Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Sel ajal algas trigonomeetria areng Vana-Kreeka. Keskajal andsid Lähis-Ida ja India teadlased selle teaduse arengusse olulise panuse.
See artikkel on pühendatud trigonomeetria põhimõistetele ja määratlustele. Selles käsitletakse peamiste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Selgitatakse ja illustreeritakse nende tähendust geomeetria kontekstis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Esialgu väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, täisnurkse kolmnurga külgede suhte kaudu.
Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid
Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus (cos α) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja (t g α) on vastasjala ja külgneva jala suhe.
Nurga kootangens (c t g α) on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.
Need definitsioonid on antud täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta!
Toome näite.
Kolmnurgas ABC täisnurgaga C on nurga A siinus võrdne jala BC ja hüpotenuusi AB suhtega.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid võimaldavad arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.
Oluline meeles pidada!
Siinus- ja koosinusväärtuste vahemik: -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja koosinuse väärtuste vahemik on kogu arvurida, st need funktsioonid võivad võtta mis tahes väärtuse.
Eespool toodud määratlused viitavad teravnurkadele. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtust erinevalt teravnurgast ei piira raamid vahemikus 0 kuni 90 kraadi Pöördenurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga alates - ∞ kuni + ∞.
Selles kontekstis saab määratleda suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutage ette ühikringi, mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkt.
Algpunkt A koordinaatidega (1 , 0) pöörleb ümber ühikuringi keskpunkti mingi nurga α võrra ja läheb punkti A 1 . Määratlus antakse punkti A 1 (x, y) koordinaatide kaudu.
Pöörlemisnurga siinus (sinus).
Pöörlemisnurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sinα = y
Pöörlemisnurga koosinus (cos).
Pöördenurga α koosinus on punkti A 1 (x, y) abstsiss. cos α = x
Pöörlemisnurga puutuja (tg).
Pöördenurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x
Pöörlemisnurga kotangents (ctg).
Pöördenurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi ja selle ordinaadi suhe. c t g α = x y
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest pöördejärgse punkti abstsissi ja ordinaati saab määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutujat ei määrata, kui punkt pärast pöörlemist läheb null-abstsissiga punkti (0 , 1) ja (0 , - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat kaob.
Oluline meeles pidada!
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.
Puutuja on määratletud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Kootangens on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Otsustades praktilisi näiteidära ütle "pöördenurga α siinus". Sõnad "pöördenurk" on lihtsalt välja jäetud, mis annab mõista, et kontekstist on juba selge, mis on kaalul.
Kuidas on lood arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi, mitte pöördenurga määratlusega?
Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t kutsutakse arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.
Näiteks siinus 10 π võrdne siinusega pöördenurk 10 π rad.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.
Mis tahes reaalarv tühikringi punkt viiakse vastavusse ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on määratletud selle punkti koordinaatidena.
Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1 , 0).
positiivne arv t
Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu alguspunkt liigub, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läbib tee t .
Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, jätkame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooniga.
Siinus (patt) arvust t
Arvu siinus t- arvule vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y
Koosinus (cos) t-st
Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x
t puutuja (tg).
Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringi punkti ordinaadi ja abstsissi suhe t. t g t = y x = sin t cos t
Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva jaotise alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt arvule vastaval ringil t, langeb kokku punktiga, milleni lähtepunkt liigub pärast nurga pööramist t radiaan.
Nurga α iga väärtus vastab selle nurga siinuse ja koosinuse teatud väärtusele. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° · k, vastab k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) puutuja teatud väärtusele. Kootangens, nagu eespool mainitud, on defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Võime öelda, et sin α , cos α , t g α , c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.
Samamoodi võib arvulise argumendi funktsioonidena rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Iga reaalarv t vastab arvu siinuse või koosinuse kindlale väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k , k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Kootangens on samamoodi defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k , k ∈ Z.
Trigonomeetria põhifunktsioonid
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt on kontekstist selge, millise trigonomeetrilise funktsiooni argumendiga (nurkargumendiga või numbriargumendiga) tegemist on.
Pöördume tagasi definitsioonide alguses olevate andmete ja nurga alfa juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi trigonomeetrilised definitsioonid on täielikult kooskõlas täisnurkse kolmnurga külgede suhetega antud geomeetriliste definitsioonidega. Näitame seda.
Võtke ühikring, mille keskpunkt on ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) risti x-teljega. Saadud täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 O H võrdne pöördenurgaga α, jala pikkus O H võrdub punkti A abstsissiga 1 (x, y) . Nurga vastas oleva jala pikkus võrdub punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.
Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastasjala ja hüpotenuusi suhtega.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määratlus kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määratlusega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Mõisted siinus (), koosinus (), puutuja (), kotangens () on lahutamatult seotud nurga mõistega. Et neid esmapilgul keerulisi mõisteid (mis tekitavad paljudes koolilastes õudusseisundit) hästi mõista ja veenduda, et "kurat pole nii hirmus, nagu teda maalitakse", alustame algusest ja mõistame nurga mõiste.
Vaatame pilti. Vektor "pöördus" punkti suhtes teatud summa võrra. Seega on selle pöörde mõõt algpositsiooni suhtes süstimine.
Mida veel peate nurga mõiste kohta teadma? Noh, muidugi nurgaühikud!
Nurka, nii geomeetrias kui ka trigonomeetrias, saab mõõta kraadides ja radiaanides.
Nurk (üks kraadi) on ringi kesknurk, mis põhineb ringi osaga võrdsel ringil. Seega koosneb kogu ring ringkaare "tükkidest" või on ringiga kirjeldatud nurk võrdne.
See tähendab, et ülaltoodud joonisel on nurk, mis on võrdne, see tähendab, et see nurk põhineb ümbermõõdu suurusega ringkaarel.
Nurka radiaanides nimetatakse ringjoone kesknurgaks, mis põhineb ringkaarel, mille pikkus võrdub ringi raadiusega. No kas sa said aru? Kui ei, siis vaatame pilti.
Niisiis on joonisel nurk, mis on võrdne radiaaniga, see tähendab, et see nurk põhineb ringkaarel, mille pikkus võrdub ringi raadiusega (pikkus võrdub pikkuse või raadiusega pikkusega võrdne kaared). Seega arvutatakse kaare pikkus järgmise valemiga:
Kus on kesknurk radiaanides.
Noh, kas saate seda teades vastata, mitu radiaani sisaldab ringiga kirjeldatud nurka? Jah, selleks peate meeles pidama ringi ümbermõõdu valemit. Siin ta on:
Noh, nüüd korreleerime need kaks valemit ja saame, et ringiga kirjeldatud nurk on võrdne. See tähendab, et korreleerides väärtust kraadides ja radiaanides, saame selle. Vastavalt,. Nagu näete, on erinevalt "kraadidest" sõna "radiaan" välja jäetud, kuna mõõtühik on tavaliselt kontekstist selge.
Mitu radiaani on? See on õige!
Sain aru? Seejärel kinnitage ette:
Kas on raskusi? Siis vaata vastuseid:
Niisiis, kui nurga mõiste on välja mõeldud. Mis on aga nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens? Selgitame välja. Selleks aitab meid täisnurkne kolmnurk.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on vastaskülg täisnurk(meie näites on see külg); jalad on kaks ülejäänud külge ja (need, mis külgnevad täisnurgaga), pealegi, kui arvestada jalgu nurga suhtes, siis jalg on külgnev jalg ja jalg on vastupidine. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens?
Nurga siinus on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
meie kolmnurgas.
Nurga koosinus- see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
meie kolmnurgas.
Nurga puutuja- see on vastupidise (kauge) jala ja külgneva (lähedase) suhe.
meie kolmnurgas.
Nurga kotangents- see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
meie kolmnurgas.
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg millega jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhtarvud ei sõltu nende külgede pikkustest (ühe nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast: , aga nurga koosinuse saame arvutada kolmnurgast: . Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja parandage need!
Alloleval joonisel kujutatud kolmnurga jaoks leiame.
No kas sa said aru? Seejärel proovige seda ise: arvutage sama nurga jaoks.
Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne. Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on väga kasulik trigonomeetria uurimisel. Seetõttu peatume sellel veidi üksikasjalikumalt.
Nagu näete, on see ring ehitatud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega, samal ajal kui ringi keskpunkt asub lähtepunktis, on raadiuse vektori algpositsioon fikseeritud piki telje positiivset suunda (meie näites on see raadius).
Igale ringi punktile vastab kaks numbrit: koordinaat piki telge ja koordinaat piki telge. Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks pidage meeles vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Kaaluge kolmnurka. See on ristkülikukujuline, kuna see on teljega risti.
Millega võrdub kolmnurgast? See on õige. Lisaks teame, et see on ühiku ringi raadius ja seetõttu . Asendage see väärtus meie koosinusvalemiga. See juhtub järgmiselt.
Ja millega võrdub kolmnurgast? No muidugi,! Asendage selle valemiga raadiuse väärtus ja saate:
Niisiis, kas saate mulle öelda, mis on ringile kuuluva punkti koordinaadid? No mitte kuidagi? Ja kui sa sellest aru saad ja oled vaid numbrid? Mis koordinaadile see vastab? No muidugi koordinaat! Mis koordinaadile see vastab? Täpselt nii, kooskõlasta! Seega punkt.
Ja mis siis on võrdsed ja? See on õige, kasutame sobivaid puutuja ja kotangensi definitsioone ja saame selle, a.
Mis siis, kui nurk on suurem? Siin näiteks nagu sellel pildil:
Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka: nurk (nurgaga külgnevana). Mis on nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile; nurga koosinuse väärtus - koordinaat; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega on need seosed rakendatavad raadiusvektori mis tahes pöörete korral.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud suurusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates - negatiivne.
Niisiis, me teame, et raadiusvektori terve pööre ümber ringi on või. Kas raadiusvektorit on võimalik pöörata või võrra? No muidugi saab! Seetõttu teeb esimesel juhul raadiuse vektor ühe täieliku pöörde ja peatub asendis või.
Teisel juhul, see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täielikku pööret ja peatub asendis või.
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad või (kus on mis tahes täisarv), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka. Sama pilt vastab nurgale jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga või (kus on suvaline täisarv)
Nüüd, teades trigonomeetriliste põhifunktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millega väärtused on võrdsed:
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
Siit määrame nurga teatud mõõtmetele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk kohas vastab koordinaatidega punktile, seega:
Ei eksisteeri;
Edasi, järgides sama loogikat, saame teada, et nurgad vastavad vastavalt koordinaatidega punktidele. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
Kuid allolevas tabelis toodud nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja tuleb meeles pidada:
Ärge kartke, nüüd näitame ühte näidetest üsna lihtne vastavate väärtuste meeldejätmine:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada siinuse väärtusi kõigi kolme nurga mõõtmise jaoks (), samuti nurga puutuja väärtust. Neid väärtusi teades on kogu tabeli taastamine üsna lihtne – koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, st:
Seda teades saate väärtused taastada. Lugeja " " ühtib ja nimetaja " " ühtib. Kootangentsi väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui mõistate seda ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate kogu väärtust tabelist.
Kas ringilt on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, selle raadiust ja pöördenurka?
No muidugi saab! Toome välja üldine valem punkti koordinaatide leidmiseks.
Näiteks siin on meil selline ring:
Meile antakse, et punkt on ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. Punkti kraadide kaupa pööramisel saadud punkti koordinaadid on vaja leida.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti koordinaat lõigu pikkusele. Lõigu pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile, see tähendab, et see on võrdne. Lõigu pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooni abil:
Siis on meil see punkti koordinaat.
Sama loogika järgi leiame punkti y-koordinaadi väärtuse. Seega
Seega sisse üldine vaade punkti koordinaadid määratakse valemitega:
Ringi keskpunkti koordinaadid,
ringi raadius,
Raadiusvektori pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi jaoks need valemid oluliselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on null ja raadius on võrdne ühega:
1. Leia punkti sisselülitamisel saadud ühikringjoone punkti koordinaadid.
2. Leidke ühikringjoonel oleva punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
3. Leia punkti sisselülitamisel saadud ühikringjoone punkti koordinaadid.
4. Punkt – ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
5. Punkt – ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
Lahenda need viis näidet (või mõista lahendust hästi) ja õpid, kuidas neid leida!
1.
Seda on näha. Ja me teame, mis vastab lähtepunkti täispöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti soovitud koordinaadid:
2. Ring on ühik, mille keskpunkt on punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Seda on näha. Teame, mis vastab lähtepunkti kahele täielikule pöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti soovitud koordinaadid:
Siinus ja koosinus on tabeli väärtused. Me mäletame nende väärtusi ja saame:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
3. Ring on ühik, mille keskpunkt on punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Seda on näha. Kujutame vaadeldavat näidet joonisel:
Raadius moodustab nurgad, mille telg on võrdne ja. Teades, et koosinuse ja siinuse tabeliväärtused on võrdsed, ja tehes kindlaks, et siinusel on negatiivne väärtus ja siinus on positiivne, saame:
Sarnaseid näiteid analüüsitakse üksikasjalikumalt teemas trigonomeetriliste funktsioonide redutseerimise valemeid uurides.
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
4.
Raadiusvektori pöördenurk (tingimuse järgi)
Siinuse ja koosinuse vastavate märkide määramiseks konstrueerime ühikringi ja nurga:
Nagu näete, on väärtus, see tähendab, positiivne ja väärtus, see tähendab, on negatiivne. Teades vastavate trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi, saame, et:
Asendame saadud väärtused oma valemiga ja leiame koordinaadid:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
5. Selle ülesande lahendamiseks kasutame valemeid üldkujul, kus
Ringi keskpunkti koordinaadid (meie näites
Ringi raadius (tingimuse järgi)
Raadiusvektori pöördenurk (tingimuse järgi).
Asendage valemis kõik väärtused ja saate:
ja - tabeliväärtused. Jätame need meelde ja asendame need valemiga:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
Nurga siinus on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja on vastassuunalise (kaugema) jala ja külgneva (lähedase) suhe.
Nurga kootangens on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Juhend
Seotud videod
Märge
Täisnurkse kolmnurga külgede arvutamisel võib selle tunnuste tundmine mängida:
1) Kui täisnurga jalg asub 30-kraadise nurga vastas, siis see pool hüpotenuus;
2) hüpotenuus on alati pikem kui ükski jalg;
3) Kui ringjoon on ümbritsetud täisnurkse kolmnurga ümber, peab selle kese asuma hüpotenuusi keskel.
Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on 90-kraadise nurga vastas. Selle pikkuse arvutamiseks piisab, kui on teada kolmnurga ühe jala pikkus ja ühe teravnurga väärtus.
Juhend
Andke meile teada üks jalg ja sellega külgnev nurk. Kindluse mõttes olgu selleks jalg |AB| ja nurk α. Seejärel saame kasutada külgneva jala trigonomeetrilise koosinuse ja koosinuse suhte valemit. Need. meie tähistuses cos α = |AB| / |AC|. Siit saame hüpotenuusi pikkuse |AC| = |AB| / cosα.
Kui me teame jalga |BC| ja nurk α, siis kasutame nurga siinuse arvutamiseks valemit - nurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega: sin α = |BC| / |AC|. Saame, et hüpotenuusi pikkus leitakse kui |AC| = |BC| / cosα.
Selguse huvides kaaluge näidet. Olgu jala pikkus |AB| = 15. Ja nurk α = 60°. Saame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mõelge, kuidas saate Pythagorase teoreemi abil oma tulemust kontrollida. Selleks peame arvutama teise jala pikkuse |BC|. Kasutades nurga puutuja valemit tg α = |BC| / |AC|, saame |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Järgmiseks rakendame Pythagorase teoreemi, saame 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontrollimine on tehtud.
Pärast hüpotenuusi arvutamist kontrollige, kas saadud väärtus vastab Pythagorase teoreemile.
Allikad:
Jalad nimetage täisnurkse kolmnurga kaks lühikest külge, mis moodustavad selle tipu ja mille väärtus on 90 °. Sellise kolmnurga kolmandat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Kõik need kolmnurga küljed ja nurgad on omavahel seotud teatud seostega, mis võimaldavad arvutada jala pikkust, kui on teada mitmeid muid parameetreid.
Juhend
Kasutage Pythagorase teoreemi jala (A) jaoks, kui teate täisnurkse kolmnurga ülejäänud kahe külje (B ja C) pikkust. See teoreem väidab, et jalgade pikkuste ruudu summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. Sellest järeldub, et iga jala pikkus on võrdne ruutjuur hüpotenuusi ja teise jala pikkustelt: A=√(C²-B²).
Kasutage teravnurga jaoks trigonomeetrilise otsefunktsiooni "siinus" määratlust, kui teate arvutatud haru vastas oleva nurga (α) väärtust ja hüpotenuusi pikkust (C). See ütleb, et selle teadaoleva siinus on soovitud jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhe. See tähendab, et soovitud jala pikkus võrdub hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga siinuse korrutisega: A=C∗sin(α). Samade teadaolevate väärtuste puhul saate kasutada kosekanti ja arvutada soovitud pikkus, jagades hüpotenuusi pikkuse teadaoleva nurga A=C/kosek(α) kosekandiga.
Kasutage otsese trigonomeetrilise koosinusfunktsiooni definitsiooni, kui lisaks hüpotenuusi pikkusele (C) on teada ka nõutavaga külgneva teravnurga (β) väärtus. Selle nurga koosinus on soovitud jala ja hüpotenuusi pikkuste suhe ning sellest saame järeldada, et jala pikkus võrdub hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga koosinuse korrutisega: A=C∗cos(β). Võite kasutada sekantfunktsiooni definitsiooni ja arvutada soovitud väärtuse, jagades hüpotenuusi pikkuse teadaoleva nurga A=C/sek(β) sekaaniga.
Tuletage nõutav valem sarnasest trigonomeetrilise funktsiooni puutuja tuletise definitsioonist, kui lisaks soovitud haru (A) vastas asuvale teravnurga väärtusele (α) on teise haru (B) pikkus teatud. Soovitud jala vastas oleva nurga puutuja on selle jala pikkuse ja teise jala pikkuse suhe. Seega on soovitud väärtus võrdne pikkuse korrutisega kuulus jalg teadaoleva nurga puutujale: A=B∗tg(α). Nendest samadest teadaolevatest suurustest saab kotangensfunktsiooni definitsiooni kasutades tuletada teise valemi. Sel juhul on jala pikkuse arvutamiseks vaja leida teadaoleva jala pikkuse ja teadaoleva nurga kotangensi suhe: A=B/ctg(α).
Seotud videod
Sõna "katet" tuli vene keelde kreeka keelest. AT täpne tõlge see tähendab plumbi, st maapinnaga risti. Matemaatikas nimetatakse jalgu külgedeks, mis moodustavad täisnurkse kolmnurga täisnurga. Selle nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Mõistet "jalg" kasutatakse ka arhitektuuris ja keevitustehnoloogias.
Mõlemad jalad on omavahel ühendatud ja kotangentsed. AT sel juhul puutuja on külje a ja külje b suhe, st külgneva jala vastaspool. Seda suhet saab väljendada valemiga tgCAB=a/b. Seega on pöördsuhe kotangents: ctgCAB=b/a.
Hüpotenuusi ja mõlema jala suuruse suhe määrati Vana-Kreeka Pythagoras. Teoreem, tema nimi, inimesed kasutavad siiani. See ütleb, et hüpotenuusi ruut on võrdne summaga jalgade ruudud, st c2=a2+b2. Seega on iga jalg võrdne hüpotenuusi ja teise jala ruutude erinevuse ruutjuurega. Selle valemi saab kirjutada kujul b=√(c2-a2).
Jala pikkust saab väljendada ka tuttavate suhete kaudu. Siinuste ja koosinuste teoreemide järgi võrdub jalg hüpotenuusi ja ühe nendest funktsioonidest korrutisega. Saate seda väljendada ja või kotangenti. Jala a võib leida näiteks valemiga a \u003d b * tan CAB. Täpselt samamoodi, sõltuvalt antud puutujast või , määratakse teine jalg.
Arhitektuuris kasutatakse ka mõistet "jalg". Seda kantakse joonia pealinnale ja selja keskosale. See tähendab antud juhul antud joonega risti.
Keevitustehnoloogias on "filee keevisõmbluse jalg". Nagu muudel juhtudel, on see lühim vahemaa. Siin me räägime umbes ühe keevitatava osa vahelise pilu kohta teise osa pinnal asuva õmbluse piirini.
Seotud videod
Allikad:
Üks matemaatika harusid, millega koolilapsed kõige suuremate raskustega toime tulevad, on trigonomeetria. Pole ime: selle teadmiste valdkonna vabaks valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja osata arvutustes kasutada arvu pi. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel rakendada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.
Selle teadusega tutvumine peaks algama nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate välja mõtlema, mida trigonomeetria üldiselt teeb.
Ajalooliselt on täisnurksed kolmnurgad olnud selle matemaatikateaduse osa peamine uurimisobjekt. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata vaadeldava joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.
Esialgu räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid laiendada kasutuspiire Igapäevane elu see matemaatika haru.
Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksetest kolmnurkadest, mille järel saadud teadmisi kasutavad õpilased füüsikas ja abstraktsete ülesannete lahendamisel. trigonomeetrilised võrrandid, millega töö algab keskkoolis.
Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati sfäärilises geomeetrias kasutama siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensiga valemeid, kus kehtivad erinevad reeglid ning kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. Seda osa koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada, vähemalt seetõttu, et nii maakera pind kui ka mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinnamärgised on "kaarekujulised" kolmemõõtmeline ruum.
Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera mis tahes kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pöörake tähelepanu - see on omandanud kaare kuju. Just selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakenduslikes valdkondades.
Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.
Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. Ta on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.
Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.
Kaht ülejäänud külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi.
Lõpuks, kui mõistame geomeetrilist alust, saame pöörduda nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratluse poole.
Nurga siinus on vastasjala (st soovitud nurga vastaskülje) ja hüpotenuusi suhe. Nurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Pidage meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla suuremad kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim.Ükskõik kui pikk on jalg, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega suurem kui 1, otsige arvutustes või arutluses viga. See vastus on selgelt vale.
Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Sama tulemus annab siinuse jagamise koosinusega. Vaata: valemi järgi jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, misjärel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama suhte nagu puutuja definitsioonis.
Kootangens on vastavalt nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame ühiku jagamisel puutujaga.
Niisiis, oleme kaalunud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangentsi määratlusi ning saame käsitleda valemeid.
Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Ja just seda on vaja probleemide lahendamisel.
Esimene valem, mida pead teadma trigonomeetriat õppima asudes, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid see säästab aega, kui soovite teada nurga, mitte külje väärtust.
Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on samuti lahendamisel väga populaarne kooli ülesanded: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on ju sama väide, mis esimeses valemis, ainult koosinuse ruuduga jagati identiteedi mõlemad pooled. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe muudab trigonomeetrilise valemi täiesti tundmatuks. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreegleid ja mõnda põhivalemit, saate igal ajal tuletada vajaliku lisa keerulised valemid paberitükil.
Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud nurkade summa ja erinevuse siinuse ja koosinuse väärtustega. Need on näidatud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.
Samuti on topeltnurga argumentidega seotud valemid. Need on täielikult tuletatud eelmistest - harjutusena proovige need ise hankida, võttes alfa nurga võrdseks beeta nurgaga.
Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab teisendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa astme vähendamiseks.
Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsalt aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.
Siinusteoreem ütleb, et kolmnurga iga külje pikkuse jagamisel vastasnurga väärtusega saame sama number. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.
Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud nendega külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.
Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks tutvume neist populaarseimatega.
Esiteks ei tohiks tavalisi murde kümnendkohtadeks teisendada enne, kui lõpptulemus on saadud - vastuse võid jätta vormi harilik murd kui tingimus ei sätesta teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et ülesande igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida tuleks autori idee järgi vähendada. Sel juhul raiskate aega tarbetutele matemaatilistele tehtetele. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme või kahe juur, kuna need esinevad ülesannetes igal sammul. Sama kehtib ka "koledate" numbrite ümardamise kohta.
Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise, mis on korrutatud nendevahelise nurga koosinusega, ei saa te mitte ainult täiesti vale tulemust, vaid demonstreerite ka subjekti täielikku arusaamatust. See on hullem kui hooletu viga.
Kolmandaks, ärge ajage segi nurkade 30 ja 60 kraadi väärtusi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide puhul. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segamini ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.
Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle rakenduslikku tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, tänu millele saab arvutada kaugust kaugete tähtedeni, ennustada meteoriidi langemist, saata uurimissondi teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on vaid kõige ilmsemad näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.
Seega olete siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.
Kogu trigonomeetria olemus taandub asjaolule, et tundmatud parameetrid tuleb arvutada kolmnurga teadaolevatest parameetritest. Kokku on kuus parameetrit: pikkused kolm külge ja kolme nurga mõõtmed. Kogu ülesannete erinevus seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.
Kuidas leida siinus, koosinus, puutuja teadaolevate jalgade või hüpotenuusi pikkuste põhjal, teate nüüd. Kuna need terminid ei tähenda midagi muud kui suhet ja suhe on murdosa, on trigonomeetrilise ülesande peamine eesmärk leida tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juured. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.
Keskmine tase
Ülesannete korral pole täisnurk üldse vajalik - alumine vasak, nii et peate õppima, kuidas sellel kujul täisnurkset kolmnurka ära tunda,
ja sellises
ja sellises 
Mis on täisnurkses kolmnurgas head? Noh... esiteks on seal erilised ilusad nimed tema külgede jaoks.
Tähelepanu joonisele!
Pidage meeles ja ärge ajage segadusse: jalad - kaks ja hüpotenuus - ainult üks(ainus, ainulaadne ja pikim)!
Noh, me arutasime nimesid, nüüd kõige olulisemat: Pythagorase teoreemi.
See teoreem on võti paljude täisnurkse kolmnurgaga seotud probleemide lahendamiseks. Pythagoras tõestas seda suurepäraselt aegumatu aeg, ja sellest ajast alates on ta toonud palju kasu neile, kes teda tunnevad. Ja parim asi tema juures on see, et ta on lihtne.
Niisiis, Pythagorase teoreem:
Kas mäletate nalja: "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed!"?
Joonistame need väga Pythagorase püksid ja vaatame neid. 
Kas see näeb tõesti välja nagu lühikesed püksid? Noh, mis pooltel ja kus nad on võrdsed? Miks ja kust nali tuli? Ja see nali on seotud just Pythagorase teoreemiga, täpsemalt sellega, kuidas Pythagoras ise oma teoreemi sõnastas. Ja ta sõnastas selle järgmiselt:
"Summa ruutude pindala, ehitatud jalgadele, on võrdne ruudu pindala ehitatud hüpotenuusile.
Kas see ei kõla veidi teisiti, kas pole? Ja nii, kui Pythagoras joonistas oma teoreemi avalduse, selgus just selline pilt.
Sellel pildil on väikeste ruutude pindalade summa võrdne suure ruudu pindalaga. Ja et lapsed mäletaksid paremini, et jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, mõtles keegi vaimukas selle nalja Pythagorase pükste kohta.
Miks me nüüd Pythagorase teoreemi sõnastame
Kas Pythagoras kannatas ja rääkis väljakutest?
Näete, iidsetel aegadel polnud ... algebrat! Mingeid märke polnud ja nii edasi. Silte polnud. Kas kujutate ette, kui kohutav oli vaestel muistsetel õpilastel kõike sõnadega pähe õppida??! Ja me võime olla rõõmsad, et meil on Pythagorase teoreemi lihtne sõnastus. Kordame seda uuesti, et paremini meeles pidada:
Nüüd peaks see olema lihtne:
| Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. |
Noh, arutati kõige olulisemat teoreemi täisnurkse kolmnurga kohta. Kui teid huvitab, kuidas seda tõestatakse, lugege teooria järgmisi tasemeid ja nüüd liigume edasi ... trigonomeetria pimedasse metsa ...! Kohutavatele sõnadele siinus, koosinus, puutuja ja kotangent.
Tegelikult pole kõik üldse nii hirmus. Muidugi tuleks artiklis vaadata siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi "päris" määratlust. Aga sa tõesti ei taha, eks? Võime rõõmustada: täisnurkse kolmnurga probleemide lahendamiseks võite lihtsalt täita järgmised lihtsad asjad:
Miks on kõik nurga all? Kus on nurk? Selle mõistmiseks peate teadma, kuidas väiteid 1–4 sõnadega kirjutatakse. Vaata, mõista ja jäta meelde!
1.
See kõlab tegelikult nii:
Aga nurk? Kas on jalg, mis on nurga vastas, st vastasjalg (nurga jaoks)? Muidugi on! See on kateet!
Aga kuidas on nurgaga? Vaata lähemalt. Milline jalg külgneb nurgaga? Muidugi, kass. Niisiis, nurga jaoks on jalg külgnev ja
Ja nüüd tähelepanu! Vaata, mis meil on:
Vaadake, kui suurepärane see on:
Liigume nüüd puutuja ja kotangensi juurde.
Kuidas seda nüüd sõnadesse panna? Mis on jalg nurga suhtes? Muidugi vastas – see "lemab" nurga vastas. Ja kateet? Kõrval nurgaga. Mida me siis saime?
Kas näete, kuidas lugeja ja nimetaja on ümber pööratud?
Ja nüüd jälle nurgad ja vahetus tehtud:
Paneme õpitu lühidalt kirja.
 |
Pythagorase teoreem: |
Peamine täisnurkse kolmnurga teoreem on Pythagorase teoreem.
Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui ei, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi
Võimalik, et olete Pythagorase teoreemi juba korduvalt kasutanud, kuid kas olete kunagi mõelnud, miks selline teoreem on tõene. Kuidas sa seda tõestaksid? Teeme nii nagu vanad kreeklased. Joonistame küljega ruudu.
Näete, kui kavalalt me selle küljed pikkusteks jagasime!
Nüüd ühendame märgitud punktid
Siin aga märkisime veel midagi, aga vaata ise pilti ja mõtle, miks.
Kui suur on suurema ruudu pindala? Õigesti,. Aga väiksema alaga? Kindlasti,. Nelja nurga kogupindala jääb alles. Kujutage ette, et võtsime neist kaks ja nõjatusime hüpotenuusidega üksteise vastu. Mis juhtus? Kaks ristkülikut. Seega on "pistikute" pindala võrdne.
Paneme nüüd kõik kokku.
Muutame:
Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.
Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:
Teravnurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega
Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.
Teravnurga puutuja on võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega.
Teravnurga kotangens on võrdne külgneva jala ja vastasjala suhtega.
Ja veel kord, kõik see taldriku kujul:
See on väga mugav!
I. Kahel jalal
II. Jala ja hüpotenuusiga
III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi
IV. Mööda jalga ja teravnurka
a) 
b) 
Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid "vastavad". Näiteks kui see läheb nii:
SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.
Vaja mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.
Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Vaadake teemat "ja pöörake tähelepanu asjaolule, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuse jaoks on vaja nende kolme elemendi võrdsust: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja nendevaheline külg või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. See on suurepärane, eks?
Ligikaudu sama olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.
I. Äge nurk
II. Kahel jalal
III. Jala ja hüpotenuusiga
Miks see nii on?
Mõelge täisnurkse kolmnurga asemel tervele ristkülikule.
Joonistame diagonaali ja vaatleme punkti – diagonaalide lõikepunkti. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?
Ja mis sellest järeldub?
Nii juhtuski
Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!
Veelgi üllatavam on see, et ka vastupidine on tõsi.
Mida kasu saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti
Vaata lähemalt. Meil on: , see tähendab, et kaugused punktist kolmnurga kõigi kolme tipuni osutusid võrdseks. Kuid kolmnurgas on ainult üks punkt, mille kaugused on kolmnurga kõik kolm tippu võrdsed, ja see on KIRJELDATUD RINGIME KESK. Mis juhtus?
Nii et alustame sellest "pealegi...".
Vaatame i.
Kuid sarnastes kolmnurkades on kõik nurgad võrdsed!
Sama võib öelda ja
Nüüd joonistame selle koos:
Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest.
No näiteks - kaks valemit täisnurkse kolmnurga kõrguse jaoks.
Kirjutame vastavate osapoolte suhted:
Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":
Niisiis, rakendame sarnasust: .
Mis nüüd saab?
Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi:
Neid mõlemaid valemeid tuleb väga hästi meeles pidada ja seda, mida on mugavam rakendada. Paneme need uuesti kirja.
Pythagorase teoreem:
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga:.
Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:
Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid:
Siinus, koosinus, puutuja, kotangens täisnurkses kolmnurgas
Täisnurkse kolmnurga kõrgus: või.
Täisnurkses kolmnurgas on täisnurga tipust tõmmatud mediaan võrdne poolega hüpotenuusist: .
Täisnurkse kolmnurga pindala:
