Wzdłużny zginanie poprzeczne nazywa się kombinacją zginania poprzecznego z ściskaniem lub rozciąganiem belki.
Przy obliczaniu zginania wzdłużno-poprzecznego obliczenia momentów zginających w przekrojach belki przeprowadza się z uwzględnieniem ugięcia jej osi.
Rozważmy belkę z przegubowo podpartymi końcami, obciążoną pewnym obciążeniem poprzecznym i siłą ściskającą 5 działającą wzdłuż osi belki (ryc. 8.13, a). Oznaczmy ugięcie osi belki w przekroju poprzecznym za pomocą odciętej (przyjmujemy, że dodatni kierunek osi y jest skierowany w dół, dlatego też ugięcie belki uważa się za dodatnie, gdy jest skierowane w dół). Moment zginający M działający w tym przekroju wynosi
(23.13)
tutaj moment zginający od działania obciążenia poprzecznego; - dodatkowy moment zginający od siły
Można przyjąć, że na całkowite ugięcie y składa się ugięcie powstałe w wyniku działania wyłącznie obciążenia poprzecznego oraz ugięcie dodatkowe równe temu wywołanemu siłą .
Całkowite ugięcie y jest większe niż suma ugięcia, które powstają pod oddzielnym działaniem obciążenia poprzecznego i siły S, ponieważ w przypadku działania tylko siły S na belkę jej ugięcia są równe zeru. Zatem w przypadku zginania wzdłużno-poprzecznego nie ma zastosowania zasada niezależnego działania sił.
Kiedy na belkę przykładana jest siła rozciągająca S (ryc. 8.13, b), moment zginający w przekroju z odciętą
(24.13)
Siła rozciągająca S powoduje zmniejszenie ugięcia belki, czyli całkowite ugięcia y w tym przypadku są mniejsze niż ugięcia spowodowane działaniem wyłącznie obciążenia poprzecznego.
W praktyce obliczeń inżynierskich zginanie wzdłużno-poprzeczne oznacza zwykle przypadek działania siły ściskającej i obciążenia poprzecznego.
W przypadku sztywnej belki, gdy dodatkowe momenty zginające są małe w porównaniu z momentem, ugięcia y niewiele różnią się od ugięcia. W takich przypadkach można pominąć wpływ siły S na wielkość momentów zginających i wielkość ugięcia belki i przeprowadzić obliczenia centralnego ściskania (lub rozciągania) przy zginaniu poprzecznym, jak opisano w § 2.9.
W przypadku belki o małej sztywności wpływ siły S na wielkość momentów zginających i ugięcia belki może być bardzo znaczący i nie można go pominąć w obliczeniach. W tym przypadku belkę należy projektować na zginanie wzdłużno-poprzeczne, co oznacza obliczenie łącznego działania zginania i ściskania (lub rozciągania), przeprowadzone z uwzględnieniem wpływu obciążenia osiowego (siła S) na belkę odkształcenie zginające belki.
Rozważmy sposób takich obliczeń na przykładzie belki przegubowej na końcach, obciążonej siłami poprzecznymi skierowanymi w jednym kierunku i siłą ściskającą S (rys. 9.13).
Podstawmy to w przybliżeniu równanie różniczkowe linia sprężystości (1.13) wyrażenie momentu zginającego M według wzoru (23.13):
[przyjmuje się znak minus przed prawą stroną równania, ponieważ w odróżnieniu od wzoru (1.13) tutaj kierunek w dół jest uważany za dodatni w przypadku ugięcia], lub
Stąd,
Dla uproszczenia rozwiązania zakładamy, że dodatkowe ugięcie zmienia się na długości belki po sinusoidzie, tzn.
Założenie to pozwala uzyskać dość dokładne wyniki, gdy belkę poddaje się obciążeniu poprzecznemu skierowanemu w jednym kierunku (na przykład z góry na dół). Zastąpmy ugięcie we wzorze (25.13) wyrażeniem
Wyrażenie pokrywa się ze wzorem Eulera na siłę krytyczną ściskanego pręta z końcami przegubowymi. Dlatego jest ona oznaczona i nazywana siłą Eulera.
