Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetükki "Murdude liitmine ja lahutamine"). Nende tegevuste kõige raskem hetk oli murdude ühise nimetajani viimine.
Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Head uudised on see, et need toimingud on isegi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Alustuseks kaaluge kõige lihtsamat juhtumit, kui on kaks positiivset murdu, millel pole eristatavat täisarvu.
Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.
Kahe murdosa jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teisega.
Määramine:
Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandatakse korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetundi peamiselt korrutamist.
Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekibki) vähenenud murdosa – loomulikult tuleb seda vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutus murdosa valeks, tuleks selles eristada kogu osa. Mida aga korrutamisega täpselt ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, maksimumtegureid ja väikseimaid ühiskordajaid.
Definitsiooni järgi on meil:
Kui murdudes on täisarvuline osa, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.
Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutamise piiridest välja võtta või üldse eemaldada järgmiste reeglite järgi:
Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Toote puhul saab neid üldistada, et “põletada” mitu miinust korraga:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:
Tõlgime kõik murrud valedeks ja seejärel eemaldame miinused väljaspool korrutamise piire. See, mis järele jääb, korrutatakse tavalised reeglid. Saame:
Tuletan teile veel kord meelde, et miinus, mis tuleb enne esiletõstetud täisarvu osaga murdu, viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle täisarvu osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).
Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.
Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin on arvud üsna suured ja ülesande lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:
Definitsiooni järgi on meil:
Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist alles on.
Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Ühikud jäid oma kohale, mille võib üldiselt ära jätta. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.
Kuid ärge mingil juhul kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:
Sa ei saa seda teha!
Viga tuleneb asjaolust, et murdosa lisamisel kuvatakse murdosa lugejas summa, mitte arvude korrutis. Seetõttu on murdosa peamist omadust võimatu rakendada, kuna selles omaduses me räägime See puudutab arvude korrutamist.
Lihtsalt pole muud põhjust murdude vähendamiseks, nii et õige otsus eelmine ülesanne näeb välja selline:
Õige otsus:
Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.
Teine tehe, mida saab teha tavaliste murdudega, on korrutamine. Püüame selgitada selle põhireegleid ülesannete lahendamisel, näidata, kuidas harilik murd korrutatakse naturaalarvuga ja kuidas õigesti korrutada kolm või enam harilikku murru.
Paneme kõigepealt kirja põhireegli:
Definitsioon 1
Kui korrutame ühe hariliku murru, siis on saadud murru lugeja on võrdne tootega algsete murdude lugejad ja nimetaja - nende nimetajate korrutis. Sõnasõnalises vormis saab seda kahe murdosa a / b ja c / d korral väljendada kujul a b · c d = a · c b · d.
Vaatame näidet selle reegli õige rakendamise kohta. Oletame, et meil on ruut, mille külg on võrdne ühe arvühikuga. Siis on joonise pindala 1 ruut. üksus. Kui jagame ruudu võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on 1 4 ja 1 8 arvühikust, saame, et see koosneb nüüd 32 ristkülikust (sest 8 4 = 32). Sellest lähtuvalt on igaühe pindala võrdne 1 32-ga kogu joonise pindalast, s.o. 132 ruutmeetrit ühikut.
Meil on varjutatud fragment, mille küljed on võrdsed 5 8 arvühikuga ja 3 4 numbriühikuga. Sellest lähtuvalt on selle pindala arvutamiseks vaja esimene murdosa korrutada teisega. See võrdub 5 8 3 4 ruutmeetriga. ühikut. Kuid võime lihtsalt kokku lugeda, mitu ristkülikut fragmendis on: neid on 15, seega kogupindala on 1532 ruutühikut.
Kuna 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, saame kirjutada järgmise võrrandi:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
See on kinnitus reeglile, mille oleme sõnastanud harilike murdude korrutamiseks, mis on väljendatud kujul a b · c d = a · c b · d. See toimib ühtmoodi nii õigete kui ka sobimatute murdude puhul; Seda saab kasutada erinevate ja samade nimetajatega murdude korrutamiseks.
Analüüsime mitme ülesande lahendusi harilike murdude korrutamiseks.
Näide 1
Korrutage 7 11 9 8-ga.
Lahendus
Alustuseks arvutame näidatud murdude lugejate korrutise, korrutades 7 9-ga. Meil on 63. Seejärel arvutame nimetajate korrutise ja saame: 11 8 = 88 . Koostame vastuse kahest arvust: 63 88.
Kogu lahenduse saab kirjutada järgmiselt:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Vastus: 7 11 9 8 = 63 88 .
Kui vastuses saime taandatava murdosa, peame arvutuse lõpule viima ja selle vähendamise tegema. Kui meil ei õnnestunud õige murdosa, sellest on vaja valida kogu osa.
Näide 2
Arvutage murdarvude korrutis 4 15 ja 55 6 .
Lahendus
Eespool uuritud reegli kohaselt peame korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Lahenduse kirje näeb välja selline:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Oleme saanud vähendatud murdosa, s.o. see, millel on 10-ga jaguvuse märk.
Vähendame murdosa: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 = 22 9. Selle tulemusena saime vale murru, millest valime kogu osa ja saame segaarvu: 22 9 \u003d 2 4 9.
Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Arvutamise mugavuse huvides saame enne korrutustehte sooritamist ka algseid murde vähendada, mille jaoks peame viima murde kujule a · c b · d. Jagame muutujate väärtused lihtsateks teguriteks ja tühistame samad.
Selgitame, kuidas see konkreetse probleemi andmeid kasutades välja näeb.
Näide 3
Arvutage korrutis 4 15 55 6 .
Lahendus
Arvutused kirjutame korrutusreegli alusel. Meil on võimalik:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kuna 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ja 6 = 2 3 , siis 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Numbriline avaldis, milles toimub harilike murdude korrutamine, omab kommutatiivset omadust ehk vajadusel saame muuta tegurite järjekorda:
a b c d = c d a b = a c b d
Paneme põhireegli kohe kirja ja proovime siis seda praktikas selgitada.
2. definitsioon
Tavalise murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle murru lugeja selle arvuga. Sel juhul on lõpliku murru nimetaja võrdne algse hariliku murru nimetajaga. Mõne murdosa a b korrutamise naturaalarvuga n saab kirjutada valemiga a b · n = a · n b .
Seda valemit on lihtne mõista, kui mäletate, et mis tahes naturaalarvu saab esitada tavalise murruna, mille nimetaja on võrdne ühega, see tähendab:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Selgitagem oma ideed konkreetsete näidetega.
Näide 4
Arvutage 2 27 korda 5 korrutis.
Lahendus
Kui korrutada algmurru lugeja teise teguriga, saame 10. Ülaltoodud reegli kohaselt saame tulemuseks 10 27. Kogu lahendus on toodud selles postituses:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Vastus: 2 27 5 = 10 27
Kui korrutame naturaalarvu hariliku murruga, peame sageli tulemust vähendama või esitama selle segaarvuna.
Näide 5
Tingimus: Arvutage korrutis 8 korda 5 12 .
Lahendus
Ülaltoodud reegli kohaselt korrutame naturaalarvu lugejaga. Selle tulemusena saame, et 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Lõplikul murdosal on 2-ga jaguvuse märgid, seega peame seda vähendama:
LCM (40, 12) \u003d 4, seega 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Nüüd jääb vaid valida täisarvuline osa ja valmis vastus kirja panna: 10 3 = 3 1 3.
Selles kirjes näete kogu lahendust: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Võiksime ka murdosa vähendada, arvutades lugeja ja nimetaja algteguriteks ja tulemus oleks täpselt sama.
Vastus: 5 12 8 = 3 1 3 .
Numbriline avaldis, milles naturaalarv on korrutatud murdosaga, omab ka nihkeomadust, see tähendab, et tegurite järjekord ei mõjuta tulemust:
a b n = n a b = a n b
Harilike murdude korrutamisele saame laiendada samu omadusi, mis on iseloomulikud naturaalarvude korrutamisele. See tuleneb nende mõistete määratlusest.
Tänu assotsiatiivsete ja kommutatiivsete omaduste tundmisele on võimalik korrutada kolm või enam harilikku murru. Suurema mugavuse huvides on lubatud tegurid kohati ümber paigutada või paigutada sulgud viisil, mis hõlbustab loendamist.
Näitame näidet, kuidas seda tehakse.
Näide 6
Korrutage neli harilikku murru 1 20 , 12 5 , 3 7 ja 5 8 .
Lahendus: Esmalt salvestame töö. Saame 1 20 12 5 3 7 5 8 . Peame kõik lugejad ja nimetajad kokku korrutama: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Enne korrutamise alustamist saame selle enda jaoks veidi lihtsamaks teha ja lagundada mõned arvud edasiseks vähendamiseks algteguriteks. See on lihtsam kui sellest tuleneva valmisfraktsiooni vähendamine.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Vastus: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Näide 7
Korrutage 5 arvu 7 8 12 8 5 36 10 .
Lahendus
Mugavuse huvides saame rühmitada murdarvu 78 numbriga 8 ja arvu 12 murdarvuga 536, kuna see teeb meile edaspidised vähendamised selgeks. Selle tulemusena saame:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 = 3 5 3 10 116 2 3
Vastus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid sisse Eriparagrahv 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
See operatsioon on palju toredam liitmine-lahutamine! Sest see on lihtsam. Tuletan teile meelde: murdosa korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugejad (see on tulemuse lugeja) ja nimetajad (see on nimetaja). See on:
Näiteks:
Kõik on äärmiselt lihtne. Ja palun ärge otsige ühist nimetajat! Pole seda siin vaja...
Murru jagamiseks murdosaga peate ümber pöörama teiseks(see on oluline!) murdosa ja korrutage need, st:
Näiteks:
Kui täisarvude ja murdudega korrutamine või jagamine on tabatud, on kõik korras. Nagu liitmisegi puhul, teeme täisarvust murdosa, mille nimetajas on ühik – ja mine! Näiteks:
Keskkoolis tuleb sageli tegeleda kolmekorruseliste (või isegi neljakorruseliste!) murdudega. Näiteks:
Kuidas viia see murd korralikule vormile? Jah, väga lihtne! Kasutage jagamist kahe punkti kaudu:
Kuid ärge unustage jagamise järjekorda! Erinevalt korrutamisest on see siin väga oluline! Muidugi ei aja me 4:2 ega 2:4 segi. Kuid kolmekorruselises murdosas on lihtne eksida. Pange tähele, näiteks:
Esimesel juhul (avaldis vasakul):
Teises (avaldis paremal):
Kas tunnete erinevust? 4 ja 1/9!
Mis on jagamise järjekord? Või sulud või (nagu siin) horisontaalsete kriipsude pikkus. Arendage silma. Ja kui sulgusid või sidekriipse pole, näiteks:
siis jaga-korruta järjekorras, vasakult paremale!
Ja väga lihtne ja oluline trikk. Kraadidega tegudes tuleb see sulle kasuks! Jagame ühiku mis tahes murdosaga, näiteks 13/15-ga:
Lask on ümber läinud! Ja seda juhtub alati. Jagades 1 suvalise murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult tagurpidi.
See on kõik toimingud murdarvudega. Asi on üsna lihtne, kuid annab rohkem kui piisavalt vigu. Märge praktilisi nõuandeid, ja neid (vigu) on vähem!
Praktilised näpunäited:
1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus! Need ei ole tavalised sõnad, mitte head soovid! See on tõsine vajadus! Tehke kõik eksami arvutused täisväärtusliku ülesandena, keskendudes ja selgelt. Parem kirjutada mustandisse kaks lisarida, kui peast arvutades sassi ajada.
2. Näidetes koos erinevad tüübid murrud - minge tavaliste murdude juurde.
3. Vähendame kõik murded lõpuni.
4. Redendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi kahe punkti (jälgime jagamise järjekorda!).
5. Me jagame ühiku mõttes murdosa, lihtsalt murru ümber pöörates.
Siin on ülesanded, mida peate täitma. Vastused antakse pärast kõiki ülesandeid. Kasutage selle teema materjale ja praktilisi nõuandeid. Hinnake, mitu näidet saaksite õigesti lahendada. Esimene kord! Ilma kalkulaatorita! Ja tehke õiged järeldused...
Pidage meeles õiget vastust saadud teisest (eriti kolmandast) korrast - ei lähe arvesse! Selline on karm elu.
Niisiis, lahendada eksamirežiimis ! See on muide eksamiks valmistumine. Lahendame näite, kontrollime, lahendame järgmise. Otsustasime kõik – kontrollisime uuesti esimesest viimaseni. Aga ainult pärast vaata vastuseid.
Arvutama:
Kas otsustasite?
Otsite vastuseid, mis vastavad teie omadele. Panin need konkreetselt sassi kirja, eemale kiusatusest, niiöelda... Siin need on, vastused, semikooloniga kirja pandud.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Ja nüüd teeme järeldused. Kui kõik õnnestus - palju õnne teile! Elementaarsed arvutused murdarvudega pole teie probleem! Saate teha tõsisemaid asju. Kui ei...
Nii et teil on üks kahest probleemist. Või mõlemad korraga.) Teadmiste puudumine ja (või) tähelepanematus. Aga see lahendatav Probleemid.
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Tunni sisuMurdude lisamist on kahte tüüpi:
Alustame samade nimetajatega murdude liitmisest. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:
Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:
Näide 2 Lisage fraktsioonid ja .
Vastus on vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, siis on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima selles kogu osa. Meie puhul eraldatakse täisarvuline osa lihtsalt - kaks jagatud kahega võrdub ühega:
Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisad pitsale rohkem pitsasid, saad ühe terve pitsa:
Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .
Lisage uuesti lugejad ja jätke nimetaja muutmata:
Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsasid, saate pitsad:
Näide 4 Leidke avaldise väärtus 
See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:
Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.
Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lisamine keeruline. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:
Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad nende murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.
Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.
Kuid murde ei saa korraga lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.
Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna käsitleme neist ainult ühte, kuna ülejäänud meetodid võivad algajale tunduda keerulised.
Selle meetodi olemus seisneb selles, et mõlema murru nimetajatest otsitakse esimest (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.
Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erinevate nimetajatega murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.
Näide 1. Lisage fraktsioonid ja
Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6
LCM (2 ja 3) = 6
Nüüd tagasi murdude ja . Esiteks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga ja saame esimese lisateguri. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.
Saadud arv 2 on esimene lisategur. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks teeme murdosa kohale väikese kaldjoone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:
Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.
Saadud arv 3 on teine lisategur. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:
Nüüd oleme kõik valmis lisama. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:
Vaadake tähelepanelikult, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Lõpetame selle näite:
Sellega näide lõpeb. Lisamiseks selgub.
Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:
Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Tuues murrud ja ühise nimetaja, saame murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsalõigud. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).
Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (neli tükki kuuest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kuuest). Neid tükke kokku pannes saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu oleme selles täisarvu osa esile tõstnud. Tulemus oli (üks terve pitsa ja teine kuues pitsa).
Pange tähele, et oleme selle näite liiga üksikasjalikult maalinud. AT õppeasutused pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama lugejate ja nimetajate abil leitud lisategurid. Koolis olles peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:
Kuid on ka tagakülg medalid. Kui matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tehta, siis sedalaadi küsimused “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.
Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.
Näide 2 Leidke avaldise väärtus 
.
Kasutame ülaltoodud juhiseid.
Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM
Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4
2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja
Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru peale:
Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saime teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru peale:
Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saime kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru peale:
3. samm. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad lisateguritega
Korrutame lugejad ja nimetajad meie lisateguritega:
4. samm. Lisage samade nimetajatega murrud
Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Jääb need fraktsioonid lisada. Kokku liitma:
Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, kantakse see üle järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse tuleb panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.
Samm 5. Kui vastus osutus valeks murdeks, siis valige selles kogu osa
Meie vastus on vale murd. Peame välja tooma kogu selle osa. Toome esile:
Sai vastuse
Murdarvu lahutamist on kahte tüüpi:
Esiteks õpime, kuidas lahutada samade nimetajatega murde. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks.
Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks on vaja esimese murru lugejast lahutada teise murru lugeja ja nimetaja jätta muutmata. Teeme ära:
Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:
Näide 2 Leidke avaldise väärtus.
Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:
Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:
Näide 3 Leidke avaldise väärtus 
See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast peate lahutama ülejäänud murdude lugejad:
Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamisel midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:
Näiteks võib murdosast lahutada murdosa, kuna nendel murdudel on samad nimetajad. Kuid murdosa ei saa murdosast lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.
Ühine nimetaja leitakse sama põhimõtte järgi, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse üle esimese murru. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine lisategur, mis kirjutatakse teise murru peale.
Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena muutuvad erineva nimetajaga murded samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.
Näide 1 Leidke avaldise väärtus:
Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need viima sama (ühise) nimetaja juurde.
Esiteks leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12
LCM (3 ja 4) = 12
Nüüd tagasi murdude ja
Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutame nelja esimese murru peale:
Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolmik:
Nüüd oleme kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:
Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite:
Sai vastuse
Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad.
See on lahenduse üksikasjalik versioon. Koolis olles peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:
Murdude ja ühisnimetaja taandamist saab kujutada ka pildi abil. Viies need murrud ühise nimetaja juurde, saame murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need samadeks murdudeks (vähendatud samale nimetajale):
Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Kaheksast tükist kolm tükki ära lõigates saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.
Näide 2 Leidke avaldise väärtus 
Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need esmalt viima sama (ühise) nimetajani.
Leidke nende murdude nimetajate LCM.
Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagame LCM-i iga murdosa nimetajaga.
Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru peale:
Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru peale:
Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru peale:
Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:
Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.
Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):
Vastus osutus õigeks murdarvuks ja meile tundub, et kõik sobib, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda osa vähendada.
Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (gcd) numbritega 20 ja 30.
Niisiis, leiame arvude 20 ja 30 GCD:
Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja leitud GCD-ga, see tähendab 10-ga
Sai vastuse
Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murru lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.
Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.
Korrutage murdosa lugeja arvuga 1
Kanne võib mõista nii, et see võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtate pizza 1 kord, saate pizza
Korrutamise seadustest teame, et kui kordajat ja kordajat vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:
Seda kirjet võib mõista nii, et see võtab poole ühikust. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:
Näide 2. Leidke avaldise väärtus
Korrutage murdosa lugeja 4-ga
Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:
Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtate pitsasid 4 korda, saate kaks tervet pitsat.
Ja kui vahetame kordaja ja kordaja kohad, saame avaldise. See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:
Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus on vale murd, peate valima selles kogu osa.
Näide 1 Leidke avaldise väärtus.
Sai vastuse. Soovitav on seda fraktsiooni vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:
Väljendit võib mõista nii, et poole pitsa pealt võtame pitsa. Oletame, et meil on pool pitsat:
Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:
Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:
Toome pitsa. Pidage meeles, kuidas pitsa välja näeb, jagatud kolmeks osaks:
Üks viil sellest pitsast ja kahel meie võetud viilul on samad mõõtmed:
Teisisõnu, me räägime samast pitsa suurusest. Seetõttu on avaldise väärtus
Näide 2. Leidke avaldise väärtus
Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:
Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:
Näide 3 Leidke avaldise väärtus
Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:
Vastus osutus õigeks murdarvuks, kuid on hea, kui seda vähendada. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murdosa lugeja ja nimetaja suurimaga ühine jagaja(gcd) numbrid 105 ja 450.
Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 GCD:
Jagame nüüd leitud GCD vastuse lugeja ja nimetaja, st 15-ga
Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . Sellest alates ei muuda viis selle tähendust, kuna väljend tähendab "arv viis jagatud ühega" ja see, nagu teate, võrdub viiega:
Nüüd saame tuttavaks huvitav teema matemaatikas. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".
Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühiku.
Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:
Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühiku.
Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et saate. Esitame viit murruna:
Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult ümberpööratult:
Mis on selle tulemus? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:
See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv, sest kui 5 korrutada ühega, saadakse üks.
Pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu jaoks.
Samuti saate leida pöördarvu mis tahes muu murru jaoks. Selleks piisab selle ümberpööramisest.
Oletame, et meil on pool pitsat:
Jagame selle kahe vahel võrdselt. Mitu pitsat igaüks saab?
On näha, et peale poole pitsa poolitamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.
Murdude jagamine toimub pöördarvude abil. Pöördarvud võimaldavad asendada jagamise korrutamisega.
Murru jagamiseks arvuga peate selle murdosa korrutama jagaja pöördarvuga.
Seda reeglit kasutades paneme kirja meie poole pitsa jagamise kaheks osaks.
Seega peate murdosa jagama arvuga 2. Siin on dividend murdosa ja jagaja on 2.
Murru jagamiseks arvuga 2 peate selle murdosa korrutama jagaja 2 pöördarvuga. Jagaja 2 pöördarvuks on murd. Nii et peate korrutama
