Trepid. Sisenemisgrupp. Materjalid. Uksed. Lukud. Disain

Ring - geomeetriline kujund, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, mis asuvad antud punktist etteantud kaugusel.

Seda punkti (O) nimetatakse ringi keskpunkt.
Ringi raadius on sirglõik, mis ühendab keskpunkti ringi punktiga. Kõik raadiused on sama pikkusega (definitsiooni järgi).
Akord Sirgelõik, mis ühendab kahte ringi punkti. Ringjoone keskpunkti läbivat kõõlut nimetatakse läbimõõt. Ringjoone keskpunkt on mis tahes läbimõõdu keskpunkt.
Ringi kaks punkti jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringikujuline kaar. Kaart nimetatakse poolring kui selle otste ühendav segment on läbimõõduga.
Ühiku poolringi pikkust tähistatakse π .
Kahe ühiste otstega ringkaare astmemõõtude summa on 360º.
Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ümber.
ringikujuline sektor- ringjoone osa, mis on piiratud kaare ja kahe raadiusega, mis ühendavad kaare otsad ringi keskpunktiga. Kaart, mis piirab sektorit, nimetatakse sektori kaar.
Kaks ringi koos ühine keskus, kutsutakse kontsentriline.
Nimetatakse kahte täisnurga all lõikuvat ringi ortogonaalne.

Sirge ja ringi vastastikune paigutus

1. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on väiksem kui ringi raadius ( d), siis on sirgel ja ringil kaks ühist punkti. Sel juhul nimetatakse rida sekant ringi suhtes.
2. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgeni on võrdne ringi raadiusega, siis on sirgel ja ringil ainult üks ühine punkt. Sellist rida nimetatakse puutuja ringiga, ja nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi kokkupuutepunkt.
3. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgeni on suurem kui ringi raadius, siis joon ja ring neil pole ühiseid punkte
.

Kesk- ja sissekirjutatud nurgad

Kesknurk on nurk ringi keskpunktis oleva tipuga.
Sissekirjutatud nurk Nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad ringiga.

Sissekirjutatud nurga teoreem

Sissekirjutatud nurka mõõdetakse poole kaarega, mille see lõikab.

• Tagajärg 1.
  Sama kaare sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.


• Tagajärg 2.
  Sissekirjutatud nurk, mis lõikub poolringiga, on täisnurk.

Teoreem lõikuvate akordide segmentide korrutisest.

Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega.

Põhivalemid

• Ümbermõõt:

• Kaare pikkus:

• Läbimõõt:

• Kaare pikkus:

• Ringi pindala:

• Ringikujuline sektori piirkond:

Ringjoone võrrand

• Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis raadiusega ringi võrrand r keskendunud punktile C(x o; y o) on kujul:

• Algpunktis tsentreeritud raadiusega r ringi võrrand on järgmine:

Ja ring- omavahel ühendatud geomeetrilised kujundid. seal on piirjoon (kõver) ring,

Definitsioon. Ring on suletud kõver, mille iga punkt on võrdsel kaugusel punktist, mida nimetatakse ringi keskpunktiks.

Ringi konstrueerimiseks valitakse suvaline punkt O, mis võetakse ringi keskpunktiks ja tõmmatakse kompassi abil suletud joon.

Kui ringi keskpunkti punkt O on ühendatud ringi suvaliste punktidega, on kõik saadud segmendid üksteisega võrdsed ja selliseid segmente nimetatakse raadiuseks, mida lühendatakse ladina väikese või suure tähega "er" ( r või R). Ringjoonel on sama palju raadiusi, kui on ümbermõõdu punkte.

Diameetriks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringi kahte punkti ja läbib selle keskpunkti. Läbimõõt koosneb kahest raadiused lamades samal sirgel. Läbimõõt on tähistatud ladina väikese või suure tähega "de" ( d või D).

Reegel. Läbimõõt ring on võrdne selle kahega raadiused.

d = 2r
D = 2R

Ümbermõõt arvutatakse valemiga ja see sõltub ringi raadiusest (läbimõõdust). Valem sisaldab arvu ¶, mis näitab, mitu korda on ringi ümbermõõt suurem selle läbimõõdust. Arvul ¶ on lõpmatu arv kümnendkohti. Arvutuste jaoks on aktsepteeritud ¶ = 3,14.