Stąd,
Należy odróżnić siłę Eulera od siły krytycznej obliczonej za pomocą wzoru Eulera. Wartość można obliczyć ze wzoru Eulera tylko wtedy, gdy elastyczność pręta jest większa niż maksymalna; wartość ta jest podstawiana do wzoru (26.13) niezależnie od podatności belki. Wzór na siłę krytyczną zwykle uwzględnia minimalny moment bezwładności przekrój pręta, a wyrażenie siły Eulera obejmuje moment bezwładności względem głównych osi bezwładności przekroju, który jest prostopadły do płaszczyzny działania obciążenia poprzecznego.
Z wzoru (26.13) wynika, że stosunek całkowitych ugięć belki y do ugięć spowodowanych działaniem tylko obciążenia poprzecznego zależy od stosunku (wielkość siły ściskającej 5 do wielkości siły Eulera) .
Zatem stosunek jest kryterium sztywności belki podczas zginania wzdłużnego i poprzecznego; jeśli stosunek ten jest bliski zeru, to sztywność belki jest duża, a jeśli jest bliska jedności, to sztywność belki jest mała, tj. belka jest elastyczna.
W przypadku, gdy ugięcie, czyli przy braku siły S, ugięcie spowodowane jest jedynie działaniem obciążenia bocznego.
Kiedy wielkość siły ściskającej S zbliża się do wartości siły Eulera, całkowite ugięcia belki gwałtownie rosną i mogą być wielokrotnie większe niż ugięcia spowodowane działaniem samego obciążenia poprzecznego. W granicznym przypadku u ugięcia y, obliczone ze wzoru (26.13), stają się równe nieskończoności.
Należy zauważyć, że wzór (26.13) nie ma zastosowania w przypadku bardzo dużych ugięcia belki, ponieważ opiera się na przybliżonym wyrażeniu krzywizny. Wyrażenie to ma zastosowanie tylko dla małych ugięcia, a dla dużych należy je zastąpić to samo wyrażenie krzywizny (65,7). W tym przypadku ugięcia w nie byłyby równe nieskończoności, ale byłyby, choć bardzo duże, skończone.
Po przyłożeniu siły rozciągającej do belki wzór (26.13) przyjmuje postać.
Z tego wzoru wynika, że ugięcia całkowite są mniejsze od ugięć wywołanych działaniem samego obciążenia poprzecznego. Przy sile rozciągającej S równej liczbowo wartości siły Eulera (tj. w ), ugięcia y są o połowę mniejsze niż ugięcia
Maksymalne i minimalne naprężenia normalne w przekroju belki z końcami przegubowymi pod wpływem zginania wzdłużno-poprzecznego i siły ściskającej S są równe
Rozważmy belkę dwupodporową o przekroju dwuteowym o rozpiętości. Belka obciążona jest w środku siłą pionową P i ściskana siłą osiową S = 600 (rys. 10.13). Pole przekroju poprzecznego belki, moment bezwładności, moment oporu i moduł sprężystości
Poprzeczne ściągi łączące tę belkę z sąsiednimi belkami konstrukcji eliminują możliwość utraty stateczności belki w płaszczyźnie poziomej (tj. w płaszczyźnie najmniejszej sztywności).
Moment zginający i ugięcie w środku belki, obliczone bez uwzględnienia wpływu siły S, są równe:
Siłę Eulera określa się na podstawie wyrażenia
Ugięcie w środku belki, obliczone z uwzględnieniem wpływu siły S na podstawie wzoru (26.13),
Wyznaczmy największe naprężenia normalne (ściskające) w średnim przekroju belki korzystając ze wzoru (28.13):
skąd po konwersji
Podstawianie do wyrażenia (29.13) różne znaczenia P (v), otrzymujemy odpowiednie wartości napięcia. Graficznie zależność pomiędzy określoną wyrażeniem (29.13) charakteryzuje krzywa pokazana na ryc. 11.13.
