कार्य 4.

4√6 लंबाई के समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक आधार के साथ 60° का कोण बनाता है, और दूसरा विकर्ण उसी आधार के साथ 45° का कोण बनाता है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए।

फेसला।

1. एओ = 2√6।

2. ज्या प्रमेय को त्रिभुज AOD पर लागू करें।

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/पाप 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

उत्तर: 12.

कार्य 5.

5√2 और 7√2 भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के बीच का छोटा कोण समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बराबर होता है। विकर्णों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला।

मान लीजिए d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और छोटे कोणों के बीच का कोण है।

1. आइए दो अलग-अलग गिनें
इसके क्षेत्र के तरीके।

एस एबीसीडी \u003d एबी एडी पाप ए \u003d 5√2 7√2 पाप च,

एस एबीसीडी \u003d 1/2 एसी बीडी पाप एओबी \u003d 1/2 डी 1 डी 2 पाप एफ।

हम समानता प्राप्त करते हैं 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = घ 1 घ 2 ;

2. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच के अनुपात का उपयोग करते हुए, हम समानता लिखते हैं

(एबी 2 + एडी 2) 2 = एसी 2 + बीडी 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = डी 1 2 + डी 2 2।

घ 1 2 + घ 2 2 = 296।

3. आइए एक प्रणाली बनाएं:

(डी 1 2 + डी 2 2 = 296,
(डी 1 + डी 2 = 140।

सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें और इसे पहले में जोड़ें।

हमें (d 1 + d 2) 2 = 576 मिलता है। इसलिए Id 1 + d 2 I = 24।

चूँकि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ हैं, तो d 1 + d 2 = 24.

उत्तर: 24.

कार्य 6.

समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4 और 6 हैं। विकर्णों के बीच न्यून कोण 45 o है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

1. त्रिभुज AOB से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम समांतर चतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध लिखते हैं।

एबी 2 \u003d एओ 2 + वीओ 2 2 एओ वीओ कॉस एओबी।

4 2 \u003d (डी 1 / 2) 2 + (डी 2 / 2) 2 - 2 (डी 1 / 2) (डी 2 / 2) कॉस 45 ओ;

डी 1 2/4 + डी 2 2/4 - 2 (डी 1/2) (डी 2/2)√2/2 = 16.

डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64।

2. इसी प्रकार, हम त्रिभुज AOD के लिए संबंध लिखते हैं।

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

हमें समीकरण d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 मिलता है।

3. हमारे पास एक प्रणाली है
(डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64,
(डी 1 2 + डी 2 2 + डी 1 डी 2 √2 = 144.

दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर, हमें 2d 1 d 2 2 = 80 or . मिलता है

घ 1 घ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. एस एबीसीडी \u003d 1/2 एसी बीडी पाप एओबी \u003d 1/2 डी 1 डी 2 पाप α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10।

टिप्पणी:इसमें और पिछली समस्या में, सिस्टम को पूरी तरह से हल करने की आवश्यकता नहीं है, यह देखते हुए कि इस समस्या में हमें क्षेत्र की गणना करने के लिए विकर्णों के उत्पाद की आवश्यकता है।

उत्तर: 10.

टास्क 7.

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 है और इसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं। छोटे विकर्ण का वर्ग ज्ञात कीजिए।

फेसला।

1. एस एबीसीडी \u003d एबी एडी पाप वीएडी। आइए सूत्र में प्रतिस्थापन करें।

हमें 96 = 8 15 sin VAD मिलता है। इसलिए पाप वीएडी = 4/5।

2. क्योंकि खराब खोजें। पाप 2 वीएडी + कॉस 2 वीएडी = 1।

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25।

समस्या की स्थिति के अनुसार, हम छोटे विकर्ण की लंबाई पाते हैं। यदि कोण BAD न्यून है तो विकर्ण BD छोटा होगा। तब cos BAD = 3/5.

