi abil:
S = 1/2*b*h, milles
S on kolmnurga soovitud pindala;
b, h - vastavalt kolmnurga kõrgus ja alus.
Võrdhaarse kolmnurga pindala on nii lihtne arvutada, kuna kõrgus poolitab vastaskülje ja seda saab hõlpsasti mõõta. Kui pindala on määratud, siis on mugav võtta kõrguseks ühe täisnurga moodustava külje pikkus.
See kõik on kindlasti hea, aga kuidas teha kindlaks, kas kolmnurga üks nurkadest on õige või mitte? Kui meie figuuri suurus on väike, saate kasutada ehitusnurka, joonistuskolmnurka, postkaarti või muud objekti ristkülikukujuline.
Aga mis siis, kui meil on kolmnurk maatükk? Sel juhul toimige järgmiselt: loendage pakutud ülaosast täisnurkühel küljel mõõdetakse kauguse kordne 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) ja teisel pool kauguse kordne 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) samas proportsioonis. Nüüd peate mõõtma nende kahe segmendi lõpp-punktide vahelist kaugust. Kui väärtus on 5-kordne (50 cm, 250 cm, 5 m), siis võib väita, et nurk on õige.
Kui meie joonise iga kolme külje pikkuse väärtus on teada, saab kolmnurga pindala määrata Heroni valemi abil. Et sellel oleks lihtsam vorm, kasutatakse uut väärtust, mida nimetatakse poolperimeetriks. See on meie kolmnurga kõigi külgede summa, jagatud pooleks. Pärast poolperimeetri arvutamist saate ala määrata järgmise valemi abil:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus
ruut- Ruutjuur;
p on poolperimeetri väärtus (p =(a+b+c)/2);
a, b, c - kolmnurga servad (küljed).
Aga mis siis, kui kolmnurgal on ebakorrapärane kuju? Siin on kaks võimalikku viisi. Esimene neist on püüda selline kujund jagada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindalade summa arvutatakse eraldi välja ja seejärel liidetakse. Või kui kahe külje vaheline nurk ja nende külgede suurus on teada, rakendage valemit:
S = 0,5 * ab * sinC, kus
a,b - kolmnurga küljed;
c on nende külgede vaheline nurk.
Viimane juhtum on praktikas haruldane, kuid sellegipoolest on elus kõik võimalik, nii et ülaltoodud valem ei ole üleliigne. Edu teile arvutustes!
Kolmnurk on selline geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest sirgjoonest, mis ühenduvad punktides, mis ei asu ühel sirgel. Joonte ühenduspunktideks on kolmnurga tipud, mida tähistatakse ladina tähtedega (näiteks A, B, C). Kolmnurga ühendavaid sirgeid nimetatakse lõikudeks, mida tavaliselt tähistatakse ka ladina tähtedega. Kolmnurki on järgmist tüüpi:
S=a*h/2,
kus a on selle kolmnurga külje pikkus, mille pindala tuleb leida, h on aluse kõrguse pikkus.
S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
kus √ on ruutjuur, p on kolmnurga poolperimeeter, a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus. Kolmnurga poolperimeetrit saab arvutada valemiga p=(a+b+c)/2.
S = (a*b*sin(α))/2,
kus b,c on kolmnurga külgede pikkus, sin (α) on kahe külje vahelise nurga siinus.
S=p*r,
kus p on selle kolmnurga poolperimeeter, mille pindala tuleb leida, r on sellesse kolmnurka kantud ringi raadius.
S= (a*b*c)/4*R,
kus a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus, R on kolmnurka ümbritseva ringjoone raadius.
Punktide ristkoordinaadid on koordinaadid xOy süsteemis, kus x on abstsiss ja y on ordinaat. Tasapinnal asuvat Descartes'i koordinaatide süsteemi xOy nimetatakse vastastikku risti asetsevateks arvtelgedeks Ox ja Oy, millel on ühine tugipunkt punktis O. Kui selle tasapinna punktide koordinaadid on antud kujul A (x1, y1), B (x2) , y2) ja C (x3, y3 ), siis saate kolmnurga pindala arvutada järgmise valemi abil, mis saadakse kahe vektori ristkorrutisest.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kus || tähistab moodulit.
Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgal võib olla ainult üks selline nurk.
S=a*b/2,
kus a,b on jalgade pikkus. Jalgu nimetatakse täisnurgaga külgnevateks külgedeks.
S = a*b*sin(α)/2,
kus a, b on kolmnurga jalad ja sin(α) on nurga siinus, mille all sirged a, b ristuvad.
S = a*b/2*tg(β),
kus a, b on kolmnurga jalad, tg(β) on nurga puutuja, mille all jalad a, b on ühendatud.
Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks võrdsed küljed. Neid külgi nimetatakse külgedeks ja teine pool on alus. Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada ühte järgmistest valemitest.
S=h*c/2,
kus c on kolmnurga alus, h on selle kolmnurga kõrgus, mis on langetatud alusele.
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kus c on kolmnurga alus, a on võrdhaarse kolmnurga ühe külje väärtus.
Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
S = (√3*a*a)/4,
kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.
Ülaltoodud valemid võimaldavad teil arvutada kolmnurga vajaliku pindala. Oluline on meeles pidada, et kolmnurkade vahekauguse arvutamiseks tuleb arvestada kolmnurga tüüpi ja olemasolevaid andmeid, mida saab arvutamiseks kasutada.
Kolmnurk on lihtsaim geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest tipust. Tänu oma lihtsusele on kolmnurka kasutatud juba iidsetest aegadest erinevate mõõtmiste tegemiseks ning tänapäeval võib kujund olla kasulik praktiliste ja igapäevaste probleemide lahendamisel.
Joonist on arvutusteks kasutatud juba iidsetest aegadest, näiteks maamõõtjad ja astronoomid opereerivad pindalade ja kauguste arvutamiseks kolmnurkade omadusi. Selle joonise pindala kaudu on lihtne väljendada mis tahes n-nurga pindala ja seda omadust kasutasid iidsed teadlased hulknurkade pindalade valemite tuletamiseks. Püsiv töökoht kolmnurkadega, eriti täisnurkse kolmnurgaga, on saanud aluseks tervele matemaatika lõigule - trigonomeetriale.
Geomeetrilise kujundi omadusi on uuritud juba iidsetest aegadest: varaseimad andmed kolmnurga kohta leiti Egiptuse papüürustest, mis on 4000 aastat vanad. Seejärel uuriti figuuri aastal Vana-Kreeka ja suurima panuse kolmnurga geomeetriasse andsid Euclid, Pythagoras ja Heron. Kolmnurga uurimine ei lõppenud kunagi ning Leonhard Euler võttis 18. sajandil kasutusele kujundi ortotsentri ja Euleri ringi mõiste. 19. ja 20. sajandi vahetusel, kui tundus, et kolmnurgast teatakse absoluutselt kõike, sõnastas Frank Morley nurga trisektriksi teoreemi ja Vaclav Sierpinski pakkus välja fraktaalkolmnurga.
Meile on kooli geomeetria kursusest tuttavad mitut tüüpi lamedaid kolmnurki:
Pindala on hinnang selle kohta, kui suurt osa tasapinnast joonis piirab. Kolmnurga pindala saab leida kuuel viisil, kasutades külgi, kõrgust, nurki, sissekirjutatud või piiritletud ringi raadiust, aga ka Heroni valemit või topeltintegraali arvutamist tasapinda piiravate joonte kohal. Kõige lihtne valem kolmnurga pindala arvutamine näeb välja järgmine:
kus a on kolmnurga külg, h on selle kõrgus.
Kuid praktikas ei ole meil alati mugav geomeetrilise kujundi kõrgust leida. Meie kalkulaatori algoritm võimaldab teil pindala arvutada, teades:
Pindala määramiseks kolme külje järgi kasutame Heroni valemit:
S = ruut (p × (p-a) × (p–b) × (p–c)),
kus p on kolmnurga poolperimeeter.
