Sprawdź, czy pod znakiem logarytmu znajdują się liczby ujemne lub jedna. Ta metoda ma zastosowanie do wyrażeń formularza log b (x) log b (a) (\ Displaystyle (\ frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a)))). Jednak nie nadaje się do niektórych szczególnych przypadków:
Zamień wyrażenie na jeden logarytm. Jeśli wyrażenie nie jest jednym z powyższych specjalne okazje, można go przedstawić jako pojedynczy logarytm. Użyj w tym celu następującej formuły: log b (x) log b (a) = log a (x) (\ Displaystyle (\ frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a))) = \ log_(a)(x)).
Jeśli to możliwe, oblicz wartość wyrażenia ręcznie. Znaleźć log za (x) (\ Displaystyle \ log _ (a) (x)), wyobraź sobie wyrażenie „ A? = x (\ Displaystyle a ^ (?) = x)”, to znaczy zadaj następujące pytanie:„ Do jakiej mocy należy podnieść A, Pozyskać X?”. To pytanie może wymagać kalkulatora, ale jeśli masz szczęście, możesz znaleźć je ręcznie.
Zostaw odpowiedź w postaci logarytmicznej, jeśli nie możesz jej uprościć. Wiele logarytmów jest bardzo trudnych do obliczenia ręcznie. W takim przypadku będziesz potrzebować kalkulatora, aby uzyskać dokładną odpowiedź. Jeśli jednak rozwiązujesz problem w klasie, nauczyciel najprawdopodobniej zadowoli się odpowiedzią w postaci logarytmicznej. Poniższa metoda służy do rozwiązania bardziej złożonego przykładu:
Wraz z rozwojem społeczeństwa, złożonością produkcji, rozwijała się również matematyka. Przejście od prostych do złożonych. Od zwykłej metody rachunkowości dodawania i odejmowania, z ich powtarzające się powtórzenia wymyślił pojęcie mnożenia i dzielenia. Redukcja wielokrotnie powtarzanej operacji stała się pojęciem potęgowania. Pierwsze tabele zależności liczb od podstawy i liczby potęgowania zostały opracowane w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Z nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.
Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagał dużej ilości obliczeń związane z mnożeniem i dzieleniem liczb wielocyfrowych. Starożytne stoły świetnie się przysłużyły. Umożliwiły zastąpienie skomplikowanych operacji prostszymi - dodawaniem i odejmowaniem. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, opublikowana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Umożliwiło to wykorzystanie tabel nie tylko dla stopni w formie liczby pierwsze, ale także dla arbitralnie racjonalnych.
W 1614 r. Szkot Jan Napier, rozwijając te idee, po raz pierwszy wprowadził nowy semestr„logarytm liczby”. Opracowano nowe złożone tablice do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów, a także stycznych. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.
Zaczęły pojawiać się nowe tablice, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Wiele czasu upłynęło, zanim nowa operacja w algebrze uzyskała gotową postać. Zdefiniowano logarytm i zbadano jego właściwości.
Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne tablice, które z powodzeniem działały przez cały XIII wiek.
Dzisiaj nazywamy logarytm b, aby oprzeć a na liczbie x, która jest potęgą a, aby otrzymać liczbę b. Jest to zapisane jako wzór: x = log a(b).
Na przykład log 3(9) będzie równe 2. Jest to oczywiste, jeśli zastosujesz się do definicji. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.
Sformułowana definicja stawia więc tylko jedno zastrzeżenie, liczby aib muszą być rzeczywiste.
Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest graniczna i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi to 1.
Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe od 0, a podstawa nie może być równa 1.
Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki zagraj w logarytmy, które zostaną nazwane w zależności od wartości ich podstawy:
Podstawową właściwością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).
Jako wariant tego stwierdzenia będzie to: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funkcja ilorazu jest równa różnicy funkcji.
Na podstawie dwóch poprzednich reguł łatwo zauważyć, że: log a(b p) = p * log a(b).
Inne właściwości obejmują:
Komentarz. Nie popełniaj powszechnego błędu - logarytm sumy nie jest równa sumie logarytmy.
Przez wiele stuleci operacja znalezienia logarytmu była dość czasochłonnym zadaniem. Używani matematycy znana formuła logarytmiczna teoria rozwinięcia wielomianu:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1, która decyduje o dokładności obliczeń.
Logarytmy o innych podstawach obliczono, korzystając z twierdzenia o przejściu z jednej podstawy do drugiej i własności logarytmu iloczynu.
Ponieważ ta metoda jest bardzo pracochłonna i przy rozwiązywaniu problemów praktycznych trudne do zrealizowania, wykorzystali gotowe tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.
W niektórych przypadkach zastosowano specjalnie zestawione wykresy logarytmów, które dawały mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszały poszukiwanie pożądanej wartości. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana na kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartości funkcji w dowolnym innym punkcie. Przez długi czas inżynierowie używali do tych celów tak zwanego papieru milimetrowego.
W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze warunki obliczeń analogowych, które do XIX wiek uzyskał gotowy wygląd. Najbardziej udane urządzenie nazywano suwakiem logarytmicznym. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszył proces wszelkich obliczeń inżynierskich, a to trudno przecenić. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.
Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.
Następujące wzory są używane do rozwiązywania różnych równań i nierówności za pomocą logarytmów:
Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:
Rozważ kilka opcji użycia logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:
Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w stopniu:
Będąc narzędziem czysto matematycznym, wydaje się to dalekie prawdziwe życieże logarytm nagle uzyskał bardzo ważne opisywać obiekty w świecie rzeczywistym. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest używana. Dotyczy to w pełni nie tylko nauk przyrodniczych, ale także humanistycznych.
Oto kilka przykładów zależności liczbowych:
Historycznie rzecz biorąc, mechanika i fizyka zawsze rozwijały się z wykorzystaniem matematycznych metod badawczych i jednocześnie stanowiły bodziec do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki jest napisana językiem matematyki. Podajemy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.
Możliwe jest rozwiązanie problemu obliczania tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:
V = I * ln(M1/M2), gdzie
Inny ważny przykład - jest to zastosowanie we wzorze innego wielkiego naukowca, Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.
S = k * ln (Ω), gdzie
Mniej oczywiste byłoby użycie wzorów w chemii zawierających stosunek logarytmów. Oto tylko dwa przykłady:
I jest zupełnie niezrozumiałe, co psychologia ma z tym wspólnego. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek wartości natężenia bodźca do niższej wartości natężenia.
Po powyższych przykładach nie dziwi już fakt, że temat logarytmów jest szeroko stosowany również w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można napisać całe tomy.
Wydaje się, że istnienie świata jest niemożliwe bez związku z tą funkcją, a ona rządzi wszystkimi prawami. Zwłaszcza, gdy prawa natury wiążą się z postępem geometrycznym. Warto odwołać się do serwisu MatProfi, a takich przykładów jest wiele w następujących obszarach działalności:
Lista mogłaby nie mieć końca. Po opanowaniu podstawowych praw tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.
Wyrażenia logarytmiczne, rozwiązywanie przykładów. W tym artykule rozważymy problemy związane z rozwiązywaniem logarytmów. Zadania poruszają kwestię znalezienia wartości wyrażenia. Należy zauważyć, że pojęcie logarytmu jest używane w wielu zadaniach i niezwykle ważne jest zrozumienie jego znaczenia. Jeśli chodzi o USE, logarytm jest używany w rozwiązywaniu równań, w stosowanych problemach, a także w zadaniach związanych z badaniem funkcji.
Oto przykłady, aby zrozumieć samo znaczenie logarytmu:
Podstawowa tożsamość logarytmiczna:
Właściwości logarytmów, o których zawsze musisz pamiętać:
*Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.
* * *
* Logarytm ilorazu (ułamka) jest równy różnicy logarytmów czynników.
* * *
*Logarytm stopnia jest równy produktowi wykładnik do logarytmu jego podstawy.
* * *
* Przejście do nowej bazy
* * *
Więcej właściwości:
* * *
Obliczanie logarytmów jest ściśle związane z wykorzystaniem właściwości wykładników.
Wymieniamy niektóre z nich:
Istotą tej właściwości jest to, że przy przenoszeniu licznika do mianownika i odwrotnie, znak wykładnika zmienia się na przeciwny. Na przykład:
Konsekwencja tej właściwości:
* * *
Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa pozostaje taka sama, ale wykładniki są mnożone.
* * *
Jak widać, sama koncepcja logarytmu jest prosta. Najważniejsze, że potrzebna jest dobra praktyka, która daje pewną umiejętność. Na pewno znajomość formuł jest obowiązkowa. Jeśli nie ma umiejętności przekształcania logarytmów elementarnych, to przy rozwiązywaniu prostych zadań można łatwo popełnić błąd.
Ćwicz, najpierw rozwiązuj najprostsze przykłady z kursu matematycznego, a następnie przejdź do bardziej złożonych. W przyszłości na pewno pokażę, jak rozwiązuje się „brzydkie” logarytmy, takich nie będzie na egzaminie, ale są interesujące, nie przegap tego!
To wszystko! Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander Krutickikh
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.
Kontynuujemy naukę logarytmów. W tym artykule porozmawiamy o obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zajmiemy się obliczaniem logarytmów z definicji. Następnie zastanów się, w jaki sposób wartości logarytmów są znajdowane za pomocą ich właściwości. Następnie zajmiemy się obliczaniem logarytmów na podstawie początkowo podanych wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmów. Cała teoria jest opatrzona przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Nawigacja po stronie.
W najprostszych przypadkach możliwe jest szybkie i łatwe wykonanie znalezienie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak przebiega ten proces.
Jej istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c , skąd z definicji logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że z definicji znalezienie logarytmu odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c .
Tak więc obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia takiej liczby c, że a c \u003d b, a sama liczba c jest pożądaną wartością logarytmu.
Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczba pod znakiem logarytmu jest podawana przez pewien stopień podstawy logarytmu, można od razu wskazać, czemu równy jest logarytm - jest równy wykładnikowi. Pokażmy przykłady.
Przykład.
Znajdź log 2 2 −3 , a także oblicz logarytm naturalny z e 5,3 .
Rozwiązanie.
Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 = −3 . Rzeczywiście, liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi −3.
Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 = 5,3.
Odpowiedź:
log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 = 5,3 .
Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest podana jako potęga podstawy logarytmu, należy dokładnie rozważyć, czy możliwe jest przedstawienie reprezentacji liczby b w postaci a c . Często ta reprezentacja jest dość oczywista, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1, lub 2, lub 3, ...
Przykład.
Oblicz logarytmy log 5 25 , i .
Rozwiązanie.
Łatwo zauważyć, że 25=5 2 , to pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .
Przechodzimy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę liczby 7: 
(zobacz w razie potrzeby). Stąd, 
.
Przepiszmy trzeci logarytm następujący formularz. Teraz możesz to zobaczyć 
, skąd to wnioskujemy 
. Dlatego z definicji logarytmu 
.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:
Odpowiedź:
dziennik 5 25=2 , 
I .
Gdy wystarczająco duża liczba naturalna znajduje się pod znakiem logarytmu, nie zaszkodzi rozłożyć ją na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawienie takiej liczby jako pewnej potęgi podstawy logarytmu, a zatem obliczenie tego logarytmu z definicji.
Przykład.
Znajdź wartość logarytmu.
Rozwiązanie.
Niektóre właściwości logarytmów umożliwiają natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Właściwości te obejmują właściwość logarytmu jedności i właściwość logarytmu liczby, równa podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Oznacza to, że gdy liczba 1 lub liczba a znajduje się pod znakiem logarytmu, równym podstawie logarytmu, wówczas w tych przypadkach logarytmy wynoszą odpowiednio 0 i 1.
Przykład.
Co to są logarytmy i lg10?
Rozwiązanie.
Ponieważ , wynika to z definicji logarytmu 
.
W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się z jego podstawą, więc logarytm dziesiętny z dziesięciu jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1 .
Odpowiedź:
I lg10=1 .
Zauważ, że obliczanie logarytmów z definicji (co omówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p = p , który jest jedną z właściwości logarytmów.
W praktyce, gdy liczbę pod znakiem logarytmu i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę jakiejś liczby, bardzo wygodnie jest użyć wzoru 
, co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Rozważmy przykład znalezienia logarytmu, ilustrujący użycie tego wzoru.
Przykład.
Oblicz logarytm z .
Rozwiązanie.
Odpowiedź:
.
Właściwości logarytmów niewymienione powyżej są również wykorzystywane w obliczeniach, ale porozmawiamy o tym w kolejnych akapitach.
Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów do ich obliczania. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów są używane do wyrażenia oryginalnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Weźmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1,584963 , możemy znaleźć na przykład log 2 6, wykonując małe przekształcenie z wykorzystaniem właściwości logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej trzeba użyć szerszego arsenału właściwości logarytmów, aby obliczyć logarytm pierwotny na podstawie podanych.
Przykład.
Oblicz logarytm z 27 o podstawie 60, jeśli wiadomo, że log 60 2=a i log 60 5=b .
Rozwiązanie.
Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27=3 3 , a pierwotny logarytm, ze względu na właściwość logarytmu stopnia, można zapisać jako 3·log 60 3 .
Zobaczmy teraz, jak log 60 3 można wyrazić za pomocą znanych logarytmów. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala zapisać dziennik równości 60 60=1 . Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Zatem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stąd, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.
Na koniec obliczamy oryginalny logarytm: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Odpowiedź:
log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Osobno warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci 
. Pozwala przejść od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub możliwe jest ich znalezienie. Zwykle z oryginalnego logarytmu, zgodnie ze wzorem przejściowym, przechodzą na logarytmy w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tabele logarytmów, które pozwalają na ich obliczenie z pewnym stopniem dokładności. W następnej sekcji pokażemy, jak to się robi.
Do przybliżonego obliczenia wartości logarytmów można użyć tablice logarytmów. Najczęściej używana tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmy naturalne i tablica logarytmów dziesiętnych. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest użyć tabeli logarytmów o podstawie dziesiątej. Z jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.
Przedstawiona tablica pozwala z dokładnością do jednej dziesiątej tysięcznej znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1.000 do 9.999 (z trzema miejscami po przecinku). Zasada znajdowania wartości logarytmu za pomocą tablicy logarytmów dziesiętnych zostanie przeanalizowana w konkretny przykład- tak wyraźniej. Znajdźmy lg1,256 .
W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy pierwsze dwie cyfry liczby 1,256, czyli znajdujemy 1,2 (ta liczba jest zakreślona na niebiesko dla jasności). Trzecia cyfra liczby 1.256 (numer 5) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na lewo od podwójnego wiersza (ta liczba jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra pierwotnej liczby 1.256 (numer 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnego wiersza (ta liczba jest zakreślona na zielono). Teraz znajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (liczby te są podświetlone Pomarańczowy). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Czy można, korzystając z powyższej tabeli, znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także wykraczają poza granice od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.
Obliczmy lg102.76332 . Najpierw musisz napisać numer w forma standardowa : 102,76332=1,0276332 10 2 . Następnie mantysę należy zaokrąglić w górę do trzeciego miejsca po przecinku, mamy 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, podczas gdy pierwotny logarytm dziesiętny jest w przybliżeniu równy logarytmowi liczby wynikowej, czyli bierzemy lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Teraz zastosuj właściwości logarytmu: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Ostatecznie znajdujemy wartość logarytmu lg1,028 zgodnie z tablicą logarytmów dziesiętnych lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda następująco: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.
Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych, można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy użyć formuły przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.
Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tablicy logarytmów dziesiętnych znajdujemy lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Zatem, 
.
Bibliografia.
Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy tak naprawdę nie są zwykłe liczby, obowiązują tu zasady, które są tzw podstawowe właściwości.
Musisz znać te zasady - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. Ponadto jest ich bardzo mało - wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.
Rozważ dwa logarytmy z te same podstawy: dziennik A X i zaloguj A y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:
Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Notatka: kluczowy moment Tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!
Te wzory pomogą ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne nawet jeśli jego poszczególne części nie są brane pod uwagę (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:
log 6 4 + log 6 9.
Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.
Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.
Ponownie, podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się z „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane osobno. Ale po przekształceniach pojawiają się całkiem normalne liczby. Opierając się na tym fakcie, wielu papiery testowe. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.
Teraz skomplikujmy trochę zadanie. Co jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyjąć ze znaku logarytmu zgodnie z następującymi zasadami:
Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła następuje po pierwszych dwóch. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.
Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli obserwuje się logarytm ODZ: A > 0, A ≠ 1, X> 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest najczęściej wymagane.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .
Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
[Podpis ilustracji]
Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są potęgi dokładne: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mamy:
[Podpis ilustracji] Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.
Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - 2/4 pozostanie w mianowniku. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Wynikiem jest odpowiedź: 2.
Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, wyraźnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A co jeśli podstawy są inne? Co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?
Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:
Niech logarytm się zaloguje A X. Następnie dla dowolnej liczby C takie że C> 0 i C≠ 1, równość jest prawdziwa:
[Podpis ilustracji]
W szczególności, jeśli umieścimy C = X, otrzymujemy:
[Podpis ilustracji]
Z drugiej formuły wynika, że można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.
Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażenia liczbowe. Można ocenić, jak wygodne są tylko przy podejmowaniu decyzji równania logarytmiczne i nierówności.
Są jednak zadania, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzi się do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.
Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4 log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Teraz odwróćmy drugi logarytm:
[Podpis ilustracji]Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.
Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:
[Podpis ilustracji]Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:
[Podpis ilustracji]Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku formuły pomogą nam:
W pierwszym przypadku liczba N staje się wykładnikiem argumentu. Numer N może być absolutnie wszystkim, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.
Druga formuła jest w rzeczywistości sparafrazowaną definicją. Nazywa się to podstawową tożsamością logarytmiczną.
Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba B podnieść do potęgi tak B w tym zakresie podaje liczbę A? Zgadza się: to ten sam numer A. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz - wiele osób „wisi” na nim.
Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
[Podpis ilustracji]
Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:
[Podpis ilustracji]Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z egzaminu :)
Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami – są to raczej konsekwencje z definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.
To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby ćwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.