3. त्रिभुज ABD से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम विकर्ण BD का वर्ग ज्ञात करते हैं।

बीडी 2 \u003d एबी 2 + एडी 2 - 2 एबी बीडी कॉस बीएडी।

डी 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145।

उत्तर : 145.

क्या आपका कोई प्रश्न है? आप नहीं जानते कि ज्यामिति की समस्या को कैसे हल किया जाए?
ट्यूटर की मदद लेने के लिए - रजिस्टर करें।
पहला सबक मुफ्त है!

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

टिप्पणी. यह ज्यामिति (समांतर चतुर्भुज खंड) में समस्याओं वाले पाठ का हिस्सा है। यदि आपको ज्यामिति में एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है, जो यहां नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें। समस्याओं को हल करने में वर्गमूल निकालने की क्रिया को दर्शाने के लिए, प्रतीक √ या sqrt () का उपयोग किया जाता है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया जाता है।

सैद्धांतिक सामग्री

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों की व्याख्या:

1. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी एक भुजा की लंबाई और उस तरफ की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है
3. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्या

फेसला.
आइए समांतर चतुर्भुज एबीसीडी की छोटी ऊंचाई को बिंदु बी से बड़े आधार एडी तक बीके के रूप में कम करें।
एक छोटी ऊँचाई, एक छोटी भुजा और एक बड़े आधार के एक भाग से बने समकोण त्रिभुज ABK के पाद का मान ज्ञात कीजिए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

एबी 2 = बीके 2 + एके 2
82 = 9 2 + एके 2
एके 2 = 82 - 81
एके = 1

आइए हम समांतर चतुर्भुज BC के ऊपरी आधार का विस्तार करें और उसके निचले आधार से उस पर ऊँचाई AN गिराएँ। AN = BK आयत ANBK की भुजाओं के रूप में। परिणामी समकोण त्रिभुज ANC में हम पैर NC पाते हैं।
एएन 2 + एनसी 2 = एसी 2
9 2 + एनसी 2 = 15 2
एनसी 2 = 225 - 81
एनसी2 = √144
एनसी = 12

आइए अब समांतर चतुर्भुज ABCD का बड़ा आधार BC ज्ञात करें।
बीसी = एनसी-एनबी
हम ध्यान में रखते हैं कि NB = AK आयत की भुजाओं के रूप में है, तो
ईसा पूर्व = 12 - 1 = 11

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल और इस आधार की ऊंचाई के बराबर होता है।
एस = आह
एस = बीसी * बीके
एस=11*9=99

जवाब: 99 सेमी2.

काम

फेसला.
आइए हम विकर्ण AC पर एक और लंबवत DK छोड़ते हैं।
तदनुसार, त्रिभुज AOB और DKC, COB और AKD जोड़ीवार सर्वांगसम हैं। पक्षों में से एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष है, कोणों में से एक सही है, क्योंकि यह विकर्ण के लंबवत है, और शेष कोणों में से एक समांतर चतुर्भुज और छेदक के समानांतर पक्षों के लिए स्थित आंतरिक क्रॉस है। विकर्ण का।

इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संकेतित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर होता है। अर्थात
स्पैरल = 2S AOB +2S BOC

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के उत्पाद का आधा है। कहाँ
एस \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 सेमी 2
जवाब: 56 सेमी2.

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के गुणनफल के बराबर होता है और इस तरफ की ऊँचाई कम होती है।

प्रमाण

यदि समांतर चतुर्भुज एक आयत है, तो आयत क्षेत्र प्रमेय से समानता संतुष्ट होती है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के कोने सही नहीं हैं।

मान लीजिए $\angle BAD$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और $AD > AB$ में एक न्यून कोण है। अन्यथा, हम शीर्षों का नाम बदल देंगे। फिर $BH$ शीर्ष $B$ से लाइन $AD$ तक की ऊंचाई $AD$ पर गिरती है, क्योंकि पैर $AH$ कर्ण $AB$ से छोटा है, और $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

आइए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के क्षेत्रफल और आयत $HBCK$ के क्षेत्रफल की तुलना करें। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\triangle ABH$ से बड़ा है, लेकिन क्षेत्रफल $\triangle DCK$ से कम है। चूँकि ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए इनके क्षेत्रफल भी सर्वांगसम होते हैं। इसका मतलब यह है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसकी भुजाएँ लंबी होती हैं और समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई होती है।

भुजाओं और ज्या के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

प्रमाण

समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई $AB$ की ओर कम की गई है, जो $BC$ खंड के उत्पाद और कोण $\angle ABC$ के उत्पाद के बराबर है। यह पिछले दावे को लागू करना बाकी है।

विकर्णों के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

प्रमाण

मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $O$ पर $\alpha$ कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। फिर समांतर चतुर्भुज गुण द्वारा $AO=OC$ और $BO=OD$। $180^\circ$ तक के कोणों की ज्याएं $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$ हैं। इसलिए, विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर कोणों की ज्या $\sin \alpha$ के बराबर होती है।

$S_(ABCD)=S_(\triangle AOB) + S_(\triangle BOC) + S_(\triangle COD) + S_(\triangle AOD)$

क्षेत्र माप के स्वयंसिद्ध के अनुसार। इन त्रिभुजों और कोणों के लिए त्रिभुज क्षेत्र सूत्र $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ लागू करें जब विकर्ण प्रतिच्छेद करें। प्रत्येक की भुजाएँ आधे विकर्णों के बराबर होती हैं, ज्या भी बराबर होती है। इसलिए, सभी चार त्रिभुजों के क्षेत्रफल हैं $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( एसी \ cdot BD)(8) \sin \alpha$। उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

प्रमेय 1.एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है:

प्रमेय 2।एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण इसे चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जिनमें से दो समरूप हैं और अन्य दो का क्षेत्रफल समान है:

प्रमेय 3.एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल के बराबर होता है और दिए गए आधार की ऊँचाई, या दोनों पक्षों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है:

प्रमेय 4.एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

प्रमेय 5.एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है:

प्रमेय 6.एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस चतुर्भुज के अर्धपरिधि और दिए गए वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर होता है:

प्रमेय 7.एक चतुर्भुज जिसका शीर्ष एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु होते हैं, एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है:

प्रमेय 8.यदि एक उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो इस चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के वर्गों का योग है:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2।

लेख कंपनी "DKROST" के समर्थन से प्रकाशित हुआ था। बच्चों, घरों, सैंडबॉक्स और बहुत कुछ के लिए स्लाइड - थोक और खुदरा खेल के मैदानों का निर्माण और बिक्री। सबसे कम कीमत, छूट, कम उत्पादन समय, किसी विशेषज्ञ का प्रस्थान और परामर्श, गुणवत्ता आश्वासन। आप कंपनी के बारे में अधिक जान सकते हैं, वेबसाइट पर उत्पाद सूची, मूल्य और संपर्क देख सकते हैं, जो यहां स्थित है: http://dkrost.ru/।

कुछ प्रमेयों के प्रमाण

प्रमेय 2 . का प्रमाण. मान लीजिए ABCD एक दिया हुआ समलम्ब है, AD और BC इसके आधार हैं, O इस समलंब के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज AOB और COD का क्षेत्रफल समान है। ऐसा करने के लिए, आइए हम बिंदु B और C से रेखा AD पर लंब BP और CQ छोड़ते हैं। तब त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल है

तथा त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल है

चूँकि BP = CQ, तो S∆ABD = S∆ACD। लेकिन त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल त्रिभुज ABD और AOD के क्षेत्रफलों के बीच का अंतर है, और त्रिभुज COD का क्षेत्रफल त्रिभुज ACD और AOD के क्षेत्रफलों के बीच का अंतर है। इसलिए, त्रिभुज AOB और COD के क्षेत्रफल बराबर हैं, जिसे सिद्ध करना था।

प्रमेय का प्रमाण 4. माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AB = CD = ए, एडी = बीसी = बी,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° - α। आइए हम त्रिभुज ABD पर कोज्या प्रमेय लागू करें:

अब कोज्या प्रमेय को त्रिभुज ACD पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पदों को पद समानता से जोड़ने पर, हम पाते हैं कि क्यू.ई.डी.

