Jeśli chcesz podnieść określoną liczbę do potęgi, możesz użyć . Teraz przyjrzymy się bliżej właściwości stopni.
Liczby wykładnicze otwierają ogromne możliwości, pozwalają nam zamienić mnożenie na dodawanie, a dodawanie jest znacznie prostsze niż mnożenie.
Na przykład musimy pomnożyć 16 przez 64. Iloczynem tych dwóch liczb jest 1024. Ale 16 to 4x4, a 64 to 4x4x4. Czyli 16 razy 64=4x4x4x4x4, czyli również 1024.
Liczbę 16 można również przedstawić jako 2x2x2x2, a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a jeśli pomnożymy, ponownie otrzymamy 1024.
Użyjmy teraz reguły. 16=4 2 lub 2 4 , 64=4 3 lub 2 6 , a 1024=6 4 =4 5 lub 2 10 .
Zatem nasz problem można zapisać w inny sposób: 4 2 x4 3 =4 5 lub 2 4 x2 6 =2 10 i za każdym razem otrzymujemy 1024.
Możemy rozwiązać wiele podobnych przykładów i zobaczyć, że mnożenie liczb przez potęgi redukuje się do dodawanie wykładników, lub oczywiście wykładnik, pod warunkiem, że podstawy współczynników są równe.
W ten sposób możemy, bez mnożenia, od razu powiedzieć, że 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Ta zasada obowiązuje również przy dzieleniu liczb przez potęgi, ale w tym przypadku e wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dywidendy. Zatem 2 5:2 3 =2 2 , co w zwykłych liczbach jest równe 32:8=4, czyli 2 2 . Podsumujmy:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi.
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że mnożenie i dzielenie liczb przez potęgi niezbyt wygodne, ponieważ najpierw musisz przedstawić liczbę w formie wykładniczej. Nie jest trudno przedstawić w tej formie liczby 8 i 16, czyli 2 3 i 2 4, ale jak to zrobić z liczbami 7 i 17? Albo co zrobić w tych przypadkach, gdy liczbę można przedstawić w formie wykładniczej, ale podstawy wyrażeń wykładniczych liczb są bardzo różne. Na przykład 8×9 to 2 3 x 3 2 , w takim przypadku nie możemy zsumować wykładników. Ani 2 5 ani 3 5 nie jest odpowiedzią, ani odpowiedzią między nimi.
Czy w takim razie w ogóle warto zawracać sobie głowę tą metodą? Zdecydowanie warto. Daje ogromne korzyści, zwłaszcza przy skomplikowanych i czasochłonnych obliczeniach.
Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.
Zatem suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - d 4.
Szanse te same moce tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.
Zatem suma 2a 2 i 3a 2 to 5a 2 .
Jest też oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, lub trzy kwadraty a, lub pięć kwadratów a.
Ale stopnie różne zmienne oraz różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.
Zatem suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .
Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie jest ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.
Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odejmowanie uprawnienia są wykonywane w taki sam sposób, jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki oddzielenia muszą być odpowiednio zmienione.
Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Liczby z potęgami można mnożyć, podobnie jak inne wielkości, pisząc je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.
Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.
Lub:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 x y 2
a 2 b 3 r 2 ⋅ a 3 b 2 r = a 2 b 3 r 2 za 3 b 2 r
Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .
Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, widzimy, że jeśli pomnoży się dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej suma stopnie terminów.
A więc a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.
A więc n .a m = a m+n .
Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile jest potęgi n;
A m , przyjmuje się jako czynnik tyle razy, ile stopni m jest równe;
Więc, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.
A więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Oraz x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 r 3 ⋅ b 4 r = b 6 r 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - r 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ta zasada obowiązuje również dla liczb, których wykładniki wynoszą − negatywny.
1. A więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a-n .a m = a m-n .
Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: czyli
Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równa sumie lub różnicy ich kwadratów.
Jeśli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.
Tak więc (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Liczby z potęgami można dzielić tak jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.
Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 to a 3 .
Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac $. Ale to jest równe 2 . W serii liczb
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez drugą, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..
Tak więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac = y$.
A n+1:a = a n+1-1 = a n . Oznacza to, że $\frac = a^n$.
Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Zasada obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynik dzielenia -5 przez -3 daje -2 .
Również $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.
1. Zmniejsz wykładniki w $\frac $ Odpowiedź: $\frac $.
2. Zmniejsz wykładniki w $\frac$. Odpowiedź: $\frac $ lub 2x.
3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Zmniejsz wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.
6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.
Przypominamy, że w tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Stopnie z wymiernymi wskaźnikami i ich właściwości zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.
Wykładnik z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia w przykładowych wykładnikach.
Podczas mnożenia potęg przy tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.
a m a n \u003d a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Ta właściwość potęg ma również wpływ na iloczyn trzech lub więcej potęg.
Należy pamiętać, że we wskazanej właściwości chodziło tylko o mnożenie potęg przy tych samych podstawach.. Nie dotyczy ich dodawania.
Nie możesz zastąpić sumy (3 3 + 3 2) przez 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243
Podczas dzielenia potęgi za pomocą tej samej podstawy podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dywidendy.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności częściowych stopni.
3 8: t = 3 4
Odpowiedź: t = 3 4 = 81
Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, możesz łatwo uprościć wyrażenia i wykonać obliczenia.
Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Przykład. Znajdź wartość wyrażenia za pomocą właściwości stopnia.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Należy pamiętać, że właściwość 2 dotyczyła wyłącznie podziału kompetencji za pomocą tych samych zasad.
Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 -4 2) przez 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli obliczysz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4
Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa potęgi pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.
(a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.
Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo zajmiemy się tematem podniesienia ułamka do potęgi na następnej stronie.
Jak mnożyć moce? Jakie uprawnienia można mnożyć, a jakie nie? Jak pomnożyć liczbę przez potęgę?
W algebrze można znaleźć iloczyn potęgowania w dwóch przypadkach:
1) jeżeli stopnie mają tę samą podstawę;
2) jeżeli stopnie mają te same wskaźniki.
Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, podstawa musi pozostać taka sama, a wykładniki muszą zostać dodane:
Mnożąc stopnie z tymi samymi wskaźnikami, całkowity wskaźnik można wyjąć z nawiasów:
Zobaczmy, jak pomnożyć wykładniki przez konkretne przykłady.
Jednostka w wykładniku nie jest zapisywana, ale mnożąc stopnie, uwzględniają:
Podczas mnożenia liczba stopni może być dowolna. Należy pamiętać, że nie można napisać znaku mnożenia przed literą:
W wyrażeniach potęgowanie jest wykonywane jako pierwsze.
Jeśli potrzebujesz pomnożyć liczbę przez potęgę, musisz najpierw wykonać potęgowanie, a dopiero potem - mnożenie:
Masz już abonament? Wejść
W tej lekcji dowiemy się, jak mnożyć moce za pomocą tej samej podstawy. Najpierw przywołujemy definicję stopnia i formułujemy twierdzenie o ważności równości . Następnie podajemy przykłady jego zastosowania do konkretnych liczb i udowadniamy to. Do rozwiązania zastosujemy również twierdzenie różne zadania.
Temat: Stopień z naturalnym wskaźnikiem i jego właściwości
Lekcja: Mnożenie potęg z tymi samymi podstawami (wzór)
Podstawowe definicje:
n- wykładnik,
— n-ta potęga liczby.
Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:
Innymi słowy: jeśli a- Jakikolwiek numer; n oraz k liczby naturalne, to:
Stąd zasada 1:
Wniosek: przypadki szczególne potwierdziły poprawność Twierdzenia nr 1. Udowodnijmy to w ogólnym przypadku, czyli dla każdego a i wszelkie naturalne n oraz k.
Podany numer a- każdy; liczby n oraz k- naturalny. Udowodnić:
Dowód opiera się na definicji stopnia.
Przykład 1: Obecny jako stopień naukowy.
Aby rozwiązać poniższe przykłady, użyjemy Twierdzenia 1.
g) 
Oto uogólnienie:
Przykład 2: Oblicz (możesz skorzystać z tabeli podstawowych stopni).
a) 
(wg tabeli)
b) 
Przykład 3: Napisz jako potęgę o podstawie 2.
a) 
Przykład 4: Określ znak liczby:
, a - ujemny, ponieważ wykładnik przy -13 jest nieparzysty.
Przykład 5: Zastąp ( ) mocą z podstawą r:
To znaczy mamy .
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 7. Wyd. M.: Oświecenie. 2010
1. Asystent szkolny (źródło).
1. Wyraź jako stopień:
a B C D E) 
3. Napisz jako potęgę o podstawie 2:
4. Określ znak liczby:
a) 
5. Zastąp ( ) potęgą liczby z podstawą r:
a) r4() = r15; b) ( ) r 5 = r 6
W tej lekcji przestudiujemy mnożenie potęg z tymi samymi wykładnikami. Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące mnożenia i dzielenia potęg o tych samych podstawach oraz podnoszenia potęgi do potęgi. Następnie formułujemy i dowodzimy twierdzenia o mnożeniu i dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami. A potem z ich pomocą rozwiążemy szereg typowych problemów.
Tutaj a- podstawa stopnia
— n-ta potęga liczby.
Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:
Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodaje się wykładniki, podstawa pozostaje niezmieniona.
Twierdzenie 2. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k, takie, że n > k równość jest prawdziwa:
Podczas dzielenia potęgi o tej samej podstawie wykładniki są odejmowane, a podstawa pozostaje niezmieniona.
Twierdzenie 3. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:
Wszystkie powyższe twierdzenia dotyczyły mocy o tym samym fusy, ta lekcja dotyczy stopni z tym samym wskaźniki.
Rozważ następujące przykłady:
Wypiszmy wyrażenia określające stopień.
Wniosek: Z przykładów widać, że 
, ale trzeba to jeszcze udowodnić. Formułujemy twierdzenie i dowodzimy je w ogólnym przypadku, czyli dla dowolnego a oraz b i wszelkie naturalne n.
Dla dowolnych liczb a oraz b i wszelkie naturalne n równość jest prawdziwa:
Dowód Twierdzenie 4 .
Z definicji stopnia:
Udowodniliśmy więc, że .
Aby pomnożyć potęgi z tym samym wykładnikiem, wystarczy pomnożyć podstawy i pozostawić wykładnik bez zmian.
Sformułujemy twierdzenie o dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami.
Dla dowolnej liczby a oraz b() i wszelkie naturalne n równość jest prawdziwa:
Dowód Twierdzenie 5 .
Zapiszmy i zgodnie z definicją stopnia:
Udowodniliśmy więc to.
Aby podzielić między sobą stopnie o tych samych wykładnikach, wystarczy podzielić jedną podstawę przez drugą, a wykładnik pozostawić bez zmian.
Przykład 1: Wyraź jako iloczyn sił.
Aby rozwiązać poniższe przykłady, użyjemy Twierdzenia 4.
Aby rozwiązać następujący przykład, przywołaj formuły:
Uogólnienie twierdzenia 4:
Przykład 2: Napisz jako stopień produktu.
Przykład 3: Napisz jako potęgę z wykładnikiem 2.
Przykład 4: Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7 .M.: Edukacja. 2006
2. Asystent szkolny (Źródło).
1. Przedstawiać jako iloczyn uprawnień:
a) ; b) ; w) ; G) ;
2. Zapisz jako stopień produktu:
3. Napisz w formie stopnia ze wskaźnikiem 2:
4. Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.
Sekcje: Matematyka
Cel pedagogiczny:
Zadania:
Jednostki aktywności doktryny: określenie stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego; składniki stopnia; definicja prywatności; asocjacyjne prawo mnożenia.
a) Aktualizacja wiedzy:
2) Sformułuj definicję stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego.
a n \u003d a a a ... a (n razy)
b k \u003d b b b b a ... b (k razy) Uzasadnij swoją odpowiedź.
Autotest :( Praca indywidualna w dwóch wersjach.)
A1) Wyraź iloczyn 7 7 7 7 x x x jako potęgę:
A2) Wyraź jako iloczyn stopień (-3) 3 x 2
A3) Oblicz: -2 3 2 + 4 5 3
Liczbę zadań w teście dobieram zgodnie z przygotowaniem poziomu zajęć.
Do testu podaję klucz do samodzielnego sprawdzenia. Kryteria: zaliczony-niezaliczony.
W trakcie rozwiązywania problemów 1) i 2) uczniowie proponują rozwiązanie, a ja jako nauczyciel organizuję zajęcia, aby znaleźć sposób na uproszczenie uprawnień przy mnożeniu z tymi samymi podstawami.
Nauczyciel: wymyśl sposób na uproszczenie mocy podczas mnożenia przy tej samej podstawie.
W klastrze pojawia się wpis:
Sformułowano temat lekcji. Mnożenie władzy.
Nauczyciel: wymyśl zasadę dzielenia stopni tymi samymi podstawami.
Rozumowanie: jakie działanie sprawdza podział? a 5: a 3 = ? że a 2 a 3 = a 5
Wracam do schematu - klaster i uzupełniam wpis - ..przy dzieleniu, odejmowaniu i dodawaniu tematu lekcji. ...i podział stopni.
Nauczyciel: zadaniem minimum na dzisiejszej lekcji jest nauczenie się stosowania własności mnożenia i dzielenia potęg przy tych samych podstawach, a maksimum: łącznego stosowania mnożenia i dzielenia.
Napisz na tablicy : a m za n = za m + n ; a m: a n = a m-n
a) Wg podręcznika: nr 403 (a, c, e) zadania o innym brzmieniu
nr 404 (a, e, f) niezależna praca, potem organizuję wzajemną kontrolę, oddaję klucze.
b) Dla jakiej wartości m obowiązuje równość? 16 m \u003d 32; x wys x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Zadanie: wymyśl podobne przykłady do podziału.
c) nr 417(a), nr 418(a) Pułapki na studentów: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: 8 \u003d 2.
prace diagnostyczne.
Test(włóż klucze) Odwrotna strona test).