Ringi ümbermõõt on tähistatud ladina suure tähega "ce" ( C). Ringi ümbermõõt on võrdeline selle läbimõõduga. Valemid ringi ümbermõõdu arvutamiseks selle raadiuse ja läbimõõdu järgi:

C = ¶d
C = 2r

• Näited
• Antud: d = 100 cm.
• Ümbermõõt: C=3,14*100cm=314cm
• Antud: d = 25 mm.
• Ümbermõõt: C=2*3,14*25=157mm

Ringjoone sekant ja ringi kaar

Iga sekant (sirge) lõikab ringi kahes punktis ja jagab selle kaheks kaareks. Ringjoone kaare suurus oleneb keskpunkti ja sekandi vahelisest kaugusest ning seda mõõdetakse piki suletud kõverat lõikepunkti esimesest lõikepunktist ringiga teiseni.

kaared ringid on jagatud sekant suureks ja väikeseks, kui sekant ei ühti läbimõõduga, ja kaheks võrdseks kaareks, kui sekant läbib ringi läbimõõtu.

Kui sekant läbib ringi keskpunkti, on selle lõik, mis asub ringiga lõikepunktide vahel, ringi läbimõõt ehk ringi suurim kõõl.

Mida kaugemal sekant ringi keskpunktist asub, seda väiksem on ringi väiksema kaare kraadimõõt ja seda rohkem - seda suurem on ringi kaar ja sekandi segment, nn. akord, väheneb, kui sekant liigub ringi keskpunktist eemale.

Definitsioon. Ring on tasandi osa, mis asub ringi sees.

Ringi keskpunkt, raadius, läbimõõt on samal ajal ka vastava ringi keskpunkt, raadius ja läbimõõt.

Kuna ringjoon on osa tasapinnast, on selle üheks parameetriks pindala.

Reegel. Ringi pindala ( S) on võrdne raadiuse ( r2) numbrile ¶.

• Näited
• Antud: r = 100 cm
• Ringi pindala:
• S \u003d 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Antud: d = 50 mm
• Ringi pindala:
• S \u003d ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm \u003d 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Kui ringis tõmmatakse ringi erinevatesse punktidesse kaks raadiust, siis moodustub ringist kaks osa, mis on nn. sektorites. Kui akord tõmmatakse ringi, siis nimetatakse kaare ja kõõlu vahele jäävat tasapinna osa ringi segment.

Ring on kujund, mis koosneb kõigist antud punktist võrdsel kaugusel asuvatest punktidest.

Põhimõisted:

Ringi keskpunkt on ringjoone punktidest võrdsel kaugusel asuv punkt.

Raadius on kaugus ringi punktidest selle keskpunktini ( pool läbimõõt, joonis 1).

Läbimõõt on ringjoone keskpunkti läbiv kõõl (joonis 1).

Akord- see on kahte ringi punkti ühendav segment (joonis 1).

Tangent on sirge, millel on ringiga ainult üks ühine punkt. Läbib ringi punkti, mis on risti sellesse punkti tõmmatud läbimõõduga (joonis 1).

Sekant on sirgjoon, mis läbib ringi kahte erinevat punkti (joonis 1).

üksuse ring on ring, mille raadius on võrdne ühega.

ringi kaar on ringi osa, mis on jagatud kahe mittekattuvad punktiga ringil.

1 radiaan on nurk, mille moodustab ringi kaar, võrdne pikkusega raadius (joonis 4).
1 radiaan = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Kesknurk on nurk ringi keskpunktis oleva tipuga. See on võrdne kaare astmega, millele see toetub (joonis 2).

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad ringiga. See võrdub poolega selle kaare kraadist, millel see toetub (joonis 3).

Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.

Nimetatakse kahte täisnurga all lõikuvat ringi ortogonaalne.

Ringi ümbermõõt ja pindala:

Nimetused:
Ümbermõõt - C
Läbimõõdu pikkus - d
Raadiuse pikkus - r

Tähendusπ :
Ringjoone ümbermõõdu ja selle läbimõõdu pikkuse suhet tähistatakse kreeka tähega π (pi).

22
π = -
7

Ümbermõõdu valem:

C = πd või C = 2πr

Ringi pindala valemid:

C r
S = --
2

π D 2
S=---
4

Ringikujulise sektori ja ümmarguse segmendi pindala.

Ringjoone võrrand ristkoordinaatidesx, y tsentreeritud punkti (a; b):

(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2

Kolmnurga ümber piiratud ring (joonis 4).

Kolmnurga sisse kirjutatud ring (joon. 5).

Ringi sisse kirjutatud nurgad (joon. 3).

Nimetatakse nurka, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad ringjoonega ringi sisse kirjutatud.

Põhimõisted:

Nurk jagab tasapinna kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse tasane nurk.

Ühiste külgedega tasapinna nurki nimetatakse lisaks.

Nimetatakse lamenurka, mille tipp asub ringi keskel kesknurk(joon.2)

Akordide ja lõikeringide segmentide proportsionaalsus.

Erijuhud ja valemid:

1) Punktist C, mis asub väljaspool ringi, tõmbame ringi puutuja ja tähistame nende kokkupuutepunkti tähega D.

Seejärel tõmbame samast punktist C ristmiku ning selle ja ringi lõikepunktid tähistatakse tähtedega A ja B (joonis 8).

Sel juhul:

CD2=AC ·eKr

2) Joonista ringjoonele läbimõõt AB. Seejärel joonistame ringil asuvast punktist C risti selle läbimõõduga ja tähistame saadud lõiku CD (joonis 9).

Sel juhul:

CD2=AD ·B.D.

Saame aru, mis on ring ja ring. Ringjoone pindala ja ringi ümbermõõdu valem.

Iga päev kohtame palju objekte, mis moodustavad ringi või, vastupidi, ringi. Mõnikord tekib küsimus, mis on ring ja mille poolest see ringist erineb. Muidugi võtsime kõik geomeetriatunde, kuid mõnikord ei tee paha värskendada oma teadmisi väga lihtsate selgitustega.

Mis on ringi ümbermõõt ja pindala: määratlus

Seega on ring suletud kõverjoon, mis piirab või, vastupidi, moodustab ringi. Nõutav tingimus ring - sellel on keskpunkt ja kõik punktid on sellest võrdsel kaugusel. Lihtsamalt öeldes on ring võimlemisrõngas (või nagu seda sageli nimetatakse hularõngaks) tasasel pinnal.

Ümbermõõt on kogupikkus sama kõver, mis moodustab ringi. Nagu teate, võrdub selle läbimõõdu ja pikkuse suhe ringi suurusest olenemata arvuga π = 3,141592653589793238462643.

Sellest järeldub, et π=L/D, kus L on ringi ümbermõõt ja D on ringi läbimõõt.

Kui teate läbimõõtu, saate pikkuse leida lihtsa valemi abil: L= π* D

Kui raadius on teada: L=2 πR

Saime aru, mis on ring ja saame liikuda edasi ringi määratluse juurde.

Ring on geomeetriline kujund, mis on ümbritsetud ringiga. Või ring on kujund, mille piir koosneb suur hulk punktid, mis asuvad joonise keskpunktist võrdsel kaugusel. Kogu ringi sees olevat ala, sealhulgas selle keskpunkti, nimetatakse ringiks.

Väärib märkimist, et ringil ja selles oleval ringil on samad raadiuse ja läbimõõdu väärtused. Ja läbimõõt on omakorda kaks korda suurem raadiusest.

Ringil on tasapinnal pindala, mille saab leida lihtsa valemi abil:

Kus S on ringi pindala ja R on antud ringi raadius.

Mis vahe on ringil ja ringil: selgitus

Peamine erinevus ringi ja ringi vahel on see, et ring on geomeetriline kujund, ring on suletud kõver. Pange tähele ka ringi ja ringi erinevusi:

• Ring on suletud joon ja ring on selle ringi sees olev ala;
• Ring on tasapinnal olev kõverjoon ja ring on ringiga rõngaks suletud ruum;
• Ümbermõõdu ja ringi sarnasused: raadius ja diameeter;
• Ringil ja ringil on üks keskpunkt;
• Kui ringi sees olev ruum on varjutatud, muutub see ringiks;
• Ringil on pikkus, aga ringil mitte ja vastupidi, ringil on ala, mida ringil ei ole.

Ring ja ring: näited, fotod

Selguse huvides soovitame kaaluda fotot, millel vasakul on ring ja paremal ring.

Ringi ümbermõõdu ja pindala valem: võrdlus

Ümbermõõdu valem L=2 πR

Ringi pindala valem S= πR²

Pange tähele, et mõlemas valemis on raadius ja arv π. Soovitatav on need valemid pähe õppida, kuna need on kõige lihtsamad ja tulevad kindlasti kasuks Igapäevane elu ja tööl.