Kahe külje pindala ja nurk arvutatakse klassikalise valemi järgi:
S = a × b × sin(alfa),
kus alfa on külgede a ja b vaheline nurk.
Ühe külje ja kahe nurga läbiva ala määramiseks kasutame seost:
a / sin(alfa) = b / sin(beeta) = c / sin(gamma)
Lihtsa proportsiooni abil määrame teise külje pikkuse, mille järel arvutame pindala valemiga S = a × b × sin (alfa). See algoritm on täielikult automatiseeritud ja teil on vaja ainult sisestada etteantud muutujad ja saada tulemus. Vaatame paari näidet.
Oletame, et soovite sillutada põranda kolmnurksete plaatidega ja määrata selle koguse vajalik materjal, peaksite välja selgitama ühe plaadi pindala ja põranda pindala. Olgu vaja töödelda 6 ruutmeetrit pinda, kasutades plaati, mille mõõtmed on a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Ilmselgelt kasutab kalkulaator kolmnurga pindala arvutamiseks Heroni valemit ja annab tulemuse:
Seega on ühe plaadielemendi pindala 0,021 ruutmeeter, ja põranda kaunistamiseks vajate 6/0,021 = 285 kolmnurka. Arvud 20, 21 ja 29 moodustavad Pythagorase kolmikarvud, mis rahuldavad . Ja see on õige, meie kalkulaator arvutas ka kõik kolmnurga nurgad ja gamma nurk on täpselt 90 kraadi.
AT kooli ülesanne on vaja leida kolmnurga pindala, teades, et külg a = 5 cm ning haava nurgad alfa ja beeta on vastavalt 30 ja 50 kraadi. Selle ülesande käsitsi lahendamiseks leiame esmalt külje b väärtuse, kasutades vastasnurkade külgede ja siinuste suhet ning seejärel pindala, kasutades lihtsat valemit S = a × b × sin(alfa). Hoiame aega kokku, sisestame andmed kalkulaatori vormi ja saame kohe vastuse
Kalkulaatori kasutamisel on oluline nurgad ja küljed õigesti määrata, vastasel juhul jääb tulemus vale.
Kolmnurk on ainulaadne kujund, mis esineb nii päriselus kui ka abstraktsetes arvutustes. Kasutage meie veebikalkulaatorit mis tahes tüüpi kolmnurkade pindala leidmiseks.
Pindala mõiste
Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletame meelde geomeetriliste kujundite alade kontseptsiooni kahte põhiomadust.
Atribuut 1: Kui a geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.
Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate kujundite pindalade väärtuste summaga.
Kaaluge näidet.
Näide 1
On ilmne, et kolmnurga üks külgedest on ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (alates $5$ lahtrist) ja teine $6$ (alates $6$ lahtrist). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on
Siis on kolmnurga pindala
Vastus: 15 dollarit.
Järgmisena kaaluge mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse abil, kasutades Heroni valemit ja võrdkülgse kolmnurga pindala.
1. teoreem
Kolmnurga pindala võib leida poolena külje pikkuse korrutisest sellele küljele tõmmatud kõrgusega.
Matemaatiliselt näeb see välja selline
$S=\frac(1)(2)αh$
kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.
Tõestus.
Vaatleme kolmnurka $ABC$, kus $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$ ja see võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.
Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Seetõttu on kolmnurga soovitud pindala vastavalt omadusele 2 võrdne
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoreem on tõestatud.
Näide 2
Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega
Selle kolmnurga alus on $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ lahtrid). Kõrgus on samuti 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 abil
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5 $
Vastus: 40,5 dollarit.
2. teoreem
Kui anda kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, saab selle pindala leida järgmiselt
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.
Tõestus.
Mõelge järgmisele joonisele:
Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$
Kolmnurgast $CBH$ Pythagorase teoreemi järgi saame
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Nendest kahest seosest saame võrdsuse
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, seega
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
1. teoreemiga saame
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
