Geomeetria tundides Keskkool Meile kõigile on kolmnurgast räägitud. Samas sees kooli õppekava saame vaid kõige vajalikumad teadmised ning õpime kõige tavalisemaid ja standardsemaid arvutusviise. On seal ebatavalised viisid selle väärtuse leidmine?
Sissejuhatuseks tuletame meelde, millist kolmnurka peetakse täisnurkseks kolmnurgaks, ning tähistame ka pindala mõistet.
Täisnurkne kolmnurk on suletud geomeetriline kujund, mille üks nurk on 90 0. Definitsiooni lahutamatud mõisted on jalad ja hüpotenuus. Jalad on kaks külge, mis moodustavad ühenduspunktis täisnurga. Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg. Täisnurkne kolmnurk võib olla võrdhaarne (selle kaks külge on ühesuurused), kuid mitte kunagi võrdkülgne (kõik küljed on ühepikkused). Kõrguse, mediaani, vektorite ja muude matemaatiliste terminite definitsioone täpsemalt ei analüüsita. Neid on teatmeteostest lihtne leida.
Piirkond täisnurkne kolmnurk. Erinevalt ristkülikutest kehtib reegel umbes
osapoolte korrutis definitsioonis ei kehti. Kuivas terminite keeles rääkides mõistetakse kolmnurga pindalana selle kujundi omadust hõivata osa tasapinnast, väljendatuna arvuga. Üsna raske mõista, näete. Me ei püüa definitsiooni sügavuti süveneda, meie eesmärk pole see. Liigume edasi peamise juurde – kuidas ala leida täisnurkne kolmnurk? Me ise arvutusi ei tee, näitame ainult valemeid. Selleks defineerime tähistus: A, B, C - kolmnurga küljed, jalad - AB, BC. Nurk ACB on sirge. S on kolmnurga pindala, h n n on kolmnurga kõrgus, kus nn on külg, millele see on langetatud.
Meetod 1. Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala, kui selle jalgade suurus on teada
2. meetod. Leidke võrdhaarse täisnurkse kolmnurga pindala
Meetod 3. Pindala arvutamine läbi ristküliku
Lõpetame täisnurkse kolmnurga ruuduks (kui kolmnurk
võrdhaarne) või ristkülik. Saame lihtsa nelinurga, mis koosneb kahest identsest täisnurksest kolmnurgast. Sel juhul on ühe neist pindala väärtus võrdne poolega saadud joonise pindalast. Ristküliku S arvutatakse külgede korrutisega. Tähistame seda väärtust tähega M. Pindala soovitud väärtus võrdub poolega M-st.
Meetod 4. "Pythagorase püksid". Kuulus Pythagorase teoreem
Me kõik mäletame tema sõnastust: "jalgade ruutude summa ...". Kuid mitte igaüks ei saa
öelda, ja siin mõned "püksid". Fakt on see, et algselt uuris Pythagoras täisnurkse kolmnurga külgedele ehitatud suhet. Olles tuvastanud mustrid ruutude külgede vahekorras, suutis ta tuletada meile kõigile teadaoleva valemi. Seda saab kasutada, kui ühe külje väärtus on teadmata.
Meetod 5. Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala Heroni valemi abil
See on ka üsna lihtne arvutus. Valem hõlmab kolmnurga pindala väljendamist selle külgede arvväärtuste järgi. Arvutuste tegemiseks peate teadma kolmnurga kõigi külgede suurust.
S = (p-AC)*(p-BC), kus p = (AB+BC+AC)*0,5
Lisaks ülaltoodule on sellise salapärase kuju nagu kolmnurga suuruse leidmiseks veel palju võimalusi. Nende hulgas: arvutamine sissekirjutatud või piiritletud ringi meetodil, arvutamine tippude koordinaatide abil, vektorite, absoluutväärtuste, siinuste, puutujate kasutamine.