Wyznaczmy dopuszczalne obciążenie P, jeśli dla materiału belki wymaganym współczynnikiem bezpieczeństwa jest zatem dopuszczalne naprężenie materiału
Z ryc. 11.23 wynika, że w belce pod obciążeniem powstają naprężenia, a naprężenia powstają pod obciążeniem
Jeśli przyjmiemy obciążenie jako dopuszczalne obciążenie, wówczas współczynnik bezpieczeństwa naprężeń będzie równy określonej wartości. Jednak w tym przypadku belka będzie miała nieznaczny współczynnik bezpieczeństwa obciążenia, ponieważ naprężenia równe pojawią się w niej już przy Rot.
W związku z tym współczynnik bezpieczeństwa obciążenia w tym przypadku będzie równy 1,06 (ponieważ e. jest wyraźnie niewystarczające.
Aby belka miała współczynnik bezpieczeństwa obciążenia równy 1,5, wartość tę należy przyjąć jako akceptowalną; 11.13, w przybliżeniu równe
Powyżej obliczenia wytrzymałościowe wykonano w oparciu o naprężenia dopuszczalne. Zapewniło to niezbędny margines bezpieczeństwa nie tylko dla naprężeń, ale także dla obciążeń, ponieważ w prawie wszystkich przypadkach omówionych w poprzednich rozdziałach naprężenia są wprost proporcjonalne do wielkości obciążeń.
Podczas podłużno-poprzecznego naprężenia zginającego, jak wynika z rys. 11.13, nie są wprost proporcjonalne do obciążenia, ale zmieniają się szybciej niż obciążenie (w przypadku siły ściskającej S). W związku z tym nawet niewielki przypadkowy wzrost obciążenia powyżej wartości projektowej może spowodować bardzo duży wzrost naprężeń i zniszczenie konstrukcji. Dlatego obliczenia prętów ściskanych do zginania wzdłużnego i poprzecznego należy wykonywać nie według dopuszczalnych naprężeń, ale według dopuszczalnego obciążenia.
Analogicznie do wzoru (28.13) stwórzmy warunek wytrzymałościowy przy obliczaniu zginania wzdłużno-poprzecznego na podstawie dopuszczalnego obciążenia.
Pręty ściskane i gięte, oprócz obliczeń zginania wzdłużnego i poprzecznego, należy również obliczyć pod kątem stateczności.
Podczas zginania przekroje, pozostając płaskie, obracają się względem siebie wokół określonych osi leżących w ich płaszczyznach. Belki, osie, wały i inne części maszyn oraz elementy konstrukcyjne pracują na zginanie. W praktyce istnieją poprzeczne (proste), ukośne i czyste widoki pochylenie się
Poprzeczny (prosty) (ryc. 61, A) zwane zginaniem, gdy siły zewnętrzne prostopadłe do osi podłużnej belki działają w płaszczyźnie przechodzącej przez oś belki i jedną z głównych osi środkowych jej przekroju poprzecznego.
Zginanie ukośne (ryc. 61, b) to zginanie, gdy siły działają w płaszczyźnie przechodzącej przez oś belki, ale nie przechodzącej przez żadną z głównych osi środkowych jej przekroju poprzecznego.
W przekrojach belek podczas zginania powstają dwa rodzaje sił wewnętrznych – moment zginający M i i siła ścinająca Q. W szczególnym przypadku, gdy siła tnąca wynosi zero i występuje tylko moment zginający, następuje czyste zginanie (rys. 61, c). Czyste zginanie występuje przy obciążeniu rozłożonym obciążeniem lub pod pewnymi obciążeniami siłami skupionymi, na przykład belką obciążoną dwoma symetrycznymi równymi siłami.
Ryż. 61. Zakręt: a - zakręt poprzeczny (prosty); b - ukośne zagięcie; c - czysty zakręt
Badając odkształcenie zginania, wyobraża się sobie, że belka składa się z nieskończonej liczby włókien równoległych do osi podłużnej. Na czysty zakręt słuszna jest hipoteza przekrojów płaskich: włókna leżą po stronie wypukłej rozciągać się, leżąc po stronie wklęsłej - kurczyć się, a na granicy między nimi leży neutralna warstwa włókien (oś podłużna), która tylko są wygięte, bez zmiany jego długości; Podłużne włókna belki nie wywierają na siebie nacisku i dlatego podlegają jedynie rozciąganiu i ściskaniu.