Warianty zadania: przedstaw jako stopień iloraz x 15: x 3; reprezentują jako potęgę iloczyn (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; dla których m jest równością a 16 a m = a 32 prawda; znajdź wartość wyrażenia h 0: h 2 z h = 0,2; obliczyć wartość wyrażenia (5 2 5 0) : 5 2 .
Podsumowanie lekcji. Odbicie. Dzielę klasę na dwie grupy.
Znajdź argumenty grupy I: na korzyść znajomości właściwości stopnia, a grupy II - argumenty, które powiedzą, że możesz się obejść bez właściwości. Wysłuchujemy wszystkich odpowiedzi, wyciągamy wnioski. Na kolejnych lekcjach możesz podać dane statystyczne i nazwać rubrykę „Nie pasuje mi to do głowy!”
Odniesienie do historii. Jakie liczby nazywają się liczbami Fermata.
s.19. #403, #408, #417
Używane książki:
Po określeniu stopnia liczby logiczne jest, aby o tym mówić właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe własności stopnia liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów.
Nawigacja po stronach.
Z definicji potęgi z wykładnikiem naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . Opierając się na tej definicji i używając właściwości mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić następujące właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym:
Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczny w określonych warunkach, a ich prawą i lewą część można zamienić. Na przykład główna właściwość ułamka a m a n = a m + n with uproszczenie wyrażeń często używany w postaci a m+n = a m a n .
Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.
Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, którą nazywamy główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n, równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa.
Udowodnijmy główną właściwość stopnia. Z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m a n można zapisać jako iloczyn 
. Ze względu na właściwości mnożenia wynikowe wyrażenie można zapisać jako 
, a ten iloczyn jest potęgą a z wykładnikiem naturalnym m+n , czyli a m+n . To kończy dowód.
Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tej samej podstawie 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, zgodnie z główną własnością stopnia, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Sprawdźmy jego poprawność, dla której obliczamy wartości wyrażeń 2 2 ·2 3 i 2 5 . Wykonując potęgowanie, mamy 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 =2 2 2 2 2=32 , ponieważ otrzymujemy równe wartości, to równość 2 2 2 3 = 2 5 jest prawdziwe i potwierdza główną właściwość stopnia.
Główną własność stopnia na podstawie własności mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech i jeszcze stopnie o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Czyli dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1 , n 2 , …, n k równość a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k jest prawdziwa.
Na przykład (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 = (2,1) 17 .
Możesz przejść do następnej właściwości stopni za pomocą naturalnego wskaźnika - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n , równość a m:a n =a m−n jest prawdziwa.
Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie da się dzielić przez zero. Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie albo zero (co ma miejsce, gdy m−n) albo liczba ujemna (co ma miejsce, gdy m m−n a n =a (m−n) + n = a m Z otrzymanej równości a m−n a n = a m oraz ze związku mnożenia z dzieleniem wynika, że a m−n jest potęgą cząstkową a m oraz a n Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.
Weźmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i naturalnych wykładnikach 5 i 2, rozważana własność stopnia odpowiada równości π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Teraz rozważ właściwość stopnia produktu: naturalny stopień n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równy iloczynowi stopni a n i bn , czyli (a b) n =a n b n .
Rzeczywiście, z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym mamy 
. Ostatni kawałek na podstawie właściwości mnożenia można przepisać jako 
, który jest równy a n b n .
Oto przykład: 
.
Własność ta rozciąga się na stopień iloczynu trzech i jeszcze mnożniki. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .
Następna nieruchomość to własność przyrodnicza: iloraz liczb rzeczywistych aib , b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n , czyli (a:b) n =a n:b n .
Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej właściwości. Zatem (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , az równości (a:b) n b n =a n wynika, że (a:b) n jest ilorazem a n do b n .
Napiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: 
.
Teraz zabierzmy głos właściwość potęgowania: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potęgi a z wykładnikiem m·n , czyli (a m) n =a m·n .
Na przykład (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Dowodem własności władzy w stopniu jest następujący łańcuch równości: 
.
Rozważana właściwość może zostać rozszerzona o stopień w stopniu w stopniu i tak dalej. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s, równość 
. Dla większej jasności podajmy przykład z określonymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.
Zaczynamy od udowodnienia własności porównania zera i potęgi za pomocą naturalnego wykładnika.
Najpierw uzasadnijmy, że a n >0 dla dowolnego a>0 .
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. A potęga a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej dodatniej podstawy a stopień a n jest liczbą dodatnią. Na mocy udowodnionej własności 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 i 
.
Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień a n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0,0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0 .
Przejdźmy do podstaw ujemnych.
Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2 m , gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie 
. Zgodnie z zasadą mnożenia liczb ujemnych każdy z iloczynów postaci a a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, co oznacza, że jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny. 
i stopień 2 m . Oto przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .
Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnikiem jest liczba nieparzysta 2 m−1, to 
. Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Na mocy tej własności (−5) 3 17 n n jest iloczynem lewej i prawej części n prawdziwych nierówności a własności nierówności, udowadniana nierówność ma postać a n n . Na przykład z powodu tej własności nierówności 3 7 7 i 
.
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości potęg z wykładnikami naturalnymi. Sformułujmy to. Spośród dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi pozytywnymi podstawami, mniejszym niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest większy. Zwracamy się do dowodu tej właściwości.
Udowodnijmy, że dla m>n i 0m n . Aby to zrobić, piszemy różnicę a m − a n i porównujemy ją z zerem. Zapisana różnica po wyjęciu n z nawiasów przybierze postać a n ·(a m−n −1) . Otrzymany iloczyn jest ujemny jako iloczyn liczby dodatniej a n i liczby ujemnej a m−n −1 (a n jest dodatnia jako potęga naturalna liczby dodatniej, a różnica a m−n −1 jest ujemna, ponieważ m−n >0 ze względu na warunek początkowy m>n , z którego wynika, że dla 0m−n jest to mniej niż jeden). A zatem a m − a n m n , co miało być udowodnione. Na przykład podajemy poprawną nierówność.
Pozostaje udowodnić drugą część nieruchomości. Udowodnijmy, że dla m>n i a>1, a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po wyjęciu n z nawiasów przyjmuje postać a n ·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, ponieważ dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, ponieważ m−n>0 ze względu na warunek początkowy, a dla a>1, stopień m−n jest większy niż jeden . Zatem a m − a n >0 i a m >a n , co miało być udowodnione. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2 .
Ponieważ liczby całkowite dodatnie są liczbami naturalnymi, to wszystkie własności potęg z dodatnimi wykładnikami całkowitymi dokładnie pokrywają się z własnościami potęg z wykładnikami naturalnymi wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.
Zdefiniowaliśmy stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym, a także stopień z wykładnikiem zerowym, aby wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażonymi przez równości pozostały ważne. Dlatego wszystkie te własności obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i dla wykładników ujemnych, podczas gdy oczywiście podstawy stopni są różne od zera.
Tak więc dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych a i b, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, prawdziwe są następujące własności stopni z wykładnikami całkowitymi:
Dla a=0 potęgi a m i a n mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, czyli liczbami naturalnymi. Tak więc opisane właśnie własności obowiązują również w przypadkach, gdy a=0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Nie jest trudno udowodnić każdą z tych własności, wystarczy do tego posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym oraz własności działań z liczbami rzeczywistymi. Jako przykład wykażmy, że własność potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, musimy pokazać, że jeśli p jest zerem lub liczbą naturalną i q jest zerem lub liczbą naturalną, to równości (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a −p) −q =a (−p) (−q) . Zróbmy to.
Dla dodatnich p i q równość (a p) q =a p·q została udowodniona w poprzednim podrozdziale. Jeśli p=0 , to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , skąd (a 0) q =a 0 q . Podobnie, jeśli q=0 , wtedy (a p) 0 =1 i a p 0 = a 0 =1 , skąd (a p) 0 = a p 0 . Jeśli zarówno p=0 i q=0 , wtedy (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , skąd (a 0) 0 =a 0 0 .
Wykażmy teraz, że (a −p) q =a (−p) q . Z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym , wtedy 
. Przez własność ilorazu w stopniu mamy 
. Ponieważ 1 p =1,1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie jest z definicji potęgą postaci a −(p q) , którą na mocy reguł mnożenia można zapisać jako a (−p) q .
podobnie 
.
I 
.
Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości.
W przedostatnim z zapisanych własności warto zastanowić się nad dowodem nierówności a −n >b −n , który jest prawdziwy dla każdej ujemnej liczby całkowitej −n i każdej dodatniej a i b, dla której warunek a . Piszemy i przekształcamy różnicę między lewą i prawą częścią tej nierówności: 
. Ponieważ według warunku a n n , zatem b n − a n >0 . Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy otrzymany ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n − a n i a n b n . Stąd skąd a −n >b −n , co miało być udowodnione.
Ostatnią własność stopni z wykładnikami całkowitymi dowodzi się w taki sam sposób, jak analogiczną własność stopni z wykładnikami naturalnymi.
Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając do niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, stopnie z wykładnikami ułamkowymi mają te same właściwości, co stopnie z wykładnikami całkowitymi. Mianowicie:
dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ;
dla a>0;
dla a>0 i b>0 , a jeśli i , to dla a≥0 i (lub) b≥0 ;
dla a>0 i b>0 , a jeśli , to dla a≥0 i b>0 ;
dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ;Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym, na własnościach pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Dajmy dowód.
Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i , wtedy 
. Własności pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam napisać następujące równości. Dalej, używając własności degree z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , skąd z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym mamy 
, a wykładnik uzyskanego stopnia można przeliczyć w następujący sposób: . To kończy dowód.
Druga własność potęg z wykładnikami ułamkowymi jest udowodniona dokładnie w ten sam sposób: 
Resztę równości dowodzą podobne zasady: 
Przechodzimy do dowodu kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnych dodatnich a i b , a 0 nierówność a p p jest poprawna, a dla p p >b p . Liczbę wymierną p zapisujemy jako m/n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki p 0 w tym przypadku będą odpowiednio równoważne warunkom m 0. Dla m>0 i am m . Z tej nierówności przez własność pierwiastków mamy , a ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, to na podstawie definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym wynikająca nierówność może być przepisana jako , czyli a p p .
Podobnie, gdy m m >b m , skąd , czyli a p >b p .
Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q . Zawsze możemy zredukować liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, otrzymamy zwykłe ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 >m 2, który wynika z reguły porównania zwykłe ułamki z tymi samymi mianownikami. Następnie, na podstawie własności porównywania potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach, dla 0m 1 m 2 i dla a>1, nierówność a m 1 >a m 2 . Te nierówności pod względem właściwości pierwiastków można przepisać odpowiednio jako 
oraz 
. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .
Na podstawie tego, jak zdefiniowany jest stopień z niewymiernym wykładnikiem, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikami wymiernymi. Czyli dla dowolnych a>0 , b>0 i niewymiernych liczb p i q prawdziwe są: własności stopni z irracjonalnymi wykładnikami:
Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same własności.
Stopień z ujemnym wykładnikiem. Podział władz o tej samej podstawie. 4. Zmniejsz wykładniki 2a4/5a3 i 2/a4 i sprowadź je do wspólnego mianownika. Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. Ta właściwość rozciąga się na stopień iloczynu trzech lub więcej czynników. A zatem am−an>0 i am>an, co należało udowodnić. Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości potęg z wykładnikami naturalnymi.
Należy pamiętać, że właściwość nr 4, podobnie jak inne właściwości stopni, jest również używana w Odwrotna kolejność. Oznacza to, że aby pomnożyć stopnie przy tych samych wykładnikach, można pomnożyć podstawy i pozostawić wykładnik bez zmian. Obliczenie wartości mocy nazywa się akcją potęgowania. Oznacza to, że obliczając wartość wyrażenia niezawierającego nawiasów, najpierw wykonaj akcję trzeciego etapu, następnie drugiego (mnożenie i dzielenie), a na końcu pierwszego (dodawanie i odejmowanie).
Po określeniu stopnia liczby logiczne jest mówienie o właściwościach stopnia. W tym artykule podamy podstawowe własności stopnia liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów. Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczne w określonych warunkach, a ich prawa i lewa część mogą być zamieniane.
Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu. Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Główna własność ułamka pozwala na zapisanie równości am−n·an=a(m−n)+n=am.
Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej właściwości. Na przykład równość obowiązuje dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s. Dla większej jasności podajmy przykład z określonymi liczbami: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień an wynosi zero. Rzeczywiście, 0n=0,0·…·0=0. Na przykład 03=0 i 0762=0. Przejdźmy do podstaw ujemnych. Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną.
Zwracamy się do dowodu tej właściwości. Udowodnijmy, że dla m>n i 0 Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, zapisanym jako równości. Warunki p 0 w tym przypadku będą odpowiednio równoważne warunkom m 0. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m1>m2, który wynika z reguły porównywania zwykłych ułamków o tych samych mianownikach.
Operacje z korzeniami. Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy tylko wykładniki z wykładnikami naturalnymi, ale akcje z wykładnikami i pierwiastkami mogą również prowadzić do wykładników ujemnych, zerowych i ułamkowych. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji. Jeśli chcemy, aby formuła a m: a n=a m - n była poprawna dla m = n, musimy zdefiniować zero stopni. Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować w każdy możliwy sposób.
Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają! Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. Z drugiej formuły wynika, że można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.
Tylko przy podejmowaniu decyzji można ocenić, na ile są wygodne równania logarytmiczne i nierówności. Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy. Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy.
Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu. Nazywa się to podstawową tożsamością logarytmiczną. Podobnie jak podstawowe formuły konwersji, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami unikalna możliwe rozwiązanie. Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami - są to raczej konsekwencje definicji logarytmu.
Pamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden. 1 = 0 to zero logarytmiczne. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument jest jeden - logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji. To wszystkie właściwości. Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż problemy.
2.a-4 to a-2 pierwszy licznik. W takim przypadku radzimy wykonać następujące czynności. To jest trzeci etap akcji. Na przykład główna właściwość ułamka am·an=am+n, podczas upraszczania wyrażeń, jest często używana w postaci am+n=am·an. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0n=0, a po zapoznaniu się z dzieleniem uznaliśmy, że nie da się dzielić przez zero. Z otrzymanej równości am−n·an=am iz połączenia mnożenia i dzielenia wynika, że am−n jest ilorazem am i an. Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.
Podobnie, jeśli q=0, to (ap)0=1 i ap 0=a0=1, skąd (ap)0=ap 0. Więcej trudne przykłady mogą zaistnieć przypadki, w których mnożenie i dzielenie musi być wykonane na potęgach o różnych podstawach i różnych wykładnikach. Te nierówności we właściwościach pierwiastków można przepisać odpowiednio jako i. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio.
Podział władz o tej samej podstawie. Główną właściwość stopnia opartego na właściwościach mnożenia można uogólnić do iloczynu trzech lub więcej stopni o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach.
3.a-3 to a0 = 1, drugi licznik. W bardziej złożonych przykładach mogą wystąpić przypadki, w których mnożenie i dzielenie musi być wykonane na potęgach o różnych podstawach i różnych wykładnikach. Teraz rozważ je na konkretnych przykładach i spróbuj udowodnić.
W ten sposób wykazaliśmy, że dzieląc dwie potęgi tymi samymi podstawami, należy odjąć ich wskaźniki. Po określeniu stopnia liczby logiczne jest mówienie o właściwościach stopnia.
Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów. Na przykład główna właściwość ułamka am·an=am+n, podczas upraszczania wyrażeń, jest często używana w postaci am+n=am·an. Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu.
Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Z otrzymanej równości am−n·an=am iz połączenia mnożenia i dzielenia wynika, że am−n jest ilorazem am i an. Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach. Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Na przykład równość obowiązuje dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s. Dla większej jasności podajmy przykład z określonymi liczbami: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień an wynosi zero. Rzeczywiście, 0n=0,0·…·0=0. Na przykład 03=0 i 0762=0. Przejdźmy do podstaw ujemnych. Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną.
Zwracamy się do dowodu tej właściwości. Udowodnijmy, że dla m>n i 0 Pozostaje udowodnić drugą część własności. A zatem am−an>0 i am>an, co należało udowodnić. Nie jest trudno udowodnić każdą z tych własności, wystarczy do tego posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym oraz własności działań z liczbami rzeczywistymi.
Jeśli p=0, to mamy (a0)q=1q=1 i a0 q=a0=1, skąd (a0)q=a0 q. Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości. Warunki p 0 w tym przypadku będą odpowiednio równoważne warunkom m 0.
W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m1>m2, który wynika z reguły porównywania zwykłych ułamków o tych samych mianownikach. Te nierówności we właściwościach pierwiastków można przepisać odpowiednio jako i. A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio.
Obliczenie wartości mocy nazywa się akcją potęgowania. Oznacza to, że obliczając wartość wyrażenia niezawierającego nawiasów, najpierw wykonaj akcję trzeciego etapu, następnie drugiego (mnożenie i dzielenie), a na końcu pierwszego (dodawanie i odejmowanie). Operacje z korzeniami.
Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy tylko wykładniki z wykładnikami naturalnymi, ale akcje z wykładnikami i pierwiastkami mogą również prowadzić do wykładników ujemnych, zerowych i ułamkowych. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji. Jeśli chcemy, aby formuła a m: a n=a m - n była poprawna dla m = n, musimy zdefiniować zero stopni.
Mnożenie potęg liczb o tych samych wykładnikach. Następnie formułujemy twierdzenie o podziale potęgi o równych podstawach, rozwiązujemy problemy wyjaśniające i udowadniamy twierdzenie w ogólnym przypadku. Przejdźmy teraz do definicji sił negatywnych. Możesz to łatwo zweryfikować, zastępując wzór z definicji pozostałymi właściwościami. Aby rozwiązać ten problem, pamiętaj, że: 49 = 7^2 i 147 = 7^2 * 3^1. Jeśli teraz ostrożnie użyjesz właściwości stopni (podnosząc stopień do potęgi, wykładniki ...
Oznacza to, że wykładniki są rzeczywiście odejmowane, ale ponieważ wykładnik jest ujemny w mianowniku wykładnika, odjęcie minus przez minus daje plus, a wykładniki są dodawane. Pamiętajmy, co nazywa się jednomianem i jakie operacje można wykonać z jednomianami. Przypomnij sobie, że aby zredukować jednomian do standardowy widok musisz najpierw uzyskać współczynnik liczbowy przez pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych, a następnie pomnożyć odpowiednie potęgi.
Oznacza to, że musimy nauczyć się rozróżniać jednomiany podobne i niepodobne. Dochodzimy do wniosku: podobne jednomiany mają tę samą część literową i takie jednomiany można dodawać i odejmować.
Dziękujemy za twoją opinię. Jeśli podoba Ci się nasz projekt i jesteś gotowy pomóc lub wziąć w nim udział, wyślij informację o projekcie swoim znajomym i współpracownikom. W poprzednim filmie powiedziano, że w przykładach z jednomianami może być tylko mnożenie: „Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi.
Samo pojęcie jednomianu jako jednostki matematycznej implikuje tylko mnożenie liczb i zmiennych, jeśli istnieją inne operacje, wyrażenie nie będzie już jednomianem. Ale jednocześnie jednomiany można dodawać, odejmować, dzielić między sobą ... Logarytmy, jak dowolne liczby, można dodawać, odejmować i przekształcać w każdy możliwy sposób. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie regularne numery, ma swoje własne zasady, które nazywane są podstawowymi właściwościami.
Notatka: kluczowy moment oto te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają! Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. Z drugiej formuły wynika, że można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.
Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Nie ma zasad dodawania i odejmowania potęg o tej samej podstawie. Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. 4. Zmniejsz wykładniki 2a4/5a3 i 2/a4 i sprowadź je do wspólnego mianownika.
W ostatnim samouczku wideo dowiedzieliśmy się, że stopień podstawy jest wyrażeniem, które jest iloczynem podstawy i samego siebie, brane w ilości równej wykładnikowi. Przyjrzyjmy się teraz niektórym najważniejsze właściwości i działania władz.
Na przykład, pomnóżmy dwie różne moce o tej samej podstawie:
Przyjrzyjmy się temu w całości:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Po obliczeniu wartości tego wyrażenia otrzymamy liczbę 32. Z drugiej strony, jak widać na tym samym przykładzie, 32 można przedstawić jako iloczyn tej samej podstawy (dwóch), wzięty 5 razy. I rzeczywiście, jeśli liczyć, to:
Można więc śmiało stwierdzić, że:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Ta zasada działa z powodzeniem dla dowolnych wskaźników i wszelkich podstaw. Ta właściwość mnożenia stopnia wynika z zasady zachowania znaczenia wyrażeń podczas przekształceń produktu. Dla dowolnej podstawy a iloczyn dwóch wyrażeń (a) x i (a) y jest równy a (x + y). Innymi słowy, podczas tworzenia dowolnych wyrażeń o tej samej podstawie, końcowy jednomian ma całkowity stopień utworzony przez dodanie stopnia pierwszego i drugiego wyrażenia.
Przedstawiona reguła świetnie sprawdza się również przy mnożeniu kilku wyrażeń. Głównym warunkiem jest to, aby podstawy dla wszystkich były takie same. Na przykład:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Niemożliwe jest dodawanie stopni i generalnie wykonywanie jakichkolwiek działań połączonych z dwoma elementami wyrażenia, jeśli ich podstawy są różne.
Jak pokazuje nasz film, ze względu na podobieństwo procesów mnożenia i dzielenia, zasady dodawania mocy w trakcie produktu są doskonale przeniesione do procedury podziału. Rozważ ten przykład:
Zróbmy transformację wyraz po wyrazie do pełnej postaci i skróćmy te same elementy w dzielniku i dzielniku:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Wynik końcowy tego przykładu nie jest aż tak interesujący, ponieważ już w trakcie jego rozwiązywania widać, że wartość wyrażenia jest równa kwadratowi dwóch. I to jest dwójka, którą uzyskuje się odejmując stopień drugiego wyrażenia od stopnia pierwszego.
Aby określić stopień ilorazu, należy od stopnia dywidendy odjąć stopień dzielnika. Reguła działa na tej samej podstawie dla wszystkich swoich wartości i dla wszystkich sił natury. W formie abstrakcyjnej mamy:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Z zasady dzielenia te same bazy z potęgami jest zgodna z definicją stopnia zerowego. Oczywiście następującym wyrażeniem jest:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Z drugiej strony, jeśli podzielimy w sposób bardziej wizualny, otrzymamy:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Przy redukcji wszystkich widocznych elementów ułamka zawsze otrzymuje się wyrażenie 1/1, czyli jeden. Dlatego ogólnie przyjmuje się, że każda podstawa podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:
Niezależnie od wartości a.
Byłoby jednak absurdalne, gdyby 0 (które nadal daje 0 dla dowolnego mnożenia) jest w jakiś sposób równe jeden, więc wyrażenie takie jak (0) 0 (zero do zera) po prostu nie ma sensu, a formuła (a) 0 = 1 dodaj warunek: „jeśli a nie jest równe 0”.
Zróbmy ćwiczenie. Znajdźmy wartość wyrażenia:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Ponieważ podstawa jest wszędzie taka sama i wynosi 34, ostateczna wartość będzie miała taką samą podstawę ze stopniem (zgodnie z powyższymi zasadami):
Innymi słowy:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Odpowiedź: Wyrażenie jest równe jeden.
.jpg)