Täisnurkset kolmnurka leidub tegelikkuses peaaegu igal nurgal. Teadmised selle joonise omadustest, aga ka selle pindala arvutamise oskus on teile kahtlemata kasulikud mitte ainult geomeetria probleemide lahendamisel, vaid ka elusituatsioonides.
Elementaargeomeetrias on täisnurkne kolmnurk kujund, mis koosneb kolmest ühendatud segmendist, mis moodustavad kolm nurka (kaks teravnurka ja üks sirge). Täisnurkne kolmnurk on algne kujund, mida iseloomustab arv olulised omadused, mis moodustavad trigonomeetria aluse. Erinevalt tavalisest kolmnurgast on ristkülikukujulise kuju külgedel oma nimed:
Trigonomeetria aluseks on jalgade ja hüpotenuusi suhe: siinused, puutujad ja sekantid on defineeritud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena.
Seda näitajat kasutatakse tegelikkuses laialdaselt. Kolmnurki kasutatakse disainis ja tehnoloogias, seega peavad kujundi pindala arvutama insenerid, arhitektid ja disainerid. Tetraeedrite ehk prismade alused on kolmnurga kujulised – kolmemõõtmelised kujundid, mida on igapäevaelus lihtne kohata. Lisaks on ruut tegelikkuses "lameda" täisnurkse kolmnurga lihtsaim esitus. Ruut on lukksepa-, joonestus-, ehitus- ja puutöötööriist, mida kasutavad nurkade ehitamiseks nii kooliõpilased kui ka insenerid.
Piirkond geomeetriline kujund on kvantitatiivne hinnang selle kohta, kui suur osa tasapinnast on piiratud kolmnurga külgedega. Tavalise kolmnurga pindala saab leida viiel viisil, kasutades Heroni valemit või tehes arvutusi selliste muutujatega nagu sissekirjutatud või piiritletud ringi alus, külg, nurk ja raadius. Kõige lihtne valem pindala väljendatakse järgmiselt:
kus a on kolmnurga külg, h on selle kõrgus.
Täisnurkse kolmnurga pindala arvutamise valem on veelgi lihtsam:
kus a ja b on jalad.
Meie veebikalkulaatoriga töötades saate kolmnurga pindala arvutada kolme parameetripaari abil:
Ülesannetes või igapäevastes olukordades antakse teile erinevad muutujate kombinatsioonid, nii et see kalkulaatori vorm võimaldab teil arvutada kolmnurga pindala mitmel viisil. Vaatame paari näidet.
Oletame, et soovite katta köögi seinad keraamilised plaadid, millel on täisnurkse kolmnurga kuju. Plaatide tarbimise määramiseks peate välja selgitama katte ühe elemendi pindala ja kogupindala töödeldud pind. Las peate töötlema 7 ruutmeetrit. Ühe elemendi jalgade pikkus on 19 cm, siis on plaadi pindala võrdne:
See tähendab, et ühe elemendi pindala on 24,5 ruutsentimeetrit ehk 0,01805 ruutmeetrit. Neid parameetreid teades saate arvutada, et 7 ruutmeetri seina viimistlemiseks vajate 7 / 0,01805 = 387 katteplaati.
Laske sisse kooli ülesanne geomeetrias on vaja leida täisnurkse kolmnurga pindala, teades ainult seda, et ühe jala külg on 5 cm ja vastasnurga väärtus on 30 kraadi. Meie veebikalkulaatoriga on kaasas illustratsioon, mis näitab täisnurkse kolmnurga külgi ja nurki. Kui külg a = 5 cm, on selle vastasnurk nurk alfa, võrdne 30 kraadiga. Sisestage need andmed kalkulaatori vormi ja saate tulemuse:
Seega ei arvuta kalkulaator mitte ainult antud kolmnurga pindala, vaid määrab ka külgneva jala ja hüpotenuusi pikkuse ning teise nurga väärtuse.