Współczynniki sił wewnętrznych w przekrojach belek – siła ścinająca Q i moment zginający M i(ryc. 62) zależą od siły zewnętrzne i różnią się wzdłuż długości belki. Prawa zmiany sił ścinających i momentów zginających są reprezentowane przez pewne równania, których argumentami są współrzędne z przekroje poprzeczne belek i funkcje - Q I M ja. Aby określić współczynniki siły wewnętrznej, stosujemy metodę przekroju.
Ryż. 62.
Siła boczna Q jest wypadkową wewnętrznych sił stycznych w przekroju belki. Należy o tym pamiętać siła ścinająca ma przeciwnym kierunku dla lewej i prawej części belki, co wskazuje na nieprzydatność reguły znaku statycznego.
Moment zginający M i jest momentem wypadkowym względem osi neutralnej wewnętrznych sił normalnych działających w przekroju poprzecznym belki. Moment zginający, podobnie jak siła ścinająca, ma inny kierunek dla lewej i prawej części belki. Wskazuje to na nieprzydatność reguły znaku statycznego przy określaniu momentu zginającego.
Biorąc pod uwagę równowagę części belki znajdujących się po lewej i prawej stronie przekroju, jasne jest, że w przekrojach musi działać moment zginający M i i siła ścinająca Q. Zatem w rozpatrywanym przypadku w punktach przekrojów występują nie tylko naprężenia normalne odpowiadające momentowi zginającemu, ale także naprężenia styczne odpowiadające sile poprzecznej.
Do wizualnego przedstawienia rozkładu sił ścinających wzdłuż osi belki Q i momenty zginające M i wygodnie jest przedstawić je w formie diagramów, których rzędne są dla dowolnych wartości odciętych z podaj odpowiednie wartości Q I M ja. Wykresy są zbudowane podobnie jak konstrukcja wykresów sił wzdłużnych (patrz 4.4) i momentów obrotowych (patrz 4.6.1.).
Ryż. 63. Kierunek sił poprzecznych: a - dodatni; b - negatywny
Ponieważ zasady znaków statycznych są niedopuszczalne przy ustalaniu znaków sił ścinających i momentów zginających, ustalimy dla nich inne zasady znaków, a mianowicie:
Ryż. 64. Kierunek momentów zginających: a - dodatni; b - negatywny
Zasada znaku dla momentów zginających jest związana z naturą odkształcenia belki. Moment zginający uznaje się za dodatni, jeśli belka wygina się wypukłie w dół (rozciągnięte włókna znajdują się na dole). Moment zginający uważa się za ujemny, jeżeli belka wygina się wypukłie do góry (rozciągnięte włókna znajdują się u góry).
Korzystając z zasad znaków, powinieneś wyobrazić sobie odcinek belki jako sztywno zaciśnięty, a połączenia jako odrzucone i zastąpione ich reakcjami. Do określenia reakcji stosuje się zasady znaków statycznych.
Obliczać belka zginająca Istnieje kilka opcji:
1. Obliczenia maksymalne obciążenie które ona wytrzyma
2. Wybór przekroju tej belki
3. Obliczenia na podstawie maksymalnych dopuszczalnych naprężeń (w celu sprawdzenia)
Spójrzmy ogólna zasada wybór przekroju belki
na dwóch podporach obciążonych równomiernie rozłożonym obciążeniem lub siłą skupioną.
Na początek musisz znaleźć punkt (sekcję), w którym nastąpi maksymalny moment. Zależy to od tego, czy belka jest podparta, czy osadzona. Poniżej znajdują się wykresy momentów zginających dla najpopularniejszych schematów.
Ponadto, dzieląc maksymalny moment zginający przez moment oporu w danym przekroju, otrzymujemy maksymalne naprężenie belki i musimy porównać to naprężenie z naprężeniem, jakie ogólnie może wytrzymać nasza belka z danego materiału.
Do tworzyw sztucznych(stal, aluminium itp.) maksymalne napięcie będzie równe granica plastyczności materiału, A za kruche(żeliwo) – wytrzymałość na rozciąganie. Granicę plastyczności i wytrzymałość na rozciąganie możemy znaleźć w poniższych tabelach.
P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN
M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN*m
b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa
45,34 MPa jest prawidłowe, co oznacza, że dwuteownik wytrzyma masę 90 kg.
Cała różnorodność istniejących urządzeń wsporczych jest schematycznie przedstawiona w postaci szeregu podstawowych typów podpór, z których
najczęściej: przegubowe i ruchomewsparcie(możliwe oznaczenia dla niego przedstawiono na ryc. 1, a), wspornik stały na zawiasach(ryc. 1, b) i mocne szczypanie, Lub opieczętowanie(ryc. 1, c).
W podporze przegubowo-ruchomej zachodzi jedna reakcja podporowa, prostopadła do płaszczyzny podparcia. Podpora taka pozbawia sekcję nośną jednego stopnia swobody, czyli uniemożliwia przemieszczenie w kierunku płaszczyzny nośnej, ale umożliwia ruch w kierunku prostopadłym i obrót sekcji nośnej.
W podporze przegubowo-nieruchomej zachodzą reakcje pionowe i poziome. Tutaj ruchy w kierunku prętów nośnych nie są możliwe, ale dopuszcza się obrót sekcji nośnej.
W sztywnym osadzeniu zachodzą reakcje pionowe i poziome oraz moment podporowy (reaktywny). W takim przypadku sekcja podporowa nie może się przesuwać ani obracać. Przy obliczaniu układów zawierających sztywne osadzenie nie można określić powstałych reakcji podporowych, wybierając część odciętą tak, aby nie wpadło w nią osadzenie z nieznanymi reakcjami. Przy obliczaniu układów na podporach przegubowych należy określić reakcje podpór. Stosowane w tym celu równania statyczne zależą od rodzaju systemu (belka, rama itp.) i zostaną podane w odpowiednich rozdziałach tej instrukcji.
Siła wzdłużna w przekroju jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów wszystkich sił przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju na oś podłużną pręta.
Zasada znaków dla Nz: zgódźmy się uznać siłę wzdłużną w przekroju za dodatnią, jeśli obciążenie zewnętrzne przyłożone do rozpatrywanej odciętej części pręta powoduje rozciąganie i ujemne - w przeciwnym razie.
Przykład 1.Skonstruuj wykres sił wzdłużnych dla sztywno zaciśniętej belki(ryc. 2).
Procedura obliczeniowa:
1. Wytyczamy charakterystyczne przekroje, numerując je od wolnego końca pręta do osadzania.
2. Wyznaczyć siłę wzdłużną Nz w każdym przekroju charakterystycznym. W tym przypadku zawsze bierzemy pod uwagę odciętą część, w którą nie wchodzi sztywna uszczelka.
Na podstawie znalezionych wartości zbuduj diagram Nz. Wartości dodatnie są wykreślane (na wybranej skali) powyżej osi wykresu, wartości ujemne są wykreślane poniżej osi.
Moment obrotowy w przekroju jest liczbowo równa sumie algebraicznej momentów zewnętrznych przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju względem podłużnej osi Z.
Zasada podpisania dla mikrookręgu: zgódźmy się policzyć moment obrotowy w przekroju jest dodatni, jeśli patrząc na przekrój od strony odciętej części, moment zewnętrzny jest skierowany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i ujemny - w przeciwnym razie.
Przykład 2.Sporządzić wykres momentów obrotowych dla sztywno zaciśniętego pręta(ryc. 3, a).
Procedura obliczeniowa.
Należy zauważyć, że algorytm i zasady konstruowania wykresu momentu obrotowego całkowicie pokrywają się z algorytmem i zasadami konstruowanie wykresu sił podłużnych.
1. Nakreślamy charakterystyczne sekcje.
2. Wyznacz moment obrotowy w każdym przekroju charakterystycznym.
Na podstawie znalezionych wartości budujemy schemat mikrookręgu(ryc. 3, b).
Dla wykresy sił wzdłużnych i momenty charakteryzują się pewnymi wzorami, których znajomość pozwala ocenić poprawność wykonanych konstrukcji.
1. Wykresy Nz i Mkr są zawsze prostoliniowe.
2. W obszarze, w którym nie występuje obciążenie rozłożone, wykres Nz(Mkr) jest linią prostą równoległą do osi, a w obszarze obciążenia rozłożonego jest to linia prosta ukośna.
3. Pod punktem przyłożenia siły skupionej na wykresie Nz musi nastąpić skok wielkości tej siły, podobnie pod punktem przyłożenia momentu skupionego na wykresie Mkr nastąpi skok wielkości tej chwili.
Pręt, który się wygina, nazywa się belka. W odcinkach belek obciążonych obciążeniami pionowymi z reguły powstają dwa współczynniki siły wewnętrznej - Qy i pochylenie się moment Mx.
Siła boczna w przekroju jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów sił zewnętrznych przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju na oś poprzeczną (pionową).
Reguła znaku dla Qy: Zgódźmy się uznać siłę poprzeczną w przekroju za dodatnią, jeśli obciążenie zewnętrzne przyłożone do rozpatrywanej części ma tendencję do obracania tego odcinka w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, a w przeciwnym razie jest ujemne.
Schematycznie tę regułę znaku można przedstawić jako
Moment zginający Mx w przekroju jest liczbowo równy sumie algebraicznej momentów sił zewnętrznych przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju względem osi x przechodzącej przez ten przekrój.
Zasada znaków dla Mx: zgodzimy się uznać moment zginający w przekroju za dodatni, jeżeli obciążenie zewnętrzne przyłożone do rozpatrywanej części odciętej prowadzi do naprężenia w tym odcinku dolnych włókien belki i ujemne – w przeciwnym razie.
Schematycznie tę regułę znaku można przedstawić jako:
Należy zauważyć, że przy stosowaniu reguły znaku dla Mx in w określonej formie, wykres Mx zawsze okazuje się być zbudowany od strony sprasowanych włókien belki.
Na sporządzanie diagramów Qy i Mx w belkach wspornikowych, czyli sztywno zaciskanych, nie ma potrzeby (jak w omówionych wcześniej przykładach) obliczania reakcji podporowych powstających w sztywnym osadzeniu, lecz część odciętą należy tak dobrać, aby osadzenie w nią nie wpadło.
Przykład 3.Konstruuj diagramy Qy i Mx(ryc. 4).
Procedura obliczeniowa.
1. Nakreślamy charakterystyczne sekcje.
UKD 539,52
MAKSYMALNE OBCIĄŻENIE DLA BELKI UMONTOWANEJ OBCIĄŻONEJ SIŁĄ WZDŁUŻNĄ, NIESYMETRYCZNIE ROZŁOŻONYM OBCIĄŻENIEM I MOMENTAMI PODPOROWYMI
I.A. Monachow1, Yu.K. Basow2
dział produkcja budowlana Wydział Inżynierii Lądowej Moskiewski Państwowy Uniwersytet Inżynierii Mechanicznej ul. Paweł Korczagina, 22, Moskwa, Rosja, 129626
2Wydział konstrukcje budowlane i konstrukcje Wydział Inżynierii Uniwersytet Przyjaźni Narodów Rosji ul. Ordzhonikidze, 3, Moskwa, Rosja, 115419
W artykule opracowano metodę rozwiązywania problemów małych ugięć belek wykonanych z idealnego materiału sztywno-plastycznego pod działaniem asymetrycznie rozłożonych obciążeń, z uwzględnieniem wstępnego rozciągania-ściskania. Opracowaną metodologię wykorzystano do badania stanu naprężenia belek jednoprzęsłowych, a także do obliczenia obciążenia granicznego belek.
Słowa kluczowe: belka, nieliniowość, analityczna.
W nowoczesna konstrukcja, przemysł stoczniowy, inżynieria mechaniczna, przemysł chemiczny natomiast w innych gałęziach techniki najczęstszym typem konstrukcji są konstrukcje prętowe, w szczególności belki. Naturalnie, aby określić prawdziwe zachowanie systemy prętowe(w szczególności belki) i ich zasoby wytrzymałościowe, należy wziąć pod uwagę odkształcenia plastyczne.
Obliczenie systemy strukturalne biorąc pod uwagę odkształcenia plastyczne z wykorzystaniem modelu idealnego korpusu sztywno-plastycznego, jest to z jednej strony najprostsze, a z drugiej całkiem akceptowalne z punktu widzenia wymagań praktyki projektowej. Jeśli weźmiemy pod uwagę obszar małych przemieszczeń układów konstrukcyjnych, tłumaczy się to tym, że nośność („obciążenie maksymalne”) idealnych układów sztywno-plastycznych i sprężystoplastycznych okazuje się taka sama.
Dodatkowe rezerwy i bardziej rygorystyczna ocena nośność Struktury ujawniane są poprzez uwzględnienie nieliniowości geometrycznej podczas ich deformacji. Obecnie uwzględnienie nieliniowości geometrycznej w obliczeniach układów konstrukcyjnych jest zadaniem priorytetowym nie tylko z punktu widzenia rozwoju teorii obliczeń, ale także z punktu widzenia praktyki projektowania konstrukcji. Dopuszczalność rozwiązań problemów obliczeń konstrukcyjnych w warunkach małych
przemieszczenia są dość niepewne, z drugiej strony dane praktyczne i właściwości układów odkształcalnych sugerują, że duże przemieszczenia są rzeczywiście osiągalne. Wystarczy wskazać projekty obiektów budowlanych, chemicznych, stoczniowych i mechanicznych. Dodatkowo model ciała sztywno-plastycznego powoduje pominięcie odkształceń sprężystych, tj. odkształcenia plastyczne są znacznie większe niż sprężyste. Ponieważ odkształcenia odpowiadają przemieszczeniom, właściwe jest uwzględnienie dużych przemieszczeń sztywnych układów plastycznych.
Jednak geometrycznie nieliniowe odkształcenie konstrukcji w większości przypadków nieuchronnie prowadzi do wystąpienia odkształceń plastycznych. Dlatego szczególne znaczenie ma jednoczesne uwzględnienie odkształceń plastycznych i nieliniowości geometrycznej w obliczeniach układów konstrukcyjnych i oczywiście prętów.
W tym artykule omówiono małe ugięcia. Podobne problemy zostały rozwiązane w pracach.
Rozważamy belkę z podporami ściskanymi pod działaniem obciążenia schodkowego, momentów krawędziowych i przyłożonej wcześniej siły wzdłużnej (rys. 1).
Ryż. 1. Belka pod rozłożonym obciążeniem
Równanie równowagi belki dla dużych ugięć w postaci bezwymiarowej ma postać
d2 t/h d2 w dn
-- + (n ± n)-- + p = ^ - = 0, dx ah ah
x 2w р12 М N,г,
gdzie x ==, w =-, p =--, t =--, n =-, N i M są normalnymi wewnętrznymi
I do 5xЪk b!!bk 25!!bk
siła i moment zginający, p - obciążenie poprzeczne równomiernie rozłożone, W - ugięcie, x - współrzędna podłużna (początek współrzędnych na lewej podporze), 2k - wysokość przekroju, b - szerokość przekroju, 21 - rozpiętość belka, 5^ - granica plastyczności materiału. Jeśli dane jest N, to siła N jest konsekwencją działania p w
dostępne ugięcia, 11 = = , linia nad literami wskazuje wymiar wielkości.
Rozważmy pierwszy etap odkształcenia - „małe” ugięcia. Przekrój plastyczny występuje przy x = x2, w którym m = 1 - n2.
Wyrażenia na współczynniki ugięcia mają postać - ugięcie przy x = x2):
(2-x), (x > X2),
Rozwiązanie problemu dzieli się na dwa przypadki: x2< 11 и х2 > 11.
Rozważmy przypadek x2< 11.
Dla strefy 0< х2 < 11 из (1) получаем:
Рх 111 1 Р11 к1р/1 t = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41
x -(1 -n2)±a,
(, 1, r/2 k1 r12L
Рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 --+ 1 ^
X2 = k1 +11 - k111 - + ^
Uwzględniając wygląd przegubu plastycznego przy x = x2 otrzymujemy:
tx=x = 1 - p2 = - p
(12 k12 L k +/ - k1 - ^ + k "A
k, + /, - k,/, -L +
(/ 2 k/ 2 L k1 + /1 - k1/1 - ^ + M
Rozważając przypadek x2 > /1, otrzymujemy:
dla strefy 0< х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид
do р-р2 + kar/1+р/1 -к1 р/1 ^ x-(1-П12)±
oraz dla strefy 11< х < 2 -
^ р-рЦ + 1^ Л
x -(1 -n-)±a +
(. rg-k1 r1-L
Kx px2 + kh p+
0, a potem
I2 12 1 godz. x2 = 1 -- + -.
Z warunku plastyczności wynika równość
gdzie otrzymujemy wyrażenie na obciążenie:
k1 - 12 + M L2
K1/12 - k2 ¡1
Tabela 1
k1 = 0 11 = 0,66
Tabela 2
k1 = 0 11 = 1,33
0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44
0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2
Tabela 3
k1 = 0,5 11 = 1,61
0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94
0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45
Tabela 5 k1 = 0,8 11 = 0,94
0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73
0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61
0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59
0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33
Tabela 3
k1 = 0,5 11 = 2,0
0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7
0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89
Tabela 6 k1 = 1 11 = 1,33
0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Tabela 7 Tabela 8
k, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42
0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66
0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38
0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9
0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3
Ustawiając współczynnik obciążenia k1 od 0 do 1, moment zginający a od -1 do 1, wartość siły wzdłużnej p1 od 0 do 1, odległość /1 od 0 do 2, otrzymujemy położenie przegubu plastycznego według do wzorów (3) i (5), a następnie wartość maksymalnego obciążenia otrzymujemy ze wzorów (4) lub (6). Liczbowe wyniki obliczeń zestawiono w tabelach 1-8.
LITERATURA
Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analityczne rozwiązanie problemu dużych ugięcia belki dociskowej sztywno-plastikowej pod działaniem lokalnego obciążenia rozłożonego, momentów podporowych i siły wzdłużnej Vestnik RUDN. Seria „Badania Inżynierskie”. - 2012. - nr 3. - s. 120-125.
Savchenko L.V., Monakhov I.A. Duże ugięcie fizycznie nieliniowych płyt okrągłych // Biuletyn INGECON. Seria „Nauki techniczne”. - Tom. 8(35). - St. Petersburg, 2009. - s. 132-134.
Galileev S.M., Salikhova E.A. Badanie częstotliwości drgań własnych elementów konstrukcyjnych wykonanych z włókna szklanego, włókna węglowego i grafenu // Biuletyn INGECON. Seria „Nauki techniczne”. - Tom. 8. - Petersburg, 2011. - s. 102.
Erkhov M.I., Monakhov A.I. Duże ugięcia sprężonej belki ze sztywnego tworzywa sztucznego z podporami przegubowymi pod równomiernie rozłożonym obciążeniem i momentami krawędziowymi // Biuletyn Wydziału Nauk Budowlanych Rosyjskiej Akademii Architektury i Nauk Budowlanych. - 1999. - Wydanie. 2. - s. 151-154. .
NIEWIELKIE UGIĘCIE WCZEŚNIEJ INTENSYWNYCH IDEALNYCH PLASTIKOWYCH BELEK Z REGIONALNYMI MOMENTAMI
I.A. Monachow1, Wielka Brytania Basow2
„Katedra Produkcji Budowlanej Wydział Budowlany Moskiewski Państwowy Uniwersytet Budowy Maszyn Pavla Korchagina str., 22, Moskwa, Rosja, 129626
Katedra Konstrukcji i Obiektów Budowlanych Wydział Inżynierii Narodów Uniwersytet Przyjaźni Rosji Ordzonikidze str., 3, Moskwa, Rosja, 115419
W opracowaniu opracowano technikę rozwiązywania problemów małych ugięć belek z idealnego tworzywa twardego, z różnymi rodzajami mocowania, w przypadku braku działania asymetrycznie rozłożonych obciążeń z uwzględnieniem wstępnego rozciągania-ściskania . Opracowaną technikę stosuje się do badań stanu odkształceniowo-odkształceniowego belek, a także do obliczeń ugięcia belek z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej.
Słowa kluczowe: belka, analityczna, nieliniowość.