Ringi pindala piki ümbermõõtu: valem

S=π(L/2π)=L²/4π, kus S on ringi pindala, L on ümbermõõt.

Video: Mis on ring, ring ja raadius

Ring on kujund, mis koosneb kõigist antud punktist võrdsel kaugusel asuvatest punktidest tasapinnal. Seda punkti nimetatakse ringi keskpunktiks.

Nullraadiusega ring (mandunud ring) on ​​punkt, mõnikord jäetakse see juhtum määratlusest välja.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

Ring ja selle omadused (bezbotvy)

Sissekirjutatud ja piiritletud ring – autor bezbotvy

Matemaatika: ettevalmistus OGE-ks ja ühtseks riigieksamiks. Planimeetria. Ringid ja nende omadused

Matemaatika 26. Kompassid. Ring ja ring – Šiškini kool

RINGRI VÕRDS. ÜLESANNE 18 (С5). ARTUR ŠARIFOV

Subtiitrid

Määramine

Kui ring läbib näiteks punkte A, B, C, siis tähistatakse seda, märkides sulgudes need punktid: (A, B, C). Seejärel tähistatakse punkte A, B, C läbivat ringjoone kaare kaarena ABC (või kaarena AC), samuti υ ABC (või υ AC).

Muud määratlused

• Läbimõõduga ring AB A, B AB nähtav täisnurga all (Definitsioon läbi nurga, mis põhineb ringi läbimõõdul).

• Ring akordiga AB on punktiirjoon A, B ja kõik tasapinna punktid, millest alates segment AB all näha konstantne nurkühelt poolt võrdne kaare nurk AB, ja teisel konstantse nurga all, mis on võrdne 180 kraadi miinus kaare nurk AB eespool (määratletud sisse kirjutatud nurga järgi).
• Sellistest punktidest koosnev kujund X , (\displaystyle X,) milline on lõikude pikkuste suhe AX ja BX pidevalt: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) on ring (määratletud Apolloniuse ringi järgi).
• Kõigist sellistest punktidest koosnev joonis, millest igaühe puhul on kahe etteantud punkti kauguste ruudu summa võrdne antud väärtusega, mis on suurem kui pool antud punktide vahelisest ruudu vahemaast, on samuti ring (määratlus Pythagorase teoreemi kaudu meelevaldse jaoks täisnurkne kolmnurk kirjutatud ringi sisse, kusjuures hüpotenuus on ringi läbimõõt).
• M tõmmake selle sisse kõik akordid AB, CD, EF jne, siis kehtivad võrdsused: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Võrdsused jäävad alati kehtima, olenemata punkti valikust M ja selle kaudu tõmmatud akordide suunad (Definitsioon läbi lõikuvate akordide).
• Ring on suletud, ise mittelõikuv kujund, millel on järgmine omadus. Kui suvalise punkti kaudu M väljaspool seda tõmmake kaks puutujat nende kontaktpunktidesse ringiga, näiteks A ja B, siis on nende pikkused alati võrdsed: M A = M B (\displaystyle MA = MB). Võrdsus kehtib alati, olenemata punkti valikust M(Definitsioon võrdsete puutujatena).
• Ring on suletud, ise mittelõikuv kujund, millel on järgmine omadus. Selle mis tahes akordi pikkuse ja mis tahes akordi siinuse suhe sisse kirjutatud nurk, selle akordi põhjal on konstantne väärtus, mis võrdub selle ringi läbimõõduga (Definitsioon siinusteoreemi kaudu).
• Ringjoon on ellipsi erijuht, mille puhul fookuste vaheline kaugus on null (Degenereerunud ellipsi mõiste).

Seotud määratlused ühe ringi jaoks

• geomeetriline koht nimetatakse tasandi punkte, mille kaugus antud punktini ei ole suurem kui antud nullist erinev üks ümber .
• Raadius- mitte ainult kauguse väärtus, vaid ka segment, mis ühendab ringi keskpunkti selle ühe punktiga. Raadius on alati pool läbimõõt ringid.
• Raadius on alati risti puutujaga, mis on tõmmatud ringile selle ühispunktis ringiga. See tähendab, et raadius on ka ringi normaalne.
• Ringi kutsutakse vallaline kui selle raadius on võrdne ühega. Ühiku ring on üks trigonomeetria põhiobjekte.
• Nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kahte ringi punkti akord. Ringjoone keskpunkti läbivat kõõlut nimetatakse läbimõõt.
• Ringi kaks mittekattuvat punkti jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse kaar ring. Kaart nimetatakse poolring kui selle otste ühendav segment on läbimõõduga.
• Ühiku poolringi pikkust tähistatakse .

• Nimetatakse sirget, millel on ringiga täpselt üks ühine punkt puutuja ringile ning nende ühist punkti nimetatakse sirge ja ringi kokkupuutepunktiks.
• Tangent ringjoonele on alati risti selle raadiusega (ja läbimõõduga), mis on tõmmatud kokkupuutepunkti, mis on normaalne joonistatud sellel hetkel.
• Nimetatakse sirget, mis läbib kahte erinevat punkti ringil sekant.

Kolmnurkade määratlus ühe ringi jaoks

• Kolmnurka ABC nimetatakse ringi sisse kirjutatud(A,B,C), kui kõik kolm selle tippu A, B ja C asuvad sellel ringil. Ringi kutsutakse piiritletud ring kolmnurk ABC (vt piiritletud ring).
• Tangent ringjoonele, mis on tõmmatud läbi sellesse kirjutatud kolmnurga mis tahes tipu, on antiparalleel kolmnurga antud tipu vastasküljega.
• Kolmnurka ABC nimetatakse ümbritsetud umbes ringiga(A,B,C"), kui selle kõik kolm külge AB, BC ja CA puudutavad seda ringi vastavalt mõnes punktis C", A" ja B". Ringi kutsutakse sisse kirjutatud ring kolmnurk ABC (vt sissekirjutatud ringjoont).

Nurkade määratlused ühe ringi jaoks

• Raadiusega võrdse pikkusega ringikaare moodustatud nurk on 1 radiaan.

• Keskne nurk - nurk, mille tipp asub ringi keskel. Kesknurk on võrdne kaare radiaani / kraadi mõõtmega, millele see toetub (vt joonis).
• Sisse kirjutatud nurk - nurk, mille tipp asub ringil ja küljed lõikuvad selle ringiga. Sissekirjutatud nurk võrdne poolega selle kaare kraadist, millel see toetub (vt joonis).
• välisnurk jaoks sisse kirjutatud nurk - ühe külje moodustatud nurk ja teise külje pikendus sisse kirjutatud nurk (vt joonis. nurk θ Pruun). välisnurk sest teisele küljele kantud ringi nurgal on sama väärtus θ .
• Nurk ringi ja joone vahel- sirge ja ringi puutuja vaheline nurk sirge ja ringi lõikepunktis. Mõlemad nurgad lõikuva ringi ja sirge vahel on võrdsed.
• Nurk, mis põhineb ringi läbimõõdul- sellesse ringi sisse kirjutatud nurk, mille külgedel on läbimõõdu otsad. Ta on alati otsekohene.

Seotud määratlused kahe ringi jaoks

• Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.
• Nimetatakse kahte ringi, millel on ainult üks ühine punkt mis puudutab väliselt, kui nende ringidel pole muid ühiseid punkte, ja sisemiselt, kui nende ringid asuvad üksteise sees.
• Nimetatakse kahte ringi, millel on kaks ühist punkti ristuvad. Nende ringid (mis on nendega piiratud) lõikuvad piirkonnas, mida nimetatakse topeltringi segmendiks.
• nurk kahe lõikuva (või puutuja) ringi vahel on nurk nende puutujate vahel, mis on tõmmatud ühisesse lõikepunkti (või puutujasse).
• Samuti nurk kahe ristuva (või puutuja) ringi vahel võib arvestada nende raadiuste (läbimõõtude) vahelist nurka, mis on tõmmatud ühisesse lõikepunkti (või puutujasse).
• Kuna iga ringi puhul on selle raadius (või läbimõõt) ja läbi mis tahes ringi punkti tõmmatud puutuja üksteisega risti, võib raadiust (või läbimõõtu) pidada normaalne antud punktis konstrueeritud ringile. Seetõttu on kahes eelmises lõigus määratletud kahte tüüpi nurgad alati üksteisega võrdsed, kui nurgad, mille küljed on üksteisega risti.
• täisnurka nimetatakse ortogonaalne. Ringe saab kokku lugeda ortogonaalne kui need moodustavad üksteisega täisnurga.
• Kahe ringi radikaaltelg- punktide geomeetriline asukoht, mille astmed kahe antud ringi suhtes on võrdsed. Teisisõnu, kahele antud ringile mis tahes punktist tõmmatud nelja puutuja pikkused on võrdsed M antud punktide geomeetriline asukoht .