Ristkülikukujulisi kolmnurki leidub meie elus sõna otseses mõttes iga nurga peal. Selliste kujundite pindala määramine on teile kasulik mitte ainult geomeetria kooliülesannete lahendamisel, vaid ka igapäevastes ja ametialastes tegevustes.
Juhend
Ülesanne 1.
Leidke kolmnurga kõigi külgede pikkused, kui on teada, et üks jalg on teisest 1 cm pikem ja kolmnurga pikkus on 28 cm.
Lahendus.
Kirjutage üles pindala põhivalem S = (a*b)/2 = 28. On teada, et b = a + 1, asenda see väärtus valemiga: 28 = (a*(a+1))/2.
avage sulgud, hankige ruutvõrrandühe tundmatu a^2 + a - 56 = 0.
Selle leidmiseks arvutage diskriminant D = 1 + 224 = 225. Võrrandil on kaks lahendit: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 ja a_2 = (-1 - √ 225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Teisel pole mõtet, kuna lõigu pikkus ei saa olla negatiivne, seega a = 7 (cm).
Leidke teise jala pikkus b = a + 1 = 8 (cm).
Kolmanda külje pikkus jääb alles. Vastavalt Pythagorase teoreemile täisnurkse kolmnurga c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, järelikult c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10,6 (cm).
2. ülesanne.
Leidke täisnurkse kolmnurga kõigi külgede pikkused, kui selle pindala on teadaolevalt 14 cm ja nurk ACB on 30°.
Lahendus.
Kirjutage üles põhivalem S = (a*b)/2 = 14.
Nüüd väljendage jalgade pikkused hüpotenuusi ja trigonomeetriliste funktsioonide korrutise kaudu vastavalt täisnurkse kolmnurga omadusele:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0,87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0,5*c.
Asendage saadud väärtused pindala valemiga:
14 = (0,87*0,5*c^2)/2, kust:
28 ≈ 0,435*s^2 → c = √64,4 ≈ 8 (cm).
Olete leidnud hüpotenuusi pikkuse, nüüd leidke kahe ülejäänud külje pikkused:
a = 0,87 * c = 0,87 * 8 ≈ 7 (cm), b = 0,5 * c = 0,5 * 8 = 4 (cm).
Seotud videod
Kõigepealt lepime kokku noodikirjas. Jalg nimetatakse täisnurkse kolmnurga küljeks, mis külgneb täisnurgaga (see tähendab, et see moodustab teise küljega 90-kraadise nurga). Lepime kokku tähistama jalgade a ja b pikkusi. Kogused teravad nurgad jalgade vastas oleva täisnurkse kolmnurga puhul nimetame vastavalt A ja B. Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on täisnurga vastas (see tähendab, et see on täisnurga vastas, moodustades kolmnurga teiste külgedega teravnurgad). Tähistame hüpotenuusi pikkust s-ga. Tähistage vajalik ala tähega S.
Juhend
Rakendage valemit S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)), kui teile on antud ainult üks jalgadest (a), kuid teada on ka selle jala vastasnurk (A). Märk "^2" tähistab ruudustamist.
Kasutage valemit S=(a^2)*tg(B)/2 d, kui teile on antud ainult üks jalgadest (a), kuid teate ka selle jalaga (B) külgnevat nurka.
Seotud videod
Allikad:
Täisnurkse kolmnurga külgede ja nurkade vahelist seost käsitleb matemaatika haru, mida nimetatakse trigonomeetriaks. Täisnurkse kolmnurga külgede leidmiseks piisab Pythagorase teoreemi, trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonide tundmisest ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmiseks vahenditest, näiteks kalkulaatorist või Bradise tabelitest. Vaatleme allpool täisnurkse kolmnurga külgede leidmise probleemide peamisi juhtumeid.
Sa vajad
Juhend
Kui üks teravnurkadest on antud näiteks A ja üks harudest näiteks a, siis arvutatakse hüpotenuus ja teine jalg seostest: b=a*tg(A), c=a *patt(A).
Juhul, kui te ei tea ühe arvutamiseks vajaliku nurga siinuse või koosinuse väärtust, võite kasutada Bradise tabeleid, mis annavad trigonomeetriliste funktsioonide väärtused suure hulga nurkade jaoks. Lisaks on enamik tänapäevaseid kalkulaatoreid võimelised arvutama nurkade siinusi ja koosinusi.
Allikad:
Sellisel joonisel nagu täisnurkne kolmnurk on tingimata selge külgede suhe üksteise suhtes. Teades neist kahte, võite alati leida kolmanda. Kuidas seda teha, saate teada allolevatest juhistest.
Sa vajad
Juhend
Ruudutage mõlemad jalad ja lisage need kokku a2 + b2. Tulemuseks on hüpotenuus ( alus) ruudus c2. Järgmiseks peate lihtsalt viimasest juure eraldama ja hüpotenuus leitakse. See meetod on lihtne ja hõlpsasti kasutatav. Peaasi osapoolte leidmise protsessis kolmnurk seega - ärge unustage esialgsest tulemusest juuri välja võtta, et vältida kõige levinumat viga. Valem tuletati tänu maailma kuulsaimale Pythagorase teoreemile, mis kõigis allikates näeb välja selline: a2+b2 = c2.
Jagage üks jalg a tema vastasnurga sin α siinusega. Juhul, kui küljed ja siinused on seisundis teada, on see hüpotenuusi leidmise võimalus vastuvõetav. valem sisse sel juhul on väga lihtsas vormis: c=a/sin α. Olge kõigi arvutustega ettevaatlik.
Korrutage külg a kahega. Hüpotenuus on arvutatud. See on võib-olla kõige elementaarsem viis meile abi leidmiseks. Kuid kahjuks kasutatakse seda meetodit ainult ühel juhul - kui kraadimõõdus nurga vastas asuv külg on võrdne arvuga kolmkümmend. Kui see on olemas, võite olla kindel, et see on alati täpselt pool hüpotenuusist. Seetõttu peate selle lihtsalt kahekordistama ja oletegi valmis.
Jagage jalg a sellega külgneva nurga cos α koosinusega. See meetod sobib ainult siis, kui teate ühte jalga ja sellega külgneva nurga koosinust. See meetod sarnaneb teile juba varem esitatud meetodiga, mille puhul kasutatakse ka jalga, kuid koosinuse asemel vastupidise nurga siinust. Ainult sel juhul muudetakse seda veidi erinevalt välimus: с=a/ cos α. See on kõik.
Tre ruut, mille üks nurkadest on täisnurkne (võrdne 90 °), nimetatakse täisnurgaks. Selle pikim külg asub alati täisnurga vastas ja seda nimetatakse hüpotenuusiks ja ülejäänud kahte küljed nimetatakse uiskudeks. Kui nende kolme külje pikkused on teada, siis leidke kolmnurga kõigi nurkade väärtused ruut ja see pole keeruline, kuna tegelikult peate arvutama ainult ühe nurga. Seda saab teha mitmel viisil.
Juhend
Kasutage trigonomeetriliste funktsioonide definitsiooni suuruste (α, β, γ) arvutamiseks ristkülikukujulise tri kujul. Sellised näiteks teravnurga siinuse jaoks kui vastasjala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe. Seega, kui jalgade (A ja B) ja hüpotenuusi (C) pikkused, saate pikkuse jagamisel leida näiteks nurga α siinuse, mis asub jala A vastas. küljed Ja pikkuse pärast küljed C (hüpotenuus): sin(α)=A/C. Olles õppinud selle nurga siinuse väärtuse, saate selle väärtuse kraadides leida, kasutades siinuse pöördfunktsiooni - arcsinust. See tähendab, et α=artsin(sin(α))=artsin(A/C). Samamoodi saab kolmnurgast leida teravnurga väärtuse. ruut e, aga see pole vajalik. Kuna kõigi nurkade summa on ruut a on 180° ja tre ruut Kui üks nurkadest on võrdne 90°, siis saab kolmanda nurga väärtuse arvutada 90° ja leitud nurga väärtuse vahena: β=180°-90°-α=90°-α.
