Mis on nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens, aitab mõista täisnurkne kolmnurk.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg \ (AC \) ); jalad on kaks ülejäänud külge \ (AB \) ja \ (BC \) (need, mis külgnevad täisnurgaga), pealegi, kui arvestada jalgu nurga \ (BC \) suhtes, siis jalg \ (AB \) on külgnev jalg ja jalg \ (BC \) on vastand. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens?
Nurga siinus- see on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Nurga koosinus- see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Nurga puutuja- see on vastas (kauge) jala ja külgneva (lähedase) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Nurga kotangents- see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg millega jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhtarvud ei sõltu nende külgede pikkustest (ühe nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga \(\beta \) koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), kuid nurga \(\beta \) koosinuse saame arvutada kolmnurgast \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja parandage need!
Alloleval joonisel näidatud kolmnurga \(ABC \) jaoks leiame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(massiiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiivi) \)
No kas sa said aru? Seejärel proovige ise: arvutage sama nurga \(\beta \) jaoks.
Vastused: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Mõistes kraadi ja radiaani mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne \ (1 \) . Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on väga kasulik trigonomeetria uurimisel. Seetõttu peatume sellel veidi üksikasjalikumalt.
Nagu näete, on see ring ehitatud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega, samal ajal kui ringi keskpunkt asub lähtepunktis, on raadiuse vektori algpositsioon fikseeritud piki \(x \) telje positiivset suunda (meie näites on see raadius \(AB \) ).
Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: koordinaat piki telge \(x \) ja koordinaat piki telge \(y \) . Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks pidage meeles vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Vaatleme kolmnurka \(ACG \) . See on ristkülikukujuline, kuna \(CG \) on risti teljega \(x \).
Mis on \(\cos \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? See on õige \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Pealegi teame, et \(AC \) on ühikuringi raadius, seega \(AC=1 \) . Asendage see väärtus meie koosinusvalemiga. See juhtub järgmiselt.
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Ja mis on \(\sin \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? No muidugi, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Asendage selles valemis raadiuse \ (AC \) väärtus ja saate:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Niisiis, kas saate mulle öelda, mis on ringile kuuluva punkti \(C \) koordinaadid? No mitte kuidagi? Aga mis siis, kui mõistate, et \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) on vaid numbrid? Millisele koordinaadile vastab \(\cos \alpha \)? Muidugi, koordinaat \(x \) ! Ja millisele koordinaadile vastab \(\sin \alpha \)? See on õige, \(y \) koordinaat! Nii et point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Mis on siis \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \)? See on õige, kasutame sobivaid puutuja ja kotangensi definitsioone ja saame selle \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Mis siis, kui nurk on suurem? Siin näiteks nagu sellel pildil:
Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : nurk (külgneb nurgaga \(\beta \) ). Mis on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus nurga jaoks \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\nurk ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\nurk ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiivi) \)
No nagu näha, vastab nurga siinuse väärtus ikkagi koordinaadile \ (y \) ; nurga koosinuse väärtus - koordinaat \ (x \) ; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega on need seosed rakendatavad raadiusvektori mis tahes pöörete korral.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje \(x \) positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud suurusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates - negatiivne.
Seega teame, et kogu raadiusvektori pööre ümber ringi on \(360()^\circ \) või \(2\pi \) . Kas raadiuse vektorit on võimalik pöörata \(390()^\circ \) või \(-1140()^\circ \) võrra? No muidugi saab! Esimesel juhul \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), seega teeb raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub \(30()^\circ \) või \(\dfrac(\pi )(6) \) juures.
Teisel juhul \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täielikku pööret ja peatub asendis \(-60()^\circ \) või \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad \(360()^\circ \cdot m \) või \(2\pi \cdot m \) võrra (kus \(m \) on mis tahes täisarv ) vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka \(\beta =-60()^\circ \) . Sama pilt vastab nurgale \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga \(\beta +360()^\circ \cdot m \) või \(\beta +2\pi \cdot m \) (kus \(m \) on mis tahes täisarv)
\(\begin(massiiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiivi) \)
Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millega väärtused on võrdsed:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiiv) \)
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
\(\begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(massiiv) \)
Siit määrame nurga teatud mõõtmetele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk sisse \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastab punktile koordinaatidega \(\left(0;1 \right) \) , seega:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei eksisteeri;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Lisaks saame samast loogikast kinni pidades teada, et nurgad on sees \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastavad koordinaatidega punktidele \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \paremal) \), vastavalt. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ \pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ 2\pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
\(\left. \begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiiv) \right\)\ \text(Vaja meeles pidada või väljastada!! \) !}
Ja siin on ja nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) allolevas tabelis toodud, peate meeles pidama:
Pole vaja karta, nüüd näitame ühte näidet vastavate väärtuste üsna lihtsast meeldejätmisest:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada kõigi kolme nurga mõõtmise siinusväärtusi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), samuti nurga puutuja väärtus \(30()^\circ \) . Teades neid \(4\) väärtusi, on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
\(\begin(massiivi)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiiv) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), seda teades on võimalik väärtused taastada \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Lugeja "\(1 \)" vastab \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimetaja "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastab \ (\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui saate sellest aru ja mäletate skeemi nooltega, piisab, kui mäletate tabelist ainult \(4 \) väärtusi.
Kas ringil on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, raadiust ja pöördenurka? No muidugi saab! Toome välja üldine valem punkti koordinaatide leidmiseks. Näiteks siin on meil selline ring:
See punkt on meile antud \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) on ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on \(1,5 \) . On vaja leida punkti \(P \) koordinaadid, mis saadakse punkti \(O \) pööramisel \(\delta \) kraadi võrra.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti \ (P \) koordinaat \ (x \) lõigu \ pikkusele (TP=UQ=UK+KQ \) . Lõigu \ (UK \) pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile \ (x \), see tähendab, et see on võrdne \ (3 \) . Lõigu \(KQ \) pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooni abil:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Paremnool KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Siis on meil see punkti \(P \) koordinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Sama loogika järgi leiame punkti \(P\) y-koordinaadi väärtuse. Seega
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Nii et sisse üldine vaade punkti koordinaadid määratakse valemitega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiiv) \), Kus
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ringi keskpunkti koordinaadid,
\(r\) – ringi raadius,
\(\delta \) - vektori raadiuse pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi jaoks need valemid oluliselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on null ja raadius on võrdne ühega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiivi) \)
Javascript on teie brauseris keelatud.Üks matemaatika harusid, millega koolilapsed kõige suuremate raskustega toime tulevad, on trigonomeetria. Pole ime: selle teadmiste valdkonna vabalt valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja kasutada arvutustes pii-arvu. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel rakendada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.
Selle teadusega tutvumine peaks algama nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate välja mõtlema, mida trigonomeetria üldiselt teeb.
Ajalooliselt on täisnurksed kolmnurgad olnud selle matemaatikateaduse osa peamine uurimisobjekt. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata vaadeldava joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.
Esialgu räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid laiendada kasutuspiire Igapäevane elu see matemaatika haru.
Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksetest kolmnurkadest, mille järel saadud teadmisi kasutavad õpilased füüsikas ja abstraktsete ülesannete lahendamisel. trigonomeetrilised võrrandid, millega töö algab keskkoolis.
Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad teised reeglid ja kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. Seda osa koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada, vähemalt seetõttu, et Maa pind ja mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinnamärgised on "kaarekujulised" kolmemõõtmeline ruum.
Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pöörake tähelepanu - see on omandanud kaare kuju. Just selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakenduslikes valdkondades.
Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.
Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. Ta on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.
Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.
Kaht ülejäänud külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi.
Lõpuks, kui mõistame geomeetrilist alust, saame pöörduda nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratluse poole.
Nurga siinus on vastasjala (st soovitud nurga vastaskülje) ja hüpotenuusi suhe. Nurga koosinus on suhe külgnev jalg hüpotenuusile.
Pea meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla suuremad kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim.Ükskõik kui pikk on jalg, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega suurem kui 1, otsige arvutustes või arutluses viga. See vastus on selgelt vale.
Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Sama tulemus annab siinuse jagamise koosinusega. Vaata: vastavalt valemile jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, mille järel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama suhte nagu puutuja definitsioonis.
Kootangens on vastavalt nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame ühiku jagamisel puutujaga.
Niisiis, oleme kaalunud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangentsi määratlusi ning saame käsitleda valemeid.
Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Ja just seda on vaja probleemide lahendamisel.
Esimene valem, mida pead teadma trigonomeetriat õppima asudes, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid see säästab aega, kui soovite teada nurga, mitte külje väärtust.
Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on samuti lahendamisel väga populaarne kooliülesanded: nurga puutuja ühe ja ruudu summa on võrdne ühega jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on ju sama väide, mis esimeses valemis, ainult koosinuse ruuduga jagati identiteedi mõlemad pooled. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe muudab trigonomeetrilise valemi täiesti tundmatuks. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreegleid ja mõnda põhivalemit, saate igal ajal ise tuletada vajaliku lisa keerulised valemid paberitükil.
Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud nurkade summa ja erinevuse siinuse ja koosinuse väärtustega. Need on näidatud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.
Samuti on topeltnurga argumentidega seotud valemid. Need on täielikult eelmistest tuletatud – harjutusena proovige need alfanurka võttes ise kätte saada võrdne nurgaga beeta.
Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab teisendada, et vähendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa astet.
Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsalt aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.
Siinusteoreem ütleb, et kolmnurga iga külje pikkuse jagamisel vastasnurga väärtusega saame sama number. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.
Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud nendega külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.
Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks tutvume neist populaarseimatega.
Esiteks, te ei tohiks teisendada tavalisi murde kümnendkohtadeks enne, kui on saadud lõpptulemus - võite jätta vastuse vormi harilik murd kui tingimus ei sätesta teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et probleemi igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida autori idee kohaselt tuleks vähendada. Sel juhul raiskate aega tarbetutele matemaatilistele tehtetele. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme või kahe juur, kuna need esinevad ülesannetes igal sammul. Sama kehtib ka "koledate" numbrite ümardamise kohta.
Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise, mis on korrutatud nendevahelise nurga koosinusega, ei saa te mitte ainult täiesti vale tulemust, vaid demonstreerite ka subjekti täielikku arusaamatust. See on hullem kui hooletu viga.
Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segamini ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.
Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle rakenduslikku tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, tänu millele saab arvutada kaugust kaugete tähtedeni, ennustada meteoriidi langemist, saata uurimissondi teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on vaid kõige ilmsemad näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.
Seega olete siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.
Kogu trigonomeetria olemus taandub asjaolule, et tundmatud parameetrid tuleb arvutada kolmnurga teadaolevatest parameetritest. Kokku on kuus parameetrit: pikkused kolm pidu ja kolme nurga mõõtmed. Kogu ülesannete erinevus seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.
Kuidas leida siinus, koosinus, puutuja teadaolevate jalgade või hüpotenuusi pikkuste põhjal, teate nüüd. Kuna need terminid ei tähenda midagi muud kui suhet ja suhe on murdosa, on trigonomeetrilise ülesande peamine eesmärk leida tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juured. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.
Mõisted siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetria - matemaatika haru - peamised kategooriad ja on lahutamatult seotud nurga määratlusega. Selle matemaatilise teaduse omamine nõuab valemite ja teoreemide päheõppimist ja mõistmist, samuti arenenud ruumilist mõtlemist. Seetõttu valmistavad trigonomeetrilised arvutused koolilastele ja üliõpilastele sageli raskusi. Nende ületamiseks peaksite tutvuma trigonomeetriliste funktsioonide ja valemitega.
Trigonomeetria põhimõistete mõistmiseks peate esmalt otsustama, mis on täisnurkne kolmnurk ja nurk ringis ning miks on nendega seotud kõik põhilised trigonomeetrilised arvutused. Kolmnurk, mille üks nurkadest on 90 kraadi, on täisnurkne kolmnurk. Ajalooliselt kasutasid seda kuju sageli inimesed arhitektuuris, navigatsioonis, kunstis, astronoomias. Sellest lähtuvalt jõudsid inimesed selle joonise omadusi uurides ja analüüsides selle parameetrite vastavate suhete arvutamist.
Peamised täisnurksete kolmnurkadega seotud kategooriad on hüpotenuus ja jalad. Hüpotenuus on kolmnurga külg, mis on täisnurga vastas. Jalad on vastavalt ülejäänud kaks külge. Iga kolmnurga nurkade summa on alati 180 kraadi.
Sfääriline trigonomeetria on trigonomeetria haru, mida ei õpita koolis, vaid sees rakendusteadused nagu astronoomia ja geodeesia, kasutavad teadlased seda. Kolmnurga tunnus sfäärilises trigonomeetrias on see, et selle nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi.
Täisnurkses kolmnurgas on nurga siinus soovitud nurga vastas oleva jala ja kolmnurga hüpotenuusi suhe. Vastavalt sellele on koosinus külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Mõlema väärtuse väärtus on alati väiksem kui üks, kuna hüpotenuus on alati pikem kui jalg.
Nurga puutuja on väärtus, mis võrdub soovitud nurga vastasharu ja külgneva haru suhtega ehk siinus ja koosinus. Kootangens on omakorda soovitud nurga külgneva jala ja vastassuunalise kakteti suhe. Nurga kotangensi saab ka ühiku jagamisel puutuja väärtusega.
Ühikringjoon geomeetrias on ring, mille raadius on võrdne ühega. Selline ring konstrueeritakse Descartes'i koordinaatsüsteemis, kusjuures ringi keskpunkt ühtib lähtepunktiga ja raadiusvektori algpositsioon määratakse X-telje positiivse suuna järgi (abstsisstelg). Ringjoone igal punktil on kaks koordinaati: XX ja YY, st abstsissi ja ordinaadi koordinaadid. Valides ringil suvalise punkti XX tasapinnal ja langetades sellelt risti abstsissteljele, saame täisnurkse kolmnurga, mille moodustab valitud punkti raadius (tähistagem seda tähega C), mis on tõmmatud X-telg (lõikepunkti tähistatakse tähega G) ja abstsisstelljega segment alguspunkti (punkti tähistatakse tähega A) ja lõikepunkti G vahel. Saadud kolmnurk ACG on täisnurkne kolmnurk, mis on sisse kirjutatud ring, kus AG on hüpotenuus ning AC ja GC on jalad. Nurka ringjoone raadiuse AC ja abstsisstelje tähisega AG lõigu vahel määratleme kui α (alfa). Niisiis, cos α = AG/AC. Arvestades, et AC on ühikuringi raadius ja see on võrdne ühega, selgub, et cos α=AG. Samamoodi sin α=CG.
Lisaks on neid andmeid teades võimalik määrata ringi punkti C koordinaat, kuna cos α=AG, ja sin α=CG, mis tähendab, et punktis C on antud koordinaadid (cos α; sin α). Teades, et puutuja on võrdne siinuse ja koosinuse suhtega, saame kindlaks teha, et tg α \u003d y / x ja ctg α \u003d x / y. Arvestades nurki negatiivses koordinaatsüsteemis, võib arvutada, et mõne nurga siinus- ja koosinusväärtused võivad olla negatiivsed.
Arvestades trigonomeetriliste funktsioonide olemust ühikringi kaudu, saame nende funktsioonide väärtused tuletada mõne nurga jaoks. Väärtused on loetletud allolevas tabelis.
Võrrandeid, milles trigonomeetrilise funktsiooni märgi all on tundmatu väärtus, nimetatakse trigonomeetrilisteks. Identiteedid väärtusega sin x = α, k on mis tahes täisarv:
Identiteedid väärtusega cos x = a, kus k on mis tahes täisarv:
Identiteedid väärtusega tg x = a, kus k on mis tahes täisarv:
Identiteedid väärtusega ctg x = a, kus k on mis tahes täisarv:
See konstantsete valemite kategooria tähistab meetodeid, mille abil saate vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt minna argumendi funktsioonidele, st teisendada mis tahes väärtusega nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens vastavateks nurga indikaatoriteks. intervall 0 kuni 90 kraadi arvutuste suurema mugavuse huvides.
Nurga siinuse vähendamise funktsioonide valemid näevad välja järgmised:
Nurga koosinuse jaoks:
Ülaltoodud valemite kasutamine on võimalik kahe reegli alusel. Esiteks, kui nurka saab esitada väärtusena (π/2 ± a) või (3π/2 ± a), muutub funktsiooni väärtus:
Funktsiooni väärtus jääb muutumatuks, kui nurka saab esitada kui (π ± a) või (2π ± a).
Teiseks ei muutu redutseeritud funktsiooni märk: kui see oli algselt positiivne, siis nii see ka jääb. Sama kehtib ka negatiivsete funktsioonide kohta.
Need valemid väljendavad kahe pöördenurga summa ja erinevuse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi. trigonomeetrilised funktsioonid. Nurki tähistatakse tavaliselt kui α ja β.
Valemid näevad välja sellised:
Need valemid kehtivad mis tahes nurkade α ja β korral.
Topelt- ja kolmiknurga trigonomeetrilised valemid on valemid, mis seovad vastavalt nurkade 2α ja 3α funktsioonid nurga α trigonomeetriliste funktsioonidega. Tuletatud liitmisvalemitest:
Arvestades, et 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), saame seda valemit lihtsustades identiteedi sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Samamoodi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Need valemid tulenevad summa korrutisele ülemineku tunnustest:
Nendes identiteetides saab siinuse ja koosinuse ruut- ja kuupastmeid väljendada mitme nurga esimese astme siinuse ja koosinuse kaudu:
Universaalsed trigonomeetrilised asendusvalemid väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga puutuja kaudu.
Allpool on toodud kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite konkreetsed juhud (k on mis tahes täisarv).
Privaatne sinu jaoks:
| sin x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk või 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk või -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk või 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk või -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk või 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk või -2π/3 + 2πk |
Koosinuse jagatised:
| cos x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privaatne puutuja jaoks:
| tg x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangentsed jagatised:
| ctg x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoreemil on kaks versiooni – lihtne ja laiendatud. Lihtsiini teoreem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sel juhul on a, b, c kolmnurga küljed ja α, β, γ vastavalt vastasnurgad.
Laiendatud siinusteoreem suvalise kolmnurga jaoks: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Selles identiteedis tähistab R selle ringi raadiust, millesse antud kolmnurk on kantud.
Identiteet kuvatakse järgmiselt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Valemis on a, b, c kolmnurga küljed ja α on külje a vastasnurk.
Valem väljendab seost kahe nurga puutujate ja nende vastas olevate külgede pikkuse vahel. Küljed on tähistatud a, b, c ja vastavad vastasnurgad on α, β, γ. Puutujateoreemi valem: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Seob kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse selle külgede pikkusega. Kui a, b, c on kolmnurga küljed ja A, B, C on vastavalt nende vastasnurgad, r on sisse kirjutatud ringi raadius ja p on kolmnurga poolperimeeter, on järgmised identiteedid hoia:
Trigonomeetria ei ole ainult teoreetiline teadus, mis on seotud matemaatiliste valemitega. Selle omadusi, teoreeme ja reegleid kasutavad praktikas erinevad tööstusharud inimtegevus– astronoomia, õhu- ja merenavigatsioon, muusikateooria, geodeesia, keemia, akustika, optika, elektroonika, arhitektuur, majandus, masinaehitus, mõõtmistööd, arvutigraafika, kartograafia, okeanograafia ja paljud teised.
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetria põhimõisted, millega saab matemaatiliselt väljendada kolmnurga nurkade ja külgede pikkuste vahelisi seoseid ning identiteetide, teoreemide ja reeglite kaudu leida soovitud suurused.
Selles artiklis vaatleme kõikehõlmavalt. Põhilised trigonomeetrilised identiteedid on võrdsused, mis loovad seose ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel ning võimaldavad leida mõnda neist trigonomeetrilistest funktsioonidest tuntud teise nurga kaudu.
Loetleme kohe peamised trigonomeetrilised identiteedid, mida selles artiklis analüüsime. Kirjutame need tabelisse ning allpool anname nende valemite tuletuse ja anname vajalikud selgitused.
Leheküljel navigeerimine.
Mõnikord ei räägi nad ülaltoodud tabelis loetletud peamistest trigonomeetrilistest identiteetidest, vaid ühest üksikust põhiline trigonomeetriline identiteet lahke 
. Selle asjaolu seletus on üsna lihtne: võrdsused saadakse trigonomeetrilisest põhiidentiteedist pärast selle mõlema osa jagamist ja võrdsuste jagamist. 
Ja 
tuleneb siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Me käsitleme seda üksikasjalikumalt järgmistes lõikudes.
See tähendab, et erilist huvi pakub võrdsus, millele anti peamise trigonomeetrilise identiteedi nimi.
Enne trigonomeetrilise põhiidentiteedi tõestamist anname selle sõnastuse: ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on identselt võrdne ühega. Nüüd tõestame seda.
Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutatakse väga sageli trigonomeetriliste avaldiste teisendus. See võimaldab ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa asendada ühega. Mitte vähem sageli kasutatakse põhilist trigonomeetrilist identiteeti vastupidises järjekorras: Ühik asendatakse mingi nurga siinuse ja koosinuse ruutude summaga.
Identiteedid, mis ühendavad puutuja ja kotangensi vormi ühe nurga siinuse ja koosinusega 
tulenevad koheselt siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Tõepoolest, definitsiooni järgi on siinus y ordinaat, koosinus on x abstsiss, puutuja on ordinaadi ja abstsissi suhe, see tähendab, 
, ja kootangens on abstsisstelje ja ordinaadi suhe, see tähendab, 
.
Tänu sellele identiteetide ja sageli pole puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte abstsissi ja ordinaadi suhte, vaid siinuse ja koosinuse suhte kaudu. Seega on nurga puutuja siinuse ja koosinuse suhe selle nurga koosinusesse ja kootangens on koosinuse ja siinuse suhe.
Selle osa lõpetuseks tuleb märkida, et identiteedid ja hoidke kinni kõigi selliste nurkade puhul, mille puhul nendes olevad trigonomeetrilised funktsioonid on mõistlikud. Nii et valem kehtib mis tahes muu jaoks kui (muidu on nimetaja null ja me ei defineerinud nulliga jagamist) ja valem - kõigi jaoks , erineb , kus z on mis tahes .
Eelmistest kahest veelgi ilmsem trigonomeetriline identsus on vormi ühe nurga puutuja ja kotangensi ühendav identiteet . On selge, et see toimub mis tahes muude nurkade puhul peale , vastasel juhul ei ole puutuja ega kootangens määratletud.
Valemi tõestus väga lihtne. Määratluse järgi ja kust 
. Tõestust oleks võinud läbi viia veidi teistmoodi. Alates ja , See 
.
Niisiis, ühe nurga puutuja ja kotangens, mille juures neil on mõte, on.
Loeng: Suvalise nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens
Siinus, suvalise nurga koosinus
Et mõista, mis on trigonomeetrilised funktsioonid, pöördume ühikulise raadiusega ringi poole. See ring on tsentreeritud koordinaattasandi algpunktis. Määramiseks funktsioonide seadmine kasutame raadiuse vektorit VÕI, mis algab ringi keskpunktist ja punktist R on punkt ringil. See raadiuse vektor moodustab teljega nurga alfa Oh. Kuna ringi raadius on võrdne ühega, siis VÕI = R = 1.
Kui punktist R kukutage teljele risti Oh, siis saame täisnurkse kolmnurga, mille hüpotenuus on võrdne ühega.
Kui raadiuse vektor liigub päripäeva, siis see suund helistas negatiivne, aga kui see liigub vastupäeva - positiivne.
Nurga siinus VÕI, on punkti ordinaat R vektorid ringil.
See tähendab, et antud nurga alfa siinuse väärtuse saamiseks on vaja määrata koordinaat Kell pinnal.
Kuidas see väärtus saadi? Kuna me teame, et täisnurkse kolmnurga suvalise nurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe, saame selle
Ja sellest ajast peale R = 1, See sin(α) = y 0 .
Ühikringis ei saa ordinaadi väärtus olla väiksem kui -1 ja suurem kui 1, mis tähendab, et
Siinus on ühikuringi esimesel ja teisel veerandil positiivne ning kolmandas ja neljandas negatiivne.
Nurga koosinus antud ring, mille moodustab raadiusvektori VÕI, on punkti abstsiss R vektorid ringil.
See tähendab, et antud nurga alfa koosinuse väärtuse saamiseks on vaja määrata koordinaat X pinnal.
Suvalise nurga koosinus täisnurkses kolmnurgas on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe, saame selle
Ja sellest ajast peale R = 1, See cos(α) = x 0 .
Ühikringis ei saa abstsissi väärtus olla väiksem kui -1 ja suurem kui 1, mis tähendab, et
Koosinus on ühikringi esimeses ja neljandas kvadrandis positiivne ning teises ja kolmandas negatiivne.
puutujasuvaline nurk arvutatakse siinuse ja koosinuse suhe.
Kui arvestada täisnurkset kolmnurka, on see vastasjala ja külgneva jala suhe. Kui me räägimeühikringi kohta, siis on see ordinaadi ja abstsissi suhe.
Nende seoste järgi otsustades võib mõista, et puutuja ei saa eksisteerida, kui abstsissi väärtus on null, see tähendab 90-kraadise nurga all. Puutuja võib võtta kõik muud väärtused.
Puutuja on ühikuringi esimesel ja kolmandal veerandil positiivne ning teises ja neljandas negatiivne.