Nurga määratlused kahe ringi jaoks

• Nurk kahe ristuva ringi vahel- nurk nende ringide lõikepunktis olevate ringide puutujate vahel. Mõlemad nurgad kahe ristuva ringi vahel on võrdsed.
• Nurk kahe mittelõikava ringi vahel- nurk kahe ringjoone kahe ühise puutuja vahel, mis on moodustatud nende kahe puutuja lõikepunktis. Nende kahe puutuja lõikepunkt peab asuma kahe ringi vahel, mitte ühe neist küljel (seda nurka ei võeta arvesse). Mõlemad vertikaalne nurk kahe mittelõikava ringi vahel on võrdsed.

Ortogonaalsus

• Nimetatakse kahte täisnurga all lõikuvat ringi ortogonaalne. Ringe saab kokku lugeda ortogonaalne kui need moodustavad üksteisega täisnurga.
• Nimetatakse kahte ringi, mis ristuvad punktides A ja B keskpunktidega O ja O". ortogonaalne, kui OAO" ja OBO" on täisnurgad. Just see tingimus tagab täisnurk ringide vahel. Sel juhul on nende lõikepunkti tõmmatud kahe ringi raadiused (normaalid) risti. Seetõttu on ka kahe ringi puutujad, mis on tõmmatud nende lõikepunkti, risti. Ringjoone puutuja on risti raadiusega (normaal), mis on tõmmatud kokkupuutepunkti. Tavaliselt on kõverate vaheline nurk nurk nende ristumispunktis tõmmatud puutujate vahel.
• Võib esineda veel üks lisatingimus. Olgu kahel punktides A ja B lõikuval ringil punktides C ja D lõikuvate kaare keskpunktid, st kaar AC võrdub kaarega CB, kaar AD on võrdne kaarega DB. Siis nimetatakse neid ringe ortogonaalne kui CAD ja CBD on täisnurgad.

Seotud määratlused kolme ringi jaoks

• Kolme ringi nimetatakse vastastikku puutujateks (ristuvateks), kui mis tahes kaks neist puudutavad (lõikavad) üksteist.
• Geomeetrias radikaalne keskus kolm ringi on ringipaaride kolme radikaaltelje lõikepunkt. Kui radikaali kese asub väljaspool kõiki kolme ringi, siis on see ainsa ringi keskpunkt ( radikaalne ring), mis lõikub kolme etteantud ringiga ortogonaalselt.

Archimedese Lemma

Tõestus

Las olla G (\displaystyle G)- homoteetsus, väikese ringi muutmine suureks. Siis on selge, et A 1 (\displaystyle A_(1)) on selle homoteedi keskpunkt. Siis rida B C (\displaystyle BC) läheb sirgjoonele a (\displaystyle a) puudutades suurt ringi ja A 2 (\displaystyle A_(2)) läheb sellel sirgel asuvasse punkti, mis kuulub suurde ringi. Pidades meeles, et homoteetsus võtab jooned nendega paralleelseteks joonteks, mõistame seda a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Las olla G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) ja D (\displaystyle D)- punkt joonel a (\displaystyle a), selline, mis on terav ja E (\displaystyle E)- selline punkt joonel a (\displaystyle a), mida ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- vürtsikas. Siis, alates a (\displaystyle a)- suure ringi puutuja ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Seega △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3)) võrdhaarne, mis tähendab ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), st A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- nurgapoolitaja ∠ B A 1 C (\kuvastiil \nurk BA_(1)C).

Descartes'i teoreem nelja paarilise puutujaringi raadiuste kohta

Descartes'i teoreem" väidab, et mis tahes nelja vastastikku puutuva ringi raadiused vastavad teatud ruutvõrrandile. Neid nimetatakse mõnikord Soddy ringideks.

Omadused

Punkte läbiva ringi võrrand (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\paremale),\vasak(x_(3),y_(3)\paremale),) ei asu ühel sirgel (kasutades determinanti):

Descartes'i koordinaatsüsteemis ei ole ring mingi funktsiooni graafik, vaid seda saab kirjeldada kui kahe järgmise funktsiooni graafikute ühendust:

Kui ringi keskpunkt ühtib alguspunktiga, on funktsioonid järgmisel kujul:

Polaarkoordinaadid

Ringi raadius R (\displaystyle R) keskendunud punktile (ρ 0, ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).