Siinuse defineerimise asemel võite kasutada teravnurga koosinuse definitsiooni, mis on sõnastatud soovitud nurgaga külgneva jala pikkuse suhtena hüpotenuusi pikkusesse: cos(α)=B/ C. Ja siin kasuta vastupidist trigonomeetriline funktsioon(arccosine) nurga väärtuse leidmiseks kraadides: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Pärast seda, nagu ka eelmises etapis, jääb alles leida puuduva nurga väärtus: β=90°-α.
Võite kasutada sarnast puutujat - seda väljendatakse soovitud nurga vastas oleva jala pikkuse ja külgneva jala pikkuse suhtega: tg(α)=A/B. Nurga väärtus kraadides määratakse jällegi pöördtrigonomeetrilise funktsiooni abil - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Puuduv nurgavalem jääb muutumatuks: β=90°-α.
Seotud videod
Kolmnurka loetakse täisnurkseks, kui selle üks nurk on täisnurk. Külg kolmnurk mis asub täisnurga vastas, nimetatakse hüpotenuusiks ja ülejäänud kahte küljed- kateetrid. Ristküliku külgede pikkuste leidmiseks kolmnurk, saab kasutada mitmel viisil.
Juhend
1. Kahe jala väärtused on teada
Sel juhul arvutatakse täisnurkse kolmnurga pindala järgmise valemiga:
S=0,5ab
2. Üks jalg ja hüpotenuus on teada
Sellistel tingimustel on kõige loogilisem kasutada Pythagorase teoreemi ja ülaltoodud valemit:
S = 0,5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
kus on sqrt Ruutjuur, c^2-a^2 - radikaalavaldis, mis tähistab hüpotenuusi ja jala ruudu erinevust.
3. Arvestades kolmnurga kõigi külgede väärtused
Selliste probleemide korral saate kasutada Heroni valemit:
S = (p-a) (p-b),
kus p on poolperimeeter, mis leitakse järgmise avaldise abil: p = 0,5∙ (a+b+c)
4. Üks jalg ja nurk on teada
Siin tasub pöörduda trigonomeetriliste funktsioonide poole. Näiteks tg(1) = 1/сtg(1) = b/a. See tähendab, et tänu sellele suhtele on võimalik määrata tundmatu jala väärtus. Seejärel taandatakse probleem esimesele punktile.
5. Teadaolev hüpotenuus ja nurk
Sel juhul kasutatakse ka siinuse ja koosinuse trigonomeetrilisi funktsioone: cos(2)=1/sin(2) = b/c. Seejärel taandatakse ülesande lahendus artikli teisele lõigule.
Seotud videod
c2=a2+b2, kus c on hüpotenuus, a ja b on jalad. See tähendab, et hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summa ruutjuurega. Mõne jala leidmiseks piisab, kui lahutada hüpotenuusi ruudust teise jala ruut ja eraldada saadud erinevusest ruutjuur.
Seega, teades nurka ja ühte külge, on võimalik nende valemite abil arvutada teine pool. Mõlemat jalga ühendavad ka trigonomeetrilised suhted. Vastandi ja külgneva suhte suhet nimetatakse puutujaks ning külgneva ja vastandi suhet kotangensiks. Neid suhteid saab väljendada valemitega tgA=a/b või ctgA=b/a.
Nagu kooli geomeetria õppekavast mäletate, on kolmnurk kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis on ühendatud kolme punktiga, mis ei asu ühel sirgel. Kolmnurk moodustab kolm nurka, sellest ka kujundi nimi. Määratlus võib olla erinev. Kolmnurka võib nimetada ka kolme nurgaga hulknurgaks, vastus on sama tõene. Kolmnurgad jagatakse vastavalt võrdsete külgede arvule ja joonistel olevate nurkade suurusele. Seega eristage selliseid kolmnurki nagu võrdhaarsed, võrdkülgsed ja skaala, samuti vastavalt ristkülikukujulised, teravnurksed ja nürinurgad.
Kolmnurga pindala arvutamiseks on palju valemeid. Valige, kuidas leida kolmnurga pindala, st. millist valemit kasutada, ainult teie. Kuid väärib märkimist ainult mõned tähistused, mida kasutatakse paljudes kolmnurga pindala arvutamise valemites. Nii et pidage meeles:
S on kolmnurga pindala,
a, b, c on kolmnurga küljed,
h on kolmnurga kõrgus,
R on piiritletud ringi raadius,
p on poolperimeeter.
Siin on põhilised tähistused, mis võivad kasuks tulla, kui olete geomeetria kulgemise täielikult unustanud. Allpool on toodud kõige arusaadavad ja mitte keerulisemad võimalused kolmnurga tundmatu ja salapärase ala arvutamiseks. See pole keeruline ja tuleb kasuks nii teie majapidamisvajaduste jaoks kui ka laste abistamiseks. Tuletagem meelde, kuidas arvutada kolmnurga pindala niisama lihtsalt kui pirnide koorimine:
Meie puhul on kolmnurga pindala: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 ruutcm. Pidage meeles, et pindala mõõdetakse ruutsentimeetrites (ruutmeetrites).
Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi (seetõttu nimetatakse seda täisnurkseks kolmnurgaks). Täisnurga moodustavad kaks risti asetsevat sirget (kolmnurga puhul kaks risti asetsevat lõiku). Täisnurkses kolmnurgas saab olla ainult üks täisnurk, sest mis tahes kolmnurga kõigi nurkade summa on 180 kraadi. Selgub, et 2 muud nurka peaksid ülejäänud 90 kraadi omavahel ära jagama, näiteks 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Niisiis, sa mäletasid peamist, jääb üle õppida, kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala. Kujutage ette, et meie ees on selline täisnurkne kolmnurk ja me peame leidma selle pindala S.
1. Lihtsaim viis täisnurkse kolmnurga pindala määramiseks arvutatakse järgmise valemi abil:
Meie puhul on täisnurkse kolmnurga pindala: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 ruutsentimeetrit.
Põhimõtteliselt ei ole enam vaja kolmnurga pindala muul viisil kontrollida, kuna igapäevaelus tuleb see kasuks ja ainult see üks aitab. Kuid on ka võimalusi kolmnurga pindala mõõtmiseks teravnurkade kaudu.
2. Teiste arvutusmeetodite jaoks peab teil olema koosinuste, siinuste ja puutujate tabel. Otsustage ise, siin on mõned võimalused täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, mida saate siiski kasutada:
Otsustasime kasutada esimest valemit ja väikeste täppidega (joonistasime vihikusse ja kasutasime vana joonlauda ja nurgamõõtjat), kuid saime õige arvutuse:
S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Sellised tulemused saime 3,6=3,7, kuid lahtrinihet arvesse võttes võib selle nüansi andeks anda.
Kui seisate silmitsi võrdkülgse kolmnurga valemi arvutamise ülesandega, on lihtsaim viis kasutada põhivalemit ja, nagu peetakse kolmnurga pindala klassikaliseks valemiks.
Kuid kõigepealt, enne kui leiame võrdhaarse kolmnurga pindala, uurime välja, milline kujund see on. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on ühepikkused. Neid kahte külge nimetatakse külgedeks, kolmandat külgedeks. Ärge ajage segi võrdhaarset kolmnurka võrdkülgse kolmnurgaga, s.t. võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Sellises kolmnurgas ei ole erilisi kalduvusi nurkadele, õigemini nende suurusele. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on aga võrdsed, kuid erinevad vahelisest nurgast võrdsed küljed. Niisiis, teate juba esimest ja peamist valemit, jääb üle välja selgitada, millised muud valemid võrdhaarse kolmnurga pindala määramiseks on teada:
