Trepid. Sisenemisgrupp. Materjalid. Uksed. Lukud. Disain

Teadmised Maa mõõtmise kohta tekkisid antiikajal ja kujunesid järk-järgult geomeetriateaduses. Koos kreeka keel See sõna on tõlgitud kui "maamõõtmine".

Maa tasase ala pikkuse mõõt pikkuses ja laiuses on pindala. Matemaatikas tähistatakse seda tavaliselt ladina tähega S (inglise keelest "ruut" - "pindala", "ruut") või kreeka tähega σ (sigma). S tähistab kujundi pindala tasapinnal või keha pindala ja σ on pindala ristlõige juhtmed füüsikas. Need on peamised sümbolid, kuigi võib olla ka teisi, näiteks materjalide tugevuse valdkonnas on A profiili ristlõikepindala.

Arvutusvalemid

Piirkonna tundmine lihtsad kujundid, leiate keerukamaid parameetreid. Muistsed matemaatikud töötasid välja valemid, mille abil saab neid kergesti arvutada. Sellised kujundid on kolmnurk, nelinurk, hulknurk, ring.

Keerulise lameda kujundi pindala leidmiseks jaotatakse see paljudeks lihtsateks kujunditeks, nagu kolmnurgad, trapetsid või ristkülikud. Seejärel tuletavad matemaatilised meetodid selle joonise pindala valemi. Sarnast meetodit kasutatakse mitte ainult geomeetrias, vaid ka matemaatiline analüüs kõveratega piiratud kujundite pindalade arvutamiseks.

Kolmnurk

Alustame kõige lihtsama kujuga - kolmnurgaga. Need on ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Võtame suvalise kolmnurga ABC külgedega AB=a, BC=b ja AC=c (∆ ABC). Selle pindala leidmiseks tuletame meelde koolimatemaatika kursusest tuntud siinuste ja koosinuste teoreeme. Kõigist arvutustest loobudes jõuame järgmiste valemiteni:

• S=√ - kõigile tuntud Heroni valem, kus p=(a+b+c)/2 - kolmnurga poolperimeeter;
• S=a h/2, kus h on küljele a langetatud kõrgus;
• S=a b (sin γ)/2, kus γ on külgede a ja b vaheline nurk;
• S=a b/2, kui ∆ ABC on ristkülikukujuline (siin a ja b on jalad);
• S=b² (sin (2 β))/2 kui ∆ ABC on võrdhaarne (siin b on üks “puusadest”, β on kolmnurga “puusade” vaheline nurk);
• S=a² √¾ kui ∆ ABC on võrdkülgne (siin a on kolmnurga külg).

Nelinurk

Olgu nelinurk ABCD, kus AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Suvalise 4-nurga pindala S leidmiseks on vaja see jagada diagonaaliga kaheks kolmnurgaks, mille pindalad S1 ja S2 ei ole üldjuhul võrdsed.

Seejärel arvuta need valemite abil kokku ja liida kokku, st S=S1+S2. Kui aga nelik kuulub teatud klassi, saab selle pindala leida varem tuntud valemite abil:

• S=(a+c) h/2=e h, kui nelik on trapets (siin a ja c on alused, e on trapetsi keskjoon, h on trapetsi ühele alusele langetatud kõrgus ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, kui ABCD on rööpkülik (siin φ on külgede a ja b vaheline nurk, h on küljele a langetatud kõrgus, d1 ja d2 on diagonaalid);
• S=a b=d²/2, kui ABCD on ristkülik (d on diagonaal);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, kui ABCD on romb (a on rombi külg, φ on selle üks nurkadest, P on ümbermõõt);
• S=a²=P²/16=d²/2, kui ABCD on ruut.

Hulknurk

N-nurga pindala leidmiseks jagavad matemaatikud selle kõige lihtsamateks võrdseteks kolmnurkadeks, leiavad igaühe pindala ja liidavad need kokku. Kuid kui hulknurk kuulub tavaliste klassi, kasutatakse valemit:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, kus n on hulknurga tippude (või külgede) arv, a on n-nurga külg, P on selle ümbermõõt, h on apoteem , st segment, mis on tõmmatud hulknurga keskpunktist selle ühele küljele 90° nurga all.

Ring

Ring on täiuslik hulknurk, millel on lõpmatu arv külgi.. Peame arvutama hulknurga ala valemis paremal oleva avaldise piiri, mille külgede arv n kaldub lõpmatuseni. Sel juhul muutub hulknurga ümbermõõt raadiusega R ringi pikkuseks, mis on meie ringi piiriks, ja võrdub P=2 π R. Asendage see avaldis ülaltoodud valemiga. Me saame:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Leiame selle avaldise piiriks n→∞. Selleks võtame arvesse, et lim (cos (180°/n)) n→∞ korral on võrdne cos 0°=1 (lim on piiri märk) ja lim = lim n→∞ korral on võrdne 1/π (me oleme teisendanud kraadimõõtu radiaaniks, kasutades suhet π rad=180° ja rakendanud esimese märkimisväärse piiri lim (sin x)/x=1 punktis x →∞). Asendamine sisse viimane väljend S jaoks saadud väärtused jõuame tuntud valem:

S = π² R² 1 (1/π) = π R².

Ühikud

Rakendatakse süsteemseid ja mittesüsteemseid mõõtühikuid. Süsteemiühikuid nimetatakse SI-ks (System International). See on ruutmeeter (ruutmeeter, m²) ja sellest tuletatud ühikud: mm², cm², km².

AT ruutmillimeetrid(mm²), näiteks mõõdavad nad elektrotehnikas juhtmete ristlõikepindala, ruutsentimeetrites (cm²) - tala ristlõiget ehitusmehaanikas, ruutmeetrit(m²) - korterid või majad, in ruutkilomeetrid(km²) - territooriumid geograafias.

Mõnikord kasutatakse aga mittesüsteemseid mõõtühikuid, nagu kudumine, ar (a), hektar (ha) ja aaker (ac). Anname järgmised suhted:

• 1 kudumine \u003d 1 a = 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 aakrit = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 aakrit = 0,405 ha.

Ristkülik on nelinurga erijuht. See tähendab, et ristkülikul on neli külge. Selle vastasküljed on võrdsed: näiteks kui selle üks külg on 10 cm, siis on ka vastaskülg 10 cm Ristküliku erijuhtum on ruut. Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed. Ruudu pindala arvutamiseks võite kasutada sama algoritmi nagu ristküliku pindala arvutamisel.

Kuidas leida ristküliku pindala kahel küljel

Ristküliku pindala leidmiseks korrutage selle pikkus laiusega: pindala = pikkus × laius. Järgmisel juhul: pindala = AB × BC.

Kuidas leida ristküliku pindala, arvestades diagonaali külge ja pikkust

Mõne probleemi puhul peate leidma ristküliku pindala, kasutades diagonaali pikkust ja ühte külge. Ristküliku diagonaal jagab selle kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Seetõttu saate Pythagorase teoreemi abil määrata ristküliku teise külje. Pärast seda taandatakse probleem eelmisele punktile.

Kuidas leida ristküliku pindala perimeetri ja külje järgi

Ristküliku ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Kui teate ristküliku ja ühe külje ümbermõõtu (näiteks laiust), saate ristküliku pindala arvutada järgmise valemi abil:
Pindala \u003d (ümbermõõt × laius – laius ^ 2) / 2.

Ristküliku pindala diagonaalide vahelise teravnurga siinuse ja diagonaali pikkuse vahel

Ristküliku diagonaalid on võrdsed, nii et pindala arvutamiseks diagonaali ja siinuse pikkuse põhjal teravnurk nende vahel peaksite kasutama järgmist valemit: pindala \u003d diagonaal ^ 2 × sin (diagonaalide vaheline terav nurk) / 2.

Ristküliku pindala ei kõla üleolevalt, kuid see on oluline kontseptsioon. AT Igapäevane elu seisame sellega pidevalt silmitsi. Uuri välja põldude, juurviljaaedade suurus, arvuta lae valgendamiseks vajamineva värvi kogus, kui palju tapeeti kulub kleepimiseks co

rahapajad ja palju muud.

Geomeetriline kujund

Esiteks räägime ristkülikust. See on kujund tasapinnal, millel on neli täisnurka ja mille vastasküljed on võrdsed. Selle külgi nimetatakse pikkuseks ja laiuseks. Neid mõõdetakse millimeetrites, sentimeetrites, detsimeetrites, meetrites jne. Nüüd vastame küsimusele: "Kuidas leida ristküliku pindala?" Selleks peate pikkuse korrutama laiusega.

Pindala=pikkus*laius

Kuid veel üks hoiatus: pikkust ja laiust tuleb väljendada samades mõõtühikutes, st meeter ja meeter, mitte meeter ja sentimeeter. Ala on kirjutatud ladina tähega S. Mugavuse huvides tähistame pikkust ladina tähega b ja laiust ladina tähega a, nagu on näidatud joonisel. Sellest järeldame, et pindalaühikuks on mm 2, cm 2, m 2 jne.

Kaaluge konkreetne näide kuidas leida ristküliku pindala. Pikkus b=10 ühikut Laius a=6 ühikut Lahendus: S=a*b, S=10 ühikut*6 ühikut, S=60 ühikut 2 . Ülesanne. Kuidas leida ristküliku pindala, kui pikkus on 2 korda suurem kui laius ja on 18 m? Lahendus: kui b=18 m, siis a=b/2, a=9 m. Kuidas leida ristküliku pindala, kui on teada mõlemad küljed? See on õige, ühendage see valemiga. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Vastus: 162 m 2. Ülesanne. Mitu rulli tapeeti on vaja tuppa osta, kui selle mõõdud on: pikkus 5,5 m, laius 3,5 ja kõrgus 3 m? Tapeedirulli mõõdud: pikkus 10 m, laius 50 cm Lahendus: joonista ruumi joonis.

Vastaskülgede pindalad on võrdsed. Arvutage seina pindala mõõtmetega 5,5 m ja 3 m. S sein 1 = 5,5 * 3,

S sein 1 \u003d 16,5 m 2. Seetõttu on vastasseina pindala 16,5 m2. Leidke kahe järgmise seina pindala. Nende küljed on vastavalt 3,5 m ja 3 m. S seinad 2 \u003d 3,5 * 3, S seinad 2 = 10,5 m 2. Seega on vastaskülg 10,5 m 2. Liidame kõik tulemused kokku. 16,5 + 16,5 + 10,5 + 10,5 \u003d 54 m 2. Kuidas arvutada ristküliku pindala, kui küljed on väljendatud erinevates ühikutes. Varem arvutasime pindala m 2, siis sel juhul kasutame arvestiid. Siis on tapeedirulli laius 0,5 m. S rull \u003d 10 * 0,5, S rull \u003d 5 m 2. Nüüd saame teada, kui palju rulle on ruumi kleepimiseks vaja. 54:5=10,8 (rullib). Kuna neid mõõdetakse täisarvudes, peate ostma 11 rulli tapeeti. Vastus: 11 rulli tapeeti. Ülesanne. Kuidas arvutada ristküliku pindala, kui tead, et laius on pikkusest 3 cm lühem ja ristküliku külgede summa on 14 cm? Lahendus: olgu pikkus x cm, siis laius (x-3) cm. x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - pikkus ristkülik, 5-3 \u003d 2 cm - ristküliku laius, S \u003d 5 * 2, S = 10 cm 2 Vastus: 10 cm 2.

Kokkuvõte

Olles näiteid kaalunud, loodan, et sai selgeks, kuidas ristküliku pindala leida. Tuletan meelde, et pikkuse ja laiuse mõõtühikud peavad ühtima, vastasel juhul saad vale tulemuse, vigade vältimiseks lugege ülesanne hoolikalt läbi. Mõnikord saab pool väljenduda läbi teise poole, ära karda. Vaadake meie lahendatud probleeme, on täiesti võimalik, et need aitavad. Kuid vähemalt kord elus seisame silmitsi ristküliku pindala leidmisega.

Sellise kontseptsiooniga nagu ala, peame oma elus iga päev kokku puutuma. Nii et näiteks maja ehitamisel pead seda teadma, et summa välja arvutada vajalik materjal. Suurus aiamaa krunt iseloomustatakse ka pindala järgi. Isegi remonti korteris ei saa ilma selle määratluseta teha. Seetõttu kerkib meil väga sageli küsimus, kuidas ristküliku pindala leida, ja see on oluline mitte ainult koolilastele.

Neile, kes ei tea, on ristkülik tasane kujund, mille vastasküljed on võrdsed ja nurgad 90 kraadi. Pindala tähistamiseks matemaatikas kasutage Inglise kiri S. Seda mõõdetakse ruutühikutes: meetrites, sentimeetrites ja nii edasi.

Nüüd proovime anda üksikasjaliku vastuse küsimusele, kuidas leida ristküliku pindala. Selle väärtuse määramiseks on mitu võimalust. Kõige sagedamini seisame silmitsi võimalusega määrata ala laiuse ja pikkuse abil.

Võtame ristküliku laiusega b ja pikkusega k. Antud ristküliku pindala arvutamiseks korrutage laius pikkusega. Seda kõike saab esitada valemina, mis näeb välja järgmine: S = b * k.

Vaatame nüüd seda meetodit konkreetse näitega. On vaja kindlaks määrata 2 meetri laiuse ja 7 meetri pikkuse aiakrundi pindala.

S = 2 * 7 = 14 m2

Matemaatikas, eriti matemaatikas, peame pindala määrama muul viisil, kuna paljudel juhtudel ei tea me ristküliku pikkust ega laiust. Samas on teada ka teisi koguseid. Kuidas sel juhul ristküliku pindala leida?

• Kui me teame diagonaali pikkust ja ühte nurka, mis moodustavad diagonaali ristküliku mis tahes küljega, siis sel juhul peame pindala meeles pidama.Lõppude lõpuks, kui selle välja mõelda, siis ristkülik koosneb kaks võrdset täisnurksed kolmnurgad. Niisiis, tagasi määratletud väärtuse juurde. Kõigepealt peate määrama nurga koosinuse. Korrutage saadud väärtus diagonaali pikkusega. Selle tulemusena saame ristküliku ühe külje pikkuse. Samamoodi, kuid juba siinuse definitsiooni kasutades saate määrata teise külje pikkuse. Kuidas nüüd ristküliku pindala leida? Jah, saadud väärtusi on väga lihtne korrutada.

Valemi kujul näeks see välja järgmine:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , kus d on diagonaali pikkus

• Teine viis ristküliku pindala määramiseks on sellesse kirjutatud ring. See kehtib, kui ristkülik on ruut. Kasutamiseks seda meetodit Kas peate teadma, kuidas sel viisil ristküliku pindala arvutada? Muidugi valemi järgi. Me ei tõesta seda. Ja see näeb välja selline: S = 4 * r2, kus r on raadius.

Juhtub, et raadiuse asemel teame sisse kirjutatud ringi läbimõõtu. Siis näeb valem välja selline:

S=d2, kus d on läbimõõt.

• Kui üks külgedest ja ümbermõõt on teada, siis kuidas sel juhul ristküliku pindala teada saada? Selleks on vaja teha sari lihtsad arvutused. Nagu me teame, on ristküliku vastasküljed võrdsed, seega tuleb perimeetri väärtusest lahutada teadaolev pikkus, korrutatuna kahega. Jagage tulemus kahega ja saage teise külje pikkus. Noh, siis tavaline trikk, korrutame mõlemad küljed ja saame ristküliku pindala. Valemi kujul näeks see välja järgmine:

S=b* (P - 2*b), kus b on külje pikkus, P on ümbermõõt.

Nagu näete, saab määrata ristküliku pindala erinevaid viise. Kõik sõltub sellest, milliseid koguseid me teame enne selle probleemi käsitlemist. Loomulikult ei leia uusimaid arvutusmeetodeid praktiliselt kunagi elus, kuid need võivad olla kasulikud paljude probleemide lahendamisel koolis. Võib-olla on see artikkel teie probleemide lahendamisel kasulik.

Juhend

Leidma pikkus ristküliku küljed, kui need on teada laius ja ruut, jagage ala number laiuse numbriga. See tähendab, et kasutage valemit: D \u003d P / W, kus: D on ristküliku külje pikkus,
W - laius ristkülik,
P - tema ruut.Näiteks kui ruut ristkülik on 20 cm² ja selle laius- 5 cm, siis on selle külje pikkus: 20 / 5 \u003d 4 cm.

Enne arvutuste alustamist tõlkige laius ja ruut ristkülik ühes mõõtesüsteemis. St ruut tuleb väljendada laiuse vastavates ruutühikutes. Sel juhul on pikkus samades ühikutes kui laius. Nii et kui laius antud siis meetrites ruut aastal vajalik. See on eriti oluline maatükkide mõõtmisel, kus ruut tavaliselt antakse hektarites, aarides ja "sajandikes".

Näiteks lase ruut äärelinna piirkond võrdub kuue sajandikuga ja selle laius- 30 meetrit. Tahtis leida pikkus sait.
Kuna "sajandik" on 100, siis ruut"standardkuus" võib kirjutada 600 m². Siit pikkus maatükk võib leida, jagades 600 30-ga. Selgub - 20 meetrit.

Vahel antud ruut ja laius kujund, millel pole mitte ristkülikukujuline, vaid suvaline kuju. Samal ajal on vaja ka leida pikkus. Reeglina mõeldakse sel juhul üldnäitajaid, st ristküliku parameetreid, millesse see joonis võib olla ümbritsetud.
Kui arvutuste suurem täpsus pole vajalik, kasutage ülaltoodud valemit (D \u003d P / W). Pikkuse väärtust aga alahinnatakse. Et saada rohkem täpne väärtus figuuri pikkus, hinnake, kui täielikult joonis täidab oma üldristküliku, ja jagage saadud tulemus pikkus täiteteguri kohta.

Allikad:

• Kui pikk on ristkülik, kui selle laius on teada

Igal geomeetrilisel kujundil on teatud omadused, mis omakorda on omavahel seotud. Seetõttu peate ristküliku pindala leidmiseks teadma, milline on selle külgede pikkus.

Ristkülik on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid. See on nelinurk, mille kõik nurgad on üksteisega võrdsed ja moodustavad 90 kraadi. See omadus omakorda toob kaasa teatud tagajärjed vaadeldava kujundi muude parameetrite suhtes.

Esiteks on selle üksteise vastas asuvad küljed paralleelsed. Teiseks on need küljed üksteisega paarides võrdsed. Need omadused osutuvad väga oluliseks selle muude parameetrite (nt pindala) arvutamisel.

Kuidas arvutada ristküliku pindala

Arvutamiseks on vaja teavet selle külgede pikkuse kohta. Tuleb meeles pidada, et ristküliku küljed ei ole selles indikaatoris võrdsed: ristkülik, mille kõik küljed on võrdse pikkusega, on teine geomeetriline kujund, mida nimetatakse ruuduks.

Seetõttu kasutatakse ristküliku erinevate külgede tähistamiseks spetsiaalseid tähiseid: näiteks suure pikkusega külge nimetatakse tavaliselt kujundi pikkuseks ja väiksema pikkusega külge selle laiuseks. Lisaks on igal ristkülikul ülalkirjeldatud omaduste tõttu kaks pikkust ja kaks laiust.

Tegelikult on selle joonise pindala arvutamise algoritm üsna lihtne: peate korrutama ainult selle ühe pikkuse ühe laiusega. Saadud toode on ristküliku pindala.

Arvutamise näide

Oletame, et on ristkülik, mille üks külg on 5 sentimeetrit ja teine ​​8 sentimeetrit. Seega vastavalt ülaltoodud määratlusele on selle joonise pikkus, mõõdetuna suurema külje pikkusena, 8 sentimeetrit ja laius - 5 sentimeetrit.

Figuuri pindala leidmiseks on vaja selle laius korrutada pikkusega: seega on kõnealuse ristküliku pindala 40 ruutsentimeetrit. Pange tähele, et näiteks arvutuste tegemiseks tuleb mõlemat kasutatavat parameetrit mõõta samades ühikutes