प्रमेय का प्रमाण 5. मान लीजिए कि ABCD एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज है, E इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु AE = ए, बीई = बी,
सीई = सी, डीई = डी, ∠AEB = CED = ϕ, ∠BEC =
= AED = 180° - . हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 6 . का प्रमाण. मान लीजिए कि ABCD एक वृत्त के चारों ओर परिचालित एक मनमाना चतुर्भुज है, O इस वृत्त का केंद्र है, OK, OL, OM और ON बिंदु O से क्रमशः AB, BC, CD और AD रेखाओं पर गिराए गए लम्ब हैं। हमारे पास है:

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और p चतुर्भुज ABCD का अर्ध-परिधि है।

प्रमेय का प्रमाण 7. मान लीजिए ABCD एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज है, K, L, M और N क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और AD के मध्यबिंदु हैं। चूँकि KL त्रिभुज ABC की मध्य रेखा है, रेखा KL रेखा AC के समानांतर है और इसी प्रकार, रेखा MN रेखा AC के समानांतर है और इसलिए, KLMN एक समांतर चतुर्भुज है। त्रिभुज केबीएल पर विचार करें। इसका क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। त्रिभुज MDN का क्षेत्रफल भी त्रिभुज ACD के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर होता है। इसलिये,

वैसे ही,

इसका मतलब है कि

जहाँ से यह इस प्रकार है

प्रमेय का प्रमाण 8. मान लीजिए ABCD एक मनमाना उत्तल चतुर्भुज है जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, मान लीजिए E इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,
एई = ए, बीई = बी, सीई = सी, डीई = डी। पाइथागोरस प्रमेय को त्रिभुजों ABE और CDE पर लागू करें:
AB2=AE2+BE2= ए 2 + बी2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
इस तरह,
AB2+CD2= ए 2 + बी 2 + सी 2 + डी 2।
अब पाइथागोरस प्रमेय को त्रिभुज ADE और BCE पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
AD2=AE2+DE2= ए 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
जहाँ से यह इस प्रकार है
AD2+BC2= ए 2 + बी 2 + सी 2 + डी 2।
अत: AB2 + CD2 = AD2 + BC2 जिसे सिद्ध किया जाना था।

समस्या को सुलझाना

कार्य 1. आधार कोण α और β के साथ सर्कल के पास एक समलम्बाकार का वर्णन किया गया है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का वृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।

फेसला. मान लीजिए ABCD एक दिया हुआ समलम्ब है, AB और CD इसके आधार हैं, DK और CM बिंदु C और D से रेखा AB पर गिराए गए लंब हैं। वांछित अनुपात वृत्त की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, हम मानते हैं कि त्रिज्या 1 है। तब वृत्त का क्षेत्रफल है, हम समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। चूँकि त्रिभुज ADK एक समकोण त्रिभुज है,

इसी तरह, एक समकोण त्रिभुज BCM से हम पाते हैं कि चूँकि किसी दिए गए समलंब में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, तो सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है:
एबी + सीडी = एडी + बीसी,
हम कहाँ पाते हैं

अत: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

और वांछित अनुपात है
जवाब:

टास्क 2. एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में, कोण A 90° है और कोण C 90° से अधिक नहीं है। लंबवत BE और DF को शीर्ष B और D से विकर्ण AC पर गिराया जाता है। यह ज्ञात है कि AE = CF। सिद्ध कीजिए कि कोण C एक समकोण है।

प्रमाण. चूँकि कोण A 90° है,
और कोण C 90° से अधिक नहीं है, तो बिंदु E और F विकर्ण AC पर स्थित हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
EBC = β, ∠FDA = , ∠FDC = . हमारे लिए यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि α + β + + = । जैसा

जहाँ से हमें वह प्राप्त होता है जिसे सिद्ध किया जाना था।

टास्क 3. एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध समद्विबाहु समलम्बाकार का परिमाप p है। इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर न्यून कोण α है।
फेसला. मान लीजिए ABCD एक समद्विबाहु समलम्ब है जिसका आधार AD और BC है, मान लीजिए BH शीर्ष B से इस समलंब की ऊँचाई है।
चूँकि किसी दिए गए समलम्ब में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, तब

इसलिये,

समकोण त्रिभुज ABH से हम पाते हैं,

जवाब:

टास्क 4. AD और BC के आधारों के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD दिया गया है। विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और रेखाएँ AB और CD बिंदु K पर प्रतिच्छेद करती हैं। रेखा KO भुजाओं BC और AD को क्रमशः M और N बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, और कोण BAD 30° है। यह ज्ञात है कि समलम्बाकार ABMN और NMCD में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। त्रिभुज BKC और समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल अनुपात ज्ञात कीजिए।

फेसला. जैसा कि आप जानते हैं, एक मनमाना समलम्ब के लिए, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु और पार्श्व पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाली रेखा प्रत्येक आधार को आधे में विभाजित करती है। तो बीएम = एमसी और एएन = एनडी। इसके अलावा, चूंकि समलम्बाकार ABMN और NMCD में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, तो
बीएम + एएन = एबी + एमएन,
एमसी + एनडी = सीडी + एमएन।
यह इस प्रकार है कि AB = CD, अर्थात् समलम्ब चतुर्भुज ABCD समद्विबाहु है। क्षेत्रों का वांछित अनुपात पैमाने पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए हम मान सकते हैं कि KN = x, KM = 1. समकोण त्रिभुज AKN और BKM से, हम प्राप्त करते हैं कि ऊपर पहले से उपयोग किए गए संबंध को फिर से लिखना
बीएम + एएन = एबी + एमएन

हमें अनुपात की गणना करने की आवश्यकता है:

यहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि त्रिभुज AKD और BKC के क्षेत्रफल KN और KM भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित हैं, अर्थात x2 के रूप में।

जवाब:

कार्य 5.एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में, बिंदु E, F, H, G क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD, DA के मध्य बिंदु हैं, और O खंड EH और FG का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह ज्ञात है कि ईएच = ए, FG = b, चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

फेसला. यह ज्ञात है कि यदि आप एक स्वेच्छ चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को श्रेणीक्रम में जोड़ते हैं, तो आपको एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है। हमारे मामले में EFHG एक समांतर चतुर्भुज है और O इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। फिर

त्रिभुज FOH पर कोज्या प्रमेय लागू करें:

चूँकि FH त्रिभुज BCD की मध्य रेखा है, तो

इसी प्रकार, कोज्या प्रमेय को त्रिभुज EFO पर लागू करने पर, हम पाते हैं कि

जवाब:

कार्य 6.एक समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ 3 और 5 हैं। यह ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। एक समलम्बाकार की मध्य रेखा इसे दो भागों में विभाजित करती है, जिसके क्षेत्रफलों का अनुपात समलम्ब चतुर्भुज के आधार ज्ञात करने के बराबर होता है।

फेसला. मान लीजिए ABCD एक दिया हुआ समलंब है, AB = 3 और CD = 5 - इसकी भुजाएँ, बिंदु K और M - भुजाओं AB और CD के मध्य बिंदु, क्रमशः। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, AD > BC, तो समलम्बाकार AKMD का क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज KBCM के क्षेत्रफल से अधिक होगा। चूँकि KM समलम्ब चतुर्भुज ABCD की मध्य रेखा है, समलम्बाकार AKMD और KBCM की ऊँचाई समान है। चूँकि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के आधे योग और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, तो निम्नलिखित समानता सत्य है:

इसके अलावा, चूंकि समलम्ब चतुर्भुज ABCD में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, तब AD + BC = AB + CD = 8. तब KM = 4 समलम्ब चतुर्भुज ABCD की मध्य रेखा के रूप में। माना BC = x, तो AD = 8 - x। हमारे पास है:
अतः बीसी = 1 और एडी = 7।

जवाब: 1 और 7.

टास्क 7. समलम्ब चतुर्भुज ABCD का आधार AB, आधार CD से दोगुना और पार्श्व भुजा AD से दोगुना लंबा है। विकर्ण AC की लंबाई है ए, और पार्श्व भुजा BC की लंबाई b के बराबर है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला. मान लीजिए कि E समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के विस्तारों का प्रतिच्छेदन बिंदु है और CD = x, तो AD = x, AB = 2x। खंड सीडी खंड एबी के समानांतर है और दो बार छोटा है, इसलिए सीडी त्रिभुज एबीई की मध्य रेखा है। इसलिए, सीई = बीसी = बी और डीई = एडी = एक्स, जहां से एई = 2x। तो त्रिभुज ABE समद्विबाहु (AB = AE) है और AC इसकी माध्यिका है। अत: AC इस त्रिभुज की ऊँचाई भी है, और इसलिए

चूँकि त्रिभुज DEC समरूपता गुणांक वाले त्रिभुज AEB के समरूप है, तो

जवाब:

टास्क 8. समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि समलंब के आधारों की लंबाई AB = 30, DC = 24, भुजा की लंबाई AD = 3 और कोण DAB 60 है °.

फेसला. बता दें कि DH समलंब की ऊंचाई है। त्रिभुज ADH से हम पाते हैं कि

चूँकि त्रिभुज ABC की ऊँचाई, जो शीर्ष C से गिराई गई है, समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई DH के बराबर है, हमारे पास है:

जवाब:

टास्क 9. एक समलम्ब चतुर्भुज में, मध्य रेखा 4 होती है, और किसी एक आधार पर कोण 40° और 50° होते हैं। यदि आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 1 है, तो समलम्ब चतुर्भुज के आधार ज्ञात कीजिए।

फेसला. मान लीजिए ABCD एक दिया हुआ समलम्ब है, AB और CD इसके आधार (AB .) हैं< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. आइए DA और CB भुजाओं को बिंदु E पर चौराहे तक बढ़ाएँ। त्रिभुज ABE पर विचार करें, जहाँ EAB = 50° है। ईबीए = 40°,
अत: AEB = 90°। इस त्रिभुज की माध्यिका EM, समकोण के शीर्ष से खींची गई, कर्ण के आधे के बराबर है: EM = AM। माना EM = x, फिर AM = x, DN = 4 - x। समस्या की स्थिति के अनुसार MN = 1, इसलिए,
EN = x + 1. त्रिभुज AEM और DEN की समानता से हमें प्राप्त होता है:

इसका मतलब है कि एबी = 3 और सीडी = 5।

जवाब: 3 और 5.

टास्क 10. एक उत्तल चतुर्भुज ABCD बिंदु O पर केन्द्रित एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध है, जबकि AO = OC = 1, BO = OD = 2 है। चतुर्भुज ABCD का परिमाप ज्ञात कीजिए।

फेसला. माना K, L, M, N वृत्त के स्पर्श बिंदु हैं जिनकी भुजाएँ क्रमशः AB, BC, CD, DA, r - वृत्त की त्रिज्या हैं। चूँकि वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, त्रिभुज AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO समकोण होते हैं। पाइथागोरस प्रमेय को इन त्रिभुजों पर लागू करने पर, हम पाते हैं कि

अत: AB = BC = CD = DA, अर्थात् ABCD एक समचतुर्भुज है। समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है। यहाँ से हम आसानी से पाते हैं कि समचतुर्भुज की भुजा बराबर है और इसलिए समचतुर्भुज का परिमाप किसके बराबर है?

जवाब:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

सी-1.एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज ABCD त्रिज्या r के एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध है। माना E और K समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं वाले इस वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु हैं। समलम्ब चतुर्भुज के आधार AB और भुजा AD के बीच का कोण 60° है। सिद्ध कीजिए कि EK AB के समांतर है और समलम्ब चतुर्भुज ABEK का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सी-2।एक समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण 3 और 5 हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 है। समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सी 3. यदि ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6 हो तो क्या चतुर्भुज ABCD के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध करना संभव है?
सी-4.समलम्ब चतुर्भुज ABCD (AB आधार है) में कोणों के मान DAB, BCD, ADC, ABD और ADB एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं (जिस क्रम में वे लिखे गए हैं)। यदि समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई h है, तो शीर्ष C से विकर्ण BD तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
सी-5.एक समद्विबाहु समलम्ब दिया गया है जिसमें एक वृत्त खुदा हुआ है और जिसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध है। समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का अनुपात है समलम्ब चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
सी-6.आयत ABCD का क्षेत्रफल 48 है, और विकर्ण की लंबाई 10 है। आयत जिस तल पर स्थित है, उस पर एक बिंदु O चुना जाता है ताकि OB = OD = 13 हो। बिंदु O से दूरी ज्ञात कीजिए। इससे सबसे दूर आयत के शीर्ष तक।
सी-7. समांतर चतुर्भुज ABCD का परिमाप 26 है। कोण ABC 120° है। त्रिभुज BCD में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि AD > AB है।
सी-8.चतुर्भुज ABCD बिंदु O पर केंद्रित एक वृत्त में अंकित है। त्रिज्या OA त्रिज्या OB पर लंबवत है, और त्रिज्या OC त्रिज्या OD पर लंबवत है। बिंदु C से रेखा AD पर गिराए गए लंब की लंबाई 9 है। खंड BC की लंबाई खंड AD की लंबाई की आधी है। त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सी-9.एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में, शीर्ष A और C विपरीत हैं, और भुजा AB की लंबाई 3 है। कोण ABC कोण है BCD है भुजा AD की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि आप जानते हैं कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

सी-10.उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD हैं। ह ज्ञात है कि
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, और त्रिभुज ABD के समद्विभाजक के प्रतिच्छेद बिंदु और त्रिभुज ACD के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी भुजा BC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
सी-11.मान लीजिए M एक उत्तल चतुर्भुज ABCD के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जिसमें भुजाएँ AB, AD और BC बराबर हैं। कोण CMD ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि DM = MC,
और CAB DBA।
सी-12.चतुर्भुज ABCD में, हम जानते हैं कि A = 74°, D = 120°। कोण B और C के समद्विभाजक के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
सी-13.चतुर्भुज ABCD में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। मान लीजिए K इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह ज्ञात है कि AB > BC > KC और त्रिभुज BKC का परिमाप और क्षेत्रफल क्रमशः 14 और 7 है। DC ज्ञात कीजिए।
सी-14.एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध समलम्ब चतुर्भुज में, यह ज्ञात है कि BC AD, AB = CD, BAD =
= 45°। यदि समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 10 है तो AB ज्ञात कीजिए।
सी-15.समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, जिसके आधार AB और CD हैं, यह ज्ञात है कि CAB = 2∠DBA। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सी-16.समांतर चतुर्भुज ABCD में हम जानते हैं कि AC = ए, ∠CAB = 60°। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एस 17. चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD बिंदु K पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु L और M क्रमशः भुजाओं BC और AD के मध्य बिंदु हैं। खंड LM में बिंदु K है। चतुर्भुज ABCD ऐसा है कि इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि AB=3 और LK:KM=1:3।
सी-18।उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC और BD हैं। इस स्थिति में, BAC =
= BDC, और त्रिभुज BDC के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है
a) त्रिभुज ABC के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
b) यह जानते हुए कि BC = 3, AC = 4, ZBAD = 90°, